Lähdekoodi sivulle Runge–Kutta-menetelmät

'''Runge–Kutta-menetelmät''' ovat erittäin keskeisiä [[numeerinen analyysi|numeerisen analyysin]] menetelmiä [[differentiaaliyhtälö]]iden ratkaisuun. Menetelmiä kehittivät saksalaiset matemaatikot [[Carl Runge]] ja [[Martin Wilhelm Kutta]], joista Kutta julkaisi menetelmän vuonna 1895 artikkelissa Ueber die numerische Auflösung von Differentialgleichungen ja Kutta kehitti tätä edelleen vuonna 1901 julkaisussaan Beitrag zur naherungsweisen Integration von Differentialgleichungen.<ref>Hazewinkel, M. Encyclopaedia of Mathematics. volume 8. Kluweir Academic Publisher, 1992</ref> Runge-Kutta-menetelmille on runsaasti sovelluskohteita muun muassa [[fysiikka|fysiikan]] ja [[tilastotiede|tilastotieteen]] alalla. 

Eräs Runge-Kutta-menetelmien hyvistä puolista on se, ettei sen käyttäminen edellytä [[funktio]]n [[derivaatta|derivaatan]] laskemista. Tästä ominaisuudesta on erityisesti hyötyä ratkaistaessa stokastisia differentiaaliyhtälöitä numeerisesti. <ref>Korpelainen, E. Stokastisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen runge-kutta-menetelmällä. Tilastotieteen tutkimuksia. Joensuun Yliopisto, Yhteiskuntatieteiden tiedekunta, 1989, sivut 8-9.</ref> Runge-Kutta-menetelmät ovat myös asymptoottisesti stabiileja eli hyvin pienillä askeleen arvoilla saadaan häiriön kasvu rajattua tietyn rajan alle. Menetelmää käytettäessä tarvitaan tietoa vain funktion edellisestä arvosta, muttei aiemmista. Tämän vuoksi askelpituuden muuttaminen on helppoa. Runge-Kutta-menetelmän huonoja puolia on se, että apuarvoja ei käytetä kovin hyvin hyödyksi, vaikka näihin voikin joissakin tapauksissa perustaa virhearvioita. Menetelmä on myös laskennallisesti melko raskas, koska se vaatii useiden funktion arvojen laskemisen joka kierroksella, mikä voi olla työlästä, erityisesti, jos funktio on monimutkainen. <ref>Mäkelä, M., Nevanlinna, O. ja Virkkunen, J. Numeerinen matematiikka. Gaudeamus, kolmas painos, sivu 229</ref> 

==Neljännen kertaluvun Runge–Kutta-menetelmä==
===Menetelmän kuvaus===
Tunnetuin Runge–Kutta-menetelmistä on neljännen kertaluvun Runge–Kutta, johon viitataan lyhenteellä "RK4" ja hyvin usein pelkkänä "Runge–Kutta-menetelmänä".

Olkoon alkuarvo-ongelmana
:<math>y' = f(t, y(t)),\quad y(t_0) = y_0.</math>

Nyt RK4-menetelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
:<math>y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right)</math>
:<math>t_{n+1} = t_n + h,</math>
jossa ''h'' merkitsee käytettyä aika-askelta ja ''y''<sub>n+1</sub> on RK4-menetelmän [[approksimaatio]] arvosta ''y''(''t''<sub>n+1</sub>) ja
:<math>k_1 = f\left(t_n, y_n\right)</math>
:<math>k_2 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right)</math>
:<math>k_3 = f\left(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right)</math>
:<math>k_4 = f\left(t_n + h, y_n + hk_3\right)</math>

Kertoimet ''k''<sub>i</sub> ovat tulkittavissa mallinnettavan [[funktio]]n [[kulmakerroin|kulmakertoimiksi]] välin eri pisteissä. Arvo ''k''<sub>1</sub> on kulmakerroin välin alkupisteessä, ''k''<sub>2</sub> on [[Eulerin menetelmä]]llä laskettu approksimaatio puolivälin kulmakertoimesta, ''k''<sub>3</sub> samoin käyttäen ''k''<sub>1</sub>:n sijaan ''k''<sub>2</sub>:a laskuissa ja ''k''<sub>4</sub> on ''k''<sub>3</sub>:a hyödyntäen laskettu kulmakertoimen arvo välin päätepisteessä. Näistä otetaan lopuksi [[painotettu keskiarvo|keskiarvo painottaen]] puolivälin kulmakertoimia.

