Lähdekoodi sivulle Uniforminen monitahokas

[[Tiedosto:Tetrahedron.svg|150px|thumb|[[Tetraedri]] kuuluu [[Platonin kappale]]isiin.]]
[[Tiedosto:Snub dodecadodecahedron.png|150px|thumb|Pullistettu dodekaedri kuuluu uniformisiin tähtimonitahokkaisiin.]]

'''Uniforminen monitahokas''' on [[monitahokas]], jonka kaikki sivutahkot ovat [[säännöllinen monikulmio|säännöllisiä monikulmioita]] ja joka on kärkitransitiivinen, toisin sanoen se voidaan aina kuvata [[yhtenevyyskuvaus|yhtenevyyskuvauksella]] itselleen siten, että mikä tahansa kärki voidaan kuvata mille tahansa toiselle. Tästä seuraa, että sen kaikki kärjet ovat [[yhtenevyys|yhtenevät]].

Uniforminen monitahokas voi olla joko
* [[säännöllinen monitahokas|säännöllinen]] (jos se on myös tahko- ja särmätransitiivinen)
* [[kvasisäännöllinen monitahokas|kvasisäännöllinen]] (jos se on myös särmätransitiivinen mutta ei tahkotransitiivinen), tai
* [[semiregulaarinen monitahokas|semiregulaarinen]] (jos se ei ole tahko- eikä särmätransitiivinen). 

Uniformisen monitahokkaan ei tarvitse olla [[kupera]], joten monet uniformiset monitahokkaat ovat samalla [[tähtimonitahokas|tähtimonitahokkaita]].

On olemassa kaksi ääretöntä uniformisten monitahokkaiden luokkaa sekä lisäksi vielä 75 näihin luokkiin kuulumatonta uniformista monitahokasta:

*Äärettömät luokat:
** [[särmiö]]t eli prismat
** [[antiprisma]]t
* Muut kuperat: 
** 5 [[Platonin kappale]]tta – säännölliset kuperat monitahokkaat
** 13 [[Arkhimedeen kappale]]ta – 2 [[kvasisäännöllinen monitahokas|kvasisäännöllistä]] ja 11 [[semiregulaarinen monitahokas|semiregulaarista]] kuperaa monitahokasta
* Tähtimonitahokkaat:
** 4 [[Kepler-Poinsotin kappaleet|Kepler-Poinsotin kappaletta]] – säännölliset ei-kuperat monitahokkaat
** 53 uniformista tähtitahokasta – 5 [[Kvasisäännöllinen monitahokas#Ei-kuperia esimerkkejä|kvasisäännöllistä]] ja 48 semiregulaarista,

Lisäksi on olemassa myös joukko degeneroituja uniformisia monitahokkaita, joissa osa särmistä yhtyy toisiinsa, muun muassa yksi John Skillingin löytämä, jota sanotaan ''suureksi kaksoispullistetuksi dirombidodekaedriksi'' eli Skillingin kuvioksi.

Uniformisten monitahokkaiden [[duaalikappale]]et ovat sivutransitiivisia eli isoedrisiä, ja niiden kärkikuviot ovat säännöllisiä monikulmioita. Ne luokitellaan usein rinnakkain uniformisten duaalikappaleidensa kanssa. Säännöllisen monitahokkaan duaalikappale on säännöllinen, kun taas Arkhimedeen kappaleiden duaalit ovat [[Catalanin kappale]]ita.

Uniformisen monitahokkaan käsite on erikoistapaus [[uniforminen polytooppi|uniformisen polytoopin]] käsitteestä, joka soveltuu myös muotoihin korkeampi- tai alempiulotteisessa avaruudessa.

==Määritelmä ==

[[H. S. M. Coxeter|Coxeter]], [[Michael S. Longuet-Higgins|Longuet-Higgins]] ja [[J. C. P. Miller|Miller]] määrittelivät vuonna 1954 uniformiset monitahokkaat kärkitransitiivisiksi monitahokkaiksi, joiden sivut ovat säännöllisiä monikulmioita. Monitahokkaan he määrittelivät sellaiseksi äärelliseksi joukoksi [[monikulmio]]ita, että jokainen monikulmion sivu on tasan yhden toisenkin monikulmion sivuna, niin että millään monikulmioiden ei-tyhjällä [[osajoukko|aidolla osajoukolla]] ei ole samaa ominaisuutta.<ref name=Coxeter>{{lehtiviite |Tekijä = Harold Scott MacDonald Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P Miller | Otsikko = Uniform Polyedra | Julkaisu = Philosophical Transactions of the Royal Society A | Vuosi = 1954 | Vuosikerta = 246 |Numero = 916 | Sivut = 401–450 | Doi = 10.1098/rsta.1954.0003 | ISSN = 0080-4614 | JSTOR = 91532 | MR = 0052446}}</ref> Monikulmiolla he impilisiittisesti tarkoittivat kolmiulotteisessa [[euklidinen avaruus|euklidisessa avaruudessa]] olevaa monikulmiota; niiden sallitaan olla ei-kuperia ja leikata toisensa.

Uniformisen monitahokkaan käsitettä on erinäisillä tavoilla yleistetty. Jos ei edellytetä, että sellaisen on oltava [[yhtenäisyys|yhtenäinen]], voidaan myös useamman komponentin, esimerkiksi viiden kuution yhdistelmää pitää uniformisena. Jos ei edellytetä, että monitahokkaan on oltava degeneroitumaton, saadaan myös niin sanottuja degeneroituja uniformisia monitahokkaita. Tämä edellyttää, että monitahokkaan käsite on määriteltävä yleisemmin.

[[Branko Grünbaum]] kiinnitti vuonna 1994 julkaisemassaan artikkelissa huomiota siihen, että vaikka jo [[Eukleides]] luetteli viisi [[säännöllinen monitahokas|säännöllistä monitahokasta]] ja myöhemmin muun muassa [[Johannes Kepler|Kepler]], [[Louis Poinsot|Poinsot]], [[Edmund Hess|Hess]] ja [[Brückner]] olivat eri tavoin luokitelleet monitahokkaita, kukaan heistä ei ollut esittänyt itse monitahokkaan käsitteelle täsmällistä ja yksikäsitteistä määritelmää.<ref name=Grunbaum>{{kirjaviite | Tekijä = Tibor Biszztriczky, Peter McMullen, Rolf Schneider ym. (toim.); Branko Grünbaum | Nimeke = Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational | Julkaisija = Springer | Sivut = 43–70 | Luku = Polyhedra with Hollow Faces | Tunniste = | Isbn = 978-94-010-4398-4}}</ref> Samassa artikkelissa hän itse esitti käsitteelle jokseenkin monimutkaisen määritelmän.<ref name=Grunbaum />

[[Peter McMullen|McMullen]] ja [[Egon Schulte|Schulte]] esittivät vuonna 2003 monitahokkaan käsitteelle yleisemmän määritelmän. Heidän mukaansa monitahokas on kaksiulotteinen [[abstrakti polytooppi]], jolla on ei-degeneroitunut kolmiulotteinen realisaatio. Tässä abstrakti polytooppi on sen sivutahkojen yhdistelmä, joka toteuttaa useita ehtoja, ja realisaatio on kuvaus sen kärkien joukosta johonkin avaruuteen, ja realisaatiota sanotaan ei-degeneroituneeksi, jos millä tahansa kahdella abstraktin polytoopin tahkolla on erilliset realisaatiot.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Peter McMullen, Egon Schulte | Nimeke = Abstract regular polytopes | Kirjasarja = Encyclopedia of Mathematics and its Applications | Julkaisija = Cambridge University Press Vuosi = 2002 | Vuosi = 2002 | Doi = 10.1017/CBO9780511546686 | Tunniste = | Isbn = 0-521-81496-0 }}</ref>

Monitahokas voi olla ''degeneroitunut'' esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
*Kätketyt tahkot. Joillakin monitahokkailla osa tahkoista voi olla ''kätkettyjä'' siinä mielessä, ettei mikään niiden sisäpiste näy ulkopuolelta. Sellaisia ei yleensä pidetä uniformisina monitahokkaina.
*Degeneroidut komponentit. Monitahokas saattaa koostua useammasta melkein toisistaan erillään olevasta komponentista, jolla kuitenkin on yksi tai useampi yhteinen särmä. Yhtenäisten särmien vuoksi monitahokas on tällöin kuitenkin topologisessa mielessä [[yhtenäisyys|yhtenäinen]].
*Kaksinkertaiset peitteet. On olemassa [[suunnistuvuus|suunnistumattomia]] monitahokkaita, joilla on [[suunnistuvuus#kaksoispeite|kaksoispeite]] ja ja jotka täyttävät uniformisen monitahokkaan määritelmän ehdot. Näillä kaksoispeitteillä on kaksinkertaisia tahkoja, särmiä ja kärkiä. Niitä ei yleensä lueta uniformisiin monitahokkaisiin.
*Kaksinkertaiset tahkot. On useita monitahokkaita, joilla on Wythoffin konstruktiolla aikaansaatuja kaksinkertaisia tahkoja. Useimmat kirjoittajat eivät salli kaksinkertaisia tahkoja ja poistavat ne osana konstruktiota.
*Kaksinkertaiset särmät. Skillingin kuviolla on kaksinkertaisia särmiä, kuten degeneroituneilla uniformisilla monitahokkaillakin, mutta niiden tahkoja ei muodostaa kirjoittaa kahden uniformisen monitahokkaan yhdisteenä.

==Historia==
'''Säännölliset kuperat monitahokkaat''':
* Säännölliset monitahokkaat eli [[Platonin kappale]]et tunnettiin jo [[Antiikin Kreikka|antiikin Kreikassa]], ja niitä tutkivat [[pythagoralaiset]], [[Platon]] (n. 424–348 eKr.), [[Theaitetos]] (n. 417–369 eKr.), [[Timaios Lokroilainen]] n. 420–380 eKr.) ja [[Eukleides]] (noin 300 eKr.). Säännöllisen [[dodekaedri]]n keksivät [[etruskit]] ennen vuotta 500 eKr.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://www.researchgate.net/publication/224905087_An_Etruscan_Dodecahedron | Nimeke = An Etruscan Dodecahedron | Kirjoittaja = Amelia Carolina Sparavigna |Julkaisija = Department of Applied Science and Technology | Viitattu = 22.11.2018}}</ref>
'''Ei-säännölliset uniformiset kuperat monitahokkaat''':
* [[Kuboktaedri]]n tunsi jo Platon.
* [[Arkhimedes]] (287–212 eKr.) löysi kaikki 13 [[Arkhimedeen kappale]]tta. Hänen oma teoksensa aiheesta on kadonnut, mutta [[Pappos Aleksandrialainen]] (n. 290–350 jKr.) mainitsee Arkhimedeen luetelleen 13 monitahokasta.
* [[Piero della Francesca]] (1415–1492) löysi uudelleen Platonin kappaleiden viisi typistettyä muunnosta: typistetyn tetraedrin, typistetyn oktaedrin, typistetyn kuution, typistetyn dodekaedrin ja [[typistetty ikosaedri|typistetyn ikosaedrin]].<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/piero.html | Nimeke = Piero della Francesca's Polyhedra | Kirjoittaja = George W. Hart | Viitattu = 22.11.2018}}</ref>
* [[Luca Pacioli]] julkaisi Francescan tutkimukset vuonna 1509 uudestaan teoksessaan ''De divina proportione''. Siinä hän lisäsi joukkoon [[Leonardo da Vinci]]n kuvaaman [[rombikuboktaedri]]n, jota hän sanoi ''ikosiheksaedriksi'', koska siinä oli 26 tahkoa.
* [[Johannes Kepler]] (1571–1630) julkaisi vuonna 1619 ensimmäisenä täydellisen luettelon [[Arkhimedeen kappale]]ista ja tunnisti uniformisten [[särmiö]]iden ja [[antiprisma|antiprismojen]] äärettömät perheet.

