Lähdekoodi sivulle Venn-diagrammi

[[Tiedosto:Venn-stainedglass-gonville-caius.jpg|thumb|220px|Venn vietti suuren osan elämästään [[Cambridgen yliopisto]]n [[Gonville and Caius College]]ssa, jonka ruokasalin ikkunaan on myöhemmin hänen muistokseen koristeltu Venn-diagrammi.]]
[[Tiedosto:Venn diagram gr la ru.svg|thumb|Venn-diagrammi, joka osoittaa, mitkä isot kirjaimet ovat samannäköisiä [[latinalaiset aakkoset|latinalaisissa]], [[kreikkalaiset aakkoset|kreikkalaisissa]] ja [[kyrilliset aakkoset|kyrillisissä]] kirjaimistoissa. Alin ympyrä sisältää kyrilliset, ylemmistä ympyröistä vasemmanpuoleinen kreikkalaiset ja oikeanpuoleinen latinalaiset kirjaimet.]]

'''Venn-diagrammi''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[joukko-oppi|joukko-opissa]] käytettävä [[diagrammi]]. Sen kehitti filosofi ja matemaatikko [[John Venn]] vuonna 1881. Venn-diagrammi kuvaa matemaattiset tai loogiset suhteet joukkojen välillä, ja sillä voidaan esittää joukkojen väliset operaatiot. Normaalisti joukkoja kuvataan [[ympyrä|ympyröillä]], jotka usein leikkaavat toisiaan. Jos joukkoja on enemmän kuin kolme, käytetään yleensä muitakin kuvioita kuin ympyröitä.

Venn-diagrammeja käytetään havainnollistamaan eri joukkojen tai käsitteiden välisiä suhteita, paitsi [[joukko-oppi|joukko-opin]] alkeiden opetuksessa, myös [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]], [[logiikka|logiikassa]], [[tilastotiede|tilastotieteessä]], [[kielitiede|kielitieteessä]] ja [[tietojenkäsittelyoppi|tietojenkäsittelyopissa]].

== Esimerkki ==
[[Tiedosto:Venn-diagram-AB.png|left|Joukot A ja B.]]

Kuvan esimerkissä näkyy [[joukko|joukot]] A ja B värillisinä ympyröinä. Oranssi ympyrä, joukko A, voi käsittää esimerkiksi kaikki kaksijalkaiset elävät olennot, sininen ympyrä, joukko B taas kaikki lentävät eläimet. Jokaista elävää olento voidaan ajatella vastaavan piste jossakin kohdassa diagrammeja. Kaksijalkaiset lentokykyiset eläimet, kuten useimmat [[linnut]] kuuluvat molempiin joukkoihin, joten niitä vastaavat pisteet sijaitsevat molempien ympyröiden yhteisellä alueella. Sinne sijoittuvat siis kaikki eläimet, joilla on kaksi jalkaa ja jotka voivat lentää, ja vain ne.

Ihmiset ja [[pingviinit]] ovat myös kaksijalkaisia ja kuuluvat näin ollen oranssiin ympyrään, mutta koska ne eivät voi lentää, ne sijoittuvat oranssin ympyrän vasemmanpuoleiseen osaan, joka jää sinisen ympyrän ulkopuolelle. [[Sääsket]] lentävät, mutta niillä on kuusi jalkaa, joten niitä vastaavat pisteet sijoittuvat siihen osaan sinistä ympyrää, joka jää oranssin ympyrän ulkopuolelle. Eläimet, jotka eivät ole kaksijalkaisia eivätkä lennä, esimerkiksi [[valaat]] ja [[hämähäkit]], sijoittuvat molempien ympyröiden ulkopuolelle.

Aluetta, jonka muodostavat joukot A ja B yhdessä, sanotaan näiden joukkojen [[Yhdiste (matematiikka)|unioniksi]] ja merkitään A ∪ B. Tässä tapauksessa joukkojen unioniin kuuluvat kaikki elävät olennot, jotka ovat kaksijalkaisia tai voivat lentää, mukaan luettuna nekin, jotka täyttävät molemmat ehdot.

