Lähdekoodi sivulle Torus

{{Tämä artikkeli|kertoo toruspinnasta geometriassa ja topologiassa. Muista merkityksistä, katso [[Torus (täsmennyssivu)|täsmennyssivu]].}}
[[File:Torus.png|right|thumb|250px|Torus]]
[[File:Sphere-like degenerate torus.gif|thumb|Kun etäisyys pyörähdysakselilta pienee, renkaanmuotoinen torus muuttuu ensin torvimaiseksi, sitten sukkulamaiseksi ja lopulta pallopinnaksi.]]
'''Torus''' on [[geometria]]ssa [[pyörähdyspinta]], joka syntyy [[ympyrä]]n pyörähtäessä kolmiulotteisessa avaruudessa ympyrän kanssa samassa tasossa olevan akselin ympäri. Jos pyörähdysakseli ei leikkaa eikä kosketa ympyrää, torus on renkaan muotoinen. Suunnilleen tämänlaisen toruksen muotoisia pintoja ovat esimerkiksi autojen ja polkupyörien [[rengas (ajoneuvo)|renkaat]], varsinkin niiden sisäkumit, sekä [[pelastusrengas|pelastusrenkaat]]. Nimitystä torus käytetään joskus myös tämänmuotoisen pinnan rajoittamasta kappaleesta, [[toroidi]]sta.{{lähde|vertaa [[:en:Toroid]]}} Suunnilleen toroidin muotoisia kappaleita ovat tyypillisesti esimerkiksi [[sormus|sormukset]] sekä myös munkkirinkilät eli [[donitsi]]t.

[[Topologia (matematiikka)|Topologia]]ssa torus on mikä tahansa pinta, joka on [[homeomorfismi|homeomorfinen]] kahden [[ympyrä]]n [[karteesinen tulo|karteesisen tulon]] ''S''<sup>1</sup>&nbsp;×&nbsp;''S''<sup>1</sup> kanssa, kun tämä varustetaan [[tulotopologia]]lla. Se on [[kompaktius|kompakti]] kaksiulotteinen [[monisto]], jonka [[genus (matematiikka)|genus]] on 1. Topologinen torus voidaan muodostaa taivuttamalla pitkä ja kapea [[suorakulmio]] [[lieriö]]ksi, liimaamalla sen vastakkaiset sivut yhteen ja sen jälkeen vielä taivuttamalla näin saatu lieriö pituussuunnassa ympyrän muotoon ja liimaamalla sen vastakkaiset päät yhteen.<ref name=JV32>{{kirjaviite | Tekijä = Jussi Väisälä | Nimeke = Topologia II | Sivu = 32 | Luku = Tekijätopologia, kohta 6.11, esimerkki 3 | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1981 | Tunniste = | Isbn = 951-745-082-6}}</ref>  Matemaattisesti symmetrisempi toruksen topologisen määritelmän toteuttava pinta on kuitenkin [[Cliffordin torus]], joka kahden ympyrän karteesisena tulona saatava pinta. Sellaisenaan sitä ei tosin ei voida toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa <math>\mathbb{R}^3</math>, mutta se voidaan kyllä upottaa neliulotteiseen avaruuteen <math>\mathbb{R}^4</math>.

==Torus geometriassa==
[[Tiedosto:torus cycles.svg|thumb|right|Torus on kahden ympyrän tulo, joista vain toinen on merkitty tähän kuvioon. Punainen ympyrä pyörähtää akselin ympäri, jota tähän ei ole merkitty. ''R'' on violetin ja ''r'' punaisen ympyrän säde.]]

Torus voidaan määritellä parametrimuodossa seuraavasti:<ref name=MathWorld>{{verkkoviite | Tekijä = Eric W. Weissttein | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Torus.html | Nimeke = Torus | Sivusto = Wolfram MathWorld | Viitattu = 4.8.2017}}</ref>

:<math>\begin{align}
  x(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \cos{\varphi} \\
  y(\theta, \varphi) &= (R + r \cos \theta) \sin{\varphi} \\
  z(\theta, \varphi) &= r \sin \theta
\end{align}</math>

missä
:θ ja φ ovat kulmamuuttujia, jotka voivat saada kaikki arvot 0:n ja 2π:n väliltä
:''R'' on renkaan keskipisteen etäisyys toruksen keskellä olevan "reiän" keskipisteestä, ja
:''r'' on renkaan säde.

