Lähdekoodi sivulle Ristitulo

'''Ristitulo''' eli '''vektoritulo''' on [[kolmiulotteisuus|kolmiulotteisessa]] [[euklidinen avaruus|euklidisessa avaruudessa]] <math>\mathbb{R}^3</math> määritelty kahden [[vektori]]n välinen [[laskutoimitus]], jonka merkkinä käytetään vinoristiä ×. Jos '''a''' ja '''b''' ovat kaksi erisuuntaista vektoria, niiden ristitulo '''a''' × '''b''' on vektori, joka on molempia vastaan [[kohtisuora]]ssa ja näin ollen kohtisuorassa niiden määrittämään [[taso]]on nähden.  Ristitulolla on monia sovelluksia [[matematiikka|matematiikassa]], [[fysiikka|fysiikassa]], [[tekniikka|tekniikassa]] ja [[ohjelmointi|tietokoneohjelmoinnissa]]. Se on erotettava vektorien [[pistetulo]]sta eli skalaaritulosta.

Jos vektorit ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia, toisin sanoen ne eivät ole ''lineaarisesti riippumattomia'', tai jompikumpi niistä on [[nollavektori]], ristitulo on nollavektori. Muussa tapauksessa vektorien ristitulo on [[itseisarvo]]ltaan (eli pituudeltaan) yhtä suuri kuin sen [[suunnikas|suunnikkaan]] [[pinta-ala]], jonka sivuina nämä vektorit ovat; erityisesti toistensa nähden kohtisuorien vektorien ristitulo on niiden pituuksien tulo. Ristitulo on [[antikommutatiivisuus|antikommutatiivinen]], toisin sanoen  {{nowrap|1='''a''' × '''b''' = -'''b''' × '''a'''}}), ja se noudattaa [[osittelulaki]]a vektorien yhteenlaskun suhteen, toisin sanoen {{nowrap|1 = '''a''' × ('''b''' + '''c''') = '''a''' × '''b''' + '''a''' × '''c'''}}). Avaruus <math>\mathbb{R}</math> varustettuna ristitulolla on [[algebra kunnan yli|algebra reaalilukujen kunnan yli]]. Se ei ole [[vaihdantalaki|vaihdannainen]] eikä [[liitäntälaki|liitännäinen]], mutta se on [[Lien algebra]].

[[Pistetulo]]n tavoin ristitulo riippuu euklidisen avaruuden [[metrinen avaruus|metriikasta]], mutta toisin kuin pistetulo, se riippuu myös avaruuden [[orientaatio (matematiikka)|orientaatiosta]] eli ''[[kätisyys|kätisyydestä]]''. Ristitulon käsitettä voidaan yleistää monin tavoin; se voidaan tehdä kätisyydestä riippumattomaksi tulkitsemalla tulos [[pseudovektori]]ksi, tai kuinka monessa ulottuvuudessa tahansa voidaan vektorien [[ulkoinen tulo|ulkoista tuloa]] käyttää niin, että tuloksena on [[bivektori]] tai [[2-muoto]]. Käyttämällä orientaatiota ja metristä struktuuria aivan samoin kuin tavanomaisessa kolmiulotteisessa ristitulossa voidaan ''n'' ulottuvuudessa muodostaa {{nowrap|''n'' - 1}} vektorin tulo niin, että se on kohtisuorassa niitä kaikkia vastaan. Kuitenkin vain kolmessa tai [[seitsenulotteinen ristitulo|seitsemässä ulottuvuudessa]] <ref name=Massey2>{{lehtiviite | Otsikko = Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces |Tekijä=WS Massey |Vuosi=1983 |jstor=2323537|Lainaus=If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space. |Sivut=697–701 |Julkaisu=The American Mathematical Monthly |Vuosikerta=90 |Numero=10 |ref=harv |Doi=10.2307/2323537}}</ref> voidaan kahden vektorin ei-triviaali tulo määritellä niin, että tuloksena on vektori. Niistäkin vain kolmiulotteisessa avaruudessa
ristitulo on yksikäsitteinen.
[[Tiedosto:Cross product vector.svg|thumb|right|Ristitulovektorien suunnat oikean käden säännön mukaisesti]]

== Määritelmä ==
[[Tiedosto:Right hand rule cross product.svg|right|thumb|Ristitulon suunnan määrittäminen [[oikean käden sääntö|oikean käden säännöllä]].]]
Vektorien '''a''' ja '''b''' ristitulo on määritelty vain kolmiulotteisessa avaruudessa, ja se merkitään {{nowrap|1='''a''' × '''b'''}}. [[Fysiikka|Fysiikassa]] käytetään joskus myös merkintää <math>a \and b</math>,<ref>{{kirjaviite | Tekijä=H. Jeffreys, BS. |Nimeke=Methods of mathematical physics|Vuosi=1999|Julkaisija=Cambridge University Press }}</ref> mutta matematiikassa sitä vältetään käyttämästä, jottei se sekaantuisi [[ulkoinen tulo|ulkoiseen tuloon]].

Ristitulo {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} määritellään vektorina '''c''', joka on kohtisuorassa sekä '''a''':ta että '''b''':tä vastaan ja jonka suunta määräytyy [[oikean käden sääntö|oikean käden säännön]] mukaan <!--Näin se opetetaan ensimmäisellä kerralla opiskelijoille, jotka myös käyttävät oikeakätistä koordinaatistoa --> ja joka pituudeltaan on yhtä suuri kuin sen [[suunnikas|suunnikkaan]] pinta-ala, jonka sivuina annetut vektorit ovat.

Ristitulo määritellään tällöin kaavalla <ref>{{kirjaviite | Tekijä = Edwin Bidwell Wilson | Nimeke = Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics | Sivut = 60–61 | Julkaisija = Yale University Press | Vuosi = 1901}}</ref><ref name=Cullen>{{kirjaviite | Tekijä = Dennis G. Zill, Michael R. Cullen | Nimeke = Advanced engineering mathematics, 3. painos | Sivu = 324 | Luku = Definition 7.4: Cross product of two vectors | Julkaisija = | Tunniste = | Isbn = 0-7637-4591-X | www = http://books.google.com/?id=x7uWk8lxVNYC&pg=PA324}}</ref>

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \sin \theta \ \mathbf{n}</math>

missä <math>\theta</math> on vektorien '''a''' ja '''b''' välinen [[kulma]] niiden määrittämässä tasossa (näin ollen se on aina 0°:n ja 180°:n välillä), <math>\left\| \mathbf{a} \right\|</math>ja <math>\left\| \mathbf{b} \right\|</math> ovat vektorien '''a''' ja '''b''' pituudet ja '''n''' niiden määrittämää tasoa vastaan kohtisuorassa oleva [[yksikkövektori]], jonka suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan oheisen kuvan osoittamalla tavalla.  Jos vektorit '''a''' ja '''b''' ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia ( eli niiden välinen kulma on joko 0° tai 180°), seuraa määritelmästä, että niiden ristitulo on [[nollavektori]] '''0'''.

[[Tiedosto:Cross product.gif|left|thumb|Ristitulo {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} (pystysuorassa, violetti) muuttuu, kun vektorien ''a'' (sininen) ja '''b''' (punainen) välinen kulma muuttuu. Ristitulo on aina molempia vastaan kohtisuorassa, ja se on nollavektori, kun vektorit ovat yhdensuuntaisia, ja saa suurimman arvonsa <math>\left\| \mathbf{a} \right\|\left\| \mathbf{b} \right\|</math>, kun ne ovat kohtisuorassa.]]

Sopimuksen mukaan vektorin '''n''' suunnan antaa oikean käden sääntö: jos oikean käden etusormi osoittaa vektorin '''a''' ja keskisormi vektorin '''b''' suuntaan, peukalo osoittaa vektorin '''n''' suuntaan oheisen kuvan mukaisesti. Tästä säännöstä seuraa, että ristitulo on [[antikommutatiivisuus|antikommutatiivinen]]. Toisin sanoen, jos vektorit '''a''' ja '''b''' vaihdetaan keskenään, ristitulon suunta muuttuu vastakkaiseksi eli {{nowrap|1='''b''' × '''a''' = -('''a''' × '''b''')}}. Niinpä jos oikean käden asentoa muutetaan siten, että etusormi osoittaa vektorin '''b''' ja keskisormi vektorin '''a''' suuntaan, osoittaa peukalo väistämättä päinvastaiseen suuntaan kuin aikaisemmin.

Edellä esitetystä määritelmästä seuraa, että ristituloa käytettäessä koordinaatiston kätisyys on otettava huomioon. Jos poikkeuksellisesti käytetään vasenkätistä koordinaatistoa, vektorin '''n''' suunnan antaa vasemman käden sääntö ja se osoittaa päinvastaiseen suuntaan.

Tästä aiheutuu kuitenkin ongelma, sillä jos yksi mielivaltainen vertailujärjestelmä vaihdetaan toiseen, esimerkiksi peilauksessa, jolloin siirrytään oikeakätisestä vasenkätiseen koordinaattijärjestelmään, ristitulon '''n''' suunta muuttuu. Tämän ongelma selviää, kun ymmärretään, ettei kahden vektorin ristitulo ole aito vektori vaan [[pseudovektori]], kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.

== Nimet ==
[[Tiedosto:Sarrus rule.svg|upright=1.25|thumb|right|[[Sarrus’n sääntö|Sarrus’n säännön]] mukaan 3×3 -matriisin [[determinantti]] edellyttää matriisin lukujen kertolaskua leikkaavien lävistäjien suunnassa.]]

Vuonna 1881 [[Josiah Willard Gibbs]] ja hänestä riippumatta [[Oliver Heaviside]], ottivat käyttöön sekä [[pistetulo]]n että ristitulon käyttämällä edellisen merkkeinä pistettä, ({{nowrap|1='''a''' . '''b'''}}), jälkimmäisen merkkinä vinoristiä ("x") ({{nowrap|1='''a''' x '''b'''}}).<ref name=ucd>{{verkkoviite | Osoite = https://www.math.ucdavis.edu/~temple/MAT21D/SUPPLEMENTARY-ARTICLES/Crowe_History-of-Vectors.pdf | Nimeke = A History of Vector Analysis | Kirjoittaja = Michael J. Crowe, Math. UC Davis}}</ref>

Vastaavia laskutoimituksia oli jo vuonna 1877 käyttänyt [[William Kingdon Clifford]]. Korostaakseen sitä, että toinen niistä antaa tuloksena [[skalaari]]n, toinen [[vektori]]n, hän antoi niille nimet ''skalaaritulo'' ja ''vektoritulo''<ref name=ucd />, joita edelleenkin yleisesti käytetään nimitysten pistetulo ja ristitulo ohella.

