Q-analogia

q-analogia on matematiikan osa-alue, joka muistuttaa tavallista analyysiä, mutta perustuu hieman erilaiseen määritelmään. q-analogiassa saadaan monia normaalia tutunnäköisiä tuloksia, mutta tavallisten funktioiden q-analogioiden ominaisuudet ovat yleensä hieman totutusta poikkeavia. q-analogiassa keskeinen suure on kompleksiluku q, joka valitaan siten, että $|q|<1$.

Eulerin–Jacksonin operaattori eli q-derivaatta on eräs tapa määritellä derivaatan diskreetti vastine. q-derivaatta, joka operoi funktioon f(x), määritellään erotusosamääränä

$D_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}$.

Helposti nähdään, että kun tässä $q\to 1$ niin q-derivaatan määritelmä lähestyy tavallisen derivaatan määritelmää.

Tämän q-derivaatan avulla voidaan määritellä differentiaaliyhtälöiden diskreettejä vastineita, q-differenssiyhtälöitä. Tällaisen yhtälön yleinen muoto on

$F(y(z),y(qz),\dots ,y(q^{k}z);q,z)=0$,

missä z ja q ovat kompleksilukuja. Kun derivaatan lisäksi määritellään vielä q-siirto -operaattori

$T_q^{n}f(x)=f(q^{n}x)$

saadaan määriteltyä kokonainen q-derivaattaan perustuva analyysin vastine.

Usein vastaantulevia merkintöjä ovat nk. q-sulkeet

$[n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}$

sekä q-kertoma

$[n{]}_q!=[1{]}_q[2{]}_q\dots [n{]}_q$

joiden avulla kirjoitettuna q-analogian lausekkeet muistuttavat normaalin analyysin vastaavia. Erityisesti kannattaa huomata, että

$\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n$,

joten q-kertoma on täsmälleen analoginen tavallisen kertoman kanssa.