Sädettä ''R'' sanotaan toruksen "suureksi säteeksi" ({{k-en|major radius}}) ja sädettä ''r'' sen "pieneksi säteeksi" ({{k-en|minor radius}}).<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://doc.spatial.com/index.php/Torus | Nimeke = Spatial Corp. | Viitattu = 4.8.2017}}</ref> Suhdetta ''R''/''r'' sanotaan [[aspektisuhde|aspektisuhteeksi]]. Tavallisella [[donitsi]]lla aspektisuhde on yleensä arvojen 2 ja 3 välillä.

[[Karteesinen koordinaatisto|Karteesisissa koordinaateissa]] torusta, joka on säteittäissymmetrinen ''z''-akselin suhteen, esittää yhtälö
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2,</math>,

toisin sanoen sen muodostavat yhtälön ''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0 ratkaisut, kun 

:<math> f(x,y,z) = \left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 - r^2.</math>

Tämä voidaan esittää yhtäpitävästi myös [[neljännen asteen yhtälö]]llä, joissa ei ole [[neliöjuuri]]a:
:<math> \left(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2\right)^2 = 4R^2\left(x^2+y^2\right).</math>

Näin muodostettu torus ei kuitenkaan aina ole renkaan muotoinen, vaan sen muoto riippuu siitä, kumpi säteistä ''R'' ja ''r'' on suurempi:

* Jos ''R'' > ''r'', on kyseessä tavallinen renkaanmuotoinen torus.
* Jos ''R'' = ''r'', on kyseessä torvimainen torus, jossa ei ole keskellä reikää.
* Jos ''R'' < ''r'', on kyseessä itsensä leikkaava sukkulamainen torus.
* Jos ''R'' = 0, torus surkastuu muodoltaan pallopinnaksi.<ref name=MathWorld />
<br>

{{monta kuvaa
 | tasaus = center
 | suunta = vaaka
 | width     = 
 | kuva1    = Standard_torus-ring.png
 | alt1      = rengas
 | leveys1   = 180
 | kuvateksti1  = ''R'' > ''r'':<br /> Rengasmainen torus
 | kuva2    = Standard_torus-horn.png
 | alt2      = torvi
 | leveys2   = 180
 | kuvateksti2  = ''R'' = ''r'':<br /> Torvimainen torus
 | kuva3    = Standard_torus-spindle.png
 | alt3      = sukkula
 | kuvateksti3  = ''R'' < ''r'':<br /> Sukkulamainen torus
 | leveys3   = 180
 | alateksti    = Kolmen torusluokan alemmat puoliskot ja poikkileikkaukset
 }}

<br>


Kun ''R'' ≥ ''r'', toruksen sisään jäävä kappale eli toroidi
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 < r^2</math>
on [[diffeomorfismi|diffeomorfinen]] ja niin ollen myös [[homeomorfismi|homeomorfinen]] avoimen kiekon ja ympyrän [[karteesinen tulo|karteesisen tulon]] kanssa.

Toruksen [[pinta-ala|pinta-alalle]] ja toroidin [[tilavuus|tilavuudelle]] voidaan [[Pappuksen–Guldinin lause]]en nojalla johtaa lausekkeet:

:<math>A = 4\pi^2 Rr = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,</math>
:<math>V = 2\pi^2R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,</math>

Nämä kaavat voidaan kirjoittaa myös käytännöllisiin, toruksesta suoraan mitattavissa oleviin suureisiin perustuviin muotoihin:

:<math>A = p(P-p)</math>
:<math>V = \frac{pd(P-p)}{4}</math>,

missä
<math>\scriptstyle p</math> on poikkileikkauksen ympärysmitta, 
<math>\scriptstyle d</math> poikkileikkauksen halkaisija ja
<math>\scriptstyle P</math> toruksen (suurin) ympärysmitta.

Pinta-ala ja tilavuus ovat siis yhtä suuret kuin sellaisen lieriön, jonka pituus on 2π''R'' ja pohjapinnan säde ''r''. Sellainen lieriö voitaisiin saada leikkaamalla putki ja vetämällä se suoraksi. Putken keskikohdan sisäpuolella oleva osa toruksen pinta-alasta ja tilavuudesta on pienempi kuin lieriöllä, mutta ulkopuolella oleva osa juuri sen verran suurempi, että nämä erotukset täsmälleen kumoavat toisensa. 

