Lähdekoodi sivulle Yhdeksän pisteen ympyrä

[[Kuva:Nine-point circle.svg|right|Yhdeksän pisteen ympyrä]]
'''Yhdeksän pisteen ympyrä''' <ref name=ml_euler40/> eli '''Eulerin ympyrä''' eli '''Feuerbachin ympyrä''' tarkoittavat [[geometria]]ssa samaa [[kolmio]]on liittyvää ympyrää. Ympyrän nimi juontaa juurensa siitä, että yleisen kolmion kolme pisteryhmää sijaitsevat ympyrän kehällä. Kehäpisteinä ovat kolme [[korkeusjana|korkeusjanojen]] [[kantapiste]]ttä (kuvassa G, H ja I), kolme kolmion sivujen [[janan keskipiste|keskipistettä]] (D, E ja F) ja kolme  [[ortokeskus|ortokeskuksen]] ja kolmion kärjen välisen janan keskipistettä (J, K ja L, {{k-en|Euler points}}). Vaikka kehältä on löydetty vielä lisää pisteitä, on nimitys säilynyt samana.<ref name=NinePointCircle/>

== Ympyrän nimitys ==
Suomalaisen nimityksen vakiintumattomuus saattaa johtua kansainvälisen nimitystavan kirjavuudesta, sillä eri maissa käytetään pääsääntöisesti kolmea nimeä. Ympyrän pisteitä ovat tutkineet monet, mutta [[Leonhard Euler]]ia ja [[Karl Wilhelm Feuerbach]]ia on kunnioitettu kutsumalla ympyrää heidän nimellään. Muun muassa seuraavia nimityksiä on käytössä: {{k-fr|Cercle d'Euler}}, {{k-pt| círculo de Euler}}, {{k-de|Feuerbachkreis}}, {{k-hu|Feuerbach-kör}}, {{k-it|Cerchio di Feuerbach}}, {{k-es|Circunferencia de los nueve puntos}}, {{k-en|Nine-point circle}}, {{k-nl|Negenpuntscirkel}}, {{k-no|Nipunktsirkel}}, {{k-ru|Окружность девяти точек}} ja {{k-pl|Okrąg dziewięciu punktów}}.

== Ympyrän ominaisuuksia ==
Ympyrän [[säde (geometria)|säde]] '''R<sub>N</sub>''' on puolet [[kolmion ympäri piirretty ympyrä|kolmiota ympäröivän ympyrän]] säteestä
:<math>R_N=\tfrac{1}{2} R</math>. Ympyrä myös puolittaa kaikki janat ortokeskuksesta kolmiota ympäröivälle ympyrälle.<ref name=NinePointCircle/>

Yhdeksän pisteen ympyrä ympäröi [[ortokolmio]]ta ja [[keskinen kolmio|keskistä kolmiota]].<ref name=ck_11/>

Yhdeksän pisteen ympyrä sivuaa [[kolmion sisään piirretty ympyrä|kolmion sisään piirrettyä ympyrää]] sisäpuolisesti [[Feuerbachin piste]]essä. Ympyrä sivuaa myös kaikkia kolmea ulkokeskusympyrää ulkoisesti. Tämän Feuerbach todisti ja tulos tunnetaan myös ''Feuerbachin teoreemana''.<ref name=FeuerbachsTheorem/> Näistä ulkoisista sivuamispisteistä muodostuu niin sanottu [[Feuerbachin kolmio]].<ref name=NinePointCircle/><ref name=FeuerbachTriangle/>

== Pisteet ympyrän kehällä ==
Ympyrän kehältä tunnetaan muun muassa seuraavia pisteitä:
* Korkeusjanojen kantapisteet (3 kappaletta)<ref name=NinePointCircle/>
* Kolmion sivujen keskipisteet (3 kappaletta)<ref name=NinePointCircle/>
* Ortokeskuksen ja kolmion kärjet yhdistävien janojen keskipisteet ({{k-en|Euler points}}, 3 kappaletta)<ref name=NinePointCircle/><ref name=EulerPoints/>
* Kolmion sivuja ja sivujanoja ulkoisesti sivuavien ulkoympyröiden ulkoiset sivuamispisteet (3 kappaletta)<ref name=pen76/>
* [[Feuerbachin piste]] (<math>\scriptstyle X_{11}</math>)<ref name=FeuerbachPoint/><ref name=pen76/>
* Merkitsemällä kirjaimella '''H''' ortokeskusta ja kirjaimilla '''A, B''' ja '''C''' kolmion kärkiä, voidaan osoittaa, että referenssikolmion yhdeksän pisteen ympyrä on myös kolmioiden <math>\scriptstyle \triangle AHB</math>, <math>\scriptstyle \triangle BHC</math> ja <math>\scriptstyle \triangle CHA</math> yhdeksän pisteen ympyrä. Se sivuaa myös sisä- ja ulkopuolelta näiden kolmen kolmioiden sisään ja viereen piirrettyjä ympyröitä (3×4 = 12 kappaletta).<ref name=pen76/>
* [[Fermat'n pisteet|Fermat'n pisteiden]] ('''X''' = <math>\scriptstyle X_{13}</math>) ja ('''X'''' = <math>\scriptstyle X_{14}</math>) välinen keskipiste.<ref name=NinePointCircle/>

