Lähdekoodi sivulle Pascalin kolmio

[[Kuva:PascalTriangleAnimated2.gif|thumb|Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.]]
'''Pascalin kolmio''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[binomikerroin|binomikertoimista]] [[kolmio]]n muotoon koottu järjestelmä. <ref>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinsson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja| Sivut=307 | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Tunniste = | Isbn = 951-31-0471-0}}</ref>

Pascalin kolmio on saanut nimensä [[Ranska|ranskalaisen]] matemaatikon [[Blaise Pascal]]in mukaan. Pascal itse ei keksinyt Pascalin kolmion käsitettä, sillä jo muinaiset [[Persia|persialaiset]], [[Kiina|kiinalaiset]], [[Intia|intialaiset]] ja [[Italia|italialaiset]] tunsivat sen.<ref>http://www.jstor.org/view/0024094x/ap050069/05a00460/0</ref><ref>http://education.uncc.edu/cmste/summer/2006%20History%20of%20Mathematics/Andrew.doc {{Wayback|1=http://education.uncc.edu/cmste/summer/2006%20History%20of%20Mathematics/Andrew.doc |päiväys=20060918224526 }}</ref> Kuitenkin vasta Pascal havaitsi sen käyttökelpoisuuden moninaisissa matemaattisissa ongelmissa.

Pascalin kolmio voidaan muodostaa siten, että ylhäältä alaspäin edettäessä jokainen uuden rivin [[luku]] on sen yläpuolella vasemmalla ja oikealla puolella olevien lukujen [[summa]]. Jokainen reunalla oleva luku on [[1 (luku)|1]]. Alla Pascalin kolmion rivit nollasta kymmeneen:


                                1
                             1     1
                          1     2     1
                       1     3     3     1
                    1     4     6     4     1
                 1     5     10    10    5     1
              1     6     15    20    15    6     1
           1     7     21    35    35    21    7     1
        1     8     28    56    70    56    28    8     1
     1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
  1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1


Kertoimien yhteenlaskusäännön voi täydentää sijoittamalla tyhjille paikoille ykkösten vasemmalle ja oikealle puolelle nollia. 
   
== Merkitys ==
=== Binomilause ===
[[Binomilause]]en mukaan [[binomi]]n positiivinen kokonaislukupotenssi (a+b)<sup>n</sup> voidaan kehittää [[polynomi]]ksi, jonka kertoimet, kun termit järjestetään a:n alenevien potenssien mukaan, saadaan Pascalin kolmion ''n+1'':nneltä riviltä eli siltä riviltä, jonka toinen luku on ''n''.  Esimerkiksi lausekkeen <math>(a + b)^4</math> kertoimet ovat 1, 4, 6, 4 ja 1 eli 
:<math>(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4</math>

Näitä Pascalin kolmiosta saatavia kertoimia sanotaan [[binomikerroin|binomikertoimiksi]]. Niille käytetään merkintää 
<math>{n \choose k}</math>
joka tarkoittaa termin <math>a^k b^{n-k}</math> kerrointa, kun (''a''+''b'')<sup>n</sup> kehitetään polynomiksi.  Tämä luku esiintyy Pascalin kolmion ''n''+1:nnellä rivillä ''k''+1:ntenä. Esimerkiksi kolmion 5. rivillä ovat luvut:
:<math>{4 \choose 0} = 1, {4 \choose 1} = 4, {4 \choose 2} = 6, {4 \choose 3} = 4</math> ja <math>{4 \choose 4} = 1</math>.

Yleensäkin on aina
:<math>{n \choose 0} = {n \choose n} = 1</math> ja
:<math>{n \choose 1} = {n \choose {n-1}} = n</math>.

Binomikertoimet voidaan laskea myös [[kertoma|kertomien]] avulla kaavalla
<math>{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}</math>.

Pascalin kolmio voidaan muodostaa edellä kuvatulla tavalla, koska ''Pascalin säännön'' mukaan kaikilla arvoilla ''n''>1, 0&lt;''k''&lt;''n'' pätee:
<math>{{n+1} \choose k} = {n \choose {k-1}} + {n \choose k}</math>.