Siihen, että vektoritulon merkiksi valittiin vinoristi ({{nowrap|1='''a''' × '''b'''}}) ja sitä alettiin nimittää ristituloksi, vaikutti todennäköisesti se, että ristitulon {{nowrap|1='''a''' × '''b'''}} jokaista skalaarista komponenttia laskettaessa kerrotaan keskenään ''a'':n ja ''b'':n ne komponentit, jotka eivät vastaa toisiaan. Sitä vastoin pistetuloa {{nowrap|1='''a''' · '''b'''}} laskettaessa kerrotaan vektorien toisiaan vastaavat, yhdensuuntaiset komponentit. Kuten jäljempänä selitetään, ristitulo voidaan esittää tietynlaisen 3×3 -[[matriisi]]n muodossa. [[Sarrus'n sääntö|Sarrus'n säännön]] mukaisesti tämä merkitsee, että matriisin lävistäjien suunnassa toisiaan seuraavat luvut kerrotaan keskenään.

==Ristitulon laskeminen==

===Koordinaattimerkintä===
[[Tiedosto:3D Vector.svg|300px|thumb|right|Standardit kantavektorit ('''i''', '''j''', '''k''', joille käytetään myös merkintöjä '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>) ja '''a''':n [[vektorikomponentti|vektorikomponentit]] ('''a'''<sub>x</sub>, '''a'''<sub>y</sub>, '''a'''<sub>z</sub>, joille käytetään myös merkintöjä '''a'''<sub>1</sub>, '''a'''<sub>2</sub>, '''a'''<sub>3</sub>)]]
Kolmiulotteisen avaruuden standardien kantavektorien '''i''', '''j''' ja '''k''' ristitulot ovat oikeakätisessä koordinaatistossa seuraavat:
:<math>\begin{align}
  \mathbf{i} &= \mathbf{j}\times\mathbf{k}\\
  \mathbf{j} &= \mathbf{k}\times\mathbf{i}\\
  \mathbf{k} &= \mathbf{i}\times\mathbf{j}
\end{align}</math>

mistä ristitulon [[antikommutatiivisuus|antikommutatiivisuuden]] vuoksi seuraa: 
:<math>\begin{align}
 \mathbf{k\times j} &= -\mathbf{i}\\
 \mathbf{i\times k} &= -\mathbf{j}\\
 \mathbf{j\times i} &= -\mathbf{k}
\end{align}</math>

Ristitulon määritelmästä seuraa myös, että
:<math>\mathbf{i}\times\mathbf{i} = \mathbf{j}\times\mathbf{j} = \mathbf{k}\times\mathbf{k} = \mathbf{0}</math> ([[nollavektori]]).

Voidaan osoittaa, että ristitulo noudattaa [[osittelulaki]]a ja on [[lineaarisuus|lineaarinen]], mikä tosin ei aivan mutkattomasti seuraa sen määritelmästä. Näiden ominaisuuksiensa sekä edellä lueteltujen kantavektorien ristitulojen avulla voidaan laskea minkä tahansa kahden vektorin '''u''' ja '''v''' ristitulo. Jokainen vektori voidaan nimittäin esittää kolmen kohtisuoran komponentin summana, joista kukin on yhden kantavektorin suuntainen:
:<math>\begin{align}
  \mathbf{u} &= u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k} \\
  \mathbf{v} &= v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k}
\end{align}</math>

Ristitulo {{nowrap|1='''u''' × '''v'''}} voidaan näin ollen laskea osittelulain avulla:
:<math> \begin{align}
 \mathbf{u}\times\mathbf{v} = {} &(u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k}) \times (v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k})\\
                            = {} &u_1v_1(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) + u_1v_2(\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + u_1v_3(\mathbf{i} \times \mathbf{k}) + {}\\
                                 &u_2v_1(\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + u_2v_2(\mathbf{j} \times \mathbf{j}) + u_2v_3(\mathbf{j} \times \mathbf{k}) + {}\\
                                 &u_3v_1(\mathbf{k} \times \mathbf{i}) + u_3v_2(\mathbf{k} \times \mathbf{j}) + u_3v_3(\mathbf{k} \times \mathbf{k})\\
\end{align}</math>

Tämä voidaan tulkita niin, että {{nowrap|1='''u''' × '''v'''}} hajotetaan yhdeksän yksinkertaisemman ristitulon summaksi, joista jokaisen tekijät ovat kantavektorien '''i''', '''j''' ja '''k''' suuntaisia. Jokainen näistä yhdeksästä ristitulosta on helppo käsitellä, sillä ne ovat joko toistensa suuntaisia tai toisiinsa nähden kohtisuorassa. Tästä hajotelmasta saadaan edellä esitettyjen yhtälöiden avulla ja yhdistämällä samanmuotoiset termit:
:<math>\begin{align}
 \mathbf{u}\times\mathbf{v} = {} &u_1v_1\mathbf{0} + u_1v_2\mathbf{k} - u_1v_3\mathbf{j} - {}\\
                                 &u_2v_1\mathbf{k} - u_2v_2\mathbf{0} + u_2v_3\mathbf{i} + {}\\
                                 &u_3v_1\mathbf{j} - u_3v_2\mathbf{i} - u_3v_3\mathbf{0} \\
                            = {} &(u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{i} + (u_3v_1 - u_1v_3)\mathbf{j} + (u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{k}\\
\end{align}</math>

mikä merkitsee, että tuloksena saatavan vektorin kolme [[skalaarikomponentti]]a
'''s''' = ''s''<sub>1</sub>'''i''' + ''s''<sub>2</sub>'''j''' + ''s''<sub>3</sub>'''k''' = {{nowrap|1='''u''' × '''v'''}} ovat
:<math>\begin{align}
  s_1 &= u_2v_3-u_3v_2\\
  s_2 &= u_3v_1-u_1v_3\\
  s_3 &= u_1v_2-u_2v_1
\end{align}</math>

[[Sarakevektori]]en avulla sama tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti:
:<math>\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1\end{pmatrix}</math>

===Matriisimerkintä===
[[Tiedosto:Sarrus rule cross product.svg|thumb|Sarrus'n sääntö vektorien '''u''' ja '''v''' ristitulon määrittämiseksi]]
Ristitulo voidaan muodollisesti<ref group="Huomautus">Tässä "muodollisesti" merkitsee, että tämä merkintä on determinantin muotoinen, mutta ei tarkkaan ottaen ole determinantin määritelmän mukainen; kyseessä on lähinnä ristitulon kehitelmän muistamiseksi laadittu muistisääntö.</ref> esittää myös [[determinantti]]na:

:<math>\mathbf{u\times v}=\begin{vmatrix}
\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
u_1&u_2&u_3\\
v_1&v_2&v_3\\
\end{vmatrix}</math>
Tämä determinantti voidaan laskea [[Sarrus'n sääntö|Sarrus'n säännön]] tai [[kofaktorikehitelmä]]n avulla.
Sarrus'n säännön avulla saadaan
:<math>\mathbf{u\times v}=(u_2v_3\mathbf{i}+u_3v_1\mathbf{j}+u_1v_2\mathbf{k})
-(u_3v_2\mathbf{i}+u_1v_3\mathbf{j}+u_2v_1\mathbf{k}).
</math>
Jos sen sijaan käytetään kofaktorikehitelmää ensimmäiselle riville, saadaan:
<ref name=Cullen2>{{kirjaviite | Tekijä = Dennis G. Zill, Michael R. Cullen | Nimeke = Advanced engineering mathematics | Sivu = 321 | Luku = Equation 7: '''a''' × '''b''' as sum of determinants |
Julkaisija = Jones & Bartlett Learning | Vuosi = 2006 | Tunniste = | Isbn = 0-7637-4591-X | www = http://books.google.com/?id=x7uWk8lxVNYC&pg=PA321}}</ref>
:<math>\mathbf{u\times v}=
\begin{vmatrix}
u_2&u_3\\
v_2&v_3
\end{vmatrix}\mathbf{i}
-\begin{vmatrix}
u_1&u_3\\
v_1&v_3
\end{vmatrix}\mathbf{j}
+\begin{vmatrix}
u_1&u_2\\
v_1&v_2
\end{vmatrix}\mathbf{k}
</math> 
mistä ristitulovektorin komponentit saadaan suoraan.

== Ominaisuuksia ==

=== Geometrinen merkitys ===
[[Tiedosto:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|Kuvio 1. Suunnikkaan pinta-ala ristitulon itseisarvona]]
[[Tiedosto:Parallelepiped volume.svg|right|thumb|240px|Kuvio 2. Kolmen vektorin määrittämä suuntaissärmiö]]

Kahden vektorin ristitulon [[itseisarvo]] on yhtä suuri kuin sellaisen [[suunnikas|suunnikkaan]] [[pinta-ala]], jonka sivuina nämä vektorit ovat (katso kuvio 1):

:<math>A = \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \sin \theta. \,\!</math>

Sellaisen [[suuntaissärmiö]]n tilavuus '''V''', jonka särmät ovat '''a''', '''b''' ja '''c''', voidaan laskea käyttämällä ristitulon ja pistetulon yhdistelmää, jota sanotaan [[skalaarikolmitulo]]ksi (katso kuvio 2):

:<math>
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}).
</math>

Koska skalaarikolmitulo voi olla myös negatiivinen, suorakulmaisen särmiön tilavuus on skalaarikolmitulon [[itseisarvo]]. Esimerkiksi

:<math>V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|.</math>

Koska ristitulon itseisarvo on verrannollinen vektorien välisen kulman [[Trigonometrinen funktio|siniin]], ristituloa voidaan käyttää ''kohtisuoruuden'' mittana samaan tapaan kuin [[pistetulo]] on ''yhdensuuntaisuuden'' mitta. Kahden
[[yksikkövektori]]n ristitulon itseisarvo on 1, [[jos ja vain jos]] ne ovat kohtisuorassa, ja 0, jos ja vain jos ne ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia. Samojen vektorien pistetulon laita on tässä suhteessa täsmälleen päinvastoin.