Jos taas toruksen uloimman pinnan sädettä merkitään ''p'':llä ja sisimmän pinnan sädettä ''q'':llä (niin että <math>R = \frac{p+q}{2}</math> ja <math>r = \frac{p-q}{2}</math>), toruksen pinta-ala ja toroidin tilavuus on:

:<math>\begin{align}
  A &= 4 \pi^2 \left(\frac{p+q}{2}\right) \left(\frac{p-q}{2}\right) = \pi^2 (p+q) (p-q) \\
  V &= 2 \pi^2 \left(\frac{p+q}{2}\right) \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 = \tfrac14 \pi^2 (p+q) (p-q)^2
\end{align}</math>

=== Koordinaatit toruspinnalla ===

[[Tiedosto:Toroidal coord.png|thumb|Torus, johon on merkitty poloidinen suunta θ (punainen nuoli) ja toroidinen suunta ζ tai φ (sininen nuoli).]]

Koska torus on kahden ympyrän tulo, sen pinnalla olevan pisteen sijainti voidaan ilmoittaa eräänlaisella muunnetulla versiolla [[pallokoordinaatisto|pallokoordinaateista]].

Tavanomaisissa pallokoordinaateissa pisteen sijainti voidaan ilmaistaa kolmella luvulla: ''R'' eli etäisyys origosta sekä kulmat θ ja φ, jotka määritellään valittujen pisteen avulla samaan tapaan kuin maan pinnalla [[leveysaste|leveys-]] ja [[pituusaste]]et on määritelty napojen [[Greenwich]]in avulla.

Toruspinnalla koordinaatit sen sijaan määritellään, että toinen niistä, kulma φ osoittaa etäisyyden toruksen keskellä olevan "reiän" keskipisteestä. Sitä sanotaan ''toroidikseksi'' suunnaksi.  Toinen koordinaatti θ taas osoittaa, missä suunnassa piste on toruksen putken keskellä kulkevasta, edellä mainitun keskipisteen ympäri kiertävästä ympyrästä. Sitä sanotaan ''poloidiseksi'' suunnaksi. 

Näitä termejä on ensin käytetty [[maamagnetismi|maan magneettikentän]] yhteyessä, jolloin "poloidinen" merkitsi "suuntaa kohti napoja".<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://dictionary.oed.com/cgi/entry/50183023?single=1&query_type=word&queryword=poloidal&first=1&max_to_show=10 | Nimeke = Oxford English Dictionary Online | Selite = Poloidal | Julkaisija = Oxford University Press | Viitattu = 4.8.2017}}</ref> Nykyisin niitä käytetään varsinkin [[fuusioreaktori|fuusioreaktoreihin]] suunniteltujen voimakkaiden magneettien yhteydessä, joilla vetyplasma saataisiin pidetyksi paikoillaan.

==Torus topologiassa==
[[Topologia (matematiikka)|Topologia]]ssa torus on suljettu [[pinta]], jonka määritellään kahden [[ympyrä]]n [[karteesinen tulo|karteesisena tulona]] varustettuna [[tulotopologia]]lla:''S''<sup>1</sup>&nbsp;×&nbsp;''S''<sup>1</sup>. Sen voidaan ajatella sijaitsevan [[kompleksiluku|kompleksisessa]] koordinaattiavaruudessa <math>\mathbb{C}^2</math>, ja se on <math>\sqrt{2}</math>-säteisen [[3-pallo]]n ''S''<sup>3</sup> osajoukko. 

Topologisesti torukseksi voidaan kuitenkin käsittää yhtä hyvin myös mikä tahansa pinta, joka on [[homeomorfismi|homeomorfinen]] näin määritellyn toruksen kanssa. Edellisessä osiossa  käsitellyistä geometrisista toruksista vain rengasmainen torus on torus myös tässä topologisessa mielessä. Cliffordin torus voidaan kuvata homeomorfisesti tällaiselle geometriselle torukselle esimerkiksi [[stereografinen projektio|projisoimalla se stereografisesti]] <math>\mathbb{R}^3</math>:een ''S³'':n  käsin.

