Lähdekoodi sivulle Vektori

{{Tämä artikkeli|käsittelee matemaattista käsitettä. Muita merkityksiä, katso [[Vektori (täsmennyssivu)]].}}
[[Tiedosto:vector from A to B.svg|thumb|Vektori <math>\mathbf \vec {a} </math> osoittaa A:sta B:hen]]
'''Vektori''' on [[Matematiikka|matematiikassa]], [[Fysiikka|fysiikassa]] ja [[Tekniikka|tekniikassa]] geometrinen malli, jota käytetään kuvaamaan [[suure]]ita, joilla on sekä suuruus että suunta. Vektoria kuvataan [[Jana (geometria)|janalla]], jonka toisessa päässä, vektorin kärjessä, on suunnan osoittava nuoli.

Tarkemman matemaattisen määritelmän mukaan vektori on matematiikassa [[vektoriavaruus|vektoriavaruuden]] [[alkio (joukko-oppi)|alkio]]. <ref name=m1/> Tyypillisesti vektori on ''n'':n muun alkion (usein [[reaaliluku|reaali-]] tai [[kompleksiluku]]jen) järjestetty [[joukko]]. Alkioiden lukumäärä ''n'' ilmaisee myös vektorin [[ulottuvuus|ulottuvuuden]]. Tällainen vektori on [[matriisi]]n erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on yksi.

Laajemmassa merkityksessä vektorin ei kuitenkaan tarvitse olla järjestetty lukujoukko eikä muukaan järjestetty joukko, vaan vektoreita voivat olla mitkä tahansa oliot, joiden välillä summa ja [[skalaari]]lla kertominen on määritelty. Tämä vektorien yleiskäyttöisyys on tehnyt [[lineaarialgebra]]sta tehokkaan matemaattisen työkalun.

Vektorit voidaan merkitä lihavoiduilla kirjaimilla, esimerkiksi <math> \mathbf{a}</math> tai merkitsemällä vektorisuureen tunnuksen yläpuolelle oikealle osoittava nuoli, esimerkiksi <math> \vec{a}</math>.

== Vektorit geometriassa ja fysiikassa ==

[[Geometria]]ssa ja [[fysiikka|fysiikassa]] vektoreita käytetään kuvaamaan [[suure]]ita, joihin suuruuden lisäksi liittyy määrätty suunta.  [[Tasogeometria]]ssa käytetyt vektorit voidaan esittää kahden, kolmiulotteisessa [[avaruusgeometria]]ssa ja useimmissa fysikaalisissa sovelluksissa käytetyt vektorit kolmen, reaaliluvun järjestettyinä joukkoina, joiden alkiot ovat reaalilukuja. Geometrisesti vektoreita voidaan kuvata [[jana (geometria)|janoilla]], joiden toiseen päähän on tapana merkitä nuolenkärki. Tällöin kuitenkin kaikki suunnatut janat, jotka ovat yhtä pitkiä ja samansuuntaisia, katsotaan [[ekvivalenssirelaatio|ekvivalenteiksi]], toisin sanoen ne esittävät samaa vektoria. Lukujonona tällaisissa vektoreissa on vain kolme tai [[tasogeometria]]ssa kaksi lukua, joista ensimmäinen vastaa tämän janan [[projektio]]ta  x-akselin suunnassa, toinen y-akselin suunnassa ja kolmas z-akselin suunnassa. Erikoistapauksena on [[nollavektori]], jossa kaikki nämä luvut ovat nollia. Sen suunta on määräämätön (mielivaltainen) ja pituus 0. 

Geometriassa vektorilla voidaan kuvata annetun pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Pisteen [[paikkavektori]] kuvaa sen sijainnin suhteessa [[koordinaatisto]]n [[origo]]on, ja sen alkioina ovat pisteen koordinaattien arvot. Fysiikassa esimerkiksi [[nopeus]] on vektorisuure, ja sen itseisarvo, vauhti, on [[skalaari]]. Fysiikan eri aloilla tärkeitä vektorisuureita ovat myös [[kiihtyvyys]] ja [[voima (fysiikka)|voima]] sekä [[sähkökenttä|sähkö-]] ja [[magneettikenttä|magneettikenttien]] voimakkuudet.

== Tyypillinen vektori ''l.'' pystyvektori ==
Mikäli vektori on järjestetty joukko, se voidaan esittää muodossa: 
:<math> a = \begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\end{bmatrix},</math>
jossa kaikki alkiot <math>a_i,~i = 1,..,n</math> kuuluvat johonkin joukkoon. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavektoreina muodossa <math>a = \Big(a_1,a_2,...,a_n \Big)</math> tai tulkitaan matriisin transpoosiksi <math>a = [a_1,a_2,...,a_n]^{\mathbf{T}}</math>.