Vektorien komponenttiesityksen avulla voidaan myös määrittää niiden välinen kulma. Niiden pistetulo antaa tämän kulman [[kosini]]n, joka voi olla positiivinen tai negatiivinen, kun taas ristitulon itseisarvo antaa saman kulman sinin, joka on aina positiivinen.

=== Algebralliset ominaisuudet ===

[[Tiedosto:Cross product scalar multiplication.svg|350px|thumb|Ristitulon kertominen skalaarilla. '''Vasemmalla:''' Vektori '''b''' hajotettuna '''a''':n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. '''Oikealla''' Kohtisuoran komponentin kertominen positiivisella reaaliluvulla ''r'' (jos se on negatiivinen, '''b''':n ja ristitulon suunnat ovat päinvastaiset).]]

[[Tiedosto:Cross product distributivity.svg|350px|thumb|Ristitulon osittelulaki vektorien yhteenlaskun suhteen. '''Vasemmalla:''' Vektorit '''b''' ja '''c''' hajotettuna '''a''':n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. '''Oikealla''': Yhdensuuntaiset komponentit häviävät ristitulossa, vain '''a''':ta vastaan kohtisuorat komponentit jäävät jäljelle.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = M. R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman | Nimeke = Vector Analysis | Kirjasarja = Schaum's outlines | Sivu = 29 | Julkaisija = McGraw Hill | Vuosi = 2009 |Isbn = 978-0-07-161545-7}}</ref>]]

[[Tiedosto:Cross product triple.svg|thumb|350px|Kolmesta vektorista '''a''', '''b''' ja '''c''' saadut kaksi yhdistettyä ristituloa eivät ole yhtä suuret. Kummassakin tapauksessa kaksi vektoria määrittää tason, kolmas on tason ulkopuolella ja voidaan hajottaa tason suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Nämä komponentit voidaan muodostaa [[vektorin projektio]]n ja [[rejektio]]n avulla. Kolmitulo on tasossa ja kiertyy kuvan osoittamalla tavalla.]]

* Jos kahden vektorin ristitulo on [[nollavektori]] (toisin sanoen {{nowrap|1='''a''' × '''b''' = '''0'''}}), joko ainakin toinen vektoreista on nollavektori, ({{nowrap|1='''a''' = '''0'''}} ja/tai {{nowrap|1='''b''' = '''0'''}}), tai vektorit ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia ({{nowrap|'''a''' {{!}}{{!}} '''b'''|{{!}}{{!}}| '''b'''}}), jolloin niiden välisen kulman sini on nolla (<math>\theta</math>&nbsp;=&nbsp;0° tai <math>\theta</math>&nbsp;=&nbsp;180° ja <math>\sin \theta = 0</math>).
* Vektorin ristitulo itsensä kanssa on nollavektori, toisin sanoen {{nowrap|1='''a''' × '''a''' = '''0'''}}.
* Ristitulo on [[antikommutatiivisuus|antikommutatiivinen]]:

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}).</math>

* Ristitulo noudattaa [[osittelulaki]]a yhteenlaskun suhteen:

: <math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{c}),</math>

* Jos ristitulon jompikumpi tekijä kerrotaan skalaarilla, myös ristitulon arvo tulee kerrotuksi samalla skalaarilla:

:<math>(r\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (r\mathbf{b}) = r(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).</math>

* Ristitulo ei ole [[liitäntälaki|liitännäinen]], mutta sille pätee [[Jacobin identiteetti]]:

:<math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}.</math>

Osoittelulaki, lineaarisuus ja Jacobin identiteetti osoittavat, että vektoriavaruus <math>\mathbb{R}^3</math> varustettuna vektorien yhteenlaskulla ja ristitulolla on [[Lien algebra]], tarkemmin sanottuna kolmiulotteisen reaalisen [[ortogonaalinen ryhmä|ortogonaalisen ryhmän]] Lien algebra [[SO(3)]].

* Ristitulo ei noudata [[supistaminen|supistussääntöä]]: Vaikka '''a''' ei olisi nollavektori, yhtälöstä {{nowrap|1='''a''' × '''b''' = '''a''' × '''c'''}} ei seuraa, että {{nowrap|1='''b''' = '''c'''}}, vaan ainoastaan että:

:<math> \begin{align}
\mathbf{0} &= (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) - (\mathbf{a} \times \mathbf{c})\\
&= \mathbf{a} \times (\mathbf{b} - \mathbf{c}).\\
\end{align}</math>

Ristitulon määritelmästä seuraa, että tällöin vektorien '''a''' ja {{nowrap|'''b''' - '''c'''}} välisen kulman on oltava nolla eli niiden on oltava yhdensuuntaiset. Toisin sanoen ne liittyvät toisiinsa skaalaustekijällä ''t'', eli

: <math>\mathbf{c} = \mathbf{b} + t\mathbf{a},</math>

jollakin skalaariarvolla ''t''.

* Jos {{nowrap|1='''a''' · '''b''' = '''a''' · '''c'''}} ja {{nowrap|1='''a''' × '''b''' = '''a''' × '''c'''}} jollakin vektorilla '''a''', joka ei ole nollavektori, on {{nowrap|1='''b''' = '''c'''}}, sillä

:<math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} - \mathbf{c}) = \mathbf{0}</math> and
:<math>\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{c}) = 0,</math>

eli  {{nowrap|'''b''' - '''c'''}} on sekä vektorin '''a''' suuntainen että sitä vastaan kohtisuorassa, mikä on mahdollista vain, jos {{nowrap|1='''b''' - '''c''' = '''0'''}} eli '''b''' ja '''c''' ovat identtiset.

* Geometrisen määritelmän perusteella ristitulo on invariantti [[rotaatio (geometria)|rotaatiossa]] akselin {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} ympäri. Kaavana:

:<math>(R\mathbf{a}) \times (R\mathbf{b}) = R(\mathbf{a} \times \mathbf{b})</math>, where <math>R</math> on [[rotaatiomatriisi]], jossa <math>\det(R)=1</math>.

Yleisemmin ristitulo noudattaa seuraavaa identiteettiä [[matriisi]]muunnoksissa:

:<math>(M\mathbf{a}) \times (M\mathbf{b}) = (\det M) M^{-T}(\mathbf{a} \times \mathbf{b})</math>

missä <math>M</math> on 3×3 -matriisi ja <math>M^{-T}</math> sen [[käänteismatriisi]]n [[transpoosi]]. Voidaan helposti nähdä, miten tämä kaava palautuu edelliseen, jos <math>M</math> on rotaatiomatriisi.

Kahden ristitulon summalle pätee:
:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{c} \times \mathbf{d} = (\mathbf{a} - \mathbf{c}) \times (\mathbf{b} - \mathbf{d}) + \mathbf{a} \times \mathbf{d} + \mathbf{c} \times \mathbf{b}.</math>

=== Differentioituminen ===

[[Differentiaalilaskenta|Differentiaalilaskennan]] [[tulosääntö]] pätee jokaiselle bilineaariselle laskutoimitukselle ja näin ollen myös ristitulolle:

:<math>\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \frac{d\mathbf{b}}{dt}</math>
missä '''a''' ja '''b''' ovat reaalimuuttujasta ''t'' riippuvia vektorifunktioita.

=== Kolmitulot ===

Ristituloa käytetään molempia kolmituloja muodostettaessa. Kolmen vektorin [[skalaarikolmitulo]] on määritelty seuraavasti:

:<math>\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}). </math>

Skalaarikolmitulo on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin sellaisen [[suuntaissärmiö]]n tilavuus, jonka sivut ovat '''a''', '''b''' ja '''c''', ja siinä esiintyvät vektorit voidaan vaihtaa keskenään mihin tahansa järjestykseen, joka on edellä esitetyn [[parillinen permutaatio]]. Seuraavat lausekkeet ovat näin ollen yhtä suuret:

:<math>\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}), </math>

[[Vektorikolmitulo]] on vektorin ja toisen ristitulon tuloksen ristitulo, ja sen liittää pistetuloon seuraava lause:

:<math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}).</math>

Vektorien järjestyksen muistamiseen tämän kaavan oikealla puolella olevassa lausekkeessa voidaan käyttää muistisääntöä "BAC miinus CAB". Tätä kaavaa käytetään [[fysiikka|fysiikassa]] vektoreilla suoritettavien laskutoimitusten yksinkertaistamiseen. Muuan [[vektorianalyysi]]ssä käyttökelpoinen, [[gradientti|gradientteihin]] liittyvä erikoistapaus on:
:<math>\begin{align}
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) & = \nabla (\nabla \cdot  \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\
& =  \nabla (\nabla \cdot  \mathbf{f} ) - \nabla^2 \mathbf{f},\\
\end{align} </math>
missä <math>\nabla^2</math> on [[Laplacen operaattori]] vektoreille.

Myös seuraavat identtiset yhtälöt liittävät ristitulon skalaarikolmituloon:
 
:<math>(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})) \mathbf{a}</math>
:<math>(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{d}) = \mathbf{b}^T ((\mathbf{c}^T \mathbf{a})I-\mathbf{c} \mathbf{a}^T)\mathbf{d}</math>,
missä I on identtinen matriisi.

