Geometrinen sarja

Kuvasta nähdään, että geometrinen sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... suppenee kohti lukua 2.

Matematiikassa geometrisella sarjalla tarkoitetaan sarjaa, jossa kahden peräkkäisen termin suhde on vakio. Jos tämä vakio on q ja sarjan ensimmäinen termi on a, sarjan n:s termi on aq^n-1. Tällöin sarjaa merkitään

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^k=a{q}^0+a{q}^1+a{q}^2+\cdots$

Sarja suppenee, kun −1 < q < 1, ja tällöin sen summaksi saadaan

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^k=\frac{a}{1-q}.$

Osasummille on voimassa

$\sum _{k=0}^{n-1}a{q}^k=a\cdot \frac{1-q^n}{1-q},$ kun $q\ne 1.$

$\sum _{k=m}^{n-1}a{q}^k=a\cdot \frac{q^m-q^n}{1-q},$ kun $q\ne 1.$

Todistus osasumman kaavalle:

Olkoon n määrä sarjan termejä seuraavasti: $a{q}^0+a{q}^1+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}$

Merkitään osasummaa seuraavasti $S=:a{q}^0+a{q}^1+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}\Rightarrow$

$qS=a{q}^1+a{q}^2+a{q}^3+\cdots +a{q}^n\Rightarrow$

$S-qS=a-a{q}^n\Rightarrow$

$S=a\frac{1-q^n}{1-q}$

Geometrisen sarjan avulla voidaan muuttaa päättymätön jaksollinen desimaaliluku murtoluvuksi.

Katso myös

• Aritmeettinen sarja

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite