Lähdekoodi sivulle Traktrix

[[Tiedosto:Tractrixtry.gif|thumb|500px|Traktrix, joka syntyy, kun langan toista päätä ensin työnnetään ja sitten vedetään vakionopeudella.]]

'''Traktrix'''<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://math.aalto.fi/models/ | Nimeke = Matemaattisten mallien kokoelma | Julkaisija = Aalto-yliopisto, matematiikan ja systeemianalyysin laitos | Viitattu = 13.12.2023}}</ref> eli '''traktriks'''
<ref name=IsoTieto /> on [[geometria|geometrinen]] [[käyrä]], jota pitkin vedettävä kappale etenee, kun se on kiinnitetty venymättömän langan toiseen päähän, ja langan toisessa päässä oleva vetäjä etenee suoraa pitkin tasaisella nopeudella siten, että alkutilanteessa lanka on kohtisuorassa mainittuun suoraan nähden ja kappaleen liikesuunta on koko ajan suoraan kohti vetäjää. Näin ollen käyrän jokaisesta [[tangentti|tangentista]] jää yhtä pitkä osa sivuamispisteen ja käyrän [[asymptootti|asymptoorin]] väliin.<ref name=IsoTieto>{{kirjaviite | Nimeke = Iso tietosanakirja, 13. osa (Suonenisku-Trooli | Sivu = 1267 | Luku = Traktriks | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1937}}</ref> Käyrää tutki ensimmäisenä [[Claude Perrault]] vuonna 1670, myöhemmin tarkemmin [[Isaac Newton]] 1676 ja [[Christiaan Huygens]] 1693.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = John Stillwell | Nimeke = Mathematics and Its History | Sivu = 345 | Julkaisija = Springer Science & Business Media | Vuosi = 2010 | Tunniste = | Isbn = 978-1-4419-6052-8 | www = https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC}}}}</ref> Käyrän nimi johtuu [[latina]]n [[verbi]]stä ''trahere'', joka tarkoittaa "vetää". 

==Matemaattinen johto==
[[Tiedosto:Tractrix.png|thumb|180px|Alun perin pisteessä (4,0) sijainneen kappaleen traktrix.]]

Seuraavassa tarkastellaan traktrixia, jolla on pystysuorana asymptoottina y-akseli.

Oletetaan, että kappale sijaitsee aluksi pisteessä (''a'', 0)), tai kuten oheisen kuvan esimerkissä, pisteessä (4,0) ja että se on kiinnitetty lankaan, jonka pituus on ''a'' (esimerkkitapauksessa 4), jonka toinen pää on origossa. Oletetaan, että langan toista päätä aletaan vetää y-akselin positiiviseen suuntaan vakionopeudella. Joka hetki tämä lanka on sen käyrän ''y'' = ''y''(''x'') tangentti, jota pitkin kappale liikkuu, minkä vuoksi vetäjän liike määrää täysin myös vedettävän kappaleen liikkeen. Jos kappaleen koordinaatit jollakin hetkellä ovat (''x'', ''y''), vetäjän ''y''-koordinaatti on [[Pythagoraan lause]]en mukaisesti <math>y + \operatorname{sign}(y)\sqrt{a^2 - x^2},</math>. Koska langan ja ''x''-akselin välinen [[kulma]] on sama kuin ratakäyrän tangentin, saadaan [[differentiaaliyhtälö]]
:<math>\frac{dy}{dx} = \pm\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}</math>
missä reunaehtona on, että ''y''(''a'') = 0. Yhtälön ratkaisu on 
:<math>y = \int_x^a \frac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}\,dt = \pm\! \left( a\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}}-\sqrt{a^2-x^2} \right),</math>
missä etumerkki <math>\pm</math> riippuu vetäjän liikesuunnasta: liikkuuko se ylös- vai alaspäin.

Lausekkeen ensimmäinen termi voidaan kirjoittaa myös muotoon
:<math>y \operatorname{arsech}\frac{x}{a}, </math> 
missä ''arsech'' tarkoittaa [[areafunktiot|areahyperbelisekanttia]].<ref name=MathWorld>{{verkkoviite | Osoite = https://mathworld.wolfram.com/Tractrix.html | Nimeke = Tractrix | Sivusto = Wolfram MathWorld | Julkaisija = Eric W. Weisstein | Viitattu = 13.12.2023}}</ref>

Ratkaisun etumerkki riippuu siis siitä, liikkuuko vetäjä ylös- vai alaspäin. Molemmat haarat kuuluvat traktrix-käyrään, jolla on terävä kärki pisteessä (''a'', 0).