== Ympyrän keskipiste X<sub>5</sub>==
Ympyrän keskipistettä kutsutaan kuvailevasti '''yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteeksi''' ({{k-en|nine-point center}}) ja se on luetteloitu [[kolmion merkilliset pisteet|Kimberlingin merkillisten pisteiden ensyklopediaan]] tunnuksella <math>\scriptstyle X_5</math>. Piirroksissa se merkitään usein myös tunnuksella '''N''' tai '''F'''.<ref name=NinePointCircle/><ref name=NinePointCenter/>

Pisteen [[trilineaariset koordinaatit]] ovat
:<math>\cos(\beta - \gamma):\cos(\gamma - \alpha):\cos(\alpha - \beta)</math>
::<math>= (\cos \alpha + 2\cos \beta \cos \gamma):(\cos \beta + 2\cos \gamma \cos \alpha):(\cos \gamma + 2\cos \alpha \cos \beta)</math>
::<math>= bc[a^2b^2+a^2c^2+(b^2-c^2)^2]:ca[b^2c^2+b^2a^2+(c^2-a^2)^2]:ab[c^2a^2+c^2b^2+(a^2-b^2)^2]</math><ref name=NinePointCenter/><ref name=ck_5/>

Pisteen [[barysentriset koordinaatit]] ovat
:<math>a\cos(\beta - \gamma):b\cos(\gamma - \alpha):c\cos(\alpha - \beta)</math>
::<math>= [a^2b^2+a^2c^2+(b^2-c^2)^2]:[b^2c^2+b^2a^2+(c^2-a^2)^2]:[c^2a^2+c^2b^2+(a^2-b^2)^2]</math> <ref name=ck_5/>

Keskipiste sijaitsee kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen ja ortokeskuksen puolivälissä eli <math>\scriptstyle ON \, : \, NH = 1 \, : \, 1</math>. Se toteuttaa myös yhtälön<ref name=NinePointCenter/>
:<math>AN^2+BN^2+CN^2=3R^2-ON^2,</math>
missä '''R''' on kolmion ympäri piiretyn ympyrän säde.

Keskipiste on eräs [[Eulerin suora]]n pisteitä ja samalla myös [[Steinerin ympyrä]]n keskipiste.<ref name=NinePointCenter/>

Keskipisteen [[isogonaalinen konjugaatti]] on <math>\scriptstyle X_{54}</math>.<ref name=ck_5/>

== Feuerbachin piste X<sub>11</sub>==
Feuerbachin piste on yhdeksän pisteen ympyrän ja kolmion sisään piirretyn ympyrän sivuamispiste. Se on luetteloitu Kimbergingin merkillisten pisteiden ensyklopediaan tunnuksella <math>\scriptstyle X_{11}</math>.<ref name=FeuerbachPoint/>

Pisteen [[trilineaariset koordinaatit]] ovat
:<math>(1- \cos (\beta - \gamma)):(1- \cos (\gamma - \alpha)):(1- \cos (\alpha - \beta))</math> <ref name=FeuerbachPoint/>
::<math>= \sin^2(\beta-\gamma):\sin^2(\gamma - \alpha):\sin^2(\alpha-\beta)</math>
::<math>= (bc(b+c-a)(b-c)^2):(ca(c+a-b)(c-a)^2):(ab(a+b-c)(a-b)^2)</math>.<ref name=ck_11/>

[[Barysentriset koordinaatit]] ovat
:<math>a(1-\cos (\beta-\gamma)):b(1-\cos (\gamma-\alpha)):b(1-\cos (\alpha-\beta))</math>
::<math>= (b+c-a)(b-c)^2:(c+a-b)(c-a)^2:(a+b-c)(a-b)^2</math>.<ref name=ck_11/>