=== Kombinatoriikka ja todennäköisyyslaskenta ===
Pascalin kolmiolla on tärkeä merkitys myös [[kombinatoriikka|kombinatoriikassa]] ja sen sovelluksena [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]]. Minkä tahansa ''n''-alkioisen [[Joukko-oppi|joukon]] sellaisten [[osajoukko|osajoukkojen]] lukumäärä, jossa on ''k'' alkiota, saadaan Pascalin kolmion ''n+1'':nnen rivin ''k+1'':nnestä kohdasta.  Esimerkiksi nelialkioisella joukolla on 1 sellainen joukko, jossa ei ole yhtään alkiota ([[tyhjä joukko]]), 4 yksialkiosta, 6 kaksialkioista ja 4 kolmialkioista osajoukkoa sekä 1 nelialkoinen osajoukko eli alkuperäinen joukko itse.

Binomikertoimiin perustuu myös [[binomijakauma]].

== Pascalin kolmion ominaisuuksia ==
* Luvun 11 neljä ensimmäistä potenssia saadaan Pascalin kolmion neljältä ensimmäiseltä riviltä kirjoittamalla rivillä olevat numerot välittömästi peräkkäin:  11<sup>2</sup> = 121, 11<sup>3</sup> = 1331 ja 11<sup>4</sup> = 14641.  Tämä johtuu siitä, että 11 = 10 + 1 ja esimerkiksi (10 + 1)<sup>3</sup> = 10<sup>3</sup> + 3 &middot; 10<sup>2</sup> + 3 &middot; 10 + 1 = 1331.
* Kunkin Pascalin kolmion rivin lukujen summa on kaksi korotettuna rivin järjestysluvun osoittamaan potenssiin.  Esimerkiksi kolmannelta riviltä saadaan 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2<sup>3</sup>.
* Reunojen jälkeen seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovat kaikki [[luonnollinen luku|luonnolliset luvut]]: 1, 2, 3, 4, 5 ja niin edelleen.
* Sisemmälle päin mentäessä seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovat [[kolmioluku|kolmioluvut]]: 1, 3, 6, 10, 15 ja niin edelleen.
* Sisemmälle päin mentäessä seuraavilla vinoittain menevillä riveillä ovat [[tetraedriluku|tetraedriluvut]]: 1, 4, 10, 20, 35 ja niin edelleen.

== Historia ==

{{käännös|:en:Pascal's triangle}}
[[Tiedosto:Meru Prastaara.png|thumb|[[Pingala]]n kaavasta johdettu Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार)   sellaisena kuin sitä käytettiin intialaisissa käsikirjoituksissa. Raghunathin kirjastosta vuodelta 755.]]
[[Tiedosto:Yanghui triangle.gif|thumb|right|230px|[[Yang Hui]]n kolmio [[Zhu Shijie]]n laatimassa oppikirjassa vuodelta 1303. Siinä ovat Pascalin kolmion luvut kiinalaisilla [[puikkolaskenta]]merkeillä kirjoitettuina.]]
[[Tiedosto:TrianguloPascal.jpg|thumb|right|230px|[[Blaise Pascal|Pascalin]] versio kolmiosta]]

Pascalin kolmio on saanut nimensä [[Blaise Pascal]]in mukaan. Itse kolmio oli kuitenkin tunnettu jo kauan ennen Pascalin aikaa. [[Intia]]ssa sitä oli sovellettu [[kombinatoriikka]]an, ja [[Antiikin Kreikka|antiikin Kreikassa]] sen luvut olivat tulleet esiin [[kuvioluku]]ja tutkittaessa. <ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.bookrags.com/research/pascals-triangle-wom/ | Nimeke = Pascal's triangle - Research Article from World of Mathematics | Viitattu = 18.4.2020}}</ref>  Nykyisen nimensä kolmio sai, koska teoksessaan ''Traité du triangle arithmétique'' (1654, julkaistu 1665) Pascal esitti sen luvuille monia aikaisemmin tuntemattomia sovelluksia.

