Kommutaattori (matematiikka)

Malline:Tämä artikkeli Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x⁻¹y⁻¹xy. Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.

Ominaisuuksia

Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioiden vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.

Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:

• $[y,x]=[x,y{]}^{-1}$
• $[xy,z]=y^{-1}[x,z]y[y,z]$
• $[x,yz]=[x,z]z^{-1}[x,y]z$

Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä $[A,B]$ on joukon

$\{a^{-1}{b}^{-1}ab|a\in A,b\in B\}$

generoima aliryhmä. Aliryhmä

$G^{\prime }=[G,G]=⟨g^{-1}{h}^{-1}gh|g,h\in G⟩$

on ryhmän G derivaattaryhmä. Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä, jos ja vain jos

$G^{\prime }=\{1\}.$

Lähteet

• Malline:Kirjaviite