'''Säännölliset tähtimonitahokkaat:'''
* [[Johannes Kepler|Kepler]] löysi vuonna 1619 kaksi säännöllisistä [[Kepler-Poinsotin kappaleet|Kepler–Poinstotin kappaleista]] ja [[Louis Poinsot]] vuonna 1809 kaksi muuta. [[Augustin Cauchy]] (1789–1857) todisti, ettei tällaisia kappaleita ole enempää kuin jo tunnetut neljä, ja nimen niille antoi [[Arthur Cayley]] (1821–1895).

'''Muut 53 ei-säännöllistä tähtimonitahokasta:'''
* Jäljellä olevista 53 uniformisesta monitahokkaasta [[Edmund Hess]] löysi kaksi vuonna 1878, [[Albert Badoureau]] 36 lisää vuonna 1881. Vuonna 1881 Pitsch löysi heistä riippumatta 18 tällaista monitahokasta, joista kolme oli ennen tuntemattomiua. Kaikkiaan näistä tunnettiin sen jälkeen 41.
* Geometrikko [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]] löysi loput 12 uniformista tähtimonitahokasta yhteistyössä [[J. C. P. Miller]]in (1930–1932) kanssa, mutta ei julkaissut tutkimuksiaan. [[Michael S. Longuet-Higgins|M.S. Longuet-Higgins]] ja [[H.C. Longuet-Higgins]] löysivät itsenäisesti niistä 11. Lesavre ja Mercier löysivät niistä viisi uudestaan vuonna 1947.
* [[H. S. M. Coxeter]], [[M. S. Longuet-Higgins]] ja [[J. C. P. Miller]] julkaisivat vuonna 1954 luettelon tuntemistaan uniformisista monitahokkaista<ref name=Coxeter />
* [[S. P. Sopov]] todisti vuonna 1970, että edellä mainittujen esittämä luettelo on täydellinen eli että enempää uniformisia monitahokkaita ei ole.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = S. P. Sopov | Otsikko = A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra | Julkaisu = Ukrainskui Geometrichskiui Sbornik |Numero = 8 |Vuosi = 1970 | MR = 0326550}}</ref>
* Vuonna 1974, [[Magnus Wenninger]] julkaisi teoksen ''Polyhedron models'', jossa hän luetteli kaikki 75 ei-prismaattista uniformista monitahokasta. Monilla niistä oli ennen julkaisemattomat nimet, jotka niille antoi [[Norman Johnson (matemaatikko)|Norman Johnson]].
* J. Skilling todisti vuonna 1975 edeltäjistään riippumatta, että luettelo oli täydellinen, ja osoitti, että jos uniformisen monitahokkaan määritelmää väljennetään siten, että särmät saavat yhtyä toisiinsa, tällaisia monitahokkaita saadaan vain yksi lisää.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = J. Skilling | Nimeke = The complete set of uniform polyhedra |Julkaisu = Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | Vuosi = 1975 | Vuosikerta = 278 | Numero = 1278 | Sivut =  111–135 | Doi = 10.1098/rsta.1975.0022 | ISSN = 0080-4614 | JSTOR = 74475 | MR 0365333}}</ref>
* Vuonna 1987 [[Edmond Bonan]] piirsi kaikki uniformiset monitahokkaat ja niiden [[duaalikappale]]et [[Turbo Pascal]] -ohjelmalla nimeltä ''Polyca''. Melkein kaikki niistä näytettiin Eastbournen kongressiteatterissa, Britanniassa  pidetyssä [[International Stereoscopic Union]]in kongressissa.
* Vuonna 1993 Zhi Har'El muodosti täydelliset kaleidoskooppiset konstruktiot uniformisille monitahokkaille ja niiden duaalikappaleille ''Kaleido''- nimisellä tietokoneohjelmalla ja teki asiasta yhteenvedon artikkelissa ''Uniform Solution for Uniform Polyhedra''.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Z. Har'El | Otsikko = Uniform Solution for Uniform Polyhedra |Julkaisu = Geometriae Dedicata | Numero = 47 | Sivut = 57–110 | Vuosi = 1993}}</ref>
* Samana vuonna 1993 R. Mäder laati tätä Kaleido-ratkaisua vastaavan ohjelman [[Mathematica]]-ohjelmistoon hieman erilaisella indeksointijärjestelmällä.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.mathconsult.ch/static/unipoly/ | Nimeke = The Uniform Polyhedra | Kirjoittaja = Roman E. Maeder | Sivusto = Mathematica | Viitattu = 22.11.2018}}</ref>
* Vuonna 2002 Peter W. Messer löysi minimaalisen joukon suljetussa muodossa ilmaistavia lausekkeita, joilla voidaan määrittää minkä tahansa uniformisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen tärkeimmät [[kombinatoriikka|kombinatoriset]] ja [[metriikka (matematiikka)|metriset]] suureet, kun tunnetaan vain sen [[Wythoffin symboli]].<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Peter W. Messer | Otsikko = Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals | Julkaisu = Discrete Comput Geom | Numero = 27 | Sivut = 353–375 | Vuosi = 2002 | www = http://www.springerlink.com/content/me48wm7823jhdcpe/fulltext.pdf?page=1 }}{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}</ref>

== Kuperat uniformiset monitahokkaat ==
[[Tiedosto:Wythoffian construction diagram.png|400px|right|Wythoffin konstruktiot lähtökohtana suorakulmainen kolmio (p q 2)]]
[[Tiedosto:Polyhedron truncation example3.png|400px|right|Esimerkkinä [[kuutio]]sta ja [[oktaedri]]sta saadut muodot]]

Kuperat uniformiset monitahokkaat voidaan nimetä [[Wythoffin konstruktio]]-operaatioilla sen mukaan, mikä on niiden suhde säännöllisiin monitahokkaisiin.

Yksityiskohtaisemmin kuperat uniformiset monitahokkaat luetellaan jäljempänä Wythoffin konstruktioiden mukaan kussakin symmetriaryhmässä.

Wythoffin konstruktio sisältää toistoja, jotka saadaan alemmista symmetrian muodoista. Kuutio on säännöllinen monitahokas ja samalla [[särmiö]], jonka pohjana on neliö. [[Oktaedri]] on säännöllinen monitahokas ja samalla [[antiprisma]], jonka tahkot ovat kolmioita. [[Oktaedri]] on samalla ''typistetty tetraedri''. Monet monitahokkaat saadaan toistamalla eri konstruktioita, ja sen mukaisesti ne on merkitty eri väreillä.

Wythoffin konstruktio soveltuu yhtä lailla myös uniformisiin monitahokkaisiin sekä pallopinnan uniformisiin [[tessellaatio]]ihin, minkä vuoksi nekin ovat seuraavissa taulukoissa mukana. Pallopinnan laatoituksiin kuuluvat myös [[hosoedri]]t ja [[diedri]]t, jotka ovat degeneroituneita monitahokkaita.

Nämä [[symmetriaryhmä]]t muodostetaan peilauksilla saaduista pisteryhmistä kolmessa ulottuvuudessa, ja kutakin niistä edustaa peruskolmio
(''p''&nbsp;''q''&nbsp;''r''), missä ''p''&nbsp;>&nbsp;1, ''q''&nbsp;>&nbsp;1, ''r''&nbsp;>&nbsp;1 ja {{nowrap|1/''p'' + 1/''q'' + 1/''r'' < 1}}.

* [[Tetraedrinen symmetria]] (3 3 2) – kertaluku 24
* [[Oktaedrinen symmetria]] (4 3 2) – kertaluku 48
* [[Ikosaedrinen symmetria]] (5 3 2) – kertaluku 120
* [[Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa|diedrinen symmetria]] (''n'' 2 2), missä ''n'' = 3,4,5,... – kertaluku 4''n''

Loput muodot, joilla ei ole peilaussymmetriaa, konstruoidaan [[alternaatio]]lla, toisin sanoen poistamalla joka toinen kärki sellaisesta monitahokkaasta, jolla on parillinen määrä tahkoja.

Särmiöiden ja niiden diedrisen symmetrian myötä Wythoffin konstruktioilla pallopinnalla saadaan lisää kaksi ''säännöllisten'' tessellaatioiden luokkaa, joita vastaavat monitahokkaat kuitenkin ovat degeneroituneita: [[diedri]]t, joilla on vain kaksi tahkoa, ja [[hosoedri]]t, joilla on vain kaksi kärkeä. Särmiöt saadaan säännöllisistä hosoedreista typistämällä.

Jäljempänä seuraavissa taulukoissa kuperat uniformiset monitahokkaat, särmiöitä lukuun ottamatta, on merkitty järjestysnumeroilla 1–18, ja ne on lueteltu symmetriaryhmiensä mukaan järjestettyinä.

Prismaattisia muotoja on äärettömän monta, ja ne jakautuvat neljään perheeseen:
# [[hosoedri]]t ''H''<sub>2...</sub> (vain pallopinnan tessellaationa)
# [[diedri]]t ''D''<sub>2...</sub> (vain pallopinnan tessellaatioina)
# [[särmiö]]t ''P''<sub>3...</sub> (typistettyjä hosoedreja)
# [[antiprisma]]t ''A''<sub>3...</sub> (pullistettujan särmiöitä)

=== Wythoffin konstruktio-operaatiot ===
{{tarkistettava|Operaatioiden nimien suomennokset}}
{| class="wikitable"
!Operaatio
!Symboli
![[Coxeterin diagrammi|Coxeterin<BR>diagrammi]]
!Kuvaus
|-
!width=150|Alkuperäinen
!width=60|{p,q}<BR>t<sub>0</sub>{p,q}
|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
| Mikä tahansa monitahokas tai laatoitus
|-
! Suoristettu (r)<br>({{k-en|rectified}})
!r{p,q}<BR>t<sub>1</sub>{p,q}
|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]|q[[Kuva:CDel node.png|6px]]
|Särmät typistetään täysin niin, että niistä jää jäljelle vain niiden keskipiste. Saadun monitahokkaan tahkoina ovat sekä alkuperäisen monitahokkaan että sen [[duaalikappale]]en tahkojen keskiosat. Monitahokkaat nimetään kahden alkuperäisen monitahokkaan tahkojen lukumäärien mukaan: {p,q} ja {q,p}. Esimerkiksi [[kuboktaedri]] r{4,3} saadaan suoristamalla kuutiosta ja oktaedrista.
|-
!Kahdesti suoristettu (2r)<br>({{k-en|birectified}}) <BR>(myös [[duaalikappale|duaali]]
!2r{p,q}<BR>t<sub>2</sub>{p,q}
|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6ps]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]
|[[Tiedosto:Dual Cube-Octahedron.svg|100px|right]]Kahdesti suoristettu (duaali) saadaan typistämällä edelleen niin, että alkuperäisen monitahokkaan tahkot kutistuvat pisteiksi. Uudet tahkot syntyvät alkuperäisen monitahokkaan jokaisen kärjen ympärille. Särmien lukumäärä on sama kuin alkuperäisessä monitahokkaassa, mutta ne ovat kohtisuorassa alkuperäisen monitahokkaan särmiin nähden. Kahdesti suoritettu monitahokas on sama kuin alkuperäisen monitahokkaan [[duaalikappale]].
|-
!Typistetty (t)<br>({{k-en|truncated}})
!t{p,q}<BR>t<sub>0,1</sub>{p,q}
|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
|Alkuperäisen monitahokkaan jokaisen kärjen ympäriltä leikataan pala pois, ja uusi tahko täyttää syntyneen aukon. Pois leikattavan alueen suuruus voi vaihdella, mutta on vain yksi ratkaisu, jolla saadaan uniforminen typistetty monitahokas. Tämän monitahokkaan tahkoilla on kaksinkertainen määrä sivua alkuperäisen monitahokkaan tahkoihin verrattuna, ja siinä ovat mukana myös duaalikappaleen tahkot.<BR>[[Tiedosto:Cube truncation sequence.svg|400px]]
|-
!Kaksoistypistetty (2t)<br>({{k-en|bitruncated}})<BR>(myös typistetty duaali)
!2t{p,q}<BR>t<sub>1,2</sub>{p,q}
|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]|[[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}
|Kaksoistypistystä voidaan pitää duaalin typistämisenä. Kaksoistypistetty kuutio on typistetty oktaedri.
|-
! Kantelloitu (rr)({{k-en|catellated}})<BR>(myös laajennettu)
!rr{p,q}
|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]
|Kärkien typistämisen lisäksi jokaista alkuperäistä särmää on leikattu vinoksi niin, että niiden paikalle saadaan uusia suorakulmaisia tahkoja. Uniforminen kantelloitu monitahokas on alkuperäisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen puolivälissä. Kantelloidun monitahokkaan nimi muodostetaan yhdistämällä alkuperäisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen nimet ja lisäämällä näin saadun nimen alkuun etuliike ''rombi'', esimerkiksi kuutiosta ja oktaedrista saadaan rombikuboktaedri rr{4,3}.<BR>[[Tiedosto:Cube cantellation sequence.svg|400px]]
|-
!Täystypistetty (tr)<BR>({{k-en|Omnitruncated}} tai ''cantitruncated'')
!tr{p,q}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{p,q}
|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]
|Typistys- ja kantellointioperaation yhdistetään. Täystypistetyn monitahokkaan tahkoilla on kaksinkertainen määrä sivuja alkuperäisen monitahokkaan tahkoihin verrattuna, kaksinkertainen määrä tahkoja alkuperäisen kappaleen duaaliin verrattuna ja uusina tahkoina neliöitä alkuperäisen monitahokkaan särmien ympärillä.
|}

{| class="wikitable"
|+ Alternaatio-operaatiot
|-
!width=150|Operaatio
!width=70|Symboli
![[Coxeterin diagrammi|Coxeterin<BR>diagrammi]]
!Kuvaus
|-

!Pullistettu suoritettu (sr)<br>({{k-en|snub rectified}})
!sr{p,q}
|[[Kuva:CDel node h.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]|[[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]
|Täystypistetty monitahokas, josta joka toinen kärki on poistettu. Kaikissa alkuperäisissä tahkoissa on vain puolet alkuperäisten sivujen lukumääristä, ja neliöt surkastuvat särmiksi. Koska täystypistetyissä muodoissa on kolme tahkoa kärkeä kohti, muodostuu uusia kolmioita. Yleensä nämä alternoivat tahkojen muodot poikkeavat jonkin verran alkuperäisistä, jotta saadaan jälleen uniformiset monitahokkaat. Jälkimmäisen variaation mahdollisuus riippuu vapausasteesta.<BR>[[Tiedosto:Snubcubes in grCO.svg|320px]]

|-
!Pullistettu (s)<br>({{k-en|snub}})
!s{p,2q}
|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|9px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
|Alternoitu typistetty
|-
!kanttinen pullistettu (s<sub>2</sub>)<br>{{k-en|cantic snub}})
!s<sub>2</sub>{p,2q}
|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]
|

|-
!Alternoidusti kantelloitu (hrr)<br>{{k-en|Alternated cantellation}})
!hrr{2p,2q}
|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]}}
|Mahdollinen vain uniformisille [[tessellaatio]]ille, jotka voidaan käsittää äärettömiksi monitahokkaiksi. Saadaan alternaatiolla operaatiosta [[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>Esimerkiksi [[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]
|-
!Puoli (h)
!h{2p,q}
|[[Kuva:CDel node_h1.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
|align=left|Saadaan alternaatiolla operaatiosta [[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]], sama kuin [[Kuva:CDel labelp|9px]][[Kuva:CDel branch_10ru.png|9px]][[Kuva:CDel split2-qq.png|9px]][[Kuva:CDel node.png|6px]] 
|-
!Kanttinen (h<sub>2</sub>) ({{k-en|cantic}})
!h<sub>2</sub>{2p,q}
|[[Kuva:CDel node_h1.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]
|Sama kuin [[Kuva:CDel labelp.png|9px]][[Kuva:CDel branch_10ru.png|9px]][[Kuva:CDel split2-qq.png|9px]][[Kuva:CDel node_1.png|6px]]
|-
!Puolisuoristettu (hr) ({{k-en|half rectified}})
!hr{2p,2q}
|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_h1.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
|align=left|Mahdollinen vain uniformisille tessellaatioille. Saadaan alternaatiolla operaatiosta [[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]], sama kuin [[Kuva:CDel labelp.png|9px]][[Kuva:CDel branch_10ru.png|9px]][[Kuva:CDel 2a2b-cross.png|9px]][[Kuva:CDel branch_10lu.png|9px]][[Kuva:CDel labelq.png|9px]] tai [[Kuva:CDel labelp.png|9px]][[Kuva:CDel branch_10ru.png|9px]][[Kuva:CDel iaib.png|9px]][[Kuva:CDel branch_01l.png|9px]][[Kuva:CDel labelq.png|9px]]<BR>Esimerkiksi [[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]] = [[Kuva:CDel nodes_10ru.png|9px]][[Kuva:CDel 2a2b-cross.png|9px]][[Kuva:CDel nodes_10lu.png|9px]] tai [[Kuva:CDel nodes_11.png|9px]][[Kuva:CDel iaib.png|9px]][[Kuva:CDel nodes.png|9px]]
|-
!Neljännes (q)
!q{2p,2q}
|[[Kuva:CDel node_h1.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_h1.png|9px]]
|Mahdollinen vain uniformisille tessellaatioille, sama kuin [[Kuva:CDel labelq.png|9px]][[Kuva:CDel branch_11.png|9px]][[Kuva:CDel papb-cross.png|9px]][[Kuva:CDel branch_10l.png|9px]][[Kuva:CDel label9.png|9px]]<BR>Esimerkiksi [[Kuva:CDel node_h1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h1.png|9px]]}} = [[Kuva:CDel nodes_11.png|9px]][[Kuva:CDel 2a2b-cross.png|9px]][[Kuva:CDel nodes_10lu.png|9px]] tai [[Kuva:CDel nodes_11.png|9px]][[Kuva:CDel iaib.png|9px]][[Kuva:CDel nodes_10l.png|9px]]
|}

=== Taulukot monitahokkaista johdettuina säännöllisistä monitahokkaista ===
{| class="wikitable" width=640
|- valign=top
!
!Alkuperäinen
!Typistetty
!Suoristettu
!Kaksoistypistetty<BR>(typ. duaali)
!Kaksoissuoristettu<BR>(duaali)
!Kantelloitu
!Täystypistetty<!--<BR>(<small>Cantitruncated</small>)-->
!Pullistettu
|- valign=top
!Coxeterin diagrammi
![[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel split1-pq.png|9px]][[Kuva:CDel nodes.png|6px]]
![[Kuva:CDel node.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]
![[Kuva:CDel node.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]
![[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel split1-pq.png|6px]][[Kuva:CDel nodes_11.png|9px]]
![[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel split1-pq.png|6px]][[Kuva:CDel nodes_11.png|9px]]
![[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel q.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel split1-pq.png|6px]][[Kuva:CDel nodes_hh.png|9px]]
|-
!rowspan=3|Laajennettu<BR>Schläflin symboli
!<math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
|-
!{p,q}
!t{p,q}
!r{p,q}
!2t{p,q}
!2r{p,q}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
!t<sub>0</sub>{p,q}
!t<sub>0,1</sub>{p,q}
!t<sub>1</sub>{p,q}
!t<sub>1,2</sub>{p,q}
!t<sub>2</sub>{p,q}
!t<sub>0,2</sub>{p,q}
!t<sub>0,1,2</sub>{p,q}
!ht<sub>0,1,2</sub>{p,q}
|-
![[Wythoffin symboli]]<BR>(p q 2)
! q &#124; p 2
! 2 q &#124; p
! 2 &#124; p q
! 2 p &#124; q
! p &#124; q 2
! p q &#124; 2
! p q 2 &#124;
! &#124; p q 2
|-
!Kärkikonfiguraatio
!p<sup>q</sup>
!q.2p.2p
!(p.q)<sup>2</sup>
!p.2q.2q
!q<sup>p</sup>
!p.4.q.4
!4.2p.2q
!3.3.p.3.q
|- align=center
|[[Tetrahedrinen symmetria|Tetraedrinen]]<BR>(3 3 2)
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t0.png|64px]]<BR>[[Tetraedri|3.3.3]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t01.png|64px]]<BR>3.6.6
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t1.svg|64px]]<BR>[[Oktaedri|3.3.3.3]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t12.png|64px]]<BR>3.6.6
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t2.png|64px]]<BR>[[Tetraedri|3.3.3]]
| [[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t02.svg|64px]]<BR>[[Kuboktaedri|3.4.3.4]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t012.png|64px]]<BR>4.6.6
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-s012.svg|64px]]<BR>[[Ikosaedri|3.3.3.3.3]]
|- align=center
|[[Oktaedrinen symmetria|Oktaedrinen]]<BR>(4 3 2)
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t0.svg|64px]]<BR>[[Kuutio|4.4.4]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t01.svg|64px]]<BR>3.8.8
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t1.svg|64px]]<BR>[[Kuboktaedri|3.4.3.4]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t12.svg|64px]]<BR>4.6.6
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t2.svg|64px]]<BR>[[Oktaedri|3.3.3.3]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t02.png|64px]]<BR>3.4.4.4
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t012.png|64px]]<BR>4.6.8
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-s012.png|64px]]<BR>3.3.3.3.4
|- align=center
|[[Ikosaedrinen symmetria|Ikosaedrinen]]<BR>(5 3 2)
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t0.png|64px]]<BR>[[Dodekaedri|5.5.5]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t01.png|64px]]<BR>3.10.10
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t1.png|64px]]<BR>[[Ikosidodekaedri|3.5.3.5]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t12.png|64px]]<BR>5.6.6
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t2.png|64px]]<BR>[[Ikosaedri|3.3.3.3.3]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t02.png|64px]]<BR>[[Rombikosidodekaedri|3.4.5.4]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t012.png|64px]]<BR>4.6.10
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-s012.png|64px]]<BR>3.3.3.3.5 
|}

Seuraavassa taulukossa ovat pallopinnan tessellaatiot, joilla on diedrinen symmetria:

{| class="wikitable" width=640
|-
!(p 2 2)
!Alkuperäinen
!Typistetty
!Suoristettu
!Kaksoistypistetty<BR>(typ. duaali)
!Kaksoissuoristettu<BR>(duaali)
!Kantelloitu
!Täystypistetty<!--<BR>(<small>Cantitruncated</small>)-->
!Pullistettu
|-
!Coxeterin diagrammi
![[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
![[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]
|-
!rowspan=3|Laajennettu<BR>[[Schläflin symboli]]
!<math>\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>r\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>s\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
|-
!{p,2}
!t{p,2}
!r{p,2}
!2t{p,2}
!2r{p,2}
!rr{p,2}
!tr{p,2}
!sr{p,2}
|-
!t<sub>0</sub>{p,2}
!t<sub>0,1</sub>{p,2}
!t<sub>1</sub>{p,2}
!t<sub>1,2</sub>{p,2}
!t<sub>2</sub>{p,2}
!t<sub>0,2</sub>{p,2}
!t<sub>0,1,2</sub>{p,2}
!ht<sub>0,1,2</sub>{p,2}
|-
![[Wythoffin symboli]]
! 2 &#124; p 2
! 2 2 &#124; p
! 2 &#124; p 2
! 2 p &#124; 2
! p &#124; 2 2
! p 2 &#124; 2
! p 2 2 &#124;
! &#124; p 2 2
|-
!Kärkikonfiguraatio
!p<sup>2</sup>
!2.2p.2p
!p.2.p.2
!p.4.4
!2<sup>p</sup>
!p.4.2.4
!4.2p.4
!3.3.3.p
|- align=center
|[[Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa|Diedrinen]]<BR>(2 2 2)
| [[Tiedosto:Digonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedri|{2,2}]]
| [[Tiedosto:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>2.4.4
| [[Tiedosto:Digonal dihedron.png|64px]]<BR>2.2.2.2
| [[Tiedosto:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>4.4.2
| [[Tiedosto:Digonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Hosoedri|2.2]]
| [[Tiedosto:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>2.4.2.4
| [[Tiedosto:Spherical square prism2.png|64px]]<BR>4.4.4
| [[Tiedosto:Spherical digonal antiprism.svg|64px]]<BR>3.3.3.2
|- align=center
|[[Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa|Diedrinen]]<BR>(3 2 2)
| [[Tiedosto:Trigonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedri|3.3]]
| [[Tiedosto:Hexagonal dihedron.png|64px]]<BR>2.6.6
| [[Tiedosto:Trigonal dihedron.png|64px]]<BR>2.3.2.3
| [[Tiedosto:Spherical triangular prism.svg|64px]]<BR>4.4.3
| [[Tiedosto:Spherical trigonal hosohedron.svg|64px]]<BR>[[Hosoedri|2.2.2]]
| [[Tiedosto:Spherical triangular prism.svg|64px]]<BR>2.4.3.4
| [[Tiedosto:Spherical hexagonal prism2.png|64px]]<BR>4.4.6
| [[Tiedosto:Spherical trigonal antiprism.svg|64px]]<BR>3.3.3.3
|- align=center
|[[Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa|Diedrinen]]<BR>(4 2 2)
| [[Tiedosto:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedri|4.4]]
| 2.8.8
| [[Tiedosto:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>2.4.2.4
| [[Tiedosto:Spherical square prism.svg|64px]]<BR>4.4.4
| [[Tiedosto:Spherical square hosohedron.svg|64px]]<BR>[[Hosoedri|2.2.2.2]]
| [[Tiedosto:Spherical square prism.svg|64px]]<BR>2.4.4.4
| [[Tiedosto:Spherical octagonal prism2.png|64px]]<BR>4.4.8
| [[Tiedosto:Spherical square antiprism.svg|64px]]<BR>3.3.3.4
|- align=center
|[[Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa|Diedrinen]]<BR>(5 2 2)
| [[Tiedosto:Pentagonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedri|5.5]]
| 2.10.10
| [[Tiedosto:Pentagonal dihedron.png|64px]]<BR>2.5.2.5
| [[Tiedosto:Spherical pentagonal prism.svg|64px]]<BR>4.4.5
| [[Tiedosto:Spherical pentagonal hosohedron.svg|64px]]<BR>[[Hosoedri|2.2.2.2.2]]
| [[Tiedosto:Spherical pentagonal prism.svg|64px]]<BR>2.4.5.4
| [[Tiedosto:Spherical decagonal prism2.png|64px]]<BR>4.4.10
| [[Tiedosto:Spherical pentagonal antiprism.svg|64px]]<BR>3.3.3.5
|- align=center
|[[Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa|Diedrinen]]<BR>(6 2 2)
| [[Tiedosto:Hexagonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedri|6.6]]
| [[Tiedosto:Dodecagonal dihedron.png|64px]]<BR>2.12.12
| [[Tiedosto:Hexagonal dihedron.png|64px]]<BR>2.6.2.6
| [[Tiedosto:Spherical hexagonal prism.svg|64px]]<BR>4.4.6
| [[Tiedosto:Spherical hexagonal hosohedron.svg|64px]]<BR>[[Hosoedri|2.2.2.2.2.2]]
| [[Tiedosto:Spherical hexagonal prism.svg|64px]]<BR>2.4.6.4
| [[Tiedosto:Spherical dodecagonal prism2.png|64px]]<BR>4.4.12
| [[Tiedosto:Spherical hexagonal antiprism.svg|64px]]<BR>3.3.3.6
|}

==== Tetraedrisesti symmetriset monitahokkaat ====

Pallopinnan [[tetraedrinen symmetria|tetraedrisella symmetrialla]] (T<sub>d</sub> saadaan viisi uniformista monitahokasta, ja kuudes saadaan pullistusoperaatiolla.

Tetraedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta, jonka yhdessä kärjessä on kaksi peiliä, molemmissa muissa kaksi peiliä, ja sitä esittää symboli (3 3 2). Sitä esittää myös [[Coxeterin ryhmä]]  A<sub>2</sub> tai [3,3], taikka [[Coxeterin diagrammi]]: [[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]].

Näin saadaan 24 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan [[tetrakis-heksaedri]]n tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:
:[[Tiedosto:Tetrakishexahedron.jpg|100px]] [[Tiedosto:Tetrahedral reflection domains.png|100px]][[Tiedosto:Sphere symmetry group td.png|100px]]

{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nimi
!rowspan=2|Graafi<BR>A<sub>3</sub>
!rowspan=2|Graafi<BR>A<sub>2</sub>
!rowspan=2|Kuva
!rowspan=2|Laatoitus
!rowspan=2|Kärkikuvio
!rowspan=2|[[Coxeterin diagrammi|Coxeterin]] ja [[Schläflin symboli]]t
!colspan=3|Tahkojen muodot eri positioissa
!colspan=3|Elementtien lukumäärät
|-
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[3]<BR>(4)
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(6)
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[3]<BR>(4)
! Tahkoja
! Särmiä
! Kärkiä
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!1
|align=center|[[Tetraedri]]
|[[Tiedosto:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t0.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t0-1-.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
|
|
| 4
| 6
| 4
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![1]
|align=center|Kahdesti suoristettu tetraedri<BR>(Sama kuin [[tetraedri]])
|[[Tiedosto:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>2</sub>{3,3}={3,3}
|
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 4
| 6
| 4
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!2
|align=center|Suoristettu tetraedri<BR>(Sama kuin [[oktaedri]])
|[[Tiedosto:3-simplex t1.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t1 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t1.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t1-1-.png|50px]]
|[[Tiedosto:Octahedron vertfig.svg|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t<sub>1</sub>{3,3}=r{3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!3
|align=center|[[Typistetty tetraedri]]
|[[Tiedosto:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t01.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t01-1-.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]t<sub>0,1</sub>{3,3}=t{3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![3]
|align=center|Kaksoistypistetty tetraedri<BR>(Sama kuin typistetty tetraedri)
|[[Tiedosto:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t12.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t12.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>1,2</sub>{3,3}=t{3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!4
|align=center|Rombitetratetraedri<BR>(Sama kuin [[kuboktaedri]])
|[[Tiedosto:3-simplex t02.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t02 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t02.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t02.png|50px]]
|[[Tiedosto:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>0,2</sub>{3,3}=rr{3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!5
|align=center|Typistetty tetratetraedri<BR>(Sama kuin [[typistetty oktaedri]])
|[[Tiedosto:3-simplex t012.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t012 A2.svg|50px]]
| [[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>0,1,2</sub>{3,3}=tr{3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!6
|align=center|Pullistettu tetratetraedri<BR>(Sama kuin [[ikosaedri]])
|[[Tiedosto:icosahedron graph A3.png|50px]]
|[[Tiedosto:icosahedron graph A2.png|50px]]
| [[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-s012.png|50px]]
| [[Tiedosto:Spherical snub tetrahedron.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]<BR>sr{3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Kolmio|{3}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 20
| 30
| 12
|}

==== Oktaedrisesti symmetriset monitahokkaat ====

Pallopinnan [[Oktaedrinen symmetria|oktaedrisella symmetrialla]] (O<sub>h</sub>) saadaan seitsemän uniformista monitahokasta, ja toiset seitsemän saadaan poistamalla näin saaduista joka toinen kärki. Näistä 14 muodosta kuusi on samoja, jotka esiintyvät myös edellä tetraedristesti symmetristen monitahokkaiden taulukossa.

Oktaedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (4 3 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös [[Coxeterin ryhmä]]  B<sub>2</sub> tai [4,3], taikka [[Coxeterin diagrammi]]: [[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]].

Näin saadaan 48 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan [[disdyakis-dodekaedri]]n tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

:[[Tiedosto:Disdyakisdodecahedron.jpg|100px]] [[Tiedosto:Octahedral reflection domains.png|100px]][[Tiedosto:Sphere symmetry group oh.png|100px]]

{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nimi
!rowspan=2|Graafi<BR>B<sub>3</sub>
!rowspan=2|Graafi<BR>B<sub>2</sub>
!rowspan=2|Kuva
!rowspan=2|Laatoitus
!rowspan=2|Kärkikuvio
!rowspan=2|[[Coxeterin diagrammi|Coxeterin]] ja [[Schläflin symboli]]t
!colspan=3|Tahkojen muodot eri positioissa
!colspan=3|Elementtien lukumäärät
|-
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]]<BR>[4]<BR>(6)
! Pos. 1<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[KuvaCDel node.png|6px]]
! Pos. 0<BR>[[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[3]<BR>(8)
! Tahkoja
! Särmiä
! Kärkiä
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!7
|align=center|[[Kuutio]]
|[[Tiedosto:3-cube t0.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube t0 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t0.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 432-t0.png|50px]]
|[[Tiedosto:Cube vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{4,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
|
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![2]
|align=center|[[Oktaedri]]
|[[Tiedosto:3-cube t2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube t2 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 432-t2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Octahedron vertfig.svg|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>{3,4}
|
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
![4]
|align=center|Suoristettu kuutio<BR>Suoristettu oktaedri<BR>([[Kuboktaedri]])
|[[Tiedosto:3-cube t1.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube t1 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t1.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 432-t1.png|50px]]
|[[Tiedosto:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{4,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!8
|align=center|[[Typistetty kuutio]]
|[[Tiedosto:3-cube t01.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube t01 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t01.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 432-t01.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated cube vertfig.svg|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t<sub>0,1</sub>{4,3}=t{4,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>[[Kahdeksankulmio|{8}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![5]
|align=center|[[Typistetty oktaedri]]
|[[Tiedosto:3-cube t12.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube t12 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t12.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 432-t12.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>0,1</sub>{3,4}=t{3,4}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!9
|align=center|Kantelloitu kuutio<BR>Kantelloitu oktaedri<BR>[[rombikuboktaedri]]
|[[Tiedosto:3-cube t02.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube t02 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t02.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 432-t02.png|50px]]
|[[Tiedosto:Small rhombicuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>0,2</sub>{4,3}=rr{4,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>[[Kahdeksankulmio|{8}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikuomio|{6}]]
| 26
| 48
| 24
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!10
|align=center|Täystypistetty kuutio<BR>täystypistetty oktaedri<BR>[[typistetty kuboktaedri]]
|[[Tiedosto:3-cube t012.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube t012 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-t012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 432-t012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Great_rhombicuboctahedron_vertfig.png|50px]]
|align=center|
[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>0,1,2</sub>{4,3}=tr{4,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>[[Kahdeksankulmio|{8}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| 26
| 72
| 48
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![6]
|align=center|Pullistettu oktaedri<BR>(Sama kuin [[ikosaedri]])
|[[Tiedosto:3-cube h01.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube h01 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-h01.png|50px]]
|[[Tiedosto:Spherical alternated truncated octahedron.png|50px]]
|[[Tiedosto:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]<BR>= [[Kuva:CDel nodes_hh.png|9px]][[Kuva:CDel split2.png|9px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]<BR>s{3,4}=sr{3,3}
| 
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 20
| 30
| 12

|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![1]
|align=center|Puolikuutio<BR>(Sama kuin [[tetraedri]])
|[[Tiedosto:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]] = [[Kuva:CDel nodes_10ru.png|9px]][[Kuva:CDel split2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>h{4,3}={3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR><sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Kolmio|{3}]] 
|
|
| 4
| 6
| 4

|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![2]
|align=center|Kanttinen kuutio<BR>(Sama kuin [[typistetty tetraedri]])
|[[Tiedosto:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t12.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t12.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h1.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>= [[Kuva:CDel nodes_10ru.png|9px]][[Kuva:CDel split2.png|9px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>h<sub>2</sub>{4,3}=t{3,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR> <sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Kuusikulmio|{6}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR><sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Kolmio|{3}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![4]
| (Sama kuin [[kuboktaedri]])
|[[Tiedosto:3-simplex t02 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t02.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t02.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t02.png|50px]]
|[[Tiedosto:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h0.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>= [[Kuva:CDel nodes_11.png|9px]][[Kuva:CDel split2.png|9px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>rr{3,3}
|
|
|
|14
|24
|12
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![5]
| (Sama kuin [[typistetty oktaedri]])
|[[Tiedosto:3-simplex t012 A2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-simplex t012.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 332-t012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h0.png|9px]]|[[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>= [[Kuva:CDel nodes_11.png|9px]][[Kuva:CDel split2.png|9px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>tr{3,3}
|
|
|
|14
|36
|24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![9]
| Kanttinen pullistettu oktaedri<br>(sama kuin [[rombikuboktaedri]])
|[[Tiedosto:3-cube t02.svg|50px]]
|[[Tiedosto:3-cube t02 B2.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 432-t02.png|50px]]
|[[Tiedosto:Small rhombicuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]<BR>s<sub>2</sub>{3,4}=rr{3,4}
|
|
|
| 26
| 48
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!11
|align=center|Pullistettu kuutio<BR>Pullistettu kuboktaedri
|[[Tiedosto:Snub cube_A2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Snub cube_B2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-43-s012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Spherical snub cube.png|50px]]
|[[Tiedosto:Snub cube vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]<BR>sr{4,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Kolmio|{3}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 38
| 60
| 24
|}

==== Ikosaedrisesti symmetriset monitahokkaat ====

Pallopinnan [[Ikosaedrinen symmetria|ikosaedrisella symmetrialla]] (I<sub>h</sub>) saadaan seitsemän uniformista monitahokasta sekä vielä yksi lisää poistamalla joka toinen kärki. Näin saaduista kahdeksasta muodosta vain yksi on sama, joka esiintyy myös edellä tetraedrisesti ja oktaedristen monitahokkaiden taulukoissa.

Oktaedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (5 3 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös [[Coxeterin ryhmä]] G<sub>2</sub> tai [4,3], taikka [[Coxeterin diagrammi]]: [[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]].

Näin saadaan 120 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan [[disdyakis-triakontaedri]]n tahkot ja jotka seuraavassa esitetään vuorottelevin värein pallon pinnalla:
:[[Tiedosto:Disdyakistriacontahedron.jpg|100px]] [[Tiedosto:Icosahedral reflection domains.png|100px]][[Tiedosto:Sphere symmetry group ih.png|100px]]

{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nimi
!rowspan=2|Graafi<BR>A<sub>3</sub>
!rowspan=2|Graafi<BR>A<sub>2</sub>
!rowspan=2|Kuva
!rowspan=2|Laatoitus
!rowspan=2|Kärkikuvio
!rowspan=2|[[Coxeterin diagrammi|Coxeterin]] ja [[Schläflin symboli]]t
!colspan=3|Tahkojen muodot eri positioissa
!colspan=3|Elementtien lukumäärät
|-
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]]<BR>[5]<BR>(12)
! Pos. 1<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(30)
! Pos. 0<BR>[[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[3]<BR>(20)
! Tahkoja
! Särmiä
! Kärkiä
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!12
|align=center|[[Dodekaedri]]
|[[Kuva:Dodecahedron A2 projection.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Dodecahedron H3 projection.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t0.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 532-t0.png|50px]]
|[[Tiedosto:Dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{5,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Viisikulmio|{5}]]
|
|
| 12
| 30
| 20
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![6]
|align=center|[[Ikosaedri]]
|[[Tiedosto:Icosahedron A2 projection.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Icosahedron H3 projection.svg|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 532-t2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>{3,5}
|
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 20
| 30
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!13
|align=center|Suoritettu dodekaedri<BR>Suoristettu ikosaedri<BR>[[Ikosidodekaedri]]
|[[Kuva:Dodecahedron t1 A2.png|50px]]
|[[Kuva:Dodecahedron t1 H3.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t1.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 532-t1.png|50px]]
|[[Tiedosto:Icosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t<sub>1</sub>{5,3}=r{5,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Viisikulmio|{5}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 32
| 60
| 30
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!14
|align=center|[[Typistetty dodekaedri]]
|[[Kuva:Dodecahedron t01 A2.png|50px]]
|[[Kuva:Dodecahedron t01 H3.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t01.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 532-t01.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]|3[[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t<sub>0,1</sub>{5,3}=t{5,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Kymmenkulmio|{10}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 32
| 90
| 60
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
!15
|align=center|[[Typistetty ikosaedri]]
|[[Kuva:Icosahedron t01 A2.png|50px]]
|[[Kuva:Icosahedron t01 H3.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t12.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 532-t12.png|50px]]
|[[Tiedosto:Truncated icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>t<sub>0,1</sub>{3,5}=t{3,5}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Viisikulmio|{5}]]
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| 32
| 90
| 60
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!16
|align=center|Kantelloitu dodekaedri<BR>Kantelloitu ikosaedri<BR>[[Rombikosidodekaedri]]
|[[Kuva:Dodecahedron t02 A2.png|50px]]
|[[Kuva:Dodecahedron t02 H3.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t02.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 532-t02.png|50px]]
|[[Tiedosto:Small rhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>t<sub>0,2</sub>{5,3}=rr{5,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Viisikulmio|{5}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 62
| 120
| 60
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!17
|align=center|Täystypistetty dodekaedri<BR>Täystypistetty ikosaedri<BR>[[Typistetty ikosidodekaedri]]
|[[Kuva:Dodecahedron t012 A2.png|50px]]
|[[Kuva:Dodecahedron t012 H3.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-t012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform tiling 532-t012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Great rhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{5,3}=tr{5,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>[[Kymmenkulmio|{10}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| 62
| 180
| 120
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!18
|align=center|[[Pullistettu dodekaedri]]<BR>Pullistettu ikosidodekaedri
|[[Kuva:Snub dodecahedron A2.png|50px]]
|[[Kuva:Snub dodecahedron H2.png|50px]]
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-53-s012.png|50px]]
|[[Tiedosto:Spherical snub dodecahedron.png|50px]]
|[[Tiedosto:Snub dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]<BR>sr{5,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Viisikulmio|{5}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Kolmio|{3}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| 92
| 150
| 60
|}

==== Diedrinen symmetria, särmiöt ja antiprismat ====

Pallopinnan [[Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa|diedrisella symmetrialla]] (D<sub>''p''h</sub>) saadaan kaksi ääretöntä joukkoa uniformisia monitahokkaita, [[särmiö]]t ja [[antiprisma]]t, sekä lisäksi kaksi ääretöntä joukkoa degeneroituja monitahokkaita, hosoedrit ja dihedrit, joita vastaavat tietyt laatoitukset eli [[tessellaatio]]t pallon pinnalla.

Diedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (p 2 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös [[Coxeterin ryhmä]] I<sub>2</sub>(p) tai [n2], taikka [[Coxeterin diagrammi]]:  [[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel p.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]].

Seuraavassa esitetään viisi ensimmäistä diedristä symmetriaa: D<sub>2</sub> ... D<sub>6</sub>. Diedrinen symmetria D<sub>p</sub> on kertalukua ''4n'' ja esittää [[bipyramidi]]n tahkoja. Pallopinnalla sitä vastaa päiväntasaaja pituussuunnassa sekä tasavälein ''n'' pituuspiiriä.

====== Diedrinen symmetria (2 2 2) ======

Diedrisellä symmetrialla D<sub>2h</sub> (2 2 2) saadaan 8 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavassa näkyvän neliöpohjaisen bipyramidin eli [[oktaedri]]n tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

:[[Tiedosto:Octahedron.svg|100px]] [[Tiedosto:Sphere symmetry group d2h.png|100px]]

{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nimi
!rowspan=2|Kuva
!rowspan=2|Laatoitus
!rowspan=2|Kärkikuvio
!rowspan=2|[[Coxeterin diagrammi|Coxeterin]] ja [[Schläflin symboli]]t
!colspan=3|Tahkojen muodot eri positioissa
!colspan=3|Elementtien lukumäärät
|-
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]]|<BR>[2]<BR>(2)
! Pos. 1<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(2)
! Pos. 0<BR>[[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(2)
! Tahkoja
! Särmiä
! Kärkiä
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>2</sub><BR>H<sub>2</sub>
|align=center|[[kaksikulmainen diedri]]<BR>[[kaksikulmainen hosoedri]]
|
|[[Tiedosto:digonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{2,2}
| [[Tiedosto:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>[[Digon|{2}]]
|
|
| 2
| 2
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>4</sub>
|align=center|Typistetty kaksikulmainen diedri<BR>(Sama kuin [[neliödiedri]])
|
|[[Tiedosto:tetragonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t{2,2}={4,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
|
|
| 2
| 4
| 4
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!P<sub>4</sub><BR>[7]
|align=center|Täystypistetty kaksikulmainen diedri<BR>(Sama kuin [[kuutio]])
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron 222-t012.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical square prism2.png|60px]]
|[[Tiedosto:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,2}=tr{2,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>2</sub><BR>[1]
|align=center|Pullistettu kaksikulmainen diedri<BR>sama kuin [[tetraedri]])
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t2.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical digonal antiprism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Tetrahedron vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]<BR>sr{2,2}
|
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Kolmio|{3}]]
| &nbsp;
| 4
| 6
| 4
|}

====== Diedrinen symmetria (3 2 2) ======

Diedrisellä symmetrialla D<sub>3h</sub> (3 2 2) saadaan 12 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan [[kuusikulmainen bipyramidi|kuusikulmaisen bipyramidin]] tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

:[[Tiedosto:Hexagonale bipiramide.png|100px]] [[Tiedosto:Sphere symmetry group d3h.png|100px]]

{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nimi
!rowspan=2|Kuva
!rowspan=2|Laatoitus
!rowspan=2|Kärkikuvio
!rowspan=2|[[Coxeterin diagrammi|Coxeterin]] ja [[Schläflin symboli]]t
!colspan=3|Tahkojen muodot eri positioissa
!colspan=3|Elementtien lukumäärät
|-
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]]<BR>[3]<BR>(2)
! Pos. 1<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(3)
! Pos. 0<BR>[[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(3)
! Tahkoja
! Särmiä
! Kärkiä
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>3</sub>
|align=center|[[Kolmikulmainen diedri]]
|
|[[Tiedosto:Trigonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{3,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
|
|
| 2
| 3
| 3
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>3</sub>
|align=center|[[Kolmikulmainen hosoedri]]
|
|[[Tiedosto:Trigonal hosohedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png]]<BR>{2,3}
| 
|
| [[Tiedosto:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>[[kaksikulmio|{2}]]
| 3
| 3
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>6</sub>
|align=center|Typistetty kolmikulmainen diedri<BR>(sama kuin [[kuusikulmainen diedri]])
|
|[[Tiedosto:Hexagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t{3,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
|
|
| 2
| 6
| 6
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>3</sub>
|align=center|Typistetty kolmikulmainen hosoedri<BR>(Kolmikulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Triangular prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical triangular prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t{2,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
|
| 5
| 9
| 6
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>6</sub>
|align=center|Täystypistetty kolmikulmainen diedri<BR>(Kuusikulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical hexagonal prism2.png|60px]]
|[[Tiedosto:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.pnx|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,3}=tr{2,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>3</sub><BR>[2]
|align=center|Pullistettu kolmikulmainen diedri<BR>(Sama kuin kolmikulmainen antiprisma)<BR>(Sama kuin [[oktaedri]])
|[[Tiedosto:Trigonal antiprism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical trigonal antiprism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Octahedron vertfig.svg|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|6px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_h.png|9px]]<BR>sr{2,3}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Kolmio|{3}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Kolmio|{3}]]
| &nbsp;
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>3</sub>
|align=center|Kanttinen pullistettu kolmikulmainen diedri<BR>([[Kolmikulmainen särmiö]])
|[[Tiedosto:Triangular prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical triangular prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<br>s<sub>2</sub>{2,3}=t{2,3}
|
|
|
| 5
| 9
| 6
|}

====== Diedrinen symmetria (4 2 2) ======

Diedrisellä symmetrialla D<sub>4h</sub> (4 2 2) saadaan 12 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kahdeksankulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

:[[Tiedosto:Octagonal bipyramid.png|80px]]