Sitä aluetta, jossa joukot A ja B ovat päällekkäisiä, sanotaan näiden leikkaukseksi ja merkitään A ∩ B. Tässä tapauksessa leikkaus ei ole [[tyhjä joukko]], koska on pisteitä, jotka kuuluvat molempiin joukkoihin.

Joskus diagrammin ympärille piirretään nelikulmio, joka kuvaa universaalia perusjoukkoa. Tähän joukkoon kuuluu joukkojen A ja B lisäksi kaikki muut objektit tai asiat. Niiden laajuus riippuu otosavaruuden määritelmästä kyseisessä diagrammissa.

==Historia==
Venn-diagrammit otti käyttöön [[John Venn]] (1834–1923) aikakauskirjassa ''Philosophical Magazine and Journal of Science'' vuonna 1880 julkaisemassaan tutkielmassa ''On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings''.<ref name=Venn1880>{{lehtiviite | Kirjoittaja = John Venn | Otsikko = On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings | Julkaisu = Philosophical Magazine and Journal of Science | Vuosikerta = 10 | Numero = 59 | Vuosi = 1880 | Sivut = 1–18}}</ref><ref name=Sandifer2003>{{verkkoviite | Osoite = http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2003%20Venn%20Diagrams.pdf | Nimeke = How Euler Did It | Julkaisija = Ed Sandifer, The Mathematical Association of America: MAA Online, kopio [[Internet archive]]ssa | Tiedostomuoto = PDF | viitattu = 20.4.2015 | arkisto = https://web.archive.org/web/20040102052341/http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2003%20Venn%20Diagrams.pdf | arkistoitu = 2.1.2004 }}</ref>

Venn itse nimitti näitä kaavioita [[Eulerin diagrammit|Eulerin ympyröiksi]] ({{k-en|Euler’s circles}})<ref name=Venn1880b>{{lehtiviite | Kirjoittaja = John Venn | Otsikko = On the employment of geometrical diagrams for the sensible representations of logical propositions | Julkaisu = Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | Vuosikerta = 4 | Vuosi = 1880 | Sivut = 47–59 | www = https://archive.org/stream/proceedingsofcam4188083camb#page/50/mode/1up}}</ref> koska [[Leonhard Euler]] oli jo yli sata vuotta aikaisemmin havainnollistanut loogisia [[syllogismi|syllogismeja]] oleellisesti samankaltaisilla kaavioilla teoksessaan ''[[Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta]]''.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Leonhard Euler | Nimeke = Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta | Sivut = 146-156, 227 | Selite = Kaaviot sivuilla 146-156, 102.-105.), suomentajan huomautus 2. osan lopussa sivulla 227 | Suomentaja = Johan Stén | Julkaisija = Johan Stén | Vuosi = 2007 (alkuteos 1761) | Tunniste = | Isbn = 978-952-92-1711-3}}</ref> Nimitystä Venn-diagrammi käytti ensimmäisenä [[Clarence Irving Lewis]] vuonna 1918 teoksessaan "A Survey of Symbolic Logic".<ref name=Ruskey2005>{{lehtiviite | Kirjoittaja = F. Ruskey M. Weston | Otsikko = Venn Diagram Survey | Julkaisu = The electronic journal of combinatorics | Ajankohta = kesäkuu 2005 | www = http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennJohnEJC.html}}</ref>