===Vaihtoehtoinen muotoilu===
Ristitulon ja pistetulon yhdistää toisiinsa kaava
:<math> \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| ^2  = \left\|\mathbf{a}\right\|^2  \left\|\mathbf{b}\right\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2.</math>
Tässä oikealla puolella on vektorien '''a''' ja '''b''' [[Gramin matriisi|Gramin determinantti]], vektorien määräämän suunnikkaan pinta-alan neliö. Tämä ehto määrittää ristitulon suuruuden. Sillä jos pistetulo on määritelty vektorien välisen kulman <math>\theta</math> avulla:

:<math> \mathbf{a \cdot b} = \left\| \mathbf a \right\| \left\| \mathbf b \right\| \cos \theta , </math>

tämä yhtälö voidaan kirjoittaa uudestaan muotoon:

:<math>  \left\| \mathbf{a \times b} \right\|^2 = \left\| \mathbf{a} \right\| ^2 \left\| \mathbf{b}\right \| ^2 \left(1-\cos^2 \theta \right) .</math>

Koska [[Pythagoraan lause]]esta seuraa, että kaikilla kulmilla <math>\theta</math> pätee
:<math>\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\!</math>,
saadaan tästä:
:<math> \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \left| \sin \theta \right| ,</math>

mikä on ristitulon itseisarvo ilmaistuna kulman <math>\theta</math> avulla ja yhtä suuri kuin vektorien '''a''' ja '''b''' määrittämän suunnikkaan pinta-ala.

Tämä vaatimus yhdessä sen kanssa, että ristitulo on kohtisuorassa tekijöihinsä '''a''' ja '''b''' nähden
tarjoaa mahdollisuuden ristitulon vaihtoehtoiseen määritelmään:<ref name=Massey>{{lehtiviite | Tekijä = WS Massey | Otsikko = Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces | Julkaisu = The American Mathematical Monthly | Vuosikerta = 90 | Ajankohta = joulukuu 1983 | Sivut = 697–701 |Numero=10 |Doi=10.2307/2323537 | Jstor=2323537}}</ref>

===Lagrangen identiteetti===
Yhteyttä
:<math> \left\| \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right\| ^2 = 
\det \begin{bmatrix}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} & \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}  & \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\\
\end{bmatrix} = 
 \left\| \mathbf{a} \right\| ^2  \left\| \mathbf{b} \right\| ^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2  .</math>
voidaan verrata toiseen yhteyteen, joka liittyy tämän yhtälön oikealla puolella olevaan lausekkeeseen,
nimittäin [[Lagrangen identiteetti]]in,<ref name=Boichenko>{{kirjaviite | Tekijä = Vladimir A. Boichenko, Gennadii Alekseevich Leonov, Volker Reitmann | Nimeke = Dimension theory for ordinary differential equations | Sivu = 26 | Julkaisija = Viewer+Teubner Verlag | Vuosi = 2005 | Tunniste = | Isbn = 3-519-00437-2}}</ref>
:<math>\sum_{1 \le i < j \le n} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 = \left\| \mathbf a \right\| ^2 \left\| \mathbf b \right\| ^2 - (\mathbf {a \cdot b } )^2\ , </math>

missä '''a''' ja '''b''' voivat olla ''n''-ulotteisia vektoreita. Tämä osoittaa, että [[Riemannin tilavuusmuoto]] pinnoille on sama asia kuin vektorianalyysin avulla laskettu tilavuusalkio. Tapauksessa {{nowrap|1=''n'' = 3}} nämä kaksi yhtälöä voidaan yhdistää niin, että saadaan vektorien ristitulon itseisarvolle lauseke niiden komponenttien avulla:<ref name=Lounesto1>{{kirjaviite | Tekijä = Pertti Lounesto | Nimeke = Clifford algebras and spinors, 2. painos | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 2001 | Tunniste = | Isbn = 0-521-00551-5 | www = http://books.google.com/?id=kOsybQWDK4oC&pg=PA94&dq=%22which+in+coordinate+form+means+Lagrange%27s+identity%22&cd=1#v=onepage&q=%22which%20in%20coordinate%20form%20means%20Lagrange%27s%20identity%22 }}{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}</ref>
 
:<math> |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = \sum_{1 \le i < j \le 3} \left(a_ib_j-a_jb_i \right)^2 = (a_1b_2  - b_1a_2)^2 + (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1-a_1b_3)^2 \ . </math>

Sama tulos saadaan myös suoraan käyttämällä ristitulon komponentteja, jotka saadaan yhtälöstä:
:<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{bmatrix}.</math>

Avaruudessa <math>\mathbb{R}^3</math> Lagrangen yhtälö on erikoistapaus normin multiplikatiivisuudesta 
[[kvaternio]]iden algebrassa: |'''vw'''| = |'''v'''||'''w'''|.

Se on myös erikoistapaus toisesta kaavasta, jota sitäkin toisinaan sanotaan Lagrangen identiteetiksi ja joka samalla on kolmiulotteinen tapaus [[Binet'n-Cauchyn identiteetti|Binet'n-Cauchyn identiteetistä]]:<ref name=Liu/><ref name=Weisstein>{{kirjaviite | Tekijä = Eric W. Weisstein | Nimeke = CRC concise encyclopedia of mathematics | Luku = Binet-Cauchy identity, 2. painos | Sivu = 228 | Julkaisija = CRC Press | Vuosi = 2003 | Tunniste = | Isbn = 1-58488-347-2 | www = http://books.google.com/?id=8LmCzWQYh_UC&pg=PA228}}</ref>

: <math>(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}).</math>

Jos {{nowrap|1='''a''' = '''c'''}} ja {{nowrap|1='''b''' = '''d'''}}, tämä yksinkertaistaa edellä esitettyä kaavaa.

===Infinitesimaaliset generaattorit ja rotaatiot===
Ristitulo kuvaa sopivasti [[rotaatio (geometria)|rotaatioiden]] [[infinitesimaali]]sia generaattoreja avaruudessa <math>\mathbb{R}^3</math>. Erityisesti jos '''n''' on yksikkövektori avaruudessa <math>\mathbb{R}^3</math> ja ''R''(f,<math>\phi</math>,'''n''') merkitsee rotaatiota origon kautta kulkevan, '''n''':n määrittämän akselin ympäri kulman f verran (mitattuna [[radiaani|radiaaneina]], '''n''':n kärjen suunnasta katsottuna [[vastapäivä]]än), on
:<math>\left.{d\over d\phi} \right|_{\phi=0} R(\phi,\boldsymbol{n}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{x}</math> 
jokaiselle vektorille <math>x \in \mathbb{R}^3</math>. Ristitulo '''n''' kuvaa näin ollen vektorin '''n''' ympäri suoritetun rotaation infinitesimaalista generaattoria. Nämä infinitesimaaliset generaattorit muodostavat [[Lien algebra]]n '''so(3)''' rotaatioryhmässä [[SO(3)]], ja todetaan, että Lien algebra <math>\mathbb{R}^3</math> varustettuna ristitulolla on isomorfinen Lien algebran '''so(3)''' kanssa.

== Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi ==

=== Muunnos matriisien kertolaskuksi ===
Vektorien ristitulo voidaan ilmaista myös [[antisymmetrinen matriisi|antisymmetrisen matriisin]] ja vektorin tulona:<ref name=Liu>{{lehtiviite | Tekijä = Shuangzhe Liu and Gõtz Trenkler | Otsikko = Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products | Julkaisu = Int J Information and systems sciences | Vuosikerta = 4 | Numero = 1 | Sivut = 160–177 | Vuosi = 2008 | Julkaisija = Institute for scientific computing and education | www = http://www.math.ualberta.ca/ijiss/SS-Volume-4-2008/No-1-08/SS-08-01-17.pdf | Tiedostomuoto = pdf }} {{Wayback|1=http://www.math.ualberta.ca/ijiss/SS-Volume-4-2008/No-1-08/SS-08-01-17.pdf |päiväys=20151106074426 }}</ref>

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = [\mathbf{a}]_{\times} \mathbf{b} = \begin{bmatrix}\,0&\!-a_3&\,\,a_2\\ \,\,a_3&0&\!-a_1\\-a_2&\,\,a_1&\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}</math>

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = [\mathbf{b}]_{\times}^\mathrm T \mathbf{a} = \begin{bmatrix}\,0&\,\,b_3&\!-b_2\\ -b_3&0&\,\,b_1\\\,\,b_2&\!-b_1&\,0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}</math>

missä yläindeksi <sup>T</sup> tarkoittaa matriisin [[transpoosi]]a ja ['''a''']<sub>×</sub> määritellään seuraavasti:

:<math>[\mathbf{a}]_{\times} \stackrel{\rm def}{=} \begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_3&\,\,\,a_2\\\,\,\,a_3&0&\!-a_1\\\!-a_2&\,\,a_1&\,\,0\end{bmatrix}.</math>

On huomattava, että ['''a''']<sub>×</sub> on [[kääntyvä matriisi]], jossa '''a''' on sen oikean- tai vasemmanpuoleinen nollavektori.

Jos '''a''' itsekin on ristitulo,

:<math>\mathbf{a} = \mathbf{c} \times \mathbf{d}</math>

saadaan

:<math>[\mathbf{a}]_{\times} = \mathbf{d}\mathbf{c}^\mathrm T - \mathbf{c}\mathbf{d}^\mathrm T.</math>

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Todistus korvausmenettelyllä
|-
|Ristitulon kehitelmä johtaa tulokseen
:<math> \mathbf{a} = \mathbf{c} \times \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 
c_2 d_3 - c_3 d_2 \\
c_3 d_1 - c_1 d_3 \\
c_1 d_2 - c_2 d_1 \end{pmatrix}
</math>
Tässä vasemmalla puolella oleva lauseke on yhtä suuri kuin
:<math> [\mathbf{a}]_{\times} = \begin{bmatrix} 
        0         & c_2 d_1 - c_1 d_2 & c_3 d_1 - c_1 d_3 \\
c_1 d_2 - c_2 d_1 &         0         & c_3 d_2 - c_2 d_3 \\
c_1 d_3 - c_3 d_1 & c_2 d_3 - c_3 d_2 &         0 \end{bmatrix}
</math>
Toisaalta oikealla puolella oleva lauseke on,
:<math> \mathbf{c} \mathbf{d}^{\mathrm T} = \begin{bmatrix}
c_1 d_1 & c_1 d_2 & c_1 d_3 \\
c_2 d_1 & c_2 d_2 & c_2 d_3 \\
c_3 d_1 & c_3 d_2 & c_3 d_3 \end{bmatrix}
</math>
jonka transpoosi on
:<math> \mathbf{d} \mathbf{c}^{\mathrm T} = \begin{bmatrix}
c_1 d_1 & c_2 d_1 & c_3 d_1 \\
c_1 d_2 & c_2 d_2 & c_3 d_2 \\
c_1 d_3 & c_2 d_3 & c_3 d_3 \end{bmatrix}
</math>
Yhtälön oikea puoli voidaan saattaa muotoon
:<math> \mathbf{d} \mathbf{c}^{\mathrm T} - 
\mathbf{c} \mathbf{d}^{\mathrm T} = \begin{bmatrix} 
0 & c_2 d_1 - c_1 d_2 & c_3 d_1 - c_1 d_3 \\
 c_1 d_2 - c_2 d_1 & 0 & c_3 d_2 - c_2 d_3 \\
c_1 d_3 - c_3 d_1 & c_2 d_3 - c_3 d_2 & 0 \end{bmatrix}
</math>
Vertailu osoittaa, että yhtälön molemmilta puolilta saatiin sama matriisi.
|}