{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nimi
!rowspan=2|Kuva
!rowspan=2|Laatoitus
!rowspan=2|Kärkikuvio
!rowspan=2|[[Coxeterin diagrammi|Coxeterin]] ja [[Schläflin symboli]]t
!colspan=3|Tahkojen muodot eri positioissa
!colspan=3|Elementtien lukumäärät
|-
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]]<BR>[4]<BR>(2)
! Pos. 1<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(4)
! Pos. 0<BR>[[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(4)
! Tahkoja
! Särmiä
! Kärkiä
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>4</sub>
|align=center|[[neliödiedri]]
|
|[[Tiedosto:Tetragonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{4,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
|
|
| 2
| 4
| 4
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>4</sub>
|align=center|[[neliöhosoedri]]
|
|[[Tiedosto:Spherical square hosohedron.svg|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>{2,4}
| 
|
| [[Tiedosto:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>[[Kaksikulmion|{2}]]
| 4
| 4
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>8</sub>
|align=center|Typistetty neliödiedri<BR>(Sama kuin kahdeksankulmainen diedri)
|
|
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]|2[[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t{4,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>[[Kahdeksankulmio|{8}]]
|
|
| 2
| 8
| 8
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>4</sub><BR>[7]
|align=center|Typistetty neliöhosoedri<BR>([[Kuutio]])
|[[Tiedosto:Tetragonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical square prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>t{2,4}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|{4}]]
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>8</sub>
|align=center|Täystypistetty neliödiedri<BR>(Kahdeksankulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Octagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical octagonal prism2.png|60px]]
|[[Tiedosto:Octagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]|2[[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,4}=tr{2,4}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>[[Kahdeksankulmio|{8}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| 10
| 24
| 16
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>4</sub>
|align=center|Pullistettu neliödiedri<BR>(Neliöpohjainen antiprisma)
|[[Tiedosto:Square antiprism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical square antiprism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Square antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]]<BR>sr{2,4}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Kolmio|{3}]]
| &nbsp;
| 10
| 16
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>4</sub><br>[7]
|align=center|Kanttinen pullistettu neliödiedri<BR>([[Kuutio]])
|[[Tiedosto:Tetragonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical square prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<br>s<sub>2</sub>{4,2}=t{2,4}
|
|
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>2</sub><br>[1]
|align=center|Pullistettu neliöpohjainen hosoedri<BR>(Kaksikulmainen hosoedri)<BR>([[Tetraedri]])
|[[Tiedosto:Uniform polyhedron-33-t2.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical digonal antiprism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Tetrahedron vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 4.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]]<br>s{2,4}=sr{2,2}
|
|
|
| 4
| 6
| 4
|}

====== Diedrinen symmetria (5 2 2) ======

Diedrisellä symmetrialla D<sub>5h</sub> (4 2 2) saadaan 20 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kymmenkulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

:[[Tiedosto:Decagonal bipyramid.png|60px]]

{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nimi
!rowspan=2|Kuva
!rowspan=2|Laatoitus
!rowspan=2|Kärkikuvio
!rowspan=2|[[Coxeterin diagrammi|Coxeterin]] ja [[Schläflin symboli]]t
!colspan=3|Tahkojen muodot eri positioissa
!colspan=3|Elementtien lukumäärät
|-
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]]<BR>[5]<BR>(2)
! Pos. 1<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(5)
! Pos. 0<BR>[[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(5)
! Tahkoja
! Särmiä
! Kärkiä
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>5</sub>
|align=center|Viisikulmainen diedri
|
|[[Tiedosto:Pentagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{5,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Viisikulmio|{5}]]
|
|
| 2
| 5
| 5
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>5</sub>
|align=center|Viisikulmainen hosoedri
|
|[[Tiedosto:Spherical pentagonal hosohedron.svg|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>{2,5}
| 
|
| [[Tiedosto:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>[[Digon|{2}]]
| 5
| 5
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>10</sub>
|align=center|Typistetty viisikulmainen diedri<BR>(Sama kuin kymmenkulmainen diedri)
|
|
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t{5,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>[[Kymmenkulmio|{10}]]
|
|
| 2
| 10
| 10
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>5</sub>
|align=center|Typistetty viisikulmainen hosoedri<BR>(Sama kuin viisikulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Pentagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical pentagonal prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Pentagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t{2,5}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Viisikulmio|{5}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
|
| 7
| 15
| 10
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>10</sub>
|align=center|Täystypistetty viisikulmainen diedri<BR>(Kymmenkulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Decagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical decagonal prism2.png|60px]]
|[[Tiedosto:Decagonal prism vf.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,5}=tr{2,5}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>[[Kymmenkulmio|{10}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| 12
| 30
| 20
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>5</sub>
|align=center|Pullistettu viisikulmainen diedri<BR>(Viisikulmainen antiprisma)
|[[Tiedosto:Pentagonal antiprism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical pentagonal antiprism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Pentagonal antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]]}}<BR>sr{2,5}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Viisikulmio|{5}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Kolmio|{3}]]
| &nbsp;
| 12
| 20
| 10
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>5</sub>
|align=center|Kanttinen pullistettu viisikulmainen diedri<BR>(Viisikulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Pentagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical pentagonal prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Pentagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 5.svg|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<br>s<sub>2</sub>{5,2}=t{2,5}
|
|
|
| 7
| 15
| 10
|}

====== Diedrinen symmetria (6 2 2) ======

Diedrisellä symmetrialla D<sub>6h</sub> (4 2 2) saadaan 24 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kaksitoistakulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:


{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nimi
!rowspan=2|Kuva
!rowspan=2|Laatoitus
!rowspan=2|Kärkikuvio
!rowspan=2|[[Coxeterin diagrammi|Coxeterin]] ja [[Schläflin symboli]]t
!colspan=3|Tahkojen muodot eri positioissa
!colspan=3|Elementtien lukumäärät
|-
! Pos. 2<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]]<BR>[6]<BR>(2)
! Pos. 1<BR>[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(6)
! Pos. 0<BR>[[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>[2]<BR>(6)
! Tahkoja
! Särmiä
! Kärkiä
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>6</sub>
|align=center|Kuusikulmainen diedri
|
|[[Tiedosto:Hexagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>{6,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
|
|
| 2
| 6
| 6
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>6</sub>
|align=center|Kuusikulmainen hosoedri
|
|[[Tiedosto:Hexagonal hosohedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>{2,6}
| 
|
| [[Tiedosto:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>[[Digon|{2}]]
| 6
| 6
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>12</sub>
|align=center|Typistetty kuusikulmainen diedri<BR>(Sama kuin kaksitoistakulmainen diedri)
|
|[[Tiedosto:Dodecagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]|2[[Kuva:CDel node.png|6px]]<BR>t{6,2}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>[[Kaksitoistakulmio|{12}]]
|
|
| 2
| 12
| 12
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>6</sub>
|align=center|Typistetty kuusikulmainen hosoedri<BR>(Sama kuin kuusikulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical hexagonal prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>t{2,6}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
|
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>12</sub>
|align=center|Täystypistetty kuusikulmainen diedri<BR>(12-kulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Dodecagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical truncated hexagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Dodecagonal prism vf.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]|2[[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,6}=tr{2,6}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>[[Kaksitoistakulmio|{12}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Neliö (geometria)|[4}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>6</sub>
|align=center|Pullistettu kuusikulmainen diedri<BR>(Kuusikulmainen antiprisma)
|[[Tiedosto:Hexagonal antiprism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical hexagonal antiprism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Hexagonal antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]]<BR>sr{2,6}
| [[Tiedosto:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Kuusikulmio|{6}]]
| [[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Tiedosto:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Kolmio|{3}]]
|&nbsp;
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>3</sub>
|align=center|Kanttinen kuusikulmainen diedri<BR>(Kolmikulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Triangular prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical triangular prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h1.png|6px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]] = [[Kuva:CDel node_1.png|9px]][[Kuva:CDel 3.png|6px]][[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 2.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]<BR>h<sub>2</sub>{6,2}=t{2,3}
|
|
|
|5
|9
|6
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>6</sub>
|align=center|Kanttinen pullistettu kuusikulmainen diedri<BR>(Kuusikulmainen särmiö)
|[[Tiedosto:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical hexagonal prism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_1.png|9px]]}}<br>s<sub>2</sub>{6,2}=t{2,6}
|
|
|
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>3</sub><BR>[2]
|align=center|Pullistettu heksagonaalinen hosoedri<br>(Sama kuin triangulaarinen antiprisma)<BR>(Sama kuin [[oktaedri]])
|[[Tiedosto:Trigonal antiprism.png|60px]]
|[[Tiedosto:Spherical trigonal antiprism.svg|60px]]
|[[Tiedosto:Octahedron vertfig.svg|60px]]
|align=center|[[Kuva:CDel node.png|6px]][[Kuva:CDel 6.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]][[Kuva:CDel 2x.png|6px]][[Kuva:CDel node_h|9px]]}}<BR>s{2,6}=sr{2,3}
|
|
|
| 8
| 12
| 6
|}

== Uniformiset tähtimonikulmiot ==

Uniformisia tähtimonitahokkaita, jotka eivät ole [[särmiö]]itä, on kaikkiaan 57. Ne voidaan muodostaa Wythoffin konstruktiolla [[Schwarzin kolmio]]ista.

Uniformisista tähtimonitahokkaista neljä on säännöllisiä ([[Kepler-Poinsotin kappaleet]]), viisi [[kvasisäännöllinen monitahokas|kvasisäännöllistä]] ja loput 48 [[semiregulaarinen monitahokas|semiregulaarisia]].

Eri tutkijat ovat numeroineet uniformiset monitahokkaat eri tavoin. Seuraavissa taulukoissa sarake C# tarkoittaa Coxeterin vuonna 1954, W# Wenningerin vuonna 1974 ja K# Kaleidon vuonna 1993 käyttämää numerointia. Coxeterin numeroinnissa kuperat muodot saivat numerot 15–32, kolme prismaattista muotoa numerot 33–35 ja ei-kuperat muodot numerot 36–92. Wenninger antoi Platonin kappaleille numerot 1–5, Arkhimedeen kappaleille numerot 6–18, tähtimäisille muodoille numerot 19–66, mihin sisältyy myös neljä säännöllistä ei-kuperaa monitahokasta, sekä loput numerot 67–119 ei-kuperille uniformisille monitahokkaille. Kaleidon numeroinnissa 80 muotoa ryhmiteltiin symmetrian mukaan: numerot 1–4 kuuluivat sellaisten prismaattisten muotojen äärettömille perheille, joilla on [[diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa|diedrinen symmetria]], numerot 6–9 tetraedrisesti, numerot 10–26 oktaedrisesti ja numerot 46–80 ikosaedrisesti symmetrisille kappaleille. U# tarkoittaa Mathematica -teoksessa käytettyä numerointia, joka eroaa Kaleidon numeroinnista siinä, että viisi prismaattista muotoa siirrettiin viimeisiksi, jolloin ei-prismaattiset muodot saivat numerot 1–75. Sarake ”Khii” taulukoissa tarkoittaa [[Eulerin karakteristika]]a.

Särmiöt eivät ole mukana seuraavissa taulukoissa.