Myöhemmin Ruskey ja M. Weston ovat huomauttaneet, että näiden [[muodollinen logiikka|muodollisessa logiikassa]] käytettävien diagrammien alkuperä ei ole helposti jäljitettävissä, mutta on varmaa, että niitä on käytetty kauan ennen Venniä. Heidän mukaansa nimitys Venn-diagrammi on kuitenkin oikeutettu, koska Venn teki niistä laajan yleiskatsauksen, formalisoi niiden käytön ja käytti eräitä niiden yleistyksiä ensimmäisenä.<ref name=Ruskey2005 /> M. E. Baron on todennut, että kauan ennen Euleria, jo 1200-luvulla, samantyyppisiä diagrammeja oli käyttänyt [[Ramon Llull]] sekä myöhemmin [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646–1716), joskaan ei julkaisuissa teoksissaan.<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = Baron, M. E. | Otsikko = A Note on The Historical Development of Logic Diagrams | Julkaisu = The Mathematical Gazette | Vuosikerta = 53 | Numero = 384 | Ajankohta = toukokuu 1989 | doi=10.2307/3614533 |issn = 0025-5572 }}</ref>

Venn-diagrammeja kehitettiin edelleen 1900-luvulla. Vuonna 1963 D. W. Henderson osoitti, että ''n'' joukkoa kuvaava 
[[Symmetria#pyörähdyssymmetria|pyörähdyssymmetrinen]] Venn-diagrammi voi olla olemassa vain, jos ''n'' on alkuluku.<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = D. W. Henderson | Nimeke = Venn diagrams for more than four classes | Julkaisu = American Mathematical Monthly | Vuosikerta = 70 | Numero = 4 | Sivut = 424–426 | Ajankohta = huhtikuu 1963 | doi = 10.2307/2311865 }}</ref>  Hän osoitti myös, että sellaiset symmetriset Venn-diagrammit todella voidaan muodostaa 5 ja 7 joukolle. Vuonna 2001 Peter Hamburger löysi symmetrisen Venn-diagrammin 11 joukolle, ja vuonna 2003 Griggs, Killian ja Savage todistivat, että se on mahdollista aina, kun joukkojen lukumäärä ''n'' on alkuluku. Täten pyörähdyssymmetrinen Venn-diagrammi on olemassa, [[jos ja vain jos]] ''n'' on alkuluku.<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = Frank Ruskey, Carla D. Savage, Stan Wagon | Otsikko = The Search for Simple Symmetric Venn Diagrams | Julkaisu = Notices of the AMS | Ajankohta = joulukuu 2006 | Vuosikerta = 53 | Numero = 11 | Sivut = 1304–1311 | www = http://www.ams.org/notices/200611/fea-wagon.pdf | Tiedostomuoto = PDF}}</ref>

Kouluopetuksessa Venn-diagrammit ja Eulerin diagrammit tulivat käyttöön [[uusi matematiikka|uuden matematiikan]] yhteydessä 1960-luvulla, kun kouluissa alettiin opettaa [[joukko-oppi]]a. Myöhemmin niitä on alettu käyttää muidenkin aineiden, myös lukemisen opettamisessa.<ref>[http://www.readingquest.org/strat/venn.html Strategies for Reading Comprehension Venn Diagrams] {{Wayback|1=http://www.readingquest.org/strat/venn.html |päiväys=20090429093334 }}</ref>

==Yleiskatsaus==
<gallery>
Tiedosto:Venn0001.svg|Kahden joukon [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]]<br/><math>~A \cap B</math>
Tiedosto:Venn0111.svg|Kahden joukon [[unioni]] <br /><math>~A \cup B</math>
Tiedosto:Venn0110.svg|Kahden joukon [[symmetrinen erotus]]<math>A~\Delta~B</math>
Tiedosto:Venn0010.svg|Joukkojen A (vasemmalla) ja B (oikealla) [[joukkoerotus]]<br /><math>A^c \cap B~=~B \setminus A</math>
Tiedosto:Venn1010.svg|Joukon A [[komplementti]] perusjoukossa U<br/> <math>A^c~=~U \setminus A</math>
</gallery>
Venn-diagrammi muodostetaan piirtämällä tasolle yksinkertaisia suljettuja käyriä. Lewisin mukaan<ref name=Lewis1918>{{kirjaviite | Tekijä = Clarence Irving Lewis | Nimeke = A Survey of Symbolic Logic | Julkaisija = University of California Press | Julkaisupaikka = Berkeley | Vuosi = 1918}}</ref> näiden diagrammien periaatteena on, että [[joukko]]ja kuvataan alueilla siten, että jokaista mahdollisuutta kohti, jolla jokin alkio voi kuulua joihinkin näistä joukoista mutta ei välttämättä kaikkiin, vastaa jokin alue kaavioissa. Osa alueista voi olla tyhjiäkin, mikäli ei ole sellaista alkiota, joka kuuluisi vain tiettyihin joukkoihin mutta ei muihin.<ref>Lewis 1918, s. 157</ref>