[[Geometrinen algebra|Geometrisen algebran]] avulla tämä tulos voidaan yleistää korkeampiinkin ulottuvuuksiin. Erityisesti kaikissa ulottuvuuksissa [[bivektori]] voidaan samastaa antisymmetristen matriisien kanssa, jolloin antisymmetrisen matriisin ja vektorin tulo on ekvivalentti bivektorin ja vektorin tulon ensimmäistä astetta olevan osan kanssa. Kolmessa ulottuvuudessa bivektorit ovat vektorien [[Hodgen duaali|Hodgen duaaleja]], joten tulo on ekvivalentti ristitulon kanssa, kun bivektoria käytetään sen vektoriduaalin sijasta. Korkeammissa ulottuvuuksissakin tulo voidaan laskea, mutta bivektoreilla on enemmän vapausasteita eivätkä ne ole ekvivalentteja vektorien kanssa.

Esimerkiksi [[epipolaarinen geometria|epipolaarisessa geometriassa]] tämä merkintä on usein myös paljon helppokäyttöisempi.

Ristitulon yleisistä ominaisuuksista seuraa välittömästi, että

:<math>[\mathbf{a}]_{\times} \, \mathbf{a} = \mathbf{0}</math> &nbsp; sekä &nbsp; <math>\mathbf{a}^\mathrm T \, [\mathbf{a}]_{\times} = \mathbf{0}</math>

ja siitä, että ['''a''']<sub>×</sub> on antisymmetrinen, seuraa, että

:<math>\mathbf{b}^\mathrm T \, [\mathbf{a}]_{\times} \, \mathbf{b} = 0. </math>

Edellä esitetty kolmitulon bac-cab -sääntö voidaan tämän merkinnän avulla helposti todistaa.

Kuten edellä todettiin, Lien algebra <math>\mathbb{R}^3</math> varustettuna ristitulolla on isomorfinen Lien algebran '''so(3)''', kanssa, jonka alkiot voidaan samastaa antisymmetristen 3×3 -matriisien kanssa. Kuvaus '''a''' -> ['''a''']<sub>×</sub> on [[isomorfismi]] <math>\mathbb{R}^3</math>:n ja '''so(3)''':n välillä.
Tässä kuvauksessa 3-vektorien ristitulo vastaa antisymmetristen 3x3 -matriisien [[kommutaattori]]a.

===Indeksimerkintä tensoreille ===
Ristitulo voidaan vaihtoehtoisesti määritellä [[Levi-Civita-symboli]]n e<sub>ijk</sub> ja pistetulon <math>\eta^{mi}</math> avulla (joka ortonormaalin kannan tapauksessa on sama kuin <math>\delta^{mi}</math>). Sen avulla vektorimerkintä voidaan muuttaa tensorien sovellukseksi:
:<math>
\mathbf{a \times b} = \mathbf{c}\Leftrightarrow\ c^m = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \eta^{mi} \varepsilon_{ijk} a^j b^k
</math>
missä indeksit <math>i,j,k</math> vastaavat vektorin komponentteja. Tämä ristitulon luonnehdinta esitetään usein lyhemmin käyttämällä [[Einsteinin summaussääntö]]ä
:<math>
\mathbf{a \times b} = \mathbf{c}\Leftrightarrow\ c^m = \eta^{mi} \varepsilon_{ijk} a^j b^k
</math>
jossa toistetut indeksit arvojen 1...3 yli on laskettu yhteen. On huomattava, että tämä esitysmuoto on toinen muoto ristitulon antisymmetrisiin matriiseihin perustuvasta esitysmuodosta:
:<math>\eta^{mi} \varepsilon_{ijk} a^j = [\mathbf{a}]_\times.</math>

[[Klassinen mekaniikka|Klassisessa mekaniikassa]] ristitulon esittäminen Levi-Civita-symbolin avulla voi tehdä mekaaniset symmetriat ilmiselviksi, kun fysikaaliset systeemit ovat [[isotropia|isotrooppisia]]. Esimerkkinä voidaan mainita hiukkanen [[Hooken laki|Hooken lain]] mukaisessa potentiaalissa, jossa se voi värähdellä kolmessa ulottuvuudessa; mikään näistä ulottuvuuksista ei ole millään tavalla erikoisasemassa, jolloin [[Liikemäärämomentti|liikemäärämomentin]] ristituloesitys on symmetrinen tavalla, jonka Levi-Civita-esitys tekee ilmeiseksi.

=== Muistisääntö ===

Ristitulon määritelmän muistamiseen voidaan muistisääntönä käyttää sanaa "xyzzy".

Jos

:<math>\mathbf{a} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}</math>

missä:

:<math>
\mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{bmatrix},
\mathbf{b} = \begin{bmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{bmatrix},
\mathbf{c} = \begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{bmatrix}
</math>

on:

:<math>a_x = b_y c_z - b_z c_y \, </math>
:<math>a_y = b_z c_x - b_x c_z \, </math>
:<math>a_z = b_x c_y - b_y c_x. \, </math>

Toinen ja kolmas yhtälö saadaan ensimmäisestä yksinkertaisesti kierrättämällä alaindeksit keskenään pystysuorasti,  {{nowrap|''x'' -> ''y'' -> ''z'' -> ''x''}}. Vaikeutena on luonnollisesti ensimmäisen yhtälön muistaminen, mihin on käytettävissä kaksi keinoa: on joko muistettava Sarrus'n skeeman kaksi relevanttia lävistäjää (ne, joissa ''''''i'''''' esiintyy), tai on muistettava ''xyzzy''-järjestys.

Koska Sarrus'n skeeman ensimmäinen lävistäjä on juuri edellä mainitun 3×3 -matriisin päälävistäjä, sanan ''xyzzy'' kolme ensimmäistä kirjainta on helppo muistaa.

{{käännettävä}}
<!--
=== Cross visualization ===
Similarly to the mnemonic device above, a "cross" or X can be visualized between the two vectors in the equation. This may be helpful for remembering the correct cross product formula.

If

:<math>\mathbf{a} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}</math>

then:

:<math>
\mathbf{a} =
\begin{bmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{bmatrix}.
</math>

If we want to obtain the formula for <math>a_x</math> we simply drop the <math>b_x</math> and <math>c_x</math> from the formula, and take the next two components down:

:<math>
a_x =
\begin{bmatrix}b_y\\b_z\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}c_y\\c_z\end{bmatrix}.
</math>

It should be noted that when doing this for <math>a_y</math> the next two elements down should "wrap around" the matrix so that after the z component comes the x component. For clarity, when performing this operation for <math>a_y</math>, the next two components should be z and x (in that order). While for <math>a_z</math> the next two components should be taken as x and y.

:<math>
a_y =
\begin{bmatrix}b_z\\b_x\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}c_z\\c_x\end{bmatrix},
a_z =
\begin{bmatrix}b_x\\b_y\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}c_x\\c_y\end{bmatrix}
</math>

For <math>a_x</math> then, if we visualize the cross operator as pointing from an element on the left to an element on the right, we can take the first element on the left and simply multiply by the element that the cross points to in the right hand matrix. We then subtract the next element down on the left, multiplied by the element that the cross points to here as well. This results in our <math>a_x</math> formula –

:<math>a_x = b_y c_z - b_z c_y. \, </math>

We can do this in the same way for <math>a_y</math> and <math>a_z</math> to construct their associated formulas.
-->
== Sovelluksia ==
Ristituloa sovelletaan monissa yhteyksissä, esimerkiksi laskennallisessa geometriassa, fysiikassa ja insinöörialoilla. Seuraavassa mainitaan joitakin esimerkkejä sovelluksista.

=== Laskennallinen geometria ===

Ristituloa voidaan käyttää laskettaessa kahden ristikkäisen suoran etäisyys, toisin sanoen sellaisten suorien etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa, jotka eivät ole samassa tasossa.

Ristitulolla voidaan laskea myös kolmion tai monikulmion normaali, mitä usein tarvitaan [[tietokonegrafiikka|tietokonegrafiikassa]]. Esimerkiksi monikulmion kiertyminen myötä- tai vastapäivään jonkin sen sisällä olevan pisteen ympäri voidaan laskea jakamalla se kolmioihin hieman pyörän puolien tapaan ja laskemalla puolien väliset kulmat yhteen, jolloin ristitulon avulla saadaan selville kunkin kulman etumerkki.

[[Taso]]n [[laskennallinen geometria|laskennallisessa geometriassa]] ristitulon avulla voidaan määrittää
kolmen pisteen <math>p_1=(x_1,y_1)</math>, <math>p_2=(x_2,y_2)</math> ja <math>p_3=(x_3,y_3)</math> määräämän kulman etumerkki. Se vastaa pisteparin <math>p_1, p_2</math> ja <math>p_1, p_3</math> määräämien, samassa talossa olevien vektorien ristitulon suuntaa, toisin sanoen lausekkeen <math>P = (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)</math> etumerkkiä. Jos ristitulo on nolla, pisteet ovat samalla suoralla. Käytettäessä "oikeakätisestä" koordinaattijärjestelmää nämä kolme pistettä muodostavat positiivisen pyörähdyskulman kierrossa pisteen <math>p_1</math> ympäri pisteestä <math>p_2</math> pisteeseen <math>p_3</math>, mikäli lauseke on positiivinen, ja negatiivisen pyörähdyskulman, jos lauseke on negatiivinen.

