Aritmeettinen sarja

Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on $1+2+3+4+\dots$, jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on $2,0+1,5+1,0+0,5+\dots$, jossa vakioerotus on −0,5).

Aritmeettisen sarjan summa

Sarja $0+0+0+\dots$ on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen raja-arvo $\pm \mathrm{\infty }$, eli sarjat hajaantuvat.

Lausekkeita aritmeettiselle sarjalle

• n:s termi: $a_n=a_1+(n-1)d\text{(1)}$, missä d = peräkkäisten termien erotus

• Ensimmäisten n termin summa: $S_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n$

$=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ $=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

Todistus 1: Geometrisesti S_n on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on a_n ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.

Todistus 2: Kirjoitetaan S_n kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):

$S_n=(a_1)+(a_1+d)+(a_1+2d)+\dots +(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)\text{(2)}$

$S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\dots +(a_n-2d)+(a_n-d)+(a_n)\text{(3)}$

Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:

$2S_n=n(a_1+a_n)$

$\Rightarrow S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.

□

Aritmeettisen sarjan summalle $S_n$ kaikilla $n$:n arvoilla pätee:

$S_{3n}=3(S_{2n}-S_n)$

Katso myös

• Geometrinen sarja

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite Malline:ISBN (pdf)

Aiheesta muualla

• Alkulukujen esiintyminen aritmeettisina jonoina