Tavallisesti Venn-diagrammit muodostavat toisiaan leikkaavista [[ympyrä|ympyröistä]]. Ympyrän sisäpuolinen alue esittää symbolisesti sitä vastaavan joukon alkioita, ulkopuoli taas alkioita, jotka eivät kuulu kyseiseen joukkoon. Kahden joukon Venn-diagrammissa joukko A voisi esimerkiksi kuvata kaikkia puisia esineitä, toinen joukko B kaikkia pöytiä. Täten joukkojen [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]] A ∩ B kuvaa kaikkia puisia pöytiä. Siinä osassa ympyrää A, joka jää ympyrän B ulkopuolelle, ovat esimerkiksi puiset tuolit sekä kaikki muutkin puusta tehdyt esineet, jotka eivät ole pöytiä. Vastaavasti siinä osassa ympyrää B, joka jää ympyrän A ulkopuolelle, ovat muista materiaaleista kuin puusta valmistetut pöydät.  Jos joukkoja on enemmän kuin kolme, osaa niistä esittävät yleensä muut kuin ympyränmuotoiset alueet. Venn-diagrammit eivät yleensä sisällä tietoa joukkojen absoluuttisesta tai suhteellisesta suuruudesta eli [[kardinaliteetti|kardinaliteetista]], toisin sanoen ne ovat [[skemaattinen|skemaattisia]] diagrammeja.

Venn-diagrammit muistuttavat huomattavasti [[Eulerin diagrammi|Eulerin diagrammeja]].  Venn-diagrammi, jossa on ''n'' joukkoa, muodostetaan kuitenkin aina niin, että se käsittää kaikki 2<sup>''n''</sup> hypoteettista aluetta, jotka vastaavat kutakin sellaista tapaa, jolla alkio voi kuulua tai olla kuulumatta osaan näistä kuulumatta niihin kaikkiin. Eulerin diagrammeissa taas ympyrät piirretään siten, että jos joukkojen leikkauksista on [[tyhjä joukko|tyhjä]], vastaavat ympyrät ovat kokonaan toistensa ulkopuolella. Venn-diagrammissa varjostettu alue voi kuvata tyhjää joukkoa, kun taas Eulerin diagrammissa vastaavaa aluetta ei olekaan. Vastaavasti jos jokin joukoista on toisen [[osajoukko]], sitä kuvaava ympyrä piirretään Eulerin, mutta ei Venn-diagrammeissa kokonaan tätä laajempaa joukkoa kuvaavan ympyrän sisäpuolelle. Jos esimerkiksi yhden joukoista muodostavat kaikki maitotuotteet, toisen kaikki juustot, näitä joukkoja kuvaavassa Venn-diagrammissa on alueensa sellaisillekin juustoille, jotka eivät olisi maitotuotteita. Kun juustoilla kuitenkin tarkoitetaan vain tietyn tyyppisiä maitotuotteita, Eulerin diagrammissa juustoja vastaava ympyrä piirretään kokonaan maitotuotteita vastaavan ympyrän sisälle siten, että tällaisia olemattomia tuotteita (juustoja, jotka eivät ole maitotuotteita) vastaavaa aluetta ei lainkaan muodostu. Kun kuvattavien joukkojen lukumäärä kasvaa, Eulerin diagrammit ovat tämän vuoksi usein yksinkertaisempia kuin vastaavat Venn-diagrammit, varsinkin jos ei-tyhjien leikkausten lukumäärä on pieni.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.cs.kent.ac.uk/events/conf/2004/euler/eulerdiagrams.html | Nimeke = Euler Diagrams | Ajankohta = 22.-23.9.2004 | Julkaisija = Reasoning with Diagrams project, University of Kent | Viitattu = 14.4.2015}}</ref>

