Lähdekoodi sivulle Toisen asteen polynomifunktio

[[Tiedosto:Polynomialdeg2.svg|thumb|300px|Kvadraattisen funktion <math>f(x) = x^2 - x - 2\,\!</math> kuvaaja on nimeltään [[paraabeli]]. Funktion nollakohdat ovat -1 ja +2 ja terävyys ''a = 1'', joten sen lauseke voidaan esittää myös <math>f(x) = (x+1)(x-2)\,\!</math>. ]]
'''Toisen asteen polynomi''' eli '''kvadraattinen funktio''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[polynomi|polynomifunktio]], jonka [[Aste (polynomi)|asteluku]] on 2. Se on yleinen yhden muuttujan funktio, joka voidaan esittää muodossa
:<math>f(x)=a x^2 + bx + c \qquad   a,b,c \in \mathbb{R}, \, a \ne 0</math>
missä <var>a</var>, <var>b</var> ja <var>c</var> ovat ''reaalilukukertoimia''. Funktion kuvaajan muoto on [[paraabeli]]. Kvadraattisia funktioita voidaan määritellä myös moniulotteisessa avaruudessa, jolloin sen ominaisuudet muuttuvat. Kvadraattisia funktioita käytetään matemaattisessa [[mallintaminen|mallinnuksessa]] talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. 

==Funktion kuvaaja==
===Huippu, symmetria-akseli ja kyljet===
Kaikki toisen asteen polynomifunktion kuvaajat ovat [[paraabeli|paraabeleja]]. Paraabelilla on aina ''huippu'', joka sijaitsee ''symmetria-akselilla''. Huipusta lähtien kuvaajan vasenta ja oikeaa puoliskoa kutsutaan paraabelin ''kyljeksi''. Paraabelin kuvaaja on symmetria-akselin suhteen oma peilikuvansa eli vasen ja oikea kylki sijaitsevat yhtä kaukana akselista. Kyljet kaartuvat akseliin päin, mutta etääntyvät akselista kuitenkin loputtomasti. Tämä tarkoittaa sitä, että funktio on määritelty kaikille reaaliluvuille.

Paraabelin huippu sijaitsee kohdassa <math>x_h= \frac{-b}{2a}</math>. Funktio saa tässä kohtaa <math>x_h</math> arvon <math>f(x_h)=c-\frac{b^2}{4a}</math>. Se on funktion [[ääriarvo]]na joko sen maksimikohta, kun <var>a</var> < 0, tai sen minimikohta, kun <var>a</var> > 0.

Symmetria-akselin analyyttinen yhtälö on <math>x= \frac{-b}{2a}</math>, joka on pystysuora.

===Parametrien vaikutukset funktion kuvaajaan===
Parametri '''a''' määrää funktion kuvaajan ''terävyyden'' ja ''aukeamissuunnan''. Kun kerroin ''a'' on positiivien reaaliluku, aukeaa paraabeli ylöspäin. Kun ''a'' on negatiivinen, aukeaa se alaspäin. On huomattava, ettei ''a'' voi olla 0, koska funktio ei silloin ole toista astetta.

Parametri '''b''' vaikuttaa paraabelin sijaintiin koordinaatistossa sekä sivu- että pystysuunnassa, mutta ei vaikuta paraabelin terävyyteen tai muulla tavalla sen muotoon. Eri ''b'':n arvoilla paraabelin toinen kylki kulkee origon kautta ja huippu sijaitsee koordinaatistossa käyrällä <math>y=c-\frac{1}{4a}x^2</math>.

Kun parametri '''c''' eli vakiotermi kasvaa, sijoittuu paraabelin kuvaaja koordinaatistossa ylemmäksi. Vakion ''c'' pienentyessä vajoaa kuvaaja alaspäin.
[[Tiedosto:Function ax^2.jpg|thumb|300px|xxx]][[Tiedosto:Function x^2+(1 to 4)x.jpg|thumb|300px|xxx]]

===Erikoistapaukset===
Toisen asteen polynomifunktiolla <math>f(x)=a x^2+bx+c</math> on kolme erikoistapausta riippuen sen parametrien arvoista.  

:*Kun '''a ≠ 0''' ja '''b = 0''' ja '''c = 0''', saadaan <math>f(x)=a x^2</math>. Tätä kutsutaan toisen asteen [[potenssifunktio]]ksi. Tämän funktion kuvaaja kulkee [[origo]]n kautta. Jos '''a = 1''', on kuvaaja paraabeli <math>y=x^2</math>.

:*Kun '''a ≠ 0''' ja '''b = 0''' ja '''c ≠ 0''', saadaan <math>f(x)=a x^2+c </math>. Tämän funktion kuvaaja kulkee symmetrisesti siten, että y-akseli jakaa kuvaajan kahteen peilikuvamaiseen puoliskoon.

:*Kun '''a ≠ 0''' ja '''b ≠ 0''' ja '''c = 0''', saadaan <math>f(x)=a x^2+bx</math>. Tämän funktion kuvaaja kulkee aina origon kautta, mutta ei ole sijoittunut minkään akselin suhteen symmetrisesti.

