Lähdekoodi sivulle Suppeneva sarja

[[sarja (matematiikka)|Sarjan]] summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman [[lukujono]]n
[[raja-arvo]]na. Jos tällainen summa löytyy, '''sarja suppenee'''. Jos sarja ei [[suppeneminen|suppene]], on se [[hajaantuva sarja]]. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai [[suppenemistestit|suppenemistesteillä]].

==Määritelmä==

Sarja 
<math> \sum_{k=1}^\infty x_{k}=x_1+x_2+... </math> suppenee, jos sen osasummien jono  
<math> \left(   S_{n}\right)  =\left(   S_{n}\right)    _{n\in\N} </math>
suppenee, ts. jos 
<math> \exists S\in\R </math>
s.e. <math> \lim \limits_{n \to \infty}S_{n}=S </math>.
Tällöin S on sarjan summa ja merkitään 

:<math>\sum_{k=1}^\infty x_{k}=x_1+x_2+...=S </math>

==Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita==

===Lause 1.===

Jos <math> \sum_{k=1}^\infty x_{k}  </math>   suppenee, niin  <math> \lim \limits_{k \to \infty} x_k=0 </math>

===Lause 2.===

Suppenevalle sarjalle erotusta
:<math> R_n=S-S_n </math>
sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

===Lause 3.===

Suppenevalle sarjalle <math> \lim \limits_{n \to \infty} R_n=0 </math>

===Lause 4.===

Jos <math> \sum_{k=1}^\infty x_{k}=X </math> ja <math> \sum_{k=1}^\infty y_{k}=Y </math>, sekä <math> a\in\R </math>, niin
:<math>a) \sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k)=X+Y </math>
:<math>b) \sum_{k=1}^\infty ax_{k}=aX </math>

=== Lause 5.===

Jos sarja <math> \sum_{k=1}^\infty x_{k} </math> suppenee ja sarja <math> \sum_{k=1}^\infty y_{k} </math> hajaantuu, niin summasarja <math> \sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k) </math> hajaantuu.
Jos molemmat sarjat <math> \sum_{k=1}^\infty x_{k} </math> ja <math> \sum_{k=1}^\infty y_{k} </math> hajaantuvat, niin niiden summasarja <math> \sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k) </math> voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

===Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille===

Sarja <math> \sum_{k=1}^\infty x_{k} </math> suppenee <math> \Longleftrightarrow \varepsilon>0 </math> kohti <math> \exists n_{\varepsilon>0} \in\N </math> s.e.
:<math> \vert x_{n+1}+ x_{n+2}+ x_{n+3}+...+x_{n+p} \vert <\varepsilon </math>
kaikilla <math> p\in\N </math> aina kun <math> n>n_{\varepsilon} </math>

==Itseisesti suppeneva sarja==

===Määritelmä===

sarja <math> \sum_{k=1}^\infty x_{k} </math> 
suppenee itseisesti, jos sarja <math> \sum_{k=1}^\infty \vert x_{k} \vert </math> suppenee.

===Lause 7.===

Jos <math> \sum_{k=1}^\infty \vert x_{k} \vert </math> suppenee, niin <math> \sum_{k=1}^\infty x_{k} </math> suppenee.  Tällöin sarjoille pätee 
:<math> \vert \sum_{k=1}^\infty x_{k} \vert \leqslant \sum_{k=1}^\infty |x_{k}| </math>

==Lähteet==
Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2

[[Luokka:Matemaattiset sarjat]]