Ero Eulerin ja Venn-diagrammien välillä käy ilmi seuraavasta esimerkistä. Tarkastellaan kolmea joukkoa:

* <math>A = \{1,\, 2,\, 5\}</math>
* <math>B = \{1,\, 6\}</math>
* <math>C = \{4,\, 7\}</math>

Näiden joukkojen Venn- ja Euler-diagrammit ovat:

<gallery widths="300">
File:3-set Euler diagram.svg|Euler-diagrammi
File:3-set Venn diagram.svg|Venn-diagrammi
</gallery>

==Laajennukset useampaan joukkoon==

Venn-diagrammeissa kuvataan yleensä kaksi tai kolme joukkoa. Kun toisensa leikkaavien joukkojen määrä on suurempi, kuvasi Venn ne kolmen ympyrän lisäksi tietyllä määrällä lomittain kulkevia käyriä. Alla olevassa kaaviossa neljä toisensa leikkaavaa ympyrää muodostavat laajimman Venn-diagrammin, jolla on [[simpleksi]]n symmetria ja joka voidaan esittää visuaalisesti. Kaavion 16 leikkausta vastaavat [[tesserakti]]n särmiä.

{|class="wikitable" style="text-align:center; width: 100%;"
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 1000 0000 0000 0000.png|150px]]
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 0110 1000 1000 0000.png|150px]]<br />
[[File:Venn 0100 0000 0000 0000.png|37px]][[File:Venn 0010 0000 0000 0000.png|37px]][[File:Venn 0000 1000 0000 0000.png|37px]][[File:Venn 0000 0000 1000 0000.png|37px]]
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 0001 0110 0110 1000.png|150px]]<br />
[[File:Venn 0001 0000 0000 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0100 0000 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0010 0000 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0000 0100 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0000 0010 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0000 0000 1000.png|24px]]
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 0000 0001 0001 0110.png|150px]]<br />
[[File:Venn 0000 0001 0000 0000.png|37px]][[File:Venn 0000 0000 0001 0000.png|37px]][[File:Venn 0000 0000 0000 0100.png|37px]][[File:Venn 0000 0000 0000 0010.png|37px]]
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 0000 0000 0000 0001.png|150px]]
|}

Jos joukkoja on vielä enemmän, diagrammin symmetrian rikkoutumista ei voida välttää. Venn itse katsoi löytäneensä "itsessään elegantteja symmetrisiä kuvioita"<ref name="Venn1881">{{kirjaviite|Tekijä=John Venn | Nimeke = Symbolic logic| Julkaisija = Macmillan | Vuosi = 1881 | Sivu = 108 | www = http://books.google.com/books?id=nisCAAAAQAAJ&pg=PA108}}</ref>, jotka esittävät suurempaa määrää joukkoja, ja hän kehitti alla kuvatu neljän joukon diagrammin, jossa käytetään [[ellipsi|ellipsejä]]. Hän kehitti myös tavan muodostaa Venn-diagrammi kuinka monelle joukolle tahansa. Tällöin aloitetaan kolmen ympyrän muodostamasta kaaviosta, johon jokaista uutta joukkoa kohti lisätään uusi käyrä, joka leikkaa kaikki aikaisemmat.