Ristitulon avulla voidaan laskea [[monitahokas|monitahokkaiden]] kuten [[tetraedri]]n tai [[suuntaissärmiö]]n tilavuus.

===Pyörimismäärä ja vääntömomentti===

Hiukkasen [[pyörimismäärä]] <math>\mathbf{L}</math> annetun akselin suhteen on:
:  <math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\,</math>
missä <math>\mathbf{r}</math> hiukkasen [[paikkavektori]] origon suhteen ja 
<math>\mathbf{p}</math> hiukkasen [[liikemäärä]].

Samaan tapaan pisteeseen B vaikuttavan voiman [[momentti (fysiikka)|momentti]] pisteen A suhteen on:
:  <math> \mathbf{M}_\mathrm{A} = \mathbf{r}_\mathrm{AB} \times \mathbf{F}_\mathrm{B}\,</math>

Mekaniikassa voiman momenttia sanotaan myös [[vääntömomentti|vääntömomentiksi]] ja
merkitään <math>\mathbf{\tau}</math>

Koska paikkavektori <math>\mathbf{r}</math>, liikemäärä <math>\mathbf{p}</math>
ja voima <math>\mathbf{F}</math> ovat kaikki ''aitoja'' vektoreita, sekä pyörimismäärä <math>\mathbf{L}</math> että voiman momentti <math>\mathbf{M}</math> ovat [[pseudovektori|pseudovektoreita]] eli ''aksiaalisia vektoreita''.

===Jäykkä kappale===
Ristituloa käytetään usein [[jäykkä kappale|jäykän kappaleen]] kuvailuun.  Jäykän kappaleen kahden pisteen '''O''' ja '''Q''' välinen etäisyys pysyy vakiona, ja niiden nopeuksien välinen riippuvuus kappaleen pyöriessä on:

: <math>\mathbf{v}_P - \mathbf{v}_Q = \mathbf{\omega} \times \left( \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q \right)\,</math>

missä <math>\mathbf{r}</math> on kunkin pisteen paikkavektori, <math>\mathbf{v}</math> sen nopeus ja <math>\mathbf{\omega}</math> kappaleen [[kulmanopeus]].

Koska paikkavektori <math>\mathbf{r}</math> ja nopeus <math>\mathbf{v}</math> ovat ''aitoja'' vektoreita, kun taas kulmanopeus <math>\mathbf{\omega}</math> on [[pseudovektori]] eli ''aksiaalinen vektori''.

===Lorentzin voima===
Ristitulo esiintyy [[Lorentzin voima]]n lausekkeessa, joka osoittaa, kuinka suuri voima liikkuvaan [[sähkövaraus|sähkövaraukseen]] <math> q_e</math> vaikuttaa [[sähkökenttä|sähkö-]] ja [[magneettikenttä|magneettikentässä]].

: <math>\mathbf{F} = q_e \,\left( \mathbf{E}+ \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)</math>

Koska nopeus <math>\mathbf{v}</math>, voima <math>\mathbf{F}</math> ja [[sähkökentän voimakkuus]] <math>\mathbf{E}</math> ovat kaikki ''aitoja'' vektoreita, kun taas [[magneettivuon tiheys]] <math>\mathbf{B}</math> on ''[[pseudovektori]]''.

=== Muita sovelluksia ===
[[Vektorianalyysi]]ssä vektorikentän [[roottori (matematiikka)|roottori]] määritellään muodollisesti [[nabla]]n ja vektorikentän ristitulona.

Ristitulon kirjoittaminen matriisien kertolaskun muotoon on [[epipolaarinen geometria|epipolaarisessa geometriassa]] paljon käytetty toimenpide.

== Ristitulo ulkoisena tulona ==
[[Tiedosto:Exterior calc cross product.svg|right|thumb|Ristitulo ja ulkoinen tulo. Punaiset nuolet ovat kohtisuorat yksikkövektorit sekä "niiden suuntainen" yksikköbivektori.]]
Ristituloa voidaan kuvata [[ulkoinen tulo|ulkoisen tulon]] käsittein. Tämä näkemys sallii ristitulon luonnollisen geometrisen tulkinnan. [[Ulkoinen algebra|Ulkoisessa algebrassa]] kahden vektorin ulkoinen tulo (eli kiilatulo) on [[bivektori]]. Bivektori on suunnattu tasoalue pitkälti samaan tapaan kuin vektori on suunnattu jana. Kun on annettu kaksi vektoria '''a''' ja '''b''', niiden bivektori <math>a \and b</math> voidaan käsittää suunnatuksi suunnikkaaksi, jonka sivuina '''a''' ja '''b''' ovat. Ristitulo saadaan tällöin ottamalla bivektorista <math>a \and b</math> [[Hodgen duaali]], joka kuvaa [[p-vektori|2-vektorit]] vektoreille:

:<math>a \times b = *(a \wedge b) \,.</math>

Tämä voidaan käsittää suunnatuksi moniulotteiseksi alkioksi, joka on "kohtisuorassa" bivektoria vastaan. Vain kolmessa ulottuvuudessa tuloksena saadaan suunnattu jana, siis vektori, kun taas esimerkiksi neljässä ulottuvuudessa Hodgen duaali on kaksiulotteinen, siis toinen tasoalue. Niinpä vain kolmessa ulottuvuudessa vektorien '''a''' ja '''b''' ristitulo on bivektorin <math>a \and b</math> kanssa duaalinen vektori: se on kohtisuorassa bivektoria vastaan, sen suunta riippuu koordinaatiston kätisyydestä, ja se suuruudeltaan samassa suhteessa kohtisuoraa yksikkövektoria suurempi kuin <math>a \and b</math> on yksikköbivektoria suurempi, täsmälleen niin kuin sen ominaisuudet on edellä kuvattu.

== Ristitulo ja kätisyys ==

Kun muodostetaan mitattavien suureiden ristitulo, koordinaattijärjestelmän ''kätisyyttä'' ei voida valita mielivaltaisesti. Kun kuitenkin fysiikan lait kirjoitetaan yhtälöiksi, koordinaattijärjestelmän ja myös sen kätisyyden pitäisi olla mielivaltaisesti valittavissa. Jotta tästä ei koituisi ongelmia, on oltava tarkkana, ettei koskaan kirjoiteta sellaisia yhtälöitä, joiden molemmat puolet eivät käyttäydy samoin kaikissa muunnoksissa, jotka voivat tulla kysymykseen. Jos esimerkiksi yhtälön toisella puolella on kahden vektorin ristitulo, on otettava huomioon, että jos koordinaattijärjestelmän kätisyyttä ei ole ennalta annettu, tulos ei ole (aito) vektori vaan [[pseudovektori]]. Tällöin yhteensopivuussyistä yhtälön toisenkin puolen on oltava pseudovektori.

Yleisesti ristitulo voi olla joko aito vektori tai pseudovektori riippuen siitä, kumpaa tyyppiä sen
tekijät ovat. Tuloksen tyyppi riippuu sen tekijöiden tyypeistä seuraavasti:

* vektori &times; vektori = pseudovektori
* pseudovektori &times; pseudovektori = pseudovektori
* vektori &times; pseudovektori = vektori
* pseudovektori &times; vektori = vektori.

Tästä seuraa myös, että ylempänä esitetyt ortonormaalin oikeakätisen karteesisen koordinaatiston
yksikkövektorien '''i''', '''j''' ja '''k''' ristitulot edellyttävät itse asiassa, että kaikki nämä kantavektorit ovat pseudovektoreita (ellei niiden ei sallita olevan eri tyyppiä, mitä yleensä ei sallitakaan), sillä {{nowrap|1='''i''' × '''j''' = '''k'''}},  {{nowrap|1='''j''' × '''k''' = '''i'''}} and {{nowrap|1='''k''' × '''i''' = '''j'''}}.

Koska ristitulo saattaa olla myös (aito) vektori, se ei välttämättä vaihda suuntaansa peilauksessa tason suhteen. Näin on asian laita, jos toinen ristitulon tekijöistä on (aito) vektori ja toinen pseudovektori (toisin sanoen kahden vektorin ristitulo) Esimerkiksi kolmen aidon vektorin [[vektorikolmitulo]] on aito vektori.

== Yleistyksiä ==
On olemassa useita tapoja yleistää ristitulon käsite useampaan ulottuvuuteen.

=== Lien algebra ===
Ristitulo on yksi yksinkertaisimmista Lien tuloista, ja näin ollen sitä yleistyksiä [[Lien algebra]]t, jotka on aksiomatisoitu binääriksi tuloiksi, jotka toteuttavat multilineaarisuuden, ristikkäissymmetrian ja Jacobin identiteetin aksioomat. On olemassa monia Lien algebroja, ja niiden tutkimuksesta on tullut laaja matematiikan ala, [[Lien teoria]].

Esimerkiksi [[Heisenbergin algebra]] antaa toisen Lien algebran mukaisen struktuurin avaruudelle <math>\mathbf{R}^3.</math> Tässä kannassa  <math>\{x,y,z\},</math> tulo on <math>[x,y]=z, [x,z]=[y,z]=0.</math>

=== Kvaterniot ===
Ristitulo voidaan esittää myös [[kvaternio]]iden termein, ja tämä onkin syynä siihen, miksi kirjaimia
'''i''', '''j''' ja '''k''' on alettu käyttää avaruuden <math>\mathbb{R}^3</math> standardien
kantavektorien tunnuksina. Yksikkövektorit '''i''', '''j''' ja '''k''' vastaavat "binäärisiä" (180 asteen)
kiertoja vastaavien akselien ympäri. Näitä rotaatiota vastaavat "puhtaat" kvaterniot, joiden
skalaariosa on nolla ja joiden normi on 1.

Esimerkiksi edellä esitetyt yksikkövektorien '''i''', '''j''', and '''k''' ristitulot vastaavat
täysin kvaternioiden ''i'', ''j'' ja ''k'' kertolaskua. Yleensäkin jos vektori
{{nowrap|[''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>]}} esitetään kvaterniona
{{nowrap|''a''<sub>1</sub>''i'' + ''a''<sub>2</sub>''j'' + ''a''<sub>3</sub>''k''}}, 
kahden vektorin ristitulo saadaan laskemalla vastaavien kvaternioiden tulo ja poistamalla tuloksesta
reaaliosa. Tämä reaaliosa on toisaalta sama kuin samojen vektorien [[pistetulo]]n vastavektori.