=== Kepler–Poinsotin kappaleet ===

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center"
!Nimi|| Kuva|| [[Wythoffin symboli|Wythoffin<BR>symboli]]|| Kärki-<BR>kuvio|| Symm.|| C#|| W#|| U#|| K#|| Kärkiä|| Särmiä|| Tahkoja|| [[Eulerin karakteristika|Khii]]|| [[Orientoituvuus|Orien-<BR>toituva?]]|| Tiheys|| Tahkojen tyypit
|-
| Suuri<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great dodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> &#124; 2 5|| [[Kuva:Great dodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(5.5.5.5.5)/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C44||W021|| U35|| K40|| 12|| 30|| 12|| -6|| Kyllä|| 3|| 12{5}
|-
| Suuri<BR>ikosaedri || [[Kuva:Great icosahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> &#124; 2 3|| [[Kuva:Great icosahedron vertfig.png|50px]]<BR>(3.3.3.3.3)/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C69||W041|| U53|| K58|| 12|| 30|| 20|| 2|| Kyllä|| 7|| 20{3}
|-
| Pieni<BR>tähti-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Small stellated dodecahedron.png|60px]]|| 5 &#124; 2 <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| [[Kuva:Small stellated dodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>)<SUP>5</SUP>|| I<sub>h</sub>|| C43|| W020|| U34|| K39|| 12|| 30|| 12|| -6|| Kyllä|| 3|| 12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Suuri<BR>tähti-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great stellated dodecahedron.png|60px]]|| 3 &#124; 2 <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| [[Kuva:Great stellated dodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>)<SUP>3</SUP>|| I<sub>h</sub>|| C68|| W022|| U52|| K57|| 20|| 30|| 12|| 2|| Kyllä|| 7|| 12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|}

=== Kvasisäännölliset uniformiset tähtimonitahokkaat ===

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center"
! Nimi|| Kuva|| [[Wythoffin symboli|Wythoffin<BR>symboli]]|| Kärki-<BR>kuvio|| Symm.|| C#|| W#|| U#|| K#|| Kärkiä|| Särmiä|| Tahkoja|| [[Eulerin karakteristika|Khii]]|| [[Orientoituvuus|Orien-<BR>toituva?]]|| Tiheys|| Tahkojen tyypit
|-
| Suuri<BR>ikosidodekaedri || [[Kuva:Great icosidodecahedron.png|60px]]|| 2 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 3|| [[Kuva:Great icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.3)<SUP>2</SUP>|| I<sub>h</sub>|| C70|| W094|| U54|| K59|| 30|| 60|| 32|| 2|| Kyllä|| 7|| 20{3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Dodeka-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Dodecadodecahedron.png|60px]]|| 2 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 5|| [[Kuva:Dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.5)<SUP>2</SUP>|| I<sub>h</sub>|| C45|| W073|| U36|| K41|| 30|| 60|| 24|| -6|| Kyllä|| 3|| 12{5}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Pieni<BR>trigonaarinen<BR>ikosidodekaedri || [[Kuva:Small ditrigonal icosidodecahedron.png|60px]]|| 3 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 3|| [[Kuva:Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.3)<SUP>3</SUP>|| I<sub>h</sub>|| C39|| W070|| U30|| K35|| 20|| 60|| 32|| -8|| Kyllä|| 2|| 20{3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Ditrigonaalinen dodekadodekaedri || [[Kuva:Ditrigonal dodecadodecahedron.png|60px]]|| 3 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 5|| [[Kuva:Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.5)<SUP>3</SUP>|| I<sub>h</sub>|| C53|| W080|| U41|| K46|| 20|| 60|| 24|| -16|| Kyllä|| 4|| 12{5}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Suuri<br>ditrigonaalinen<BR>ikosidodekaedri || [[Kuva:Great ditrigonal icosidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> &#124; 3 5|| [[Kuva:Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(5.3.5.3.5.3)/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C61||W087|| U47|| K52|| 20|| 60|| 32|| -8|| Kyllä|| 6|| 20{3}+12{5}
|}

|}

=== Muut uniformiset tähtimonitahokkaat ===

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center"
! Nimi|| Kuva|| [[Wythoffin symboli|Wythoffin<BR>symboli]]|| Kärki-<BR>kuvio|| Symm.|| C#|| W#|| U#|| K#|| Kärkiä|| Särmiä|| Tahkoja|| [[Eulerin karakteristika|Khii]]|| [[Orientoituvuus|Orien-<BR>toituva?]]|| Tiheys|| Tahkojen tyypit
|-
| Oktahemioktaedri || [[Kuva:Octahemioctahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> 3 &#124; 3|| [[Kuva:Octahemioctahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.6.3|| O<sub>h</sub>|| C37||W068|| U03|| K08|| 12|| 24|| 12|| 0|| Kyllä|| &nbsp;|| 8{3}+4{6}
|-
| Tetrahemiheksaedri || [[Kuva:Tetrahemihexahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> 3 &#124; 2|| [[Kuva:Tetrahemihexahedron vertfig.svg|50px]]<BR>4.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.4.3|| T<sub>d</sub>|| C36||W067|| U04|| K09|| 6|| 12|| 7|| 1|| Ei|| &nbsp;|| 4{3}+3{4}
|-
| Kubohemioktaedri || [[Kuva:Cubohemioctahedron.png|60px]]|| <SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB> 4 &#124; 3|| [[Kuva:Cubohemioctahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.<SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB>.6.4|| O<sub>h</sub>|| C51||W078|| U15|| K20|| 12|| 24|| 10|| -2|| Ei|| &nbsp;|| 6{4}+4{6}
|-
| Pieni<BR>rombiheksaedri || [[Kuva:Small rhombihexahedron.png|60px]]|| 2 4 (<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> <SUP>4</SUP>/<SUB>2</SUB>) &#124; || [[Kuva:Small rhombihexahedron vertfig.png|50px]]<BR>4.8.<SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB>.<sup>8</sup>/<sub>7</sub>|| O<sub>h</sub>|| C60||W086|| U18|| K23|| 24|| 48|| 18|| -6|| Ei|| &nbsp;|| 12{4}+6{8}
|-
| Pieni<BR>kubikuboktaedri || [[Kuva:Small cubicuboctahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> 4 &#124; 4|| [[Kuva:Small cubicuboctahedron vertfig.png|50px]]<BR>8.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.8.4|| O<sub>h</sub>|| C38||W069|| U13|| K18|| 24|| 48|| 20|| -4|| Kyllä|| 2|| 8{3}+6{4}+6{8}
|-
| Ei-kupera suuri rombikuboktaedri || [[Kuva:Uniform great rhombicuboctahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> 4 &#124; 2|| [[Kuva:Uniform great rhombicuboctahedron vertfig.png|50px]]<BR>4.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.4.4|| O<sub>h</sub>|| C59||W085|| U17|| K22|| 24|| 48|| 26|| 2|| Kyllä|| 5|| 8{3}+(6+12){4}
|-
| Pieni dodekahemi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Small dodecahemidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>4</SUB> 5 &#124; 5|| [[Kuva:Small dodecahemidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>10.<SUP>5</SUP>/<SUB>4</SUB>.10.5|| I<sub>h</sub>|| C65||W091|| U51|| K56|| 30|| 60|| 18|| -12|| Ei|| &nbsp;|| 12{5}+6{10}
|-
| Suuri dodekahemi-<BR>ikosaedri || [[Kuva:Great dodecahemicosahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>4</SUB> 5 &#124; 3|| [[Kuva:Great dodecahemicosahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.<SUP>5</SUP>/<SUB>4</SUB>.6.5|| I<sub>h</sub>||C81|| W102|| U65|| K70|| 30|| 60|| 22|| -8|| Ei|| &nbsp;|| 12{5}+10{6}
|-
| Pieni ikosihemi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Small icosihemidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> 3 &#124; 5|| [[Kuva:Small icosihemidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>10.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.10.3|| I<sub>h</sub>|| C63||W089|| U49|| K54|| 30|| 60|| 26|| -4|| Ei|| &nbsp;|| 20{3}+6{10}
|-
| Pieni<BR>dodekikosaedri || [[Kuva:Small dodecicosahedron.png|60px]]|| 3 5 (<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> <SUP>5</SUP>/<SUB>4</SUB>) &#124; || [[Kuva:Small dodecicosahedron vertfig.png|50px]]<BR>10.6.<SUP>10</SUP>/<SUB>9</SUB>.<SUP>6</SUP>/<SUB>5</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C64||W090|| U50|| K55|| 60|| 120|| 32|| -28|| Ei|| &nbsp;|| 20{6}+12{10}
|-
| Pieni<BR>rombidodekaedri || [[Kuva:Small rhombidodecahedron.png|60px]]|| 2 5 (<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>) &#124; || [[Kuva:Small rhombidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>10.4.<SUP>10</SUP>/<SUB>9</SUB>.<SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C46||W074|| U39|| K44|| 60|| 120|| 42|| -18|| Ei|| &nbsp;|| 30{4}+12{10}
|-
| Pieni dodekikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Small dodecicosidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> 5 &#124; 5|| [[Kuva:Small dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>10.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.10.5|| I<sub>h</sub>||C42|| W072|| U33|| K38|| 60|| 120|| 44|| -16|| Kyllä|| 2|| 20{3}+12{5}+12{10}
|-
| Rombikoksaedri || [[Kuva:Rhombicosahedron.png|60px]]|| 2 3 (<SUP>5</SUP>/<SUB>4</SUB> <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>) &#124; || [[Kuva:Rhombicosahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.4.<SUP>6</SUP>/<SUB>5</SUB>.<SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB>|| I<sub>h</sub>||C72|| W096|| U56|| K61|| 60|| 120|| 50|| -10|| Ei|| &nbsp;|| 30{4}+20{6}
|-
| Suuri<br>ikosikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great icosicosidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> 5 &#124; 3|| [[Kuva:Great icosicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.6.5|| I<sub>h</sub>|| C62||W088|| U48|| K53|| 60|| 120|| 52|| -8|| Kyllä|| 6|| 20{3}+12{5}+20{6}
|-
| Tähtimäinen<BR>typistetty<BR>heksaedri || [[Kuva:Stellated truncated hexahedron.png|60px]]|| 2 3 &#124; <SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB>|| [[Kuva:Stellated truncated hexahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>.3|| O<sub>h</sub>|| C66|| W092|| U19|| K24|| 24|| 36|| 14|| 2|| Kyllä|| 7|| 8{3}+6{<SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Suuri<BR>rombiheksaedri || [[Kuva:Great rhombihexahedron.png|60px]]|| 2 <SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB> (<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> <SUP>4</SUP>/<SUB>2</SUB>) &#124; || [[Kuva:Great rhombihexahedron vertfig.png|50px]]<BR>4.<SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>8</SUP>/<SUB>5</SUB>|| O<sub>h</sub>|| C82|| W103|| U21|| K26|| 24|| 48|| 18|| -6|| Ei|| &nbsp;|| 12{4}+6{<SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Suuri<BR>kubikuboktaedri || [[Kuva:Great cubicuboctahedron.png|60px]]|| 3 4 &#124; <SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB>|| [[Kuva:Great cubicuboctahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>.3.<SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>.4|| O<sub>h</sub>|| C50|| W077|| U14|| K19|| 24|| 48|| 20|| -4|| Kyllä|| 4|| 8{3}+6{4}+6{<SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Suuri dodekahemi-<BR>dodekaedri  || [[Kuva:Great dodecahemidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB><SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>|| [[Kuva:Great dodecahemidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C86|| W107|| U70|| K75|| 30|| 60|| 18|| -12|| Ei|| &nbsp;|| 12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}+6{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Pieni dodekahemi-<BR>ikosaedri || [[Kuva:Small dodecahemicosahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB><SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> &#124; 3|| [[Kuva:Small dodecahemicosahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.6.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C78|| W100|| U62|| K67|| 30|| 60|| 22|| -8|| Ei|| &nbsp;|| 12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}+10{6}
|-
| Suuri ikosihemi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great icosihemidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> 3 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>|| [[Kuva:Great icosihemidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.3|| I<sub>h</sub>|| C85|| W106|| U71|| K76|| 30|| 60|| 26|| -4|| Ei|| &nbsp;|| 20{3}+6{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Kubitypistetty<BR>kuboktaedri || [[Kuva:Cubitruncated cuboctahedron.png|60px]]|| <SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB> 3 4 &#124; || [[Kuva:Cubitruncated cuboctahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>.6.8|| O<sub>h</sub>|| C52|| W079|| U16|| K21|| 48|| 72|| 20|| -4|| Kyllä|| 4|| 8{6}+6{8}+6{<SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Suuri<BR>typistetty<BR>kuboktaedri || [[Kuva:Great truncated cuboctahedron.png|60px]]|| <SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB> 2 3 &#124; || [[Kuva:Great truncated cuboctahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>.4.<SUP>6</SUP>/<SUB>5</SUB>|| O<sub>h</sub>|| C67|| W093|| U20|| K25|| 48|| 72|| 26|| 2|| Kyllä|| 1|| 12{4}+8{6}+6{<SUP>8</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Typistetty<BR>suuri<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great truncated dodecahedron.png|60px]]|| 2 <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> &#124; 5|| [[Kuva:Truncated great dodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>10.10.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C47|| W075|| U37|| K42|| 60|| 90|| 24|| -6|| Kyllä|| 3|| 12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}+12{10}
|-
| Pieni<BR>tähtimäinen<BR>typistetty<BR>dodekaedri || [[Kuva:Small stellated truncated dodecahedron.png|60px]]|| 2 5 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>|| [[Kuva:Small stellated truncated dodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.5|| I<sub>h</sub>|| C74|| W097|| U58|| K63|| 60|| 90|| 24|| -6|| Kyllä|| 9|| 12{5}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Suuri<BR>tähtimäinen<BR>typistetty<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great stellated truncated dodecahedron.png|60px]] ||2 3 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>|| [[Kuva:Great stellated truncated dodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.3|| I<sub>h</sub>|| C83|| W104|| U66|| K71|| 60|| 90|| 32|| 2|| Kyllä|| 13|| 20{3}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Typistetty<BR>suuri<BR>ikosaedri || [[Kuva:Great truncated icosahedron.png|60px]]|| 2 <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> &#124; 3|| [[Kuva:Great truncated icosahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.6.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C71|| W095|| U55|| K60|| 60|| 90|| 32|| 2|| Kyllä|| 7|| 12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}+20{6}
|-
| Suuri<BR>dodekikosaedri || [[Kuva:Great dodecicosahedron.png|60px]]|| 3 <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>(<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>) &#124; || [[Kuva:Great dodecicosahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>6</SUP>/<SUB>5</SUB>.<SUP>10</SUP>/<SUB>7</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C79|| W101|| U63|| K68|| 60|| 120|| 32|| -28|| Ei|| &nbsp;|| 20{6}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Suuri<BR>rombidodekaedri || [[Kuva:Great rhombidodecahedron.png|60px]]|| 2 <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> (<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB> <SUP>5</SUP>/<SUB>4</SUB>) &#124; || [[Kuva:Great rhombidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>4.<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>4</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>10</SUP>/<SUB>7</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C89|| W109|| U73|| K78|| 60|| 120|| 42|| -18|| Ei|| &nbsp;|| 30{4}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Ikosidodeka-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Icosidodecadodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 5 &#124; 3|| [[Kuva:Icosidodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.6.5||I<sub>h</sub>|| C56|| W083|| U44|| K49|| 60|| 120|| 44|| -16|| Kyllä|| 4|| 12{5}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}+20{6}
|-
| Pieni<BR>trigonaalinen<BR>dodekikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 3 &#124; 5|| [[Kuva:Small ditrigonal dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>10.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.10.3|| I<sub>h</sub>|| C55|| W082|| U43|| K48|| 60|| 120|| 44|| -16|| Kyllä|| 4|| 20{3}+12{<SUP>;5</SUP>/<SUB>2</SUB>}+12{10}
|-
| Suuri<BR>trigonaalinen<BR>dokekikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png|60px]]|| 3 5 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>|| [[Kuva:Great ditrigonal dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.3.<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.5|| I<sub>h</sub>|| C54|| W081|| U42|| K47|| 60|| 120|| 44|| -16|| Kyllä|| 4|| 20{3}+12{5}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Suuri<BR>dodekikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great dodecicosidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 3 &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>|| [[Kuva:Great dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.3|| I<sub>h</sub>|| C77|| W099|| U61|| K66|| 60|| 120|| 44|| -16|| Kyllä|| 10|| 20{3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Pieni<BR>ikosikosi-<BR>dodekaedri|| [[Kuva:Small icosicosidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 3 &#124; 3|| [[Kuva:Small icosicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>6.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.6.3|| I<sub>h</sub>|| C40|| W071|| U31|| K36|| 60|| 120|| 52|| -8|| Kyllä|| 2|| 20{3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}+20{6}
|-
| Rombodideka-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Rhombidodecadodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 5 &#124; 2|| [[Kuva:Rhombidodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>4.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.4.5|| I<sub>h</sub>|| C48|| W076|| U38|| K43|| 60|| 120|| 54|| -6|| Kyllä|| 3|| 30{4}+12{5}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Suuri<BR>rombikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Uniform great rhombicosidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 3 &#124; 2|| [[Kuva:Uniform great rhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>4.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.4.3|| I<sub>h</sub>|| C84|| W105|| U67|| K72|| 60|| 120|| 62|| 2|| Kyllä|| 13|| 20{3}+30{4}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Ikositypistetty<BR>dodeka-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Icositruncated dodecadodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 3 5 &#124; || [[Kuva:Icositruncated dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.6.10|| I<sub>h</sub>|| C57|| W084|| U45|| K50|| 120|| 180|| 44|| -16|| Kyllä|| 4|| 20{6}+12{10}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Typistetty<BR>dodeka-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Truncated dodecadodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 2 5 &#124; || [[Kuva:Truncated dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.4.<SUP>10</SUP>/<SUB>9</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C75|| W098|| U59|| K64|| 120|| 180|| 54|| -6|| Kyllä|| 3|| 30{4}+12{10}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Suuri<BR>typistetty<BR>ikosidodekaedri || [[Kuva:Great truncated icosidodecahedron.png|60px]]|| <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 2 3 &#124; || [[Kuva:Great truncated icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>.4.6|| I<sub>h</sub>|| C87|| W108|| U68|| K73|| 120|| 180|| 62|| 2|| Kyllä|| 13|| 30{4}+20{6}+12{<SUP>10</SUP>/<SUB>3</SUB>}
|-
| Pullistettu<BR>dodeka-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Snub dodecadodecahedron.png|60px]]||  &#124; 2 <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 5|| [[Kuva:Snub dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>3.3.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.3.5|| I|| C49|| W111|| U40|| K45|| 60|| 150|| 84|| -6|| Kyllä|| 3|| 60{3}+12{5}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Invertoitu<BR>pullistettu<br>dodeka-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Inverted snub dodecadodecahedron.png|60px]]||  &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 2 5|| [[Kuva:Inverted snub dodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>3.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.3.3.5|| I|| C76|| W114|| U60|| K65|| 60|| 150|| 84|| -6|| Kyllä|| 9|| 60{3}+12{5}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Suuri<BR>pullistettu<BR>ikosidodekaedri || [[Kuva:Great snub icosidodecahedron.png|60px]]||  &#124; 2 <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 3|| [[Kuva:Great snub icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>3<SUP>4</SUP>.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| I|| C73|| W116|| U57|| K62|| 60|| 150|| 92|| 2|| Kyllä|| 7|| (20+60){3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Suuri<BR>invertoitu<BR>pullistettu<BR>ikosidodekaedri || [[Kuva:Great inverted snub icosidodecahedron.png|60px]]||  &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 2 3|| [[Kuva:Great inverted snub icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>3<SUP>4</SUP>.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>|| I|| C88|| W113|| U69|| K74|| 60|| 150|| 92|| 2|| Kyllä|| 13|| (20+60){3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Suuri<BR>retropullistettu<BR>ikosidodekaedri || [[Kuva:Great retrosnub icosidodecahedron.png|60px]]||  &#124; <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB><SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 2|| [[Kuva:Great retrosnub icosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(3<SUP>4</SUP>.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>)/<SUB>2</SUB>|| I|| C90|| W117|| U74|| K79|| 60|| 150|| 92|| 2|| Kyllä|| 37|| (20+60){3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Suuri<BR>pullistettu<BR>dodekikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great snub dodecicosidodecahedron.png|60px]]||  &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB><SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 3|| [[Kuva:Great snub dodecicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>3<SUP>3</SUP>.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.3.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| I|| C80|| W115|| U64|| K69|| 60|| 180|| 104|| -16|| Kyllä|| 10|| (20+60){3}+(12+12){<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Pullistettu<BR>ikosidodeka-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Snub icosidodecadodecahedron.png|60px]]||  &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 3 5|| [[Kuva:Snub icosidodecadodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>3<SUP>3</SUP>.5.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>|| I|| C58|| W112|| U46|| K51|| 60|| 180|| 104|| -16|| Kyllä|| 4|| (20+60){3}+12{5}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Pieni<BR>pullistettu<BR>ikosikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Small snub icosicosidodecahedron.png|60px]]||  &#124; <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB> 3 3|| [[Kuva:Small snub icosicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>3<SUP>5</SUP>.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C41|| W110|| U32|| K37|| 60|| 180|| 112|| -8|| Kyllä|| 2|| (40+60){3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Pieni<BR>retropullistettu<BR>ikosikosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Small retrosnub icosicosidodecahedron.png|60px]]||  &#124; <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB><SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB><SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>|| [[Kuva:Small retrosnub icosicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR>(3<SUP>5</SUP>.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>)/<SUB>2</SUB>|| I<sub>h</sub>|| C91|| W118|| U72|| K77|| 60|| 180|| 112|| -8|| Kyllä|| 38|| (40+60){3}+12{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|-
| Suuri<br>dirombikokosi-<BR>dodekaedri || [[Kuva:Great dirhombicosidodecahedron.png|60px]]|| nowrap|&#124; <SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB><SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB> 3 <SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>
|| [[Kuva:Great dirhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SMALL>(4.<SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.4.3.<BR> 4.<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.4.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>)/<SUB>2</SUB></SMALL>|| I<sub>h</sub>|| C92|| W119|| U75|| K80|| 60|| 240|| 124|| -56|| Ei|| &nbsp;|| 40{3}+60{4}+24{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|}