Etäisyydet Feuerbachin pisteestä kolmion sivujen keskipisteisiin täyttää aina ehdon, jossa pisin etäisyys on kahden lyhyemmän summa.<ref name=FeuerbachPoint/>

Feuerbachin piste sijaitsee kolmion sisään piirretyn ympyrän sivuamispisteessä, joten etäisyys sen keskipisteestä I on sen säde.<ref name=FeuerbachPoint/>

Feuerbachin pisteen isogonaalinen konjugaatti on <math>\scriptstyle X_{59}</math>.<ref name=ck_11/>

== Historia ==
Euler osoitti vuonna 1765, että korkeusjanojen kantapisteiden lisäksi ympyrä kulkee myös sivujen keskipisteiden kautta. Feuerbach osoitti, että edellisten kuuden pisteen lisäksi ympyrä kulkee myös jokaisen korkeusjanan ortopisteen ja kantapisteen välisen janan keskipisteen kautta ({{k-en|Euler's points}}). Feuerbachin teoreemana tunnettu tulos nimesi pisteiden lukumääräksi yhdeksän. Feuerbachin teoreemana tunnetaan myös toinen tulos, jossa yhdeksän pisteen ympyrä sivuaa kolmion sisälle piirrettyä ympyrää sisäpuolisesti ja kolmion viereen piirrettyjä ympyröitä ulkopuolisesti. Tämä tulos julkaistiin vuonna 1822. Vasta tämän tuloksen jälkeen voitiin puhua yhdeksän pisteen ympyrästä.<ref name=FeuerbachsTheorem/>

Vaikka nimekkäät tutkijat ovatkin saaneet nimensä ympyrän nimeksi, oli ajatus käynyt monen muunkin mielessä vuosia aiemmin. Vuonna 1804 eräs tuntematon englantilainen Benjamin Bevan ehdotti samantapaista probleemaa. Muutama vuosi myöhemmin, vuonna 1821, Charles-Julien Brianchon (1783−1864) ja Jean-Victor Poncelet (1788−1867) julkaisivat (Gergonnen Annales'issa) saman teoreeman.<ref name=pen158/><ref name=boyer750/>

== Lähteet ==
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=pen76>{{Kirjaviite| Nimeke = The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | Julkaisija = Penguin Group | Vuosi = 1991| Tekijä = Wells, David | Sivut =76 | Julkaisupaikka = Englanti | Isbn =0-14-011813-6 | Viitattu =10.5.2013 | Kieli = {{en}} }}</ref>

* <ref name=pen158>{{Kirjaviite| Nimeke = The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | Julkaisija = Penguin Group | Vuosi = 1991| Tekijä = Wells, David | Sivut =158| Julkaisupaikka = Englanti | Isbn =0-14-011813-6 | Viitattu =10.5.2013 | Kieli = {{en}} }}</ref>

* <ref name=NinePointCircle>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Nine-PointCircle.html | Nimeke = Nine-Point Circle | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

* <ref name=NinePointCenter>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Nine-PointCenter.html | Nimeke = Nine-Point Center | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

* <ref name=FeuerbachPoint>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/FeuerbachPoint.html | Nimeke = Feuerbach Point | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

* <ref name=EulerPoints>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/EulerPoints.html | Nimeke = Euler Points | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

* <ref name=FeuerbachsTheorem>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/FeuerbachsTheorem.html | Nimeke = Feuerbach's Theorem | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

* <ref name=FeuerbachTriangle>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/FeuerbachTriangle.html | Nimeke = Feuerbach Triangle | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>

* <ref name=ml_euler40>Lehtinen, Matti: [http://www.elisanet.fi/matti.t.lehtinen/Geom2011.pdf Geometrian perusteita] {{Wayback|1=http://www.elisanet.fi/matti.t.lehtinen/Geom2011.pdf |päiväys=20160304115149 }}, s.40, 2011</ref>

* <ref name=ck_11>Kimberling, Clark: [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X11 Feuerbach's point]</ref>

* <ref name=ck_5>Kimberling, Clark: [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X5 Feuerbach's point]</ref>

* <ref name=boyer750>{{Kirjaviite | Tekijä=Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.| Nimeke=Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II | Suomentaja=Kimmo Pietiläinen | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Art House | Vuosi=1994 | Sivut= 750–751 | ISBN = 951-884-158-6}}
</ref>
}}

[[Luokka:Geometria]]