Lähdekoodi sivulle Osittain järjestetty joukko

'''Osittain järjestetty joukko''' on [[matemaattinen rakenne]], joka on [[Esijärjestys|esijärjestetyn joukon]] ohella yksinkertaisin "järjestyksen" käsitystä formalisoiva rakenne. Osittain järjestetty joukko koostuu [[Joukko|joukosta]] sekä [[Binäärirelaatio|binäärirelaatiosta]] tässä joukossa. Relaatiota itseään kutsutaan ''osittaisjärjestykseksi''.

Täsmällisesti, relaatiota kutsutaan osittaisjärjestykseksi jos se on [[Refleksiivisyys|refleksiivinen]], [[Transitiivisuus (matematiikka)|transitiivinen]] ja [[Antisymmetrisyys (matematiikka)|antisymmetrinen]].

Osittaisuus tarkoittaa, ettei joukon kaikista alkiopareista voi välttämättä sanoa kumpi on "suurempi", "järjestyksessä ensin" tms. Järjestys ei välttämättä tarkoita mitään tavanomaista suuruusjärjestystä, vaikka [[Luonnollinen luku|luonnollisten lukujen]] sekä [[Reaaliluku|reaalilukujen]] tavanomainen suuruusjärjestys onkin esimerkki osittaisjärjestyksestä, jossa kaikki alkiot ovat vertailtavissa. Näin ollen osittain järjestetyn joukon voidaan ajatella olevan [[Täysin järjestetty joukko|täysin järjestetyn joukon]] yleistys. Esimerkiksi tason pisteiden etäisyys origosta muodostaa osittaisen järjestyksen. Jos <math>x</math> on kauempana kuin <math>y</math> ja <math>y</math> kauempana kuin <math>z</math>, niin <math>x</math> on kauempana kuin <math>z</math>. Järjestys ei ole täydellinen, koska esimerkiksi pisteistä <math>(1,2)</math> ja <math>(2,1)</math> kumpikaan ei ole kauempana kuin toinen.

== Määritelmä ==
[[Järjestetty pari|Pari]] <math>(P,\leq)</math>, jossa <math>P</math> on joukko ja <math>\leq</math> [[Binäärirelaation|binäärirelaatio]] joukossa <math>P</math>, on ''osittain järjestetty joukko'' jos kaikille joukon <math>P</math> alkioille <math>a, b</math> ja <math>c</math> pätee
# <math>a \leq a</math> ([[Refleksiivisyys|refleksiivisyys]]),
# jos <math>a \leq b</math> ja <math>b \leq c</math>, niin <math>a \leq c</math> ([[Transitiivisuus (matematiikka)|transitiivisuus]]),
# jos <math>a \leq b</math> ja <math>b \leq a</math>, niin <math>a = b</math> ([[Antisymmetrisyys (matematiikka)|antisymmetrisyys]]).

Toisin sanottuna osittain järjestetty joukko on esijärjestetty joukko, joka on myös symmetrinen. On tavanomaista merkitä osittain järjestettyä joukkoa pelkällä joukolla <math>P</math>, mikäli on selvää, mistä binäärirelaatiosta on kyse. On myöskin tavanomaista määritellä binäärirelaatio <math>\geq</math> siten että <math>a \geq b</math> jos ja vain jos <math>b \leq a</math>.

== Esimerkkejä ==

Antilla on tyttäret Bertta ja Cecilia, joista viimeksi mainitulla poika David. Määritellään <math>x \ge y</math> tarkoittamaan "x on y tai y:n esivanhempi". Tällöin esimerkiksi Antti <math>\ge</math> David, mutta Bertta ja David eivät ole vertailtavissa.

Vaa'an tarkkuus on kolme kiloa kumpaankin suuntaan. Antti painaa 60±3&nbsp;kg, Bertta 65±3&nbsp;kg, Cecilia 70±3&nbsp;kg ja David 75±3&nbsp;kg. Määritellään <math>x \ge y</math> tarkoittamaan "x on ainakin yhtä painava kuin y". Tuloksena ei ole täydellinen järjestys, koska esimerkiksi Antti ja Bertta eivät ole vertailtavissa.

Määritellään positiivisten kokonaislukujen joukossa <math>x \ge y</math> tarkoittamaan "x voidaan jakaa tasan luvulla y". Selvästi jos luku <math>z</math> jakaa tasan luvun <math>y</math> ja <math>y</math> jakaa tasan luvun <math>x</math>, niin <math>z</math> jakaa luvun <math>x</math>. Ei-vertailtavia ovat esimerkiksi luvut 2 ja 3.

==Kirjallisuutta==
* {{kirjaviite | Tekijä=Birkhoff, Garrett | Nimeke=Lattice Theory | Julkaisija=American Mathematical Society | Vuosi=1940 | Isbn=978-0-8218-1025-5}}
* {{kirjaviite| Tekijä=Davey, B. A. ; Priestley, H.A. | Vuosi=2002 | Nimike = Introduction to Lattices and Order | Julkaisija=Cambridge University Press | Isbn=0-521-78451-4}}
* {{kirjaviite | Tekijä=Lipschutz, Seymour | Nimeke=Set Theory and Related Topics | Sivut=150-165 | Julkaisija=McGraw-Hill | Vuosi=1964 | Isbn = 0-07-037986-6}}
* {{kirjaviite | Tekijä=Lipschutz, Seymour | Nimeke=General Topology | Julkaisija=McGraw-Hill | Vuosi=1965 | Isbn = 0-07-037988-2}}

{{Tynkä/Matematiikka}}

[[Luokka:Abstrakti algebra]]
[[Luokka:Järjestysteoria]]