Samastamalla 'puhtaasti imaginaariset'' kvaterniot edellä selitetyllä tavalla
<math>\mathbb{R}^3</math>:n vektorien kanssa osoittautuu toisaalta, että vektorien ristitulo on puolet
vastaavien kvaternioiden [[kommutaattori]]n arvosta.

=== Oktoniot ===
Seitsenulotteisten vektorien ristitulo voidaan muodostaa samaan tapaan kuin kolmiulotteistenkin käyttämällä [[oktonio]]ita kvaternioiden sijasta. Se että muissa kuin kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa ei ole ei-triviaalia vektoriarvoista ristituloa, seuraa [[Hurwitzin lause]]esta, jonka mukaan ainoat [[normitettu jakoalgebra|normitetut jakoalgebrat]] ovat 1-, 2-, 4- ja 8-ulotteiset.

=== Kiilatulo ===
Useammassa ulottuvuudessa ristitulolla ei ole suoranaista vastinetta, joka antaisi tulokseksi vektorin. On kuitenkin olemassa käsite [[kiilatulo]], jolla on samantapaisia ominaisuuksia, paitsi että kahden vektorin kiilatulo ei ole tavallinen vektori vaan [[p-vektori|2-vektori]]. Kuten edellä mainittiin, ristitulo voidaan tulkita kiilatuloksi kolmessa ulottuvuudessa käyttämällä Hodgen duaalia 2-vektorien kuvaamiseksi vektoreille. Kiilatulon Hodgen duaali antaa tuloksenaan {{nowrap|(''n'' - 2)}}-vektorin, joka on ristitulon luonnollinen yleistys missä tahansa määrässä ulottuvuuksia.

Kiilatulo ja pistetulo voidaan yhteenlaskemalla yhdistää [[geometrinen algebra|geometriseksi tuloksi]].

{{käännettävä}}
<!--
=== Multilinear algebra ===
In the context of [[multilinear algebra]], the cross product can be seen as the (1,2)-tensor (a [[mixed tensor]], specifically a [[bilinear map]]) obtained from the 3-dimensional [[volume form]],<ref group="note">By a volume form one means a function that takes in ''n'' vectors and gives out a scalar, the volume of the [[parallelotope]] defined by the vectors: <math>V\times \cdots \times V \to \mathbf{R}.</math> This is an ''n''-ary multilinear skew-symmetric form. In the presence of a basis, such as on <math>\mathbf{R}^n,</math> this is given by the [[determinant]], but in an abstract vector space, this is added structure. In terms of [[G-structure|''G''-structures]], a volume form is an [[Special linear group|<math>SL</math>]]-structure.</ref> a (0,3)-tensor, by [[Raising and lowering indices|raising an index]].

In detail, the 3-dimensional volume form defines a product <math>V \times V \times V \to \mathbf{R},</math> by taking the determinant of the matrix given by these 3 vectors. By [[Dual space|duality]], this is equivalent to a function <math>V \times V \to V^*,</math> (fixing any two inputs gives a function <math>V \to \mathbf{R}</math> by evaluating on the third input) and in the presence of an [[inner product]] (such as the [[dot product]]; more generally, a non-degenerate bilinear form), we have an isomorphism <math>V \to V^*,</math> and thus this yields a map <math>V \times V \to V,</math> which is the cross product: a (0,3)-tensor (3 vector inputs, scalar output) has been transformed into a (1,2)-tensor (2 vector inputs, 1 vector output) by "raising an index".

Translating the above algebra into geometry, the function "volume of the parallelepiped defined by <math>(a,b,-)</math>" (where the first two vectors are fixed and the last is an input), which defines a function <math>V \to \mathbf{R}</math>, can be ''represented'' uniquely as the dot product with a vector: this vector is the cross product <math>a \times b.</math> From this perspective, the cross product is ''defined'' by the [[scalar triple product]], <math>\mathrm{Vol}(a,b,c) = (a\times b)\cdot c.</math>

In the same way, in higher dimensions one may define generalized cross products by raising indices of the ''n''-dimensional volume form, which is a <math>(0,n)</math>-tensor. The most direct generalizations of the cross product are to define either:
* a <math>(1,n-1)</math>-tensor, which takes as input <math>n-1</math> vectors, and gives as output 1 vector – an <math>(n-1)</math>-ary vector-valued product, or
* a <math>(n-2,2)</math>-tensor, which takes as input 2 vectors and gives as output [[skew-symmetric tensor]] of rank {{nowrap|''n'' - 2}} – a binary product with rank {{nowrap|''n'' - 2}} tensor values.  One can also define <math>(k,n-k)</math>-tensors for other ''k''.

These products are all multilinear and skew-symmetric, and can be defined in terms of the determinant and [[parity (physics)|parity]].

The <math>(n-1)</math>-ary product can be described as follows: given <math>n-1</math> vectors <math>v_1,\dots,v_{n-1}</math> in <math>\mathbf{R}^n,</math> define their generalized cross product <math>v_n = v_1 \times \cdots \times v_{n-1}</math> as:
* perpendicular to the hyperplane defined by the <math>v_i,</math>
* magnitude is the volume of the [[parallelotope]] defined by the <math>v_i,</math> which can be computed as the [[Gram determinant]] of the <math>v_i,</math>
* oriented so that <math>v_1,\dots,v_n</math> is positively oriented.
This is the unique multilinear, alternating product which evaluates to <math>e_1 \times \cdots \times e_{n-1} = e_n</math>, <math>e_2 \times \cdots \times e_n = e_1,</math> and so forth for cyclic permutations of indices.

In coordinates, one can give a formula for this <math>(n-1)</math>-ary analogue of the cross product in '''R'''<sup>''n''</sup> by:

:<math>\bigwedge(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_{n-1})=
\begin{vmatrix}
v_1{}^1 &\cdots &v_1{}^{n}\\
\vdots  &\ddots &\vdots\\
v_{n-1}{}^1 & \cdots &v_{n-1}{}^{n}\\
\mathbf{e}_1 &\cdots &\mathbf{e}_{n}
\end{vmatrix}.</math>

This formula is identical in structure to the determinant formula for the normal cross product in <math>\mathbb{R}^3</math> except that the row of basis vectors is the last row in the determinant rather than the first. The reason for this is to ensure that the ordered vectors '''v'''<sub>1</sub>, ...,'''v'''<sub>''n''-1</sub>, <math>\vedge</math>('''v'''<sub>1</sub>, ...,'''v'''<sub>''n''-1</sub>)) have a positive [[orientation (mathematics)|orientation]] with respect to ('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>). If ''n'' is odd, this modification leaves the value unchanged, so this convention agrees with the normal definition of the binary product. In the case that ''n'' is even, however, the distinction must be kept. This <math>(n-1)</math>-ary form enjoys many of the same properties as the vector cross product: it is [[alternating form|alternating]] and linear in its arguments, it is perpendicular to each argument, and its magnitude gives the hypervolume of the region bounded by the arguments. And just like the vector cross product, it can be defined in a coordinate independent way as the Hodge dual of the wedge product of the arguments.
-->
=== Antisymmetriset matriisit ===

Jos ristitulon edellytetään olevan binäärinen laskutoimitus, sen argumentteina on oltava tarkalleen kaksi vektoria. Jos sen ''tuloksen'' ei tarvitse olla vektori tai pseudovektori vaan sen sijaan [[matriisi]], käsite voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa.<ref name=cross_prod_Maxwell_ND>{{verkkoviite | Kirjoittaja = A.W. McDavid, C.D. McMullen |Nimeke = Generalizing Cross Products and Maxwell's Equations to Universal Extra Dimensions | Ajankohta = 2006 | Osoite = http://arxiv.org/ftp/hep-ph/papers/0609/0609260.pdf}}</ref><ref name=prod_vett_ND>{{kirjaviite |Tekijä = C.A. Gonano |Nimeke = Estensione in N-D di prodotto vettore e rotore e loro applicazioni | Julkaisija = Politecnico di Milano, Italy. |Vuosi = 2011 |www= https://www.politesi.polimi.it/bitstream/10589/34061/1/2011_12_Gonano.pdf}}</ref><ref name=cross_prod_ND>{{verkkoviite | Julkaisija = C.A. Gonano, R.E. Zich | Nimeke = Cross product in N Dimensions – the doublewedge product | Vuosi = 2014 |Osoite = http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/1408.5799v1.pdf }}</ref>

Esimerkiksi mekaniikassa [[kulmanopeus]] voidaan tulkita joko pseudovektoriksi <math>\omega</math> 
tai [[antisymmetrinen matriisi|antisymmetriseksi matriisiksi]] eli [[ristikkäissymmetrinen tensori|ristikkäissymmetriseksi tensoriksi]] <math>\Omega</math>. Jälkimmäisessä tapauksessa [[jäykkä kappale|jäykän kappaleen]] nopeuslaki saa muodon:
: <math>\mathbf{v}_P - \mathbf{v}_Q = {\Omega} \cdot\left( \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q \right)\,</math>

missä O määritellään muodollisesti kappaleen asemaan liittyvän pyörähdysmatriisin <math>R^{N\times N}</math> avulla:
<math>\Omega \triangleq \frac{d R}{dt}R^\mathrm{T}  </math>. Kolmessa ulottuvuudessa pätee:
: <math>\Omega =  [\omega]_{\times} =
\begin{bmatrix}
\,\,0&\!-\omega_3&\,\,\,\omega_2\\
\,\,\,\omega_3&0&\!-\omega_1\\
\!-\omega_2&\,\,\omega_1&\,\,0
\end{bmatrix}
</math>

[[Kvanttimekaniikka|Kvanttimekaniikassa]] [[pyörimismäärä]] eli liikemäärämomentti <math>L</math> esitetään usein antisymmetrisenä matriisina tai tensorina. Tarkemmin sanottuna se on kappaleen paikan <math>\mathbf{x}</math> ja [[liikemäärä]]n <math>\mathbf{p}</math> ristitulo:

: <math>L_{ij} = x_i p_j -  p_i x_j </math>

Koska sekä <math>\mathbf{x}</math>:llä että <math>\mathbf{p}</math>:llä voisi olla mielivaltainen määrä  
<math>N</math> komponentteja, tämäntyyppinen ristitulo voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa siten, että laskutoimituksen "fysikaalinen" tulkinta säilyy.