==Funktion yleisiä ominaisuuksia==

===Nollakohdat===
Toisen asteen polynomifunktion [[nollakohta|nollakohdat]] saadaan [[Toisen asteen yhtälö|toisen asteen polynomiyhtälön]] ratkaisuista. Ne voidaan ratkaista [[Neliöksi täydentäminen|neliöksi täydentämällä]] tai soveltamalla ''toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa''.

===Funktion lausekkeen esitystapoja===
Toisen asteen polynomifunktion lauseke voidaan esittää kolmessa eri muodossa.
* Yleinen muoto: <math>f(x) = a x^2 + b x + c \,\!</math>
* Yhtälössä tekijät näkyvissä: <math>f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\,\!</math>, jossa <math>x_1</math> ja <math>x_2</math> ovat funktion nollakohdat. 
* Yhtälössä näkyvät huipun koordinaatit: <math>f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!</math>, jossa kuvaajan huipun koordinaatit ovat (''h'',''k'').

===Parillinen funktio===
Toisen asteen polynomifunktio on [[parillinen funktio]], kun kerroin '''b = 0''' eli <math>f(x)=a x^2+c </math>. Silloin funktio saa saman arvon [[vastaluku|vastalukujensa]] ''s'' ja ''-s'' kohdissa eli <math>f(s)=f(-s)</math>, koska <math>f(\pm s)= a (\pm s)^2+c=a s^2+c</math>.

===Monotonisuus===
Toisen asteen funktio ei ole [[monotoninen funktio|monotoninen]] määrittelyjoukossaan. Sen sijaan, jos määrittelyjoukosta valitaan väli, johon ei sisälly funktion kuvaajan huipun kohta <math>x_h</math>, on funktio tällä välillä monotoninen.

===Käänteisfunktio===
Toisen asteen funktiolla ei ole [[käänteisfunktio]]ta, koska se ei ole monotoninen. Jos funktion määrittelyjoukkoa rajoittaa sellaiselle välille, jossa funktio on monotoninen, voidaan käänteisfunktion lauseke muodostaa.

Yksinkertaisimman toisen asteen [[potenssifunktio]]n <math>f(x)=x^2</math> käänteisfunktio on [[neliöjuuri|neliöjuurifunktio]]. Jos valitaan väli positiivisista reaalilukujen joukosta, saadaan käänteisfunktioksi <math>f^{-1}(x)=\sqrt{x}</math>. Jos valitaan väli negatiivisista luvuista, tulee käänteisfunktioksi <math>f^{-1}(x)=-\sqrt{x}</math>. Muutkin kvadraattisen funktion käänteisfunktiot sisältävät [[neliöjuurifunktio]]n.

===Derivaatta ja integraali===
Toisen asteen polynomifunktion [[derivaatta]]funktio on <math>f'(x)=2ax+b</math>. Derivaattafunktion nollakohta on aina samassa kohtaa kuvaajan huipun kanssa. Funktion [[toinen derivaatta]] on <math>f''(x)=2a</math> ja kolmas derivaatta <math>f'''(x)=0</math>.

Sen [[integraali]]funktio on <math>F(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx+C</math>, missä C on [[integraalivakio]].

Funktion [[määrätty integraali]]
:<math>I=\int_a^b f(x) \, dx</math>
voidaan laskea myös [[Simpsonin sääntö|Simpsonin säännöllä]] tarkasti:
:<math>I=\int_a^b f(x) \, dx = \frac {b-a}{3} \left ( f(a) + 4f\left (\frac{a+b}{2} \right ) + f(b) \right )</math>

==Kvadraattinen muoto usean muuttujan tapauksissa==
===Kahden muuttujan kvadraattinen funktio===
Kun funktio on määritelty <math>f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math>
:<math> f(x,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F \,\!</math>,
on kyseessä kahden muuttujan toisen asteen polynomifunktio. Tämän tapaisia funktioita käytetään kenttäteoriassa ja niiden kuvaajat ovat kaarevia pintoja kolmiulotteisessa avaruudessa eli tilassa. Asettamalla funktio <math>f(x,y)\,\!</math> nollaksi, saadaan pinnan ja vaakatason <math>z=0</math> leikkauskuvio, joita kutsutaan [[Toisen asteen käyrä|toisen asteen käyriksi]]. Toinen yleinen nimitys näille on [[kartioleikkaus]].

==Lähteet==
* {{Kirjaviite | Tekijä = Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G.| Nimeke = College Algebra |
 Vuosi = 2007 | Kappale = | Sivu = | Selite = |Julkaisupaikka =  | Julkaisija =  | Tunniste =  |
 www = | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = | Kieli = }}

{{viitteet|viitteet=
}}

==Kirjallisuutta==
* {{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf  |  Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. {{ISBN|978-952-7010-12-9}} {{ISBN|978-952-7010-13-6}} (pdf) | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf}}

==Aiheesta muualla==
* Wolfram Mathworld: [http://mathworld.wolfram.com/Quadratic.html Sana kvadraattinen] {{en}}
* Aalto-yliopisto, Systeemianalyysin laboratorio: [http://www.sal.tkk.fi/vanhat_sivut/Opinnot/Mat-2.105/Luennot/luento8.pdf Luento 8: Epälineaarinen optimointi]{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}

[[Luokka:Polynomit]]
[[Luokka:Funktiot]]