==Traktrixin merkitys ==

Traktrixin oleellisin ominaisuus on, että käyrällä olevan pisteen ''P'' ja sen kautta kulkevan tangentin ja käyrän asymptootin leikkauspisteen välinen etäisyys on vakio.

Traktrix voidaan käsittää monella tavalla:

# Se on [[hyperbolinen spiraali|hyperbolisen spiraalin]] keskipisteen ura, kun tämä käyrä vierii liukumatta suoraa pitkin.
# [[Ketjuviiva]]n [[evolventti]] on traktrix, jonka asymptootti on vaakasuora. Ketjuviiva on käyrä, jonka muotoiseksi täysin taipuisa ketju köysi asettuu painovoiman vaikutuksesta, kun se on kiinnitetty kahteen tukipisteeseen. Tämän käyrän yhtälö on <math> y = a \cosh {\frac{x}{a}}</math>.
# Jos auto on luisunut suoran tien ulkopuolelle kohtisuorasti tiehen nähden, mistä sitä lähdetään vetämään hinausautolla, joka liikkuu tien suuntaisesti, suoraviivaisesti ja tasaisella nopeudella ja venymättömällä köydellä, hinattavan auton taka-akselin liikerata on traktrixin muotoinen.
# Traktrix on epälineaarinen käydä, jonka suoraa pitkin vierivä ''a''-säteinen [[ympyrä]], jonka keskipiste on ''x''-akselilla, leikkaa koko ajan kohtisuorasti.

Traktrixin asymptootti voi olla myös vaakasuora. Siinä tapauksessa käyrällä on pystysuora symmetria-akseli. Jos käyrä sijoitetaan koordinaatistoon siten, että sen asymptoottina on x-akseli ja symmetria-akselina y-akseli, sen [[kaarevuussäde]] sen kussakin pisteessä on <math>r = a \cot {\frac{x}{y}}</math>

Kun traktrix pyörähtää asymptoottinsa ympäri, [[pyörähdyspinta]]na saadaan [[pseudopallo]], joka on siitä erikoinen, että sen [[Kaarevuus#Gaussin kaarevuus|Gaussin kaarevuus]] on pinnan joka kohdassa yhtä suuri, kuitenkin pallon pinnasta poiketen negatiivinen. [[Eugenio Beltrami]] osoitti vuonna 1868<ref name=MacTutor>{{verkkoviite | Osoite = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Tractrix/ | Nimeke = Tractrix | Sivusto = MacTutor | Viitattu = 13.12.2023}}</ref>, että pseudopallon geometria on lokaalisti yhtäläinen [[hyperbolinen geometria|hyperbolisen tason]] kanssa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Matti Lehtinen| Nimeke = Matematiikan historian luentoja 2008 | Sivu = 100 | Julkaisija = Matematiikkalehti Solmu | Vuosi = 2008 | www = https://matematiikkalehtisolmu.fi/2000/mathist/histluennot.pdf}}</ref> Sen vuoksi sillä on huomattava merkitys [[epäeuklidinen geometria|epäeuklidisessa geometriassa]].<ref name=IsoTieto /> 

==Ominaisuuksia==
[[Tiedosto:Evolute2.gif|thumb|500px|right|[[Ketjuviiva]] traktrixin [[evoluutta]]na.]]

Traktrix voidaan parametroida yhtälöillä <math>x = t - \tanh(t), y= 1/{\cosh(t)}</math>.<ref name=MacTutor />

Traktrixin geometrisesta määritelmästä seuraa, että sen jokaisesta [[tangentti|tangentista]]  jää yhtä pitkä osa, ''a'', sivuamispisteen ja käyrän [[asymptootti|asymptoorin]] väliin.

Traktrixin pisteiden <math>x_1</math> ja <math>x_2</math> välisen osuuden kaaren pituus, kun nämä pisteet ovat samalla puolella käyrän kärkipistettä, on <math>a \ln{\frac{x_1}{x_2}}</math> Traktrixin ja sen asymptootin välisen alueen pinta-ala on <math>{\pi a^2}{2}</math>, mikä voidaan osoittaa [[integraali|integroimalla]] tai [[Mamikonin lause]]en avulla.

[[Pyörähdyspinta]], joka syntyy traktrixin pyörähtäessä asymptoottinsa ympäri, on [[pseudopallo]].<ref name=IsoTieto />

Traktrix on [[transkendenttinen käyrä]]<ref name=IsoTieto />, toisin sanoen sitä ei voida määritellä polynomiyhtälöllä.