===Tarkkuus===
RK4:n tarkkuus on sen nimen mukaisesti neljättä kertalukua, eli menetelmän virhe on [[suoraan verrannollisuus|verrannollinen]] käytetyn aika-askeleen ''h'' neljänteen potenssiin. Aika-askelta kohti virhe menetelmässä on ''h''<sup>5</sup>, ja koska askelia tarvitaan 1/''h'' aikayksikköä kohden, on kokonaisvirhe verrannollinen suureeseen ''h''<sup>4</sup>.

==Low Storage Runge–Kutta -menetelmät==
===Taustaa===
Neljännen kertaluvun Runge–Kutta-menetelmässä tarvitaan uutta arvoa laskettaessa vanhan arvon lisäksi neljä aputulosta. Tietokoneella mallintaessa tämä tarkoittaa, että muistinkäyttö menetelmällä on viisi kertaa mallinnettavan systeemin koko. Suurissa mallinnuksissa tämä saattaa merkitä hyvinkin suurta kuormaa jopa nykyisten tietokoneiden muistimäärille. Tällaista varten on kehitetty ns. ''Low Storage'' eli pienen tallennuskapasiteetin Runge–Kutta-menetelmät.

===Kahden muistipaikan Runge–Kutta===
Kahta muistipaikkaa käyttävä Runge–Kutta-menetelmä voidaan esittää seuraavassa muodossa. Aluksi asetetaan
:<math>dy^0 = 0</math> ja <math>y^0 = y_n.</math>
Sitten lasketaan <math>\forall i \in [0,m]</math>
:<math>dy^{i+1} = A_i dy^{i} + hf\left(y^i\right)</math>
:<math>y^{i+1} = y^i + B_i dy^{i+1}</math>
ja lopuksi saadaan
:<math>y_{n+1} = y^m.</math>

Algoritmissa esiintyvä ''m'' merkitsee vaiheiden määrää ja siitä riippuu myös vakioiden ''A''<sub>i</sub> ja ''B''<sub>i</sub> arvot. Huomataan, että ohjelmakoodina algoritmissa tarvitaan vakioiden lisäksi ainoastaan muuttujat ''dy''<sup>i</sup> ja ''y''<sup>i</sup>. Artikkelissaan <ref>{{Lehtiviite | Tekijä = Mark H. Carpenter, Christopher A. Kennedy | Otsikko = Fourth-Order 2N-Storage Runge–Kutta Schemes | Julkaisu = NASA Technical Memorandum | Ajankohta = 1994| www = http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19940028444_1994028444.pdf}}</ref> Carpenter ja Kennedy esittelevät vakioiden ''A''<sub>i</sub> ja ''B''<sub>i</sub> johtamista sekä arvot muun muassa viisivaiheiselle kahden muistipaikan neljännen kertaluvun Runge–Kuttalle eli "(5,4) 2N-Storage RK"

==Runge-Kutta-menetelmä tietokoneella==

Runge-Kutta-menetelmää voidaan simuloida lähes millä tahansa numeeriseen laskentaan kykenevällä ohjelmalla, jopa Excelillä. Esimerkiksi Matlab-ohjelmassa on valmiita komentoja, joilla voidaan ratkaista differentiaaliyhtälöitä numeerisesti Runge-Kutta-menetelmää käyttäen. <ref>Karris, S. T. Numerical Analysis Using MATLAB and Excel. Orchard Publications, kolmas painos, 2007</ref>

==Katso myös==

*[[Eulerin menetelmä]]
*[[Numeerinen analyysi]]

==Lähteet==
{{viitteet}}

== Kirjallisuutta ==
* {{Kirjaviite | Tekijä=Kaleva, Osmo | Nimeke=Numeerinen analyysi | Selite=Opintomoniste 163 | Julkaisija=TTKK | Julkaisupaikka=Tampere | Vuosi=1993 | Tunniste = | Isbn = 951-721-941-5}}

<!-- Koska sivun otsikko on Runge-Kutta-menetelmät, voisi sivulle kirjata näitä enemmänkin. Aloitin nyt RK4:llä, mutta tarkoituksenani on lisätä vielä hieman yleistä asiaa muista menetelmistä. -->
{{Tynkä/Matematiikka}}

[[Luokka:Numeerinen analyysi]]