Lähdekoodi sivulle Spinori

'''Spinori''' on [[matematiikka|matematiikassa]] ja [[fysiikka|fysiikassa]] esiintyvä eräiden [[kompleksiluku|kompleksisten]] [[vektoriavaruus|vektoriavaruuksien]] elementti. Ryhmäteoreettisesti ajateltuna spinori on spin-ryhmän pienimmän esityksen vektori.
Koska spin-ryhmä Spin(1,3) on [[Lorentz-muunnos]]ten ryhmän SO(1,3) [[peitekuvaus|peite]], on spinoreilla erittäin tärkeä osuus relativistisen kvanttimekaniikan formulaatiossa.

==Spinorin käsite==
Ranskalainen matemaatikko [[Élie Cartan]] löysi spinorit vuonna 1913.<ref>{{Lehtiviite | Tekijä = Élie Cartan | Otsikko = Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane| Julkaisu = Bul. Soc. Math. France| Ajankohta = 1913 | Vuosikerta = | Numero = 41| Sivut = 53&ndash;96| Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Selite= | Tunniste= | www =http://archive.numdam.org/article/BSMF_1913__41__53_1.pdf| www-teksti = | Tiedostomuoto = pdf | Viitattu = 12.4.2012 | Kieli = | Lopetusmerkki = }}</ref> Myöhemmin spinorit otettiin käyttöön erityisesti kvanttimekaniikassa kuvaamaan hiukkasen sisäistä pyörimismäärää, [[spin]]iä. [[Paul Ehrenfest]] otti käyttöön nimityksen ''spinori'' kvanttifysiikassa.<ref>{{cite book|first=Sin-Itiro|last=Tomonaga|title=The story of spin|chapter=Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor|page=129|isbn=0-226-80794-0|publisher=University of Chicago Press|year=1998}}</ref>

Spinorin käsitettä voidaan lähestyä kahdella tavalla.

Ensimmäinen lähestymistapa on ryhmäteoreettinen. Lähtökohtaisesti tiedetään, että [[Ortogonaalinen matriisi|ortogonaaliryhmän]] [[Lie-algebra]]lla on olemassa [[ryhmän esitys|esityksiä]], joita ei voida muodostaa tavallisen [[tensori]]laskennan keinoin. Näitä esityksiä kutsutaan ''spin-esityksiksi'' ja niiden elementtejä ''spinoreiksi''. Tässä katsantokannassa spinori kuuluu kiertojen ryhmän {{nowrap|SO(''n'', '''R''')}} [[peitekuvaus|peitteen]] esitykseen, tai yleisemmin, yleistetyn erikoisen ortogonaaliryhmän {{nowrap|SO<sup>+</sup>(''p'', ''q'', '''R''')}} esitykseen avaruuksissa, joiden [[Metriikka_(matematiikka)|metrinen]] signatuuri on {{nowrap|(''p'', ''q'')}}. Nämä peitteet ovat [[Lien ryhmä|Lien ryhmiä]] ja niitä kutsutaan spin-ryhmiksi {{nowrap|Spin(''p'', ''q'')}}.

Toinen lähestymistapa on geometrinen. Spinori voidaan muodostaa ensin eksplisiittisesti, jonka jälkeen Lien ryhmien vaikutusta siihen voidaan tutkia. Tämän lähestymistavan etuna on se, että spinorin käsite on hyvin konkreettinen alusta pitäen. Tällainen lähestyminen voi kuitenkin olla epäkäytännöllinen tarkasteltaessa spinorien monimutkaisia ominaisuuksia, kuten Fierzin identiteettejä.

==Diracin spinori==
Diracin spinori on yleisimmin fysiikassa esiintyvä spinori. Se on nimetty [[Paul Dirac]]in mukaan. Diracin spinori on kompleksisen [[Cliffordin algebra]]n {{nowrap|''C''ℓ(''p'', ''q'')}} (johon spin-ryhmä Spin(p, q) voidaan upottaa) fundamentaalin esityksen elementti. [[Diracin yhtälö]]n mukaan spinorit ovat välttämättömiä relativistisen elektronin kvanttitilojen kuvauksessa. Vapaan Diracin yhtälön
:<math>(i\gamma^\mu\partial_{\mu}-m)\psi=0</math>
toteuttavaa tasoaaltoratkaisua
:<math>\psi = \omega_\vec{p}\;e^{-ipx}</math>
kutsutaan ''Diracin spinoriksi''. Diracin spinori on [[bispinori]].
Edellä (yksiköissä <math>\scriptstyle c \,=\, \hbar \,=\, 1</math>)
:<math>\scriptstyle\psi</math> on relativistinen [[spin-1/2]] [[Kenttä (fysiikka)|kenttä]],
:<math>\scriptstyle\omega_\vec{p}</math> on Diracin spinori, jonka aaltovektori on <math>\vec{p}</math>
:<math>\scriptstyle p\, x \;\equiv\; p_\mu x^\mu</math>,
:<math>\scriptstyle p^\mu \;=\; \{\pm\sqrt{m^2+\vec{p}^2},\, \vec{p}\}</math> on nelivektori, joka kuvaa tasoaallon aaltovektoria, ja jossa <math>\scriptstyle\vec{p}</math> on mielivaltainen,
:<math>\scriptstyle x^\mu</math> ovat nelikoordinaatit annetussa inertiaalijärjestelmässä.