Myöhempien kommentaarien perusteella on päätelty, että binomikertoimet ja niiden laskemiseen käytetyn yhteenlaskukaavan (<math>\tbinom{n}{r}=\tbinom{n-1}{r}+\tbinom{n-1}{r-1}</math>) tunsi jo viimeistään toisella vuosisadalla ennen ajanlaskumme alkua intialainen [[Pingala]], joka käytti niistä nimitystä ''Meru-praastara'', Merun portaikko".<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://www.archimedes-lab.org/pascaltriangle.html | Nimeke = Pascal's Triangle or Binomial Coefficient | Sivusto = Archimedes Laboratory | Viitattu = 18.4.2020}}</ref><ref name="northeastern.edu">{{verkkoviite | Osoite = https://web.northeastern.edu/shah/papers/Pingala.pdf | Nimeke = A History of Pingala's Combinatorics | Kirjoittaja = Jayant Shah | Viitattu = 18.4.2020}}</ref> Pingalan teoksista on säilynyt vain katkelmia, mutta noin vuonna 505 sitä kommentoinut [[Varahamihira]] kuvasi yhteenlaskukaavan selvästi<ref name="ed-cam">{{kirjaviite |Tekijä = Robin Wilson, John J. Watkins (toim.); A. W. F. Edwards | Nimeke = Combinatorics: Ancient and Modern | Sivut = 166–180 | Luku = The arithmetical triangle | Julkaisija = Oxford University Press | Vuosi = 2013}}</ref>, ja yksityiskohtaisemman kuvauksen samasta säännöstä antoi [[Halayudha]] noin vuonna 975. Halayudha myös selvensi, mitä hämärät maininnat "Merun portaikosta" tarkoittavat, ja häneltä on peräisin myös varhaisin kuvaus, jossa binomikertoimet on järjestetty taulukoksi kolmion muotoon.<ref name="northeastern.edu" /> Noin vuonna 850 [[jainalaisuus|jainalainen]] matemaatikko [[Mahāvīra (matemaatikko)|Mahāvīra]] esitti binomikertoimille toisenlaisen laskukaavan käyttäen kertolaskua yhtäpitävästi nykyisen kaavan  <math>\tbinom{n}{r}=\tfrac{n!}{r!(n-r)!}</math><ref name="ed-cam"/> kanssa. Vuonna 1068 matemaatikko [[Bhattotpala]] esitti ensimmäisten kuudentoista rivin neljä ensimmistä saraketta. Hän oli tiettävästi myös ensimmäinen, joka samassa yhteydessä esitti sekä yhteen- että kertolaskumenetelmät näiden lukujen laskemiseksi.<ref name="ed-cam"/>

Suunnilleen samoihin aikoihin persialainen matemaatikko [[Al-Karaji]] (953–1029) kirjoitti nyttemmin kadonneen kirjan, joka myös sisälsi kuvauksen Pascalin kolmiosta.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Helaine Selin |Nimeke = Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures | Sivu = 132 | Julkaisija = Springer Science & Business Media | Vuosi = 2008 | Tunniste = | Isbn = 9781402045592 | www = https://books.google.com/?id=kt9DIY1g9HYC&pg=PA132&lpg=PA132&dq=al+karaji+pascal's+triangle#v=onepage&q=al%20karaji%20pascal's%20triangle&f=false | bibcode = 2008ehst.book.....S}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = R. Rashed | Nimeke = The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra | Sivut = 63–65 | Luku = The Beginnings of Algebra | Julkaisija = Kluwer Academic Publishers | Vuosi = 1994 | www = https://books.google.fr/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = Nathan Sidoli, Glen Van Brummelen | Nimeke = From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren | Sivu = 54 | Julkaisija = Springer Science & Business Media | Vuosi = 2013 | Tunniste = | Isbn = 9783642367366 | www = https://books.google.com/?id=kAjABAAAQBAJ&pg=PA54&lpg=PA54&dq=al+karaji+binomial+theorem#v=onepage&q=al%20karaji%20binomial%20theorem&f=false}}</ref> Myöhemmin sen esitti persialainen myös runoilijana ja tähtitieteilijänä tunnettu [[Omar Khayyám]] (1048–1131), jonka mukaan kolmio [[Iran]]issa tunnetaankin nimellä ''Khayyamin kolmio''.<ref>{{kirjaviite |Tekijä = E. Kennedy | Nimeke = Omar Khayyam. The Mathematics Teacher 1958 | Julkaisija = National Council of Teachers of Mathematics | Vuosi = 1966 | Sivut = 140–142 | jstor = i27957284}}</ref> Hänen aikanaan tunnettiin jo monia kolmioon liittyviä lauseita, muun muassa [[binomilause]]. Khayyam käytti luvun ''n'':nnen [[juuri (laskutoimitus)|juuren]] määrittämiseen menetelmää, joka perustuu binomikehitelmään ja näin ollen binomikertoimiin.<ref>{{lehtiviite |Tekijä = Julian Coolidge | Otsikko = The story of the binomial theorem | Julkaisu = The American Mathematical Monthly | Vuosikerta = 56 | Numero = 3 | Vuosi = 1949 | Sivut = 147–157 | jstor = 2305028 | mr = 0028222 | Doi = 10.2307/2305028 }}.</ref>