[[Tiedosto:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|240px|Kahvikupin jatkuva muuntaminen  munkkirinkiläksi (torukseksi), jonka kanssa se on [[homeomorfismi|homeomorfinen]].]]
Toisaalta topologinen torus voi olla geometriselta muodoltaan mutkikkaampikin: esimerkiksi myös tavallisen (korvallisen) [[kahvikuppi|kahvikupin]] pinta on homeomorfinen tavallisen toruksen kanssa, mikä on antanut aiheen määritellä topologi leikillisesti "henkilöksi, joka ei näe eroa munkkirinkilän ja kahvikupin välillä".<ref>{{kirjaviite | Tekijä = David Bergamini | Nimeke = Lukujen maailma | Sivu = 176–178 | Luku = Topologia, muodonmuutosten matematiikkaa | Suomentaja = Pertti Jotuni | Julkaisija = Sanoma Oy | Vuosi = 1972}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = Jussi Väisälä | Nimeke = Topologia II | Sivu = 13 | Luku = Topologisen avaruuden kuvaukset | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1981 | Tunniste = | Isbn = 951-745-082-6}}</ref>

Torus voidaan myös kuvailla [[Karteesinen koordinaatisto|karteesisen tason]] [[tekijäavaruus (topologia)|tekijäavaruutena]], kun tehdään seuraavat samastukset:

: <math> (x,y) \sim (x+1,y) \sim (x,y+1), \, </math>

tai yhtäpitävästi [[yksikköneliö]]n tekijäavaruutena, kun vastakkaiset sivut yhdistetään, mitä voidaan kuvata [[perusmonikulmio]]lla ''ABA''<sup>−1</sup>''B''<sup>−1</sup>.

[[Algebrallinen topologia|Algebrallisesa topologiassa]] ympyrän [[perusryhmä]] on [[isomorfia|isomorfinen]] [[kokonaisluku]]jen [[ryhmä (matematiikka)|ryhmän]] <math>\mathbb{Z}</math> kanssa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Jussi Väisälä | Nimeke = Topologia II | Sivu = 125 | Luku = Ympyrän perusryhmä | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1981 | Tunniste = | Isbn = 951-745-082-6}}</ref> Tästä seuraa, että toruksen [[perusryhmä]] on ympyrän perusryhmän [[suora tulo]] itsensä kanssa:

:<math>\pi_1(\mathbf{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}.</math>

Intuitiivisesti tämä merkitsee sitä, että suljettu silmukka, joka kiertää ensin toruksen keskellä olevan "reiän" ympäri (toroidisessa suunnassa, esimerkiksi sitä kiertävää ympyrää myöten, joka muodostaa toruspinnan "leveyspiirin") ja sitten toruksen renkaan ympäri (poloidisessa suunnassa, esimerkiksi sellaista ympyrää myöten, joka muodostaa toruksen "pituuspiirin"), voidaan [[homotopia|jatkuvalla muunnoksella]] muuntaa silmukaksi, joka kiertää ensin renkaan ja sitten reiän. Niinpä puhtaasti ''leveyssuuntaiset'' ja puhtaasti ''pituussuuntaiset'' polut [[kommutatiivisuus|kommutoivat]]. 

[[Tiedosto:Inside-out torus (animated, small).gif|thumb|Puhkaistun toruksen kääntäminen nurinpäin, sisäpuoli ulospäin. Tällöin renkaan pintaan merkityt poikittaiset juovat muuttuvat pitkittäisiksi tai päinvastoin.]]

Jos torukseen puhkaistaan reikä eli siitä poistetaan yksi piste (tai pieni alue), jäljelle jäävä pinta voidaan jatkuvalla muunnoksella kääntää nurinpäin, sisäpuoli ulospäin, mutta sen pituussuuntaiset ympyrät muuttuvat leveyssuuntaisiksi ja päinvastoin.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = David Bergamini | Nimeke = Lukujen maailma | Sivu = 178 | Luku = Topologisten muutosten muovautuva maailma | Suomentaja = Pertti Jotuni | Julkaisija = Sanoma Oy | Vuosi = 1972}}</ref>  Tämä vastaa sitä, miten torus voidaan muodostaa lieriöstä kahdella eri tavalla: joko ulkopuolitse kuten yhdistämällä puutarhaletkun molemmat päät tai sisäpuolitse kuten käärimällä rikkinäinen sukka, josta varpaat pistävät esiin. Kun lisäksi lieriö voidaan muodostaa suorakulmiosta liimaamalla sen kaksi vastakkaista sivua yhteen, voidaan tämä tehdä kahdella tavalla liimaamalla joko vaaka- tai pystysuorat sivut, jolloin riippuen siitä, kummat sivut liimataan toisiinsa, alkuperäiseen suorakulmioon mahdollisesti merkityt raidat tulevat joko pitkittäisiksi tai poikittaisiksi, lieriön ympäri kierretyiksi, riippuen siitä, kummalla tavalla tehdään.

Toruksen ensimmäinen [[homologiaryhmä]] on [[isomorfia|isomorfinen]] sen perusryhmän kanssa. Tämä seuraa [[Hurewiczin lause]]esta, koska toruksen perusryhmä on [[Abelin ryhmä]].

== Toroidiset monitahokkaat ==

[[Tiedosto:Hexagonal torus.svg|thumb|Toroidinen monitahokas, jolla on  6&#8239;×&#8239;4&nbsp;=&nbsp;24 nelikulmaista tahkoa, 48 särmää ja 24 kärkeä.]]
[[Monitahokas|Monitahokkaita]], jotka topologisesti ovat toruksen kaltaisia, sanotaan ''toroidisiksi monitahokkaiksi''. Niiden [[Eulerin karakteristika]] on 
:<math>V - E + F = 0</math>,
missä ''V'' on monitahokkaan kärkien, ''E'' särmien ja ''F'' tahkojen lukumäärä.

Vastaavasti monitahokkailla, joissa on useampia "reikiä", Eulerin karakteristika on 
:<math>V - E + F = 2 - 2N</math>,
missä ''N'' on reikien lukumäärä.

==Toruksen väritys==
[[Tiedosto:Projection color torus.png|480px|thumb|center|Tässä kaaviossa toruspinta on jaettu seitsemään alueeseen, joista jokainen rajoittuu suoraan jokaiseen muuhun. Siksi sen värittämiseen tarvitaan seitsemän väriä.]]

Jos toruspinta jaetaan alueisiin ja ne halutaan värittää siten, että mitkään kaksi toisiinsa rajoittuvaa aluetta eivät tule samanvärisiksi, tämä käy aina päinsä niin, että ei tarvita enempää kuin seitsemän väriä.<ref name=Bergamini>{{kirjaviite | Tekijä = David Bergamini | Nimeke = Lukujen maailma | Sivu = 184–185 | Luku = Topologian värilauseet | Suomentaja = Pertti Jotuni | Julkaisija = Sanoma Oy | Vuosi = 1972 | Selite = Tässä kirjassa sanotaan, että torusta koskeva tulos oli voitu todistaa (siis ennen kirjan laatimista), mutta tasoalueita koskevaa neljän värin lausetta ei.}}</ref> Toisin kuin tasolla, neljä väriä ei siis aina riitä. Tämä torusta koskeva tulos oli todistettu [[topologia|topologisesti]] jo kauan ennen kuin [[Kenneth Appel]] ja [[Wolfgang Haken]] vuonna 1976 todistivat tietokoneen avulla tasoalueita koskevan vastaavanlaisen [[neliväriongelma|neljän värin lause]]en.<ref name=Bergamini />

{{käännös|:en:Torus}}

== Lähteet ==
* {{kirjaviite | Tekijä = Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio | Nimeke = Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal | Kieli = {{es}} | Julkaisija = McGraw-Hill | Selite = Vuoden 2007 painos | Vuosi = 2007 | Tunniste = | Isbn = 978-970-10-6596-9}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Allen Hatcher | Nimeke = Algebraic Topology | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 2002 | Tunniste = | Isbn = 0-521-79540-0 | www = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}
* {{kirjaviite | Tekijä = V. V. Nikulin, I. R. Shafarevich | Nimeke = Geometries and Groups | Julkaisija = Springer | Vuosi = 1987 | Tunniste = | Isbn = 978-3-540-15281-1 | Isbn = 3-540-15281-4 }}.
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml | Nimeke = Tore (notion géométrique | Sivusto = Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables}}

=== Viitteet ===
{{viitteet}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat-rivi}}

==Kirjallisuutta==
* {{kirjaviite | Tekijä = Kivelä, Simo K. | Nimeke = Algebra ja geometria | Julkaisija = Otatieto | Julkaisupaikka = Espoo | Vuosi = 1989 | Tunniste = | Isbn = 951-672-103-6}}

[[Luokka:Pinnat]]