Arkhimedeen lause

Reaaliluvun B ja kokonaisluvun A suuruudet on ilmaistu janan pituuksilla. Kokonaisluvun A moninkerrat ovat myös kokonaislukuja, joten latomalla peräkkäin lukujen A janoja saadaan lopulta niin pitkä kokonaisluvun nA jana, että se on pitempi jana (luku) kuin reaaliluvun B jana eli lukuina ilmaistuna nA > B.

Reaalilukuja koskevan Arkhimedeen lauseen mukaan jokaista reaalilukua r kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku k siten, että

$k>r$.

Todistus

Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla $E$ ja jotain sen ylärajaa symbolilla $B$, ja määritellään $E=:\{m\in \mathbb{N}\mid m\le B\}$. Koska joukko $E$ on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman nojalla pienin yläraja eli supremum, $G=:\sup E$. Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon $E$ alkio $h$ siten että $G-1/2<h$. Tällöin $h$ on joukon $E$ maksimi. Mikäli $h$ ei olisi maksimi, niin olisi olemassa kokonaisluku $i\in E$ siten, että $G<h+1\le i$. Tämä on ristiriita, koska $j\le G$ kaikilla $j\in E$. Täten siis $h$ on joukon $E$ maksimi.

Mikäli $r\le 0$, niin 1 on (triviaalisti) haluttu luku $k$. Oletetaan siis, että $r>0$. Olkoon nyt joukko $S=:\{l\in \mathbb{N}\mid l\le r\}$, jolloin $S$ on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen nojalla joukolla $S$ on maksimi. Merkitään $W=:maxS$ ja valitaan $k=:W+1$. Nyt $k$ ei voi kuulua $S$:ään, joten $k>r$.

Arkhimedeen lauseen korollaari: jokaista positiivista reaalilukua $z$ kohtaan on olemassa luonnollinen luku $n$ siten, että $z>1/n$.

Todistus

Olkoon $z>0$ reaaliluku. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku $n$ siten, että $n>1/z$, mikä on yhtäpitävää epäyhtälön $z>1/n$ kanssa.

Seurauslauseita

Kahden erisuuren reaaliluvun $a,b\in ℝ$ välissä on aina rationaaliluku $r$ ja irrationaaliluku $i$ ja molempia vieläpä äärettömän monta eli $a<i<r<b$.

Todistus

Merkitään $x=:b-a$. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku $n$ siten, että $x>\frac{1}{n}>0$. Joukolla $E=:\{k\in \mathbb{Z}\mid k\ge nb\}$ on olemassa minimiarvo. Merkitään $p=\min E$. Nyt $p-1$ ei kuulu joukkoon $E$ ja pätee $p-1<nb$, joka on yhtäpitävää epäyhtälön $\frac{p-1}{n}<b$ kanssa. Pätee myös $\frac{p}{n}\ge b⟹\frac{p}{n}-x\ge b-x=a$, joten $\frac{p}{n}-\frac{1}{n}>\frac{p}{n}-x\ge a$. Täten $b>\frac{p-1}{n}>a$ ja $r=:\frac{p-1}{n}$ on etsitty rationaaliluku.

Osoitetaan, että tällaisia rationaalilukuja on olemassa äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään halutunlaisia lukuja mikä tahansa lukumäärä $m\in \mathbb{N}$.

Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku $r_1\in \mathbb{Q}$ siten, että $b>r_1>a$.

Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon $b>r>a$, jossa $r\in \mathbb{Q}$, on olemassa $m-1$ määrä. Tosin sanoen pätee $b>r_{m-1}>r_{m-2}\dots r_1>a$.

Induktioaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku $r_m\in \mathbb{Q}$ siten, että $b>r_m>r_{m-1}>a$.

Täten haluttuja lukuja löydetään $m$ määrä valittiinpa tämä luku miten suureksi tahansa, sillä nyt pätee $b>r_m>r_{m-1}>r_{m-1}>r_{m-2}\dots >r_1>a$.

Etsitään seuraavaksi lukujen $a$ ja $b$ välistä irrationaaliluku:

Tämä voidaan tehdä monella tavalla. Esimerkiksi edellä todistetun lauseen nojalla löydetään rationaaliluvut $r_a\in \mathbb{Q}$ ja $r_b\in \mathbb{Q}$ siten, että $b>r_b>r_a>a$. Merkitään $s=:r_b-r_a$ eli $s\in \mathbb{Q}$. Nyt ilmiselvästi pätee $b>r_b>r_a+\frac{s}{\sqrt{2}}>r_a>a$ ja $r_a+\frac{s}{\sqrt{2}}$ on irrationaaliluku. Yllä olevan kaltaisella induktiolla osoitetaan, että halutunlaisia irrationaalilukuja on olemassa ääretön määrä.

Katso myös

• Täydellisyysaksiooma
• Yläraja