Myös [[Kiina]]ssa Pascalin kolmion tunsi jo [[Jia Xian]] (1010–1070). Myöhemmin sitä tutki [[Yang Hui]] (1238–1298), jonka mukaan se yhä tunnetaan Kiinassa nimellä '''Yang Huin kolmio''' ({{k-zh|杨辉三角|t=楊輝三角}})<ref name=Wolfram>{{verkkoviite | Osoite = https://mathworld.wolfram.com/PascalsTriangle.html | Nimeke = Pascal's Triangle | Sivusto = Wolfram MathWorld | Kirjoittaja = Christopher Stover, Eric W. Weisstein | Viitattu = 18.4.2020}}</ref>

Euroopassa binomikertoimet laski [[Gersonides]] 1300-luvulla käyttämällä niiden laskemiseen kertolaskukaavaa.<ref name="ed-cam"/>  Kolmion muotoon järjestettynä ne julkaisi Euroopassa ensimmäisenä [[Petrus Apianus]] (1495–1552) liikelaskuja käsittelevän kirjansa kannessa vuonna 1527.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://www.sciencephoto.com/media/363886/view/petrus-apianus-s-pascal-s-triangle-1527 | Nimeke = Science Photo Library | Kirjoittaja = Jeremy Burgess | Viitattu = 18.4.2020}}</ref> [[Michael Stifel]] julkaisi osan kolmiosta, toiselta sarakkeelta keskimmäiselle, vuonna 1544 kuvaillen sitä [[kuvioluku]]jen taulukkona.<ref name="ed-cam"/> [[Italia]]ssa Pascalin kolmio tunnetaan ''Tartaglian kolmiona'' algebran tutkija [[Niccolò Fontana Tartaglia]]n (1500–1577) mukaan, joka julkaisi kolmion kuusi ensimmäistä riviä vuonna 1556.<ref name="ed-cam"/> Myös 
[[Gerolamo Cardano]] julkaisi kolmion ja sekä yhteen- että kertolaskumenetelmät sen muodostamiseksi vuonna 1570.<ref name="ed-cam"/>

Pascalin teos ''Traité du triangle arithmétique'' (''Tutkielma aritmeettisesta kolmiosta'') julkaistiin vuonna 1655. Siinä Pascal kokosi yhteen joukon kolmiota koskevia tuloksia ja käytti niitä [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennan]] probleemojen ratkaisemiseen. Pascalin nimen kolmiolle antoivat ensimmäisinä vuonna 1708 [[Pierre Raymond de Montmort]], joka nimitti sitä "herra Pascalin kombinaatiotauluksi" ({{k-fr|Table de M. Pascal pour les combinations}}), ja vuonna 1730 [[Abraham de Moivre]], joka nimitti sitä "Pascalin aritmeettiseksi kolmioksi" ({{k-la|Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM}}).<ref>{{lehtiviite | Tekijä = David Fowler | Otsikko = The Binomial Coefficient Function | Julkaisu = The American Mathematical Monthly | Vuosikerta = 103 | Numero = 1 | Ajankohta = Tammikuu 1996 | Sivut = 1–17 (erityisesti sivu 11) | Doi = 10.2307/2975209 | jstor = 2975209}}</ref>

== Laajennus ja negatiiviset eksponentit ==

Kun ''n'' on negatiivinen, ei lauseketta <math>(1+x)^n</math> voida kehittää [[polynomi]]ksi. Sen sijaan tällaisellekin funktiolle on olemassa [[sarja (matematiikka)|sarjakehitelmä]], [[binomisarja]]:

:<math> (1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2!} x^2 - \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^3 + \cdots  = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} x^n</math>,<ref name=Myrberg>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2 | Sivu = 137–139 | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1975 | Tunniste = | Isbn = 951-26-0994-0}}</ref>

mikä kuitenkin pätee vain, kun <math> -1 < x < 1</math>, sillä vain tässä tapauksessa sarja [[suppeneminen|suppenee]].<ref name=Myrberg />

Myös tässä sarjassa oleville kertoimille <math>\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}</math>, joissa ''n'' on negatiivinen, käytetään toisinaan merkintää <math>{n \choose k}</math>.

