Beta-jakauma

Malline:Todennäköisyysjakauma Beta-jakauma eli $\beta -$jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.

Jos satunnaismuuttuja $X$ on Beta-jakautunut parametreillä $\alpha$ ja $\beta$, merkitään se yleensä

$X\sim Beta(\alpha ,\beta )$ $\sim Be(\alpha ,\beta )$ $\sim {\beta }_{\alpha ,\beta }.$

Todennäköisyysjakauma

Satunnaismuuttujalla $X$, joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on $\mathrm{\Omega }=$[0,1], on kaksi positiivista parametria $\alpha$ ja $\beta$. Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään

$f_X(x)=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1},$

missä niin sanottu beta-funktio on

$B(\alpha ,\beta )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )},$

jossa $\mathrm{\Gamma }(t)$ taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.

Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi (${\alpha }^{\prime }=\alpha -1$ ja ${\beta }^{\prime }=\beta -1$), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.

Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:

• $f_X(x)>0$ kaikilla $x\in [0,1]$
• Jos $\alpha >1$ ja $\beta =1$, niin $f_X(x)$ on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä $x=1.$
• Jos $\alpha =1$ ja $\beta >1$, niin $f_X(x)$ on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä $x=0.$
• Jos $\alpha >1$ ja $\beta >1$, niin $f_X(x)$ on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä $x=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}.$
• Jos $\alpha <1$ ja $\beta <1$, niin $f_X(x)$ on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä $x=0$ ja $x=1.$
• $f_X(x)$ on symmetrinen, jos $\alpha =\beta .$

Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.

Tunnusluvut ja momentit

Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

$M(t)=E(e^{tX})=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{tx}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx.$

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on

${\mu }_n=E(X^n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha +n)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n)\mathrm{\Gamma }(\alpha )},$

ja koska gammafunktiolla on $\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )$, siitä saadaan ensimmäiset momentit

$E(X)=E(X^1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +1)\mathrm{\Gamma }(\alpha )}=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )}{(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha )}=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$

ja

$E(X^2)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha +2)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +2)\mathrm{\Gamma }(\alpha )}=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )(\alpha +1)\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )}{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha )}=\frac{\alpha (\alpha +1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)}.$

Keskusmomenttien yleinen muoto on

$\mu {\text{'}}_n=E((X-\mu {)}^n)={(-\frac{\alpha }{\alpha +\beta })}^n\cdot {}_2{F}_1(\alpha ,-n;\alpha +\beta ;\frac{\alpha +\beta }{\alpha }),$

missä ${}_2{F}_1$ on hypergeometrinen funktio.

Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan

$\mu =E(X)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f}_X(x)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx$

$=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha }(1-x{)}^{\beta -1}dx=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}B(\alpha +1,\beta )$

$=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +1)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}=\frac{\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{(\alpha +\beta )\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }.$

Tunnuslukuja

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

$\mu =\mathrm{E}(X)=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }.$

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

$\mu {\text{'}}_2=\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}.$

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

$g_1=\frac{\mu {\text{'}}_3}{{{\mu }^{\prime }}_2^{3/2}}=\frac{2(\beta -\alpha )\sqrt{\alpha +\beta +1}}{(\alpha +\beta +2)\sqrt{\alpha \beta }}.$

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

${\gamma }_2=\frac{{{\mu }^{\prime }}_4}{{{\mu }^{\prime }}_2^2}-3=\frac{6[{\alpha }^3+{\alpha }^2(1-2\beta )+{\beta }^2(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}.$

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun $\alpha >1$ ja $\beta >1$

$Mo=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}.$

Jos $\alpha <1$ tai $\beta <1$ voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun $\alpha =\beta =1$ on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.

Esimerkkejä

Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä $p$ ja $1-p$. Heittojen kokonaismäärän ollessa $n=100$, noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät $X$ binomijakaumaa $X\sim Bin(100,p)$. Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä $p$, kun saadaan $k=60$ "kruunaa", on se Beta-jakautunut $p\sim Beta(61,41)$.

Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään

$p\sim Beta(k+1,n-k+1).$

Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä $n$ on pieni ja suhde $k/n$ on lähellä arvoa 0 tai 1.

Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.

Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien $U_i\sim U(0,1)$ arvoja. Arvotaan n satunnaismuuttujalle $U_i$ arvot $U_1,$ $U_2$ $,...,$ $U_n$. Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla $U_{(i)},$ kun se on järjestyksessä i:nnes. (eli $U_{(1)}$ < $U_{(2)}$ < ... < $U_{(n)}$). Silloin arvo $U_{(k)}\sim Beta(k,n+1-k)$ kun $k=1,2,...,n$.

Muut jakaumat

Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi

$X\sim Beta(1,1)\sim U(0,1).$

Aiheesta muualla

• https://noppa.aalto.fi/noppa/kurssi/mat-1.3621/luennot/Mat-1_3621_todennakoisyyslaskennan_kertausta_.pdfMalline:Vanhentunut linkki
• http://doingbayesiandataanalysis.blogspot.fi/2012/06/beta-distribution-parameterized-by-mode.html
• http://users.iems.northwestern.edu/~ajit/beta.pdf
• http://www.epixanalytics.com/modelassist/CrystalBall/Model_Assist.htm#Distributions/Continuous_distributions/Beta.htm Malline:Wayback