Ellipsoidi

Ellipsoidi, jolle a = 4, b = 2 ja c = 1.

Ellipsoidilla tarkoitetaan kappaletta, jonka poikkileikkaus missä tahansa tasossa on ellipsi.

Jos ellipsoidin keskipiste on pisteessä (0,0,0) eli origossa ja akselit ovat koordinaattiakselin suuntaiset, on ellipsoidin yhtälö xyz-koordinaatistossa

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ , jossa $a,b,c\in ℝ$.

Luvut $a$, $b$ ja $c$ ovat ellipsoidin puoliakselien pituudet.

Ellipsoidin erikoistapaus pyörähdysellipsoidi syntyy, kun ellipsi pyörähtää jonkin akselinsa ympäri. Jos ellipsi pyörähtää esimerkiksi x-akselin ympäri, kappaleen poikkileikkaus tasossa yz on ympyrä, jonka säde $r=b=c$.

Tilavuus

Ellipsoidin tilavuus saadaan kaavalla

$V=\frac{4}{3}\pi abc.$

Pinta-ala

Ellipsoidin pinta-ala saadaan kaavalla

$A=2\pi (c^2+\frac{b{c}^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(OE,m)+b\sqrt{a^2-c^2}E(OE,m)),$

jossa $m=\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}$ ja $F(OE,m)$, $E(OE,m)$ ovat ensimmäisen ja toisen asteen epätäydellisiä elliptisiä integraaleja.

Likimääräinen arvo saadaan kaavalla:

$A\approx 4\pi {\left(\frac{a^p{b}^p+a^p{c}^p+b^p{c}^p}{3}\right)}^{1/p}.$

missä arvolla $p=1,6075$ saadaan suhteellinen virhe, joka on korkeintaan 1,061 % (Knud Thomsenin kaava); arvo p = 8/5 = 1,6 on optimaalinen lähes pallomaisille ellipsoideille, suhteellinen virhe on tällöin korkeintaan 1,178 % (David W. Cantrellin kaava).