<gallery>
Kuva:Venn3.svg|Vennin malli, kun joukkojen lukumäärä<br>n = 3
Kuva:Venn4.svg|n = 4
Kuva:Venn5.svg|n = 5
Kuva:Venn6.svg|n = 6
Kuva:Venn's four ellipse construction.svg|Ellipsejä käsittävä Venn-diagrammi 4 joukolle
Kuva:CirclesN4xb.svg|Tämä [[Eulerin diagrammi]] '''ei''' ole Venn-diagrammi, koska siinä on (ulkopuolta lukuun ottamatta) vain 13 aluetta; ei ole aluetta, jossa vain sininen ja keltainen tai vain punainen ja vihreä ympyrä kohtaisivat.
Kuva:Symmetrical 5-set Venn diagram.svg|[[Branko Grünbaum]]in muodostama viiden joukon Venn-diagrammi, joka muodostuu pyörähdyssymmetrisesti asetetuista yhtenevistä ellipseistä. Alueiden merkintäjä voidaan yksinkertaistaa, kun esimerkiksi A tarkoittaa aluetta '''A''' ∩ '''B'''<sup>c</sup> ∩ '''C'''<sup>c</sup> ∩ '''D'''<sup>c</sup> ∩ '''E'''<sup>c</sup>, vastaavasti '''BCE''' aluetta '''A'''<sup>c</sup> ∩ '''B''' ∩ '''C''' ∩ '''D'''<sup>c</sup> ∩ '''E'''
Kuva:6-set_Venn_diagram.svg|Pelkillä kolmiolla muodostettu Venn-diagrammi 6 joukolle.
</gallery>

===Edwardsin Venn-diagrammit===
<gallery widths=150px>
Kuva:Venn-three.svg| Kolme joukkoa.
Kuva:Edwards-Venn-four.svg| Neljä joukkoa.
Kuva:Edwards-Venn-five.svg| Viisi joukkoa.
Kuva:Edwards-Venn-six.svg| Kuusi joukkoa.
</gallery>
[[A. W. F. Edwards]] muodosti sarjan Venn-diagrammeja suuremmalle määrälle joukkoja jakamalla pallon pinnan segmentteihin. Esimerkiksi kolme aluetta voidaan helposti kuvata valitsemalla pallopinnalta kolme pallonpuoliskoa, joiden reunat leikkaavat toisensa kohtisuorasti (''x''&nbsp;=&nbsp;0, ''y''&nbsp;=&nbsp;0 and ''z''&nbsp;=&nbsp;0). 
Neljäs joukko voidaan lisätä kaavioon käyttämällä käyrää, joka muistuttaa tennispallon saumaa leikaten päiväntasaajan useita kertoja edestakaisin. Tuloksena saatavat joukot voidaan projisoida takaisin tasolle, jolloin saadaan yllä kuvatun kaltaiset, [[hammaspyörä|hammaspyöriä]] muistuttavat kaaviot. Niissä on silloin sitä enemmän hampaita, mitä enemmän kuvattavia joukkoja on. Tällaiset diagrammit kehitettiin, kun Vennin muistoksi suunniteltiin [[lasimaalaus|lasimaalauksella]] koristettua ikkunaa.

=== Muita diagrammeja ===

Edwardin Venn-diagrammit ovat [[homeomorfismi|topologisesti ekvivalentteja]] [[Branko Grünbaum]]in suunnittelemien diagrammien kanssa, jotka muodostuvat toisensa leikkaavista [[monikulmio]]ista, joissa on kasvava määrä sivuja. Ne ovat samalla [[hyperkuutio]]iden kaksiulotteisia kuvauksia.

[[Henry John Stephen Smith]] kehitti ''n'' joukolle samantapaiset diagrammit käyttämällä [[sinikäyrä|sinikäyriä]],<ref>{{kirjaviite | Tekijä = A. W. F. Edwards | Nimeke = Cogwheels of the Mind: The Story of Venn Diagrams |Sivu = 65 | Julkaisija = JHU Press | Vuosi = 2005 | Tunniste = | Isbn = 9780801874345 | www = http://books.google.com/books?id=7_0Thy4V3JIC&pg=PA65}}</ref> joiden yhtälöt muodostavat sarjan
: <math>y_i = \frac {\sin(2^{i }x)}{2 i} \text{ where } 0 \leq i \leq n-2 \text{ and } i \in \mathbb{N}. </math>

[[Lewis Carroll|Charles Lutwidge Dodgson]] muodosti myös oman diagramminsa viidelle joukolle.