Luetteloon voidaan lisätä vielä seuraava ''suuri kaksoispullistettu dirombododekaedri'', jonka 360 särmästä 240 on pareittain päällekkäin muodostaen 120 kahden yhtyvän särmän paria. Koska sen särmät ovat tällä tavoin degeneroituneet, sitä ei aina lueta uniformisiin monitahokkaisiin kuuluvaksi. Jos nämä 120 paria lasketaan kukin yhdeksi särmäksi, jossa toisensa kohtaa neljä tahkoa, kappaleella on vain 240 särmää, ja sen [[Eulerin karakteristika]]ksi saadaan 24.

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center"
! Nimi|| Kuva|| [[Wythoffin symboli|Wythoffin<BR>symboli]]|| Kärki-<BR>kuvio|| Symm.|| C#|| W#|| U#|| K#|| Kärkiä|| Särmiä|| Tahkoja|| [[Eulerin karakteristika|Khii]]|| [[Orientoituvuus|Orien-<BR>toituva?]]|| Tiheys|| Tahkojen tyypit
|-
|| Suuri kaksoispullistettu<BR>dirombidodekaedri || [[Kuva:Great disnub dirhombidodecahedron.png|60px]]||  &#124; (<sup>3</sup>/<sub>2</sub>) <sup>5</sup>/<sub>3</sub> (3) <sup>5</sup>/<sub>2</sub>|| [[Kuva:Great disnub dirhombidodecahedron vertfig.png|50px]]<BR><SMALL>(<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>.4.3.3.3.4. <SUP>5</SUP>/<SUB>3</SUB>.<BR>4.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.<SUP>3</SUP>/<SUB>2</SUB>.4)/<SUB>2</SUB></SMALL>|| I<sub>h</sub>|| --||--|| --|| --|| 60|| 360 (*)|| 204|| -96|| Ei|| &nbsp;|| 120{3}+60{4}+24{<SUP>5</SUP>/<SUB>2</SUB>}
|}


{{käännös|:en:Uniform polyhedron}}
{{käännös|:en:List of uniform polyhedra}}

== Lähteet ==

* {{kirjaviite | Tekijä = M. Brückner | Nimeke = Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte | Julkaisija = Teubner | Julkaisupaikka = Leipzig | Vuosi = 1900 | www = http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Magnus Wenninger | Nimeke = Polyhedron Models | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 1974 | Tunniste = | Isbn = 0-521-09859-9 }}
* {{lehtiviite | Tekijä = J. Skilling | Nimeke = The complete set of uniform polyhedra | Julkaisu = Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | Tunniste = | Issn = 0080-4614 | Ajankohta = 6.3.1975 | Vuosikerta = 278 | Numero = 1278 | Sivut = 111–135 | Doi = 10.1098/rsta.1975.0022}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html | Nimeke = UniformPolyhedron.html | Julkaisija = Eric W. Weisstein | Sivusto = Wolfram MathWorld | Viitattu = 20.11.2018}}

=== Viitteet ===
{{viitteet}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat-rivi}}

[[Luokka:Monitahokkaat]]