=== Yleisiä laskutoimituksia ===

Yleisiä [[Vektoriavaruus|vektoriavaruudelle]] määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden <math>\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb{V}</math> summa:
:<math>\mathbf x +\mathbf y </math>

sekä [[kunta (matematiikka)|kerroinkunnan]] alkiolla kertominen <math>c \in \mathbb{A}</math>:
:<math>c\mathbf x </math>

Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään [[normi (matematiikka)|normi]], joka on vektorin pituuden yleistys

:<math>\left| \left| \mathbf x \right| \right| </math>.

Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan [[normiavaruus|normiavaruuden]].

Vektoreille voidaan myös määritellä [[pistetulo]], joka ilmaisee vektoreiden samansuuntaisten komponenttien tulon. Pistetulo merkitään muodossa
:<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos(\theta)</math>,
missä <math>\theta</math> on vektoreiden välinen kulma.
Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla
:<math>\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle </math>,
sillä pistetulo on erikoistapaus [[sisätulo]]sta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin [[sisätuloavaruus|sisätuloavaruudeksi]].

== Perusavaruuksien vektorit ==
Jos kaikki ''n''-ulotteisen vektorin 
:<math>\mathbf{a}= \begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\end{bmatrix}</math>
alkiot <math>a_{i}</math> ovat reaalilukuja ts. <math>\forall \left\{1,2,...,n\right\}: a_{i} \in\mathbb{R} </math>, niin '''a''' on reaaliarvoinen vektori, merkitään <math>\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n</math>.

Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat kompleksilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli <math>\mathbf{a} \in \mathbb{C}^n</math>

Jos vektori kuuluu avaruuteen <math>\mathbb{R}^2</math> voidaan se piirtää myös [[koordinaatisto]]on. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin
:<math>\mathbf{a}= \begin{bmatrix}
7 \\
-5 \end{bmatrix}</math>
kärki on pisteessä '''(7, -5)'''. Vastaava suhde löytyy myös avaruuden <math>\mathbb{R}^3</math> vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.

=== Reaaliavaruuden laskutoimituksia ===
Reaaliavaruudessa <math>\mathbb{R}^n</math> laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät. 

==== Yhteen- ja vähennyslasku ====
[[Tiedosto:Vector Addition.svg|thumb|Vektorit a ja b sekä niiden summavektori a+b.]]
Kaksi reaaliavaruuden vektoria lasketaan yhteen laskemalla niiden vastaavat alkiot yhteen:
:<math>\begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a_{1} + b_{1} \\
a_{2} + b_{2} \\
a_{3} + b_{3}\end{bmatrix}
</math>

Vastaavasti vektorista vähennetään toinen vektori vähentämällä ensimmäisen vektorin kustakin alkiosta jälkimmäisen vektorin vastaava alkio:

:<math>\begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{bmatrix} -
\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a_{1} - b_{1} \\
a_{2} - b_{2} \\
a_{3} - b_{3}\end{bmatrix}
</math>

Samoin kuin reaalilukujen, myös vektorien yhteenlasku noudataa [[vaihdantalaki|vaihdanta]]- ja [[liitännäisyys|liitäntälakia]], toisin sanoen vektoreillekin pätee:
:<math>\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}</math>
ja
:<math>\mathbf{a}+ (\mathbf{b}+ \mathbf{c})= (\mathbf{a}+ \mathbf{b})+ \mathbf{c}</math>.

Tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien yhteenlaskulla on yksinkertainen geometrinen tulkinta. Piirretään samasta pisteestä alkamaan vektoreita ''a'' ja ''b'' vastaavat suuntajanat sekä [[suunnikas]], jonka kahtena sivuna ne ovat. Tällöin vektorien summa vastaa samasta pisteestä lähtevää suunnikkaan [[lävistäjä (geometria)|lävistäjää]].

==== Vektorin kertominen luvulla ====

Vektori kerrotaan reaaliluvulla eli [[skalaari]]lla kertomalla sen jokainen alkio kyseisellä skalaarilla.

:<math>a  \begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
a b_{1} \\
a b_{2} \\
a b_{3}\end{bmatrix}
</math>

Jos kerroin a on positiivinen, tuloksena saatavaa vektoria esittävä jana on samansuuntainen alkuperäisen kanssa, mutta sen pituus on alkuperäiseen verrattuna ''a''-kertainen. Jos ''a'' on negatiivinen, saatu vektori on alkuperäiseen nähden vastakkaissuuntainen, ja vastaavan janan pituus on ''-a''-kertainen.

==== Pituus eli normi ====

Vektorin '''x''' pituus <math>\scriptstyle\left| \left| \mathbf x \right| \right|</math> eli normi määritellään vektorin alkioiden (<math>\scriptstyle x_1, x_2, x_3 </math>) neliöiden summan neliöjuurena lausekkeella

:<math>\left| \left| \mathbf x \right| \right| := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} </math>.