==Venn-diagrammit ja totuustaulut==
[[Tiedosto:Venn3tab.svg|thumb|Venn-diagrammi totuustauluna]]
Venn-diagrammit vastaavat [[totuustaulu]]ja lauseille <math>x\in A</math>, <math>x\in B</math> jne. siinä mielessä, että jokaista Venn-diagrammin aluetta vastaa yksi totuustaulun rivi.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Grimaldi, Ralph P. | Nimeke = Discrete and combinatorial mathematics | Sivu = 143 | Julkaisija = Addison-Wesley | Julkaisupaikka = Boston | Vuosi = 2004 | Tunniste = | Isbn = 0-201-72634-3}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä =D. L. Johnson | Nimeke = Elements of logic via numbers and sets | Sivu = 62 | Julkaisija = Springer-Verlag | Vuosi = 2001 | Kirjasarja = Springer Undergraduate Mathematics Series | Luku = 3.3. Laws |ISBN= 3-540-76123-3 | www = http://books.google.com.au/books?id=8KtRMofBKc0C&lpg=PP1&pg=PA62 }}</ref> Toisen tavan havainnollistaa joukkoja muodostavat [[Randolphin diagrammi]]t.

{{käännös|:en:Venn diagram}}

== Lähteet ==
{{viitteet|sarakkeet}}

== Kirjallisuutta ==
* {{lehtiviite | Kirjoittaja = John Venn | Otsikko = On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings | Julkaisu = Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science | Vuosikerta = 59 | Numero = 9 | Sivut = 1–18 | Vuosi = 1880 | doi = 10.1080/14786448008626877}}
* {{kirjaviite | Tekijä=Lipschutz, Seymour | Nimeke=Set Theory and Related Topics | Julkaisija=McGraw-Hill | Vuosi=1964 | Isbn = 0-07-037986-6}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat|Venn diagrams}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Venn_diagram | Nimeke = Venn diagram | Julkaisija = Encyclopedia of Mathematics, Springer | Viitattu = 14.4.2015}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/VennDiagram.html | Nimeke = Venn Diagram | Julkaisija = MathWorld | Viitattu = 14.4.2015}}
* [http://sharif.ir/~emahmood/papers/Generalized-Venn-Diagram1987.pdf Generalized Venn Diagrams 1987] {{Wayback|1=http://sharif.ir/~emahmood/papers/Generalized-Venn-Diagram1987.pdf |päiväys=20170501202223 }} by E. S. Mahmoodian, with M. Rezaie and F. Vatan.
* [http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennEJC.html A Survey of Venn Diagrams] by F. Ruskey and M. Weston, is an extensive site with much recent research and many beautiful figures.
* [http://www.cut-the-knot.org/LewisCarroll/dunham.shtml Lewis Carroll's Logic Game – Venn vs. Euler] Cut-the-knot.org-sivustolla.
* [http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennEJC.html A Survey of Venn Diagrams]
* [http://www.technomancy.org/google-suggest-venn/ Generating Venn Diagrams to explore Google Suggest results]
* [http://moebio.com/research/sevensets seven sets interactive Venn diagram displaying color combinations]
* [http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennTriangleEJC.html six sets Venn diagrams made from triangles]
* [http://qandr.org/quentin/software/venn Postscript for 9-set Venn] {{Wayback|1=http://qandr.org/quentin/software/venn |päiväys=20141016002341 }} and more
* [http://best-excel-tutorial.com/56-charts/350-venn-diagram Venn diagram in Excel]

[[Luokka:Diagrammit]]
[[Luokka:Joukko-oppi]]