Stewartin lause

Stewartin lauseessa esiintyvät janat ja pisteet

Geometriassa Stewartin lause kuuluu seuraavasti: Olkoon ABC kolmio jolle AB=c, AC=b ja BC=a. Olkoon lisäksi X piste kolmion sivulla BC jolle BX=x ja XC=y. Jos p on janan AX pituus, on voimassa

$a(p^2+xy)=b^{2}x+c^{2}y$.

Stewartin lause voidaan todistaa kosinilauseen avulla: Olkoon $\alpha$ kulma AXB. Soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXB saadaan

$c^2=x^2+p^2-2px\cos \alpha$ eli

$\cos \alpha =\frac{x^2+p^2-c^2}{2px}.$

Koska $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$, soveltamalla kosinilausetta kolmioon AXC saadaan

$\cos \alpha =\frac{b^2-y^2-p^2}{2py}$.

Siten

$2py(x^2+p^2-c^2)=2px(b^2-y^2-p^2)$

Jakamalla lauseke puolittain 2p:llä ja järjestelemällä termejä saadaan

$x^{2}y+x{y}^2+p^{2}y+p^{2}x=b^{2}x+c^{2}y$

eli

$xy(x+y)+p^2(x+y)=b^{2}x+c^{2}y$.

Koska $a=x+y$, saadaan

$a(xy+p^2)=b^{2}x+c^{2}y.◻$

Apolloniuksen lause on Stewartin lauseen erikoistapaus.