Brahmaguptan kaava

Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

Perusmuoto

Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},$

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Brahmaguptan kaavan todistus

Jännenelikulmio

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion $\mathrm{△}ADB$ pinta-ala + kolmion $\mathrm{△}BDC$ pinta-ala:

$=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin C$

Koska $ABCD$ on jännenelikulmio, on $\mathrm{\angle }DAB=180^{\circ }-\mathrm{\angle }DCB.$ Siis $\sin A=\sin C,$ joten

$Ala=\frac{1}{2}pq\sin A+\frac{1}{2}rs\sin A$

$(Ala{)}^2=\frac{1}{4}{\sin }^{2}A(pq+rs{)}^2$

$4(Ala{)}^2=(1-{\cos }^{2}A)(pq+rs{)}^2$

$4(Ala{)}^2=(pq+rs{)}^2-co{s}^{2}A(pq+rs{)}^2$

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin $\mathrm{△}ADB$ ja $\mathrm{△}BDC$ saadaan

$p^2+q^2-2pq\cos A=r^2+s^2-2rs\cos C$

Sijoittamalla $\cos C=-\cos A$ (koska kulmat $A$ ja $C$ ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

$2\cos A(pq+rs)=p^2+q^2-r^2-s^2.$

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

$4(Ala)2=(pq+rs{)}^2-\frac{1}{4}(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2$

$16(Ala{)}^2=4(pq+rs{)}^2-(p^2+q^2-r^2-s^2{)}^2$

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

$(2(pq+rs)+p^2+q^2-r^2-s^2)(2(pq+rs)-p^2-q^2+r^2+s^2)$

$=((p+q{)}^2-(r-s{)}^2)((r+s{)}^2-(p-q{)}^2)$

$=(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p)$

Koska $T=\frac{p+q+r+s}{2},$ on

$16(Ala{)}^2=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)$

ja lopulta

$Ala=\sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}$

Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta }$

missa $\theta$ on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on $180^{\circ }$, voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

Erikoistapaus

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.

Aiheesta muualla

• Malline:Verkkoviite