Positiivisen energian ratkaisu Diracin yhtälölle voidaan kirjoittaa muotoon
:<math>
\omega_\vec{p} =
\left(\!\!\!
\begin{array}{c}
\phi \\ \frac{\vec{\sigma}\vec{p}}{E_{\vec{p}} + m} \phi
\end{array}\!\!\!\right),
</math>
jossa
:<math>\scriptstyle\phi</math> on mielivaltainen 2-spinori,
:<math>\scriptstyle\vec{\sigma}</math> ovat [[Paulin matriisit]] ja
:<math>\scriptstyle E_\vec{p}</math> on positiivinen neliöjuuri, <math>\scriptstyle E_{\vec{p}} \;=\; +\sqrt{m^2+\vec{p}^2}</math>.

==Weylin spinori==
Weylin spinori on pienin ''kompleksinen'' ryhmän {{nowrap|Spin(1,3)}} esitys. Se on samanaikaisesti myös pienin kompleksinen aliagebran {{nowrap|''C''ℓ(1,3)}} esitys. 
Siinä missä Diracin spinori sisältää hiukkasen molemmat [[helisiteetti_(hiukkasfysiikka)|helisiteetit]], Weylin spinori kuvaa ainoastaan yhtä helisiteettiä.
Diracin bispinori voidaankin esittää kahden vastakkaista helisiteettiä kuvaavan 2-komponenttisen Weylin avulla:
:<math>
  \Psi_D = \left(\!\!
    \begin{array}{c}
      \psi_W \\ \bar\chi_W
    \end{array}\!\!\!\right)
</math>
Weylin spinorit muodostavat Lorentzin ryhmän ''redusoitumattoman'' esityksen.
Weylin spinori nimetty saksalaisen fyysikon ja matemaatikon [[Hermann Weyl]]in mukaan.

==Majorana-spinori==
Majorana-spinori on pienin ''reaalinen'' ryhmän {{nowrap|Spin(1,3)}} esitys. Majorana-spinori toteuttaa [[Majoranan yhtälön]] ja kuvaa hiukkasta, joka on oma [[antihiukkanen|antihiukkasensa]]. Majorana-spinori on nimetty italialaisen fyysikon [[Ettore Majorana]]n mukaan.

==Lähteet==
*{{cite book | last = Aitchison | first = I.J.R. | coauthors = A.J.G. Hey | title = Gauge Theories in Particle Physics (3rd ed.) | publisher = Institute of Physics Publishing |month=September | year=2002 | location = | pages = | url = | doi = | isbn = 0-7503-0864-8 }}
* {{Cite web | first = David | last = Miller | title = Relativistic Quantum Mechanics (RQM) | year = 2008 | pages = 26–37 | url = http://www.physics.gla.ac.uk/~dmiller/lectures/RQM_2008.pdf | postscript = <!--None--> | viitattu = 14.4.2012 | arkisto = https://web.archive.org/web/20201219112349/http://www.physics.gla.ac.uk/~dmiller/lectures/RQM_2008.pdf | arkistoitu = 19.12.2020 }}
* {{cite book|last=Brauer|first=Richard| coauthors=Hermann Weyl|title=Spinors in n dimensions|journal= American Journal of Mathematics|volume=57|issue= 2|year=1935|pages= 425&ndash;449|doi=10.2307/2371218|publisher=The Johns Hopkins University Press|jstor=2371218}}
* {{cite journal |last=Cartan|first=Élie|url=http://archive.numdam.org/article/BSMF_1913__41__53_1.pdf|title=Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane|journal= Bul. Soc. Math. France|volume= 41|year=1913|pages= 53&ndash;96}}
* {{cite book|last=Cartan|first=Élie| year=1966|title=The theory of spinors|publisher = Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications)| isbn= 978-0486640709}}
* {{cite book|last= Chevalley|first= Claude| title=The algebraic theory of spinors and Clifford algebras|publisher=Columbia University Press (reprinted 1996, Springer)|year=1954|isbn=978-3540570639}}
* {{cite book|last=Dirac|first= Paul M.|authorlink=Paul Dirac|title=The quantum theory of the electron|journal=Proceedings of the Royal Society of London|volume=A117|year=1928|pages=610&ndash;624}}
* {{cite book| last=Fulton | first=William| coauthors=Joe Harris | title=Representation theory. A first course| publisher=Springer-Verlag| location=New York| series=Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics| isbn=0-387-97495-4| id=MR1153249,| year=1991| volume=129}}
* {{cite book|last=Gilkey|first= Peter B. |url=http://www.emis.de/monographs/gilkey/index.html|title= Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem|publisher= Publish or Perish|year= 1984|isbn= 0-914098-20-9}}
* {{cite book|title=Spinors and Calibrations|last=Harvey|first= F. Reese |publisher=Academic Press|year=1990|isbn=978-0123296504}}
* {{cite book|last=Hitchin|first= Nigel J.|title=Harmonic spinors|journal= Advances in Mathematics|volume=14|year=1974|pages=1&ndash;55|id=MR50_#11332|doi=10.1016/0001-8708(74)90021-8}}
* {{cite book|last=Lawson|first= H. Blaine|coauthors=Marie-Louise Michelsohn|title=Spin Geometry|publisher= Princeton University Press|year=1989|isbn= 0-691-08542-0}}
* {{cite journal|last=Pauli|first= Wolfgang|authorlink=Wolfgang Pauli|title=Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons|journal=Zeitschrift für Physik|volume=43|year=1927|pages= 601&ndash;632|doi=10.1007/BF01397326|bibcode = 1927ZPhy...43..601P|issue=9–10 }}
* {{cite book|last1=Penrose|first1= Roger|author1-link=Roger Penrose|coauthors=W. Rindler|title=Spinors and Space-Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry|publisher= Cambridge University Press|year=1988|isbn=0-521-34786-6}}

===Viitteet===
{{viitteet}}

[[Luokka:Kvanttimekaniikka]]
[[Luokka:Kvanttikenttäteoria]]
[[Luokka:Differentiaaligeometria]]
[[Luokka:Ryhmäteoria]]