Perhoslause

Perhoslause on klassinen euklidisen geometrian tulos, joka voidaan määritellä seuraavasti:

Piirretään ympyrälle mielivaltainen jänne PQ ja merkitään sen keskipistettä M. Piirretään sitten ympyrälle jänteet AB ja CD siten, että ne kulkevat pisteen M kautta. Muodostetaan janat AD ja BC. Merkitään janojen AD ja PQ leikkauspistettä X ja janojen BC ja PQ leikkauspistettä Y. Nyt M on myös janan XY keskipiste, eli XM=MY

Todistus:

Piirretään pisteestä $X$ normaalit $X{X}^{\prime }$ ja $X{X}^{″}$ janoille $AM$ ja $DM$. Vastaavasti piirretään pisteestä $Y$ normaalit $Y{Y}^{\prime }$ ja $Y{Y}^{″}$ janoille $BM$ ja $CM.$

Saamme

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime },$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }},$

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″},$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″},$

$\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY},$

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime },$

$\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }}=\frac{DX}{BY},$

Edellisistä yhtälöistä nähdään, että

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$=\frac{AX.DX}{CY.BY},$

$=\frac{PX.QX}{PY.QY},$

$=\frac{(PM-XM).(MQ+XM)}{(PM+MY).(QM-MY)},$

$=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2},$

Koska $PM$ = $MQ$,

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}.$

Josta saadaan, että $MX=MY.$

Lähteet

• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967.

Aiheesta muualla

• The Butterfly Theorem
• A Better Butterfly Theorem
• Proof of Butterfly Theorem
• The Butterfly Theorem
• Butterfly Theorem