Asian laskennallisesta puolesta kerrottiin edellä osiossa [[#Vaihtoehtoisia tapoja ristitulon laskemiseksi]].

== Historia ==

Vuonna 1773 italialainen matemaatikko [[Joseph Louis Lagrange]] (alkuperäiseltä nimeltään Giuseppe Luigi Lagrancia) otti käyttöön sekä piste- että ristituloksi nykyisin nimitetyt lausekkeet tutkiessaan [[tetraedri]]ä kolmessa ulottuvuudessa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä=Lagrange, J. L.|Nimeke = Oeuvres, 3. osa | Luku = Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires|Vuosi=1773|Julkaisija= }}</ref>  Vuonna 1843 irlantilainen matemaattinen fyysikko Sir [[William Rowan Hamilton]] otti käyttöön [[kvaternio]]t ja niiden kertolaskun sekä samalla myös termit "vektori" ja skalaari". Jos {{nowrap|[0, '''u''']}} ja {{nowrap|[0, '''v''']}} ovat kaksi kvaternioita, joissa '''u''' ja '''v''' ovat <math>\mathbb{R}^3</math>:n vektoreita, kvaternioiden tulo on {{nowrap|[-'''u''' · '''v''', '''u''' × '''v''']}}. [[James Clerk Maxwell]] muotoili kuuluisat [[Maxwellin yhtälöt|sähkömagnetismin yhtälönsä]] alun perin Hamiltonin kvaternioiden avulla, ja tästä ja muista syistä kvaterniot kuuluivat jonkin aikaa oleellisena osana fysiikan oppimäärään.

Vuonna 1878 [[William Kingdon Clifford]] julkaisi teoksensa ''[[Elements of Dynamic]]'' (''Dynamiikan alkeet''), joka aikanaan oli hyvin edistyksellinen. Siinä hän määritteli kahden vektorin tulon<ref>{{kirjaviite | Tekijä = William Kingdon Clifford | Nimeke = Elements of Dynamic, Part I | Sivu = 95 | Julkaisija = MacMillan & Co | Vuosi = 1878 | www = http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=04370002}}</ref> vektoriksi, joka oli suuruudeltaan yhtä suuri kuin sen [[suunnikas|suunnikkaan]] pinta-ala, jonka sivuina alkuperäiset vektorit ovat, ja suunta kohtisuorassa niiden muodostamaa tasoa vasten.

Englantilainen [[Oliver Heaviside]] ja [[Yalen yliopisto]]n professori [[Josiah Willard Gibbs]]
[[Connecticut]]issa olivat myös sitä mieltä, että [[kvaternio]]ihin perustuvat laskentamenetelmät olivat liian hankalia, ja niitä käytettäessä tuloksesta oli usein merkitystä vain sen skalaari- tai vektoriosalla. Niinpä he ottivat käyttöön sekä [[pistetulo|piste]]- että ristitulon noin 40 vuotta kvaternioiden käyttöönoton jälkeen, mutta he saivat osakseen kiivasta vastustusta. Siihen, että uusi lähestymistapa lopulta hyväksyttiin, vaikutti paljolti sen tehokkuus, joka teki Heavisidelle mahdolliseksi yhdistää Maxwellin alkuperäisistä 20 sähkömagnetismin yhtälöistä useita siten, että jäljelle jäivät vain ne neljä, joita nykyisinkin yleisesti käytetään.<ref>{{kirjaviite |Tekijä = Paul J. Nahin | Nimeke = Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age | Sivut = 108–109 | Julkaisija = JHU Press |Vuosi = 2000 | Tunniste = | Isbn = 0-8018-6909-9}}</ref>

Tästä kehityksestä pitkälti riippumatta ja saamatta omana aikanaan osakseen sanottavaa huomiota [[Hermann Grassmann]] kehitti geometrisen algebran, joka ei rajoittunut kahteen tai kolmeen ulottuvuuteen ja jossa [[ulkoinen tulo|ulkoisella tulolla]] oli keskeinen osa. Vuonna 1853 Grassmannin aikalainen [[Augustin-Louis Cauchy]] julkaisu tutkielman algebrallisista avaimista, joilla voitiin ratkaista yhtälöitä ja joilla oli samat kertolaskuominaisuudet kuin ristitulolla.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Michael J. Crowe | Nimeke = A History of Vector Analysis | Sivu = 83 | Julkaisija = DOver | Vuosi = 1994 | Tunniste = | Isbn = 0-486-67910-1}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = Augustin-Louis Cauchy | Nimeke = Oeuvres, 12. osa | Sivu = 16 |  Vuosi = 1999|Julkaisija= | www = http://books.google.com/books?id=0k9eAAAAcAAJ&pg=PA16#v=onepage&q&f=false}}</ref> [[William Kingdon Clifford]] yhdisti Hamiltonin ja Grassmanin algebrat [[Cliffordin algebra]]ksi, jossa kahden vektorin tulona saatava bivektori kolmiulotteisten vektorien tapauksessa on vektorin kaltainen ja vastaa vektorien ristituloa.

Ristitulon nimen ja merkinnän otti käyttöön Gibbs. Alun perin ne esiintyivät hänen yksityisesti opiskelijoilleen laatimassa monisteessa ''Elements of Vector Analysis'' vuodelta 1881. Käsitteen käyttökelpoisuuden mekaniikassa pani merkille [[Aleksandr Kotelnikov]]. Gibbsin merkintä ja nimitys "ristitulo" tulivat yleiseen käyttöön sen jälkeen, kun hänen entinen oppilaansa [[Edwin Bidwell Wilson]] laati oppikirjan ''Vector Analysis''. Wilson järjesteli Gibbsin luentojen aineiston uudelleen ja yhdisti siihen aineistoa Heavisideltä, Föppsiltä ja Hamiltonilta. Hän jakoi [[vektorianalyysi]]n kolmeen osaan:
{{Lainaus|Ensimmäisenä se, mikä koskee vektorien yhteenlaskua sekä piste- ja ristituloa. Toisena se, mikä koskee differentiaali- ja integraalilaskennan yhteyksiä skalaari- ja vektorifunktioihin. Kolmantena se, mikä sisältää teorian lineaarisista vektorifunktioista.}} Kirjassa määriteltiin kahdenlaiset vektorien kertolaskut, joista käytettiin seuraavia nimiä:
* kahden vektorin '''suora''', ''skalaari-''' eli '''pistetulo
* kahden vektorin '''ristikkäinen''', '''vektori-''' eli ristitulo.
Kirjassa käsiteltiin myös useita erilaisia [[kolmitulo]]ja sekä useamman kuin kolmen vektorin tuloja. Edellä mainittu kolmitulon laajennus oli myös mukana.

{{käännös|:en:Cross product}}

== Katso myös ==

* [[Karteesinen tulo]] (tulojoukko)
* [[Pistetulo]]
* [[Skalaarikolmitulo]]
* [[Pseudovektori]]

== Huomautukset ==

<references group="Huomautus" />

== Lähteet ==
* {{kirjaviite | Tekijä = Florian Cajori | Nimeke =A History Of Mathematical Notations Volume II | Vuosi=1929 | Julkaisija=Open Court Publishing | www=http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp | Tunniste = | Isbn = 978-0-486-67766-8 | Sivu=134 }}
* {{kirjaviite | Tekijä = E. A. Milne | Nimeke = Vectorial Mechanics | Luku = 2. luku, Vector Product | Sivut = 11–31 | Julkaisija = Methuen Publishing | Vuosi = 1948}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Edwin Bidwell Wilson | Nimeke=Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs | Julkaisija = Yale University Press | Vuosi = 1901 | www=http://www.archive.org/details/117714283}}
* {{kirjaviite | Tekijä = T. Levi-Civita, U. Amaldi | Nimeke = Lezioni di meccanica razionale |Julkaisija = Zanichelli editore |Julkaisupaikka = Bologna |Vuosi = 1949 | Kieli = {{it}} }}

=== Viitteet ===
{{viitteet|sarakkeet}}

==Kirjallisuutta==
* {{kirjaviite | Tekijä = Kivelä, Simo K. | Nimeke = Algebra ja geometria | Julkaisija = Otatieto | Julkaisupaikka = Espoo | Vuosi = 1989 | Tunniste = | Isbn = 951-672-103-6}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Rikkonen, Harri | Nimeke=Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria | Julkaisija=Otakustantamo | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=1969 | Tunniste = | Isbn = 951-671-067-0}}
* {{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf  |  Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. {{ISBN|978-952-7010-12-9}} {{ISBN|978-952-7010-13-6}} (pdf) | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat-rivi}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Hazewinkel, Michiel (toim.) | Nimeke = Encyclopedia of Mathematics | Sivu = | Luku = Cross product | Julkaisija = Springer | Vuosi = 2001 | Tunniste = | Isbn = 978-1-55608-010-4 | www = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cross_product}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html | Nimeke = Cross product | Julkaisija = Eric W. Weisstein | Sivusto = Wolfram MathWorld}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://behindtheguesses.blogspot.com/2009/04/dot-and-cross-products.html | Nimeke = The Dot and Cross Procudts | Julkaisija = Eli Lansey}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/1408.5799v1.pdf | Nimeke = Cross product in N Dimensions – the doublewedge product | Julkaisija = C.A. Gonano and R.E. Zich, Polytehcnic University of Milan | Ajankohta = 2014 | Tiedostomuoto = pdf}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/RealComplexProducts.shtml | Nimeke = Real and Complex Products of Complex Numbers}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/Cross.pdf | Nimeke = Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space | Julkaisija = W. Cahan, University of California, Berkeley | Ajankohta = 2007 | Tiedostomuoto = pdf}}

[[Luokka:Lineaarialgebra]]
[[Luokka:Analyyttinen geometria]]