Lähdekoodi sivulle Tapahtumien riippuvuus

'''Tapahtumien riippuvuus''' <ref name=hr/> on [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]] peruskäsite, jossa saman [[satunnaisilmiö]]n [[Perusjoukko (todennäköisyys)|perusjoukossa]] <math>\Omega</math> kahden [[tapahtuma (todennäköisyys)|tapahtuman]] [[todennäköisyys|todennäköisyydet]] riippuvat toisistaan. Näiden todennäköisyydet tulee määrittää käyttäen [[ehdollinen todennäköisyys|ehdollista todennäköisyyttä]]. Mikäli tapahtumien todennäköisyydeksi tulee sama tulos kuin ilman ehdollista todennäköisyyttä, ovat tapahtumat riippumattomia. Riippumattomuutta voidaan merkitä käyttämällä merkkiä <math>\perp .</math><ref name=ala6/><ref name=hr/><ref name=kivela_5/>

== Riippuvuus ==
Riippuvien tapahtumien todennäköisyyksiin käytetään [[ehdollinen todennäköisyys|ehdollista todennäköisyyden]] käsitettä. Riippuvuuden määrä on usein tuntematon, joten se huomioidaan laskemalla erikseen riippuvien tapahtumien todennäköisyydet, jolloin yhteisestä todennäköisyydestä tulee
:<math>P(A \text{ ja } B)=P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B|A) = P(A|B)\cdot P(B).</math> (''riippuvien tapahtumien kertolaskusääntö'')
Kaksi jälkimmäistä laskutapaa voidaan käyttää toistensa vaihtoehtoina.<ref name=ala6/><ref name=kivela_5/>

=== Usean riippuvan tapahtuman todennäköisyys ===
Kun tarkastellaan kolmea tapahtumaa, jotka riippuvat toisistaan, voidaan laskea yhteinen todennäköisyys
:<math>P(A \cap B \cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A \cap B),</math>

mikäli molemmat ehdolliset todennäköisyydet ovat olemassa. Useammassa tapahtumassa ehdollisia todennäköisyyksiä tulee huomioida enemmän. Jos tapahtumat ovat <math>A_1, A_2, ... , A_n</math>, saadaan
:<math>P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)=P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot\cdot\cdot P(A_n|A_1 \cap  ...\cap A_{n-1}).</math> <ref name=emet/>

== Riippumattomuus ==
=== Määritelmä: kaksi riippumatonta tapahtumaa ===
Kaksi tapahtumaa <math>A</math> ja <math>B</math> ovat riippumattomia eli <math>A \perp B</math>, [[jos ja vain jos]] ne toteuttavat todennäköisyyden kertolaskusäännön
:<math>P(A \text{ ja } B)=P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).</math> <ref name=ala6/> (''riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö'')

Riippumattomassa tapauksessa ehdolliset todennäköisyydet ovat samat kuin yksittäiset todennäköisyydet (vertaa riippuvat tapaukset) eli <ref name=ala6/><ref name=kivela_5/>
:<math>P(A|B)=P(A)</math>
ja
:<math>P(B|A)=P(B).</math>

=== Vastatapahtumien riippumattomuus ===
Jos tapahtumat <math>A</math> ja <math>B</math> ovat riippumattomia, niin silloin ovat myös <math>\bar A \perp B</math>, <math>A \perp \bar B</math> sekä <math>\bar A \perp \bar B</math> riippumattomia, missä viivalla merkityt ovat tapahtumien [[vastatapahtuma]]t.<ref name=hr/>

=== Kolmen tapahtuman riippumattomuus ===
Tapahtumat <math>A</math>, <math>B</math> ja <math>C</math> voivat olla pareittain riippumattomat. Tämä ei tee kaikkia kolmea tapahtumaa keskenään riippumattomiksi, vaan myös kolmen tapauksen todennäköisyyksien tulo on oltava tapahtumista riippumaton. Kolmen tapahtuman riippumattomuuteen vaaditaankin neljä ehtoa: <ref name=hr/><ref name=gg/>
:<math>A \perp B \Leftrightarrow P(A \cap B)=P(A)P(B)</math>
:<math>A \perp C \Leftrightarrow P(A \cap C)=P(A)P(C)</math>
:<math>B \perp C \Leftrightarrow P(B \cap C)=P(B)P(C)</math>
:<math>P(A \cap B \cap C)=P(A)P(B)P(C)</math>
Riippumattomuus toteutuu vastavasti useammalle tapahtumalle.

=== Usean riippumattoman tapahtuman todennäköisyys ===
Kolmen riippumattoman tapahtuman yhteinen todennäköisyys on 
:<math>P(A \cap B \cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C),</math>
ja usean riippumattomien tapahtumien <math>A_1, A_2, ... , A_n</math> yhteinen todennäköisyys on
:<math>P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)=P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot\cdot\cdot P(A_n).</math> <ref name=emet/>

== Lähteet ==
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=kivela_5>Kivelä, Simo K.: [https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/todnakl5.html Tapahtumien riippumattomuus], M niin kuin matematiikka, 10.8.2000</ref>

* <ref name=ala6>{{Kirjaviite | Tekijä =Alatupa, Sami et al. | Nimeke =Pitkä Sigma 6 | Vuosi =2010 |Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Tammi| Sivut=119−128 |Isbn = 978-951-31-5343-4 | Viitattu =5.6.2015}}</ref>

* <ref name=hr>Ruskeapää, Heikki: [http://users.utu.fi/semet/tod2/TnI.pdf Todennäköisyyslaskenta I](luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012</ref>
* <ref name=emet>Emet, Stefan: [http://users.utu.fi/semet/tod/moniste.pdf Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen], Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014</ref>
* <ref name=gg>George, Glyn: [http://www.engr.mun.ca/~ggeorge/MathGaz04.pdf Testing for the independence of three events], s. 85−86, The Mathimatical Gazette</ref>
}}

[[Luokka:Todennäköisyyslaskenta]]