Pascalin kolmio voidaan laajentaa puolitasoksi siten, että siihen sisältyvät myös nämä binomisarjojen <math>(1+x)^{-n}</math> kertoimet. Tämä tehdään seuraavasti:

<li>Alkuperäisen kolmion jokaisen rivin loppuun lisätään nollia. Tämä vastaa sitä, että esimerkiksi lausekkeen <math>(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3</math> loppuun voidaan sen arvon muuttumatta lisätä <math> + 0x^4 + 0x^5 + 0x^6</math> ja niin edelleen. Sääntö, jonka mukaan kolmion jokainen luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa, pätee selvästi myös tällä alueella, onhan 0+0=0 ja 1+0=1.  Taulukko voidaan nyt kirjoittaa seuraavaan muotoon:


{| class="wikitable" {{ts|ar}} 
|-
| 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 3 || 3 || 1 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 4 || 6 || 4 || 1 || 0 || ...
|}

Pascalin kolmion tavanomaisesta asettelusta poiketen tässä kaikki rivit alkavat yllä olevassa taulukossa samalta sarakkeelta. Sen jälkeen taulukon vasemmanpuoleista saraketta jatketaan ylöspäin lisäämällä jokaisen uuden rivin alkuun luku 1:

{| class="wikitable" {{ts|ar}}
|-
| 1 ||  ||  ||  ||  ||  || ...
|-
| 1 ||  ||  ||  ||  ||  || ...
|-
| 1 ||  ||  ||  ||  ||  || ...
|-
| 1 ||  ||  ||  ||  ||  || ...
|-
| 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 3 || 3 || 1 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 4 || 6 || 4 || 1 || 0 || ...
|}

Silloinkin kun ''n'' on negatiivinen, pätee:

:<math> {n \choose m} = {n-1 \choose m-1} + {n-1 \choose m}</math>

mikä voidaan kirjoittaa myös muotoon:

:<math> {n-1 \choose m} = {n \choose m} - {n-1 \choose m-1}</math>

Uusille riveille sijoitettavat luvut lasketaan tätä lauseketta käyttäen, rivit alhaalta ylöspäin ja kukin rivi vasemmasta laidasta alkaen.  Taulukosta tulee seuraavanlainen:<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik | Nimeke = Concrete Mathematics, 2nd ed. | Sivut = 163–164 | Luku = Binomial Coefficients | Julkaisija = Addison-Wesley | Vuosi = 1994 | Tunniste = | Isbn = 0-201-55802-5 | www = https://www.csie.ntu.edu.tw/~r97002/temp/Concrete%20Mathematics%202e.pdf }} {{Wayback|1=https://www.csie.ntu.edu.tw/~r97002/temp/Concrete%20Mathematics%202e.pdf |päiväys=20140801064321 }}</ref><ref>{{verkkoviite | Osoite = https://math.stackexchange.com/questions/2294756/continuing-pascals-triangle-for-negative-binomial-exponents | Nimeke = Continuing “Pascal's triangle” for negative binomial exponents | Kirjoittaja = D. L. Robinson | Viitattu = 18.4.2020}}</ref>

{| class="wikitable" {{ts|ar}}
|-
|-
| 1 || −4 || 10 || −20 || 35 || −56 || ...
|-
| 1 || −3 || 6 || −10 || 15 || −21 || ...
|-
| 1 || −2 || 3 || −4 || 5 || −6 || ...
|-
| 1 || −1 || 1 || −1 || 1 || −1 || ...
|-
| 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 2 || 1 || 0 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 3 || 3 || 1 || 0 || 0 || ...
|-
| 1 || 4 || 6 || 4 || 1 || 0 || ...
|}

Tällöin todetaan erityisesti, että alkuperäisen kolmion yläpuolelle lisätyillä riveillä toisena, alussa olevan ykkösen jäljessä, ovat negatiiviset kokonaisluvut.  Sillä rivillä, jolla toisena on luku -n, on ''k'':ntena aina luku

:<math>{-n \choose k} = \frac{-n(-n-1)(-n-2)\dots(-n-k+1)}{k!}</math>.

Kullakin näin lisätyllä rivillä on joka toinen luku positiivinen, joka toinen negatiivinen. 

== Lähteet ==
{{viitteet}}
== Aiheesta muualla ==
{{commonscat-rivi}}

== Kirjallisuutta ==

* {{kirjaviite | Tekijä = A. W. F. Edwards | Nimeke = Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea | Sivut = 30–31 | Julkaisija = JHU Press | Vuosi = 2002}}



[[Luokka:Kombinatoriikka]]