==== Yksikkövektorit ====
Jos vektorin pituus on 1, sitä sanotaan [[yksikkövektori]]ksi.

Erityisen tärkeitä ovat koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit.  Tavallisesti käytetään tasossa <math>\mathbb{R}^2</math> ja kolmiulotteisessa avaruudessa <math>\mathbb{R}^3</math> x-akselin suuntaiselle yksikkövektorille merkintää  <math>\vec{\imath}</math> ja y-akselin suuntaiselle merkintää <math>\vec{\jmath}</math>, kolmiulotteisessa avaruudessa lisäksi z-akselin suuntaiselle merkintää <math>\vec{k}</math>.  Tällöin tason vektori

:<math> a = \begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2}\end{bmatrix},</math>

voidaan kirjoittaa myös muotoon <math>a_1 \vec{\imath} + a_2 \vec{\jmath}</math>

ja vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden vektori

:<math> a = \begin{bmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{bmatrix},</math>

muotoon <math>a_1 \vec{\imath} + a_2 \vec{\jmath} + a_3 \vec{k}</math>

==== Skalaaritulo eli pistetulo ====
[[Pistetulo]] on kahden vektorin välinen erikoistapaus [[sisätulo]]sta. Se yleistyy suoraan <math>n</math>-ulotteisen avaruuden vektoreille. 

:<math>\langle\mathbf x , \mathbf y \rangle = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} := \left| \left| \mathbf{x} \right| \right|
\left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \cos \theta  = \mathbf{x}^T \mathbf{y}</math>, kun <math> \mathbf{x, y}\ne \mathbf{0}</math>, missä <math>\theta</math> on vektoreiden '''x''' ja '''y''' välinen kulma.

Vektoreille x = ai + bj + ck  ja y = di + ej + fk  pistetulo voidaan laskea myös kaavalla "vektoreiden x ja y pistetulo" = ad + be + cf.

Pistetulo noudattaa [[vaihdantalaki|vaihdanta]]- ja [[osittelulaki]]a, toisin sanoen jos ''a'', ''b'' ja ''c'' ovat vektoreita, pätee:
:<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}</math>
ja
:<math>\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}</math>.

Liitäntälaki sen sijaan ei ole mielekäs, koska pistetulo on skalaari eikä sen ja vektorin välinen pistetulo ole määritelty. 

===== Pistetulon sovellutuksia =====
Jos voima vaikuttaa liikkeen suuntaan, [[Työ (fysiikka)|työ]] (''W'') voidaan laskea pelkkänä [[voima (fysiikka)|voima]]n (''F'') ja [[matka]]n (''s'') [[tulo]]na:
: <math> W = F s</math>
Jos voima on eri suuntainen kuin liike, työ pitää laskea voimavektorin ja liikevektorin pistetulona:
: <math> W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}</math>

==== Vektoritulo eli ristitulo ====
[[Ristitulo]] on esimerkki [[ulkoinen tulo|ulkoisesta tulosta]]. Se on määritelty ainoastaan <math>\mathbb{R}^3</math>:n ja <math>\mathbb{R}^7</math>:n vektoreille

:<math>\mathbf{x} \times \mathbf{y} := \mathbf{e} \left| \left| \mathbf{x} \right| \right|
\left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \sin \theta</math>

missä '''e''' on vektoreita '''x''' ja '''y''' (siis näiden määrittelemää tasoa) vastaan kohtisuora [[yksikkövektori]] (eli vektori, jonka normi <math>\left| e \right| = 1</math>) ja vektorit '''x''', '''y''' ja '''e''' muodostavat oikeakätisen [[koordinaatisto]]n, toisin sanoen ristitulovektorin suunta määräytyy [[oikean käden sääntö|oikean käden säännön]] mukaisesti.

Määritelmästä seuraa, että ristitulo ei noudata vaihdantalakia, vaan sen etumerkki vaihtuu, jos sen tekijät vaihdetaan keskenään:
:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a}</math>.

[[Suorakulmainen koordinaatisto|Karteesisessa koordinaatistossa]] x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla <math>\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k</math> määriteltyjen vektoreiden <math>\mathbf x</math> ja <math>\mathbf y</math> ristitulo voidaan laskea [[determinantti|determinantin]] avulla:

:<math>\mathbf x = a \mathbf i + b \mathbf j + c \mathbf k</math>

:<math>\mathbf y = d \mathbf i + e \mathbf j + f \mathbf k</math>

:<math>\mathbf{x} \times \mathbf{y} =\mathrm{det}\begin{bmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\
a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} = bf\mathbf i + cd\mathbf j + ae\mathbf k - ce\mathbf i - af\mathbf j - bd\mathbf k</math>

Erityisesti koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien ristitulot ovat:

:<math>\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}</math>,  <math>\mathbf{j} \times \mathbf{i} = - \mathbf{k}</math>
:<math>\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}</math>,  <math>\mathbf{k} \times \mathbf{j} = - \mathbf{i}</math>
:<math>\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}</math>,  <math>\mathbf{i} \times \mathbf{k} = - \mathbf{j}</math>
:<math>\mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \times \mathbf{k} = 0</math>

Mikäli vektorit ovat yhdensuuntaiset, on niiden ristitulo nolla.

Perusfysiikassa ristitulo esiintyy esim. [[voiman momentti|voiman momentin]] kaavassa.

=== Skalaarikolmitulo ===

Kolmelle vektorille  '''a''' = ''(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>)'', '''b''' = ''(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>)'' ja '''c''' = ''(c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, c<sub>3</sub>)'' määritellään ''[[skalaarikolmitulo]]'' eli lyhemmin ''kolmitulo'' ''V'' seuraavasti:

:<math>V = (a \times b) \cdot c</math>

Skalaarikolmitulon itseisarvo on sama kuin vektorien '''a''', '''b''' ja '''c''' muodostaman [[suuntaissärmiö]]n [[tilavuus]], ja se voidaan laskea myös seuraavasti:

:<math> V = \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
 \end{bmatrix} \right| = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1</math>.

=== Vektorikolmitulo ===

Kolmelle vektorille  '''a''' = ''(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>)'', '''b''' = ''(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>)'' ja '''c''' = ''(c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, c<sub>3</sub>)'' määritellään ''[[vektorikolmitulo]]t''  seuraavasti:

:<math>V = (a \times (b  \times c)</math> tai
:<math>V = a \times (b \times c</math>) tai

Koska ristitulo ei ole [[liitäntälaki|liitännäinen]], nämä ovat yleensä kaksi eri vektoria. Näistä edellinen on kohtisuorassa vektoriin ''a'' nähden ja vektorien '''b''' ja '''c''' määrittämässä tasossa, jälkimmäinen taas vektorien '''a''' ja '''b''' määrittämässä tasossa ja kohtisuorassa vektoria '''c''' vastaan.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino | Nimeke = Matematiikka 12, lukion laajempi kurssi | Sivut = 110–112 | Luku = Kolmitulo | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1975 | Tunniste = | Isbn = 951-26-0247-4}}</ref>

== Esimerkki ==
[[File:Perpendicular Vector Addition.svg|thumb|169x169px]]
Esimerkki selkokielellä tasogeometrian näkökulmasta.

Liikutaan XY-[[Koordinaatisto|koordinaatistossa]]. Lähdetään liikkeelle [[Origo|origosta]] (0,0), kuljetaan ensin ''kaksi ylös (''vektori ''<math>\vec{a}</math>) ja sitten kaksi oikealle'' (vektori <math>\vec{b}</math>), jolloinka päädytään pisteeseen (2,2).

Vektorien muutosta ilmaistaan muuttujilla "i" ja "j", jossa "i" ilmoittaa x-akselin suuntaista liikkumista, ja "j" y-akselin suuntaista liikkumista. 

Lasketaan muutokset: <math>2\vec{j} + 2\vec{i}</math> . Yhteenlaskulla saadaan: <math>\vec{ab} = 2\vec{j}+2\vec{i}</math>, poistamalla kirjaimet saadaan loppupiste (2,2).

== Katso myös ==
* [[Pseudovektori]]

== Lähteet ==
{{Viitteet|viitteet=
* <ref name=m1>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinsson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja| Sivut=403 | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Isbn= 951-31-0471-0}}</ref>
}}

==Kirjallisuutta==
* {{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinsson, Thomas | Nimeke=[[Matematiikan käsikirja]]| Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Isbn= 951-31-0471-0}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Kivelä, Simo K. | Nimeke = [[Algebra ja geometria]] | Julkaisija = Otatieto | Julkaisupaikka = Espoo | Vuosi = 1989 | Isbn= 951-672-103-6}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Rikkonen, Harri | Nimeke=[[Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria]] | Julkaisija=Otakustantamo | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=1969 | Isbn= 951-671-067-0}}
* {{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf  |  Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. {{ISBN|978-952-7010-12-9}} {{ISBN|978-952-7010-13-6}} (pdf) | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Spiegel, Murray R. | Nimeke=Vector Analysis and an introduction to Tensor Analysis | Selite=Shaum's Outline Series | Julkaisija=McGraw-Hill Book Company | Julkaisupaikka= | Vuosi=1974 (1959) | Isbn= 978-0070990098}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat}}
*[http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/vektorit/vekto02.htm Tietoa vektoreista] {{Wayback|1=http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/vektorit/vekto02.htm |päiväys=20061002090002 }}

{{Metatieto}}

[[Luokka:Lineaarialgebra]]
[[Luokka:Vektorianalyysi]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]