Lähdekoodi sivulle Oleellinen supremum ja oleellinen infimum

[[Mittateoria|Mittateoriassa]] ja [[Funktionaalianalyysi|funktionaalianalyysissä]], '''oleellinen supremum''' ja '''oleellinen infimum''' ovat [[Supremum|supremumin]] ja [[Infimum|infimumin]] käsitteiden yleistyksiä mitallisille [[Mitallinen funktio|funktioille]] ja joukoille. Ideana on määritellä funktion oleellinen [[yläraja]] siten, että se pätee [[melkein kaikkialla]]. Toisin sanottuna, niiden pisteiden joukko, joiden kuva on suurempi kuin oleellinen yläraja, on [[Nollamittaisuus|nollamittainen]].

Intuitiivisesti, funktion oleellinen infimum on pienin arvo, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin funktion arvot kaikkialla, kun funktion arvot nollamittaisilla joukoilla jätetään huomiotta. Otetaan esimerkiksi funktio <math>f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R</math>, jonka arvo on nolla kaikkialla paitsi määrittelyjoukon pisteen nolla kohdalla, jossa määritellään <math>f(0)=1</math>. Funktion supremum on tällöin yksi. Sen oleellinen supremum on kuitenkin nolla, koska yhden pisteen muodostama joukko on nollamittainen. Oleellinen infimum määritellään samankaltaisesti.

== Määritelmä ==
Kuten mittateoriassa yleensä, määritelmä perustuu tiettyjen mitallisten joukkojen [[Funktio#Joukkojen_kuvat_ja_alkukuvat | alkukuviin]].

Olkoon <math>f : X \rightarrow \mathbb R</math> funktio joukosta <math>X</math> [[Reaaliluku|reaalilukujen]] joukkoon''.'' Reaaliluku <math>a</math> on funktion <math>f</math> [[yläraja]]'','' jos kaikille joukon <math>X</math> alkioille <math>x</math> pätee <math>f(x) \leq a</math>, eli toisin sanottuna jