Bernoullin epäyhtälö

Matematiikassa Bernoullin epäyhtälö approksimoi reaaliluvun 1 + x potensseja.

Epäyhtälön mukaan

$(1+x{)}^r\ge 1+rx$

kaikilla kokonaisluvuilla r ≥ 0 ja kaikilla reaaliluvuilla x > −1. Jos eksponentti r on parillinen, on epäyhtälö voimassa kaikilla reaaliluvuilla x. Aito epäyhtälö

$(1+x{)}^r>1+rx$

on voimassa kaikilla kokonaisluvuilla r ≥ 2 kunhan x ≥ −1, x ≠ 0.

Bernoullin epäyhtälöä käytetään usein toisten epäyhtälöiden todistamiseen. Itse Bernoullin epäyhtälö voidaan todistaa kokonaislukueksponenteille induktion avulla:

Alkuaskel:

r = 0

(1 + x)⁰ ≥ 1 + 0*x, pätee selvästi.

Induktio-oletus:

(1 + x)^r ≥ 1 + rx.

Induktioaskel:

Kerrotaan induktio-oletus puolittain (1 + x):llä ⇒ (1 + x)^r+1 ≥ 1 + rx + x + rx² ≥ 1 + (r+1)x, MOT.

Eksponentti r voidaan yleistää mielivaltaiselle reaaliluvulle seuraavasti: jos x > −1, on

$(1+x{)}^r\ge 1+rx$

kaikilla r ≤ 0 tai r ≥ 1 ja

$(1+x{)}^r\le 1+rx$

kun 0 ≤ r ≤ 1. Tämän yleistys voidaan todistaa derivaatan avulla. Edelleen tämä epäyhtälö on aito kun x ≠ 0 ja r ≠ 0, 1.

Vastaavia epäyhtälöitä

Seuraava epäyhtälö arvio luvun 1 + x r:ttä potenssia: kaikilla reaaliluvuilla x, r > 0 on voimassa

$(1+x{)}^r<e^{rx},$

missä e = 2,718.... Tämä voidaan todistaa epäyhtälön (1 + 1/k)^k < e avulla.