==Käytännön sovelluksia ==
Vuonna 1927 P.&nbsp;G.&nbsp;A.&nbsp;H. Voigt patentoi [[torvikaiutin|torvikaiuttimen]], joka perustui siihen oletukseen, että torven läpi kulkeva aaltorintama on pallomainen ja sen säde on vakio. Tarkoituksena oli minimoida häiriö, joka aiheutuu ääniaaltojen heijastumisesta torven sisällä. Tämä saavutettiin parhaiten, kun torvi tehtiin traktrixin pyörähdyskappaleen muotoiseksi.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = J. Dinsdale | Otsikko = Horm Loudspeaker Design | Julkaisu = Wireless World | Ajankohta = Maaliskuu 1974 | Sivut = 4–5 | www = http://www.volvotreter.de/downloads/Dinsdale_Horns_1.pdf}}</ref>

Poikkileikkaukseltaan traktrixin muotoisia puristimia käytetään yleisesti [[pelti]]en [[taivutus (valmistusteknikka)|taivuttamiseen.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Kurt Lange | Nimeke = Handbook of Metal Forming | Sivut = 20.43 | Julkaisija = McGraw Hill Book Company | Vuosi = 1985}}</ref>

Mekaanisen tehonsiirron kannalta traktrix on erityisen edullinen muoto [[jakohihna]]n hampaille.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = | Nimeke = Powertrip GT 3 Drive Design Manual | Sivu = 177 | Luku = Tooth Profiles | Julkaisija = Gates Corporation | Vuosi = 2014 | www = https://www.gates.com/content/dam/gates/home/knowledge-center/resource-library/catalogs/powergripdrivedesignmanual_17195_2014.pdf}}</ref> Tämä muoto minimoi hampaisiin kohdistuvan kitkan, koska tällöin ne toisiinsa kiinittyessään ja jälleen irrotessaan liukuvat mahdollisimman vähän. Aikaisemmin jakohinnoissas käytettiin [[trapetsoidi]]n tai ympyrän muotoisia hampaita, mikä aiheutti merkittävästi liukumista ja kitkaa.

==Piirustusvälineitä ==

Loka-marraskuussa 1692 [[Christiaan Huygens]] suunnitteli laitteen, joiden avulla traktrix voitaisiin piirtää sen geometriseen määritelmään nojautuen siten, että vetävä laite etenee suoraviivaisesti tasaisella nopeudella.<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = H. J. M. Bos | Otsikko = Recognition and Wonder – Huygens, Tractional Motion and Some Thoughts on the History of Mathematics | Julkaisu = Euclides | Numero = 63 | Sivut = 65–76 | Vuosi = 1989 | www = http://www.gewina.nl/journals/tractrix/bos89.pdf}}</ref>  Myöhemmin samasta idesta esitettiin kehittyneempiä versiota, jolloin samalla laitteella olisi voitu suorittaa muitakin matemaattisia tehtäviä:

* Vuonna 1693 [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] esitti "yleisen vetävän koneen" periaatteen. Teoriassa tällaisella koneella voitaisiin integroida mikä tahansa ensimmäisen asteen [[differentiaaliyhtälö]].<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Gabriele Lolli (toim.); Pietro Milici | Nimeke = From Logic to Practice: Italian Studies in the Philosophy of Mathematics | Julkaisija = Springer | Vuosi = 2014}}</ref>  Kyseessä oli eräänlainen [[analogiakone|analogialaskin]], mutta sellaisen rakentaminen Leibnizin ajan teknologialla oli epäkäytännöllistä eikä sitä koskaan toteutettu.
* Vuonna 1706 [[John Perks]] rakensi traktrixiin perustuvan laitteen, jonka avulla voitiin toteuttaa [[hyperboliset funktiot|hyperbolisten funktioiden]] neliöinti.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = John Perks | Otsikko = The construction and properties of a new quadratrix to the hyperbola | Julkaisu = Philosophical Transactions | Vuosi = 1706 | Numero = 25 | Sivut = 2253–2262|jstor=102681 | Doi=10.1098/rstl.1706.0017|s2cid=186211499 }}</ref>
* Vuonna 1729 [[Giovanni Poleni]] rakensi vetävän koneen, jolla voitiin piirtää [[logaritmi]]funktion kuvaaja.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = John Poleni | Nimeke = Epistolarum mathematicanim fasciculus | Luku = kirje nro 7 | Vuosi = 1729}}</ref>

== Lähteet ==
{{viitteet}}

[[Luokka:Käyrät]]
[[Luokka:Matemaattinen fysiikka]]