Lähdekoodi sivulle Väli

{{tämä artikkeli|käsittelee matemaattista termiä. Väli voi myös tarkoittaa [[välilyönti]]ä.}}

Matematiikassa '''väli''' on (osittain tai täysin) [[järjestys|järjestetyn joukon]] osajoukko, jonka alkiot sijaitsevat jonkin kahden kiinteän rajan välillä.

== Määritelmä ==

Olkoon <math>(X,\leq)</math> järjestetty joukko ja <math>a , b \in X</math>, missä <math>a < b \,</math>. Tällöin pisteiden ''a'' ja ''b'' välinen

* '''suljettu väli''' on joukko 
<math>[a,b] = \{x \in X : a \leq x \leq b \}, </math> 

* '''avoin väli''' on joukko
 
<math>(a,b) = \{x \in X : a < x < b \}, </math> 

* '''oikealta puoliavoin väli''' on joukko 

<math>[a,b) = \{x \in X : a \leq x < b \}, </math>

* '''vasemmalta puoliavoin väli''' on joukko 

<math>(a,b] = \{x \in X : a < x \leq b \} ,</math>

missä merkinnällä <math> < \,</math> tarkoitetaan järjestyksen <math>\leq</math> antamaa relaatiota: alkioilla <math>a,b\in X</math> pätee <math>a < b \,</math> jos ja vain jos <math> a \leq b </math> ja <math> a \neq b</math> .

Yleisesti joukko <math>\Delta \subset X</math> on '''väli''' jos se voidaan kirjoittaa jollain edellä olevalla tavalla.

Päätepisteiden kuulumattomuus voidaan ilmaista myös väärinpäin kirjoitetuilla hakasulkeilla, esimerkiksi avoin väli on tällöin 
<math>]a,b[\ = \{x \in X : a < x < b \} </math> 
<ref>{{Verkkoviite |Osoite=http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/reaali/reaal07.htm |Nimeke=Reaaliluvut – Lukusuora |Sivusto=Tampereen teknillisen yliopiston sivusto |viitattu=12.8.2011 |arkisto=https://web.archive.org/web/20061002075959/http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/reaali/reaal07.htm |arkistoitu=2.10.2006 }}</ref>

== Sovelluksia ==

Tunnettu esimerkki järjestetystä joukosta, jossa välien käyttö on osoittautunut erittäin hyödylliseksi on (laajennettu) [[Nollalla jakaminen#Laajennettu reaaliakseli|reaaliakseli]] <math>\bar{\R} = \R \cup \{ -\infty \} \cup \{ +\infty \}</math> varustettuna tavallisella lukujen ja äärettömyyksien suurutta mittaavalla järjestyksellä. Tässä avaruudessa nimittäin voidaan välien helposti konstruoida [[Topologia (matematiikka)|topologioita]] avaruuteen <math>\R</math> ja niille voidaan määritellä päätepisteiden etäisyyden avulla helposti geometrinen [[mitta]]. Täällä siis välit koostuvat niistä [[reaaliluvut|reaaliluvuista]], jotka ovat jonkin kahden kiinteän luvun (tai +/-äärettömän) välissä.  

Esimerkiksi väli avoin väli <math>(0,1) \subset \R</math> koostuu janasta nollasta yhteen, jossa päätepisteitä ei oteta mukaan ja vastaavasti <math>[0,1]</math> samasta janasta, johon lisätään päätepisteet.

Joukossa <math>\R</math> avoimet välit muodostavat [[Kanta (topologia)|kannan]] euklidiselle [[Topologia (matematiikka)|topologia]]lle ja puoliavoimet välit muodostavat kannan niin sanotulle [[puoliavoin topologia|puoliavoimelle topologialle]].

== Tulovälit ==

Vaikka välin käsite on vahvasti sidoksissa joukon [[järjestys|järjestykseen]], välien käsite voidaan myös yleistää järjestettyjen joukkojen tuloavaruuksille. Tuloavaruuksiin ei voi yleisesti periyttää järjestystä tulon jäsenistä, kuten jo esimerkiksi tason <math>\R^2</math> käy. 

Olkoon <math>(X_j,\leq_j)</math> osittain tai täysin järjestettyjä joukkoja, missä <math>j \in J</math> ja ''J'' jokin epätyhjä joukko. Tällöin joukko <math>A \subset \prod_{j \in J} X_j</math> on '''tuloväli''', jos on olemassa välit <math>\Delta_j \subset X_j</math> siten, että

<center><math>A = \prod_{j \in J} \Delta_j . </math></center>

Esimerkiksi avaruudessa <math>\R^n</math> tulovälit (kutsutaan tässä tapauksessa myös ''n-välit'') ovat ''n'':n reaaliakselin välin tuloja eli eräänlaisia useampiulotteisia laatikoita (avaruudessa <math>\R^2</math> tulovälit ovat [[suorakaide|suorakaiteita]] ja avaruudessa <math>\R^3</math> tulovälit ovat [[särmiö]]itä).

Avaruudessa <math>\R^n</math> avoimien välien tuloina saadut tulovälit muodostavat avaruuden [[Normi (matematiikka)|normitopologia]]lle kannan.

==Lähteet==
{{Viitteet}}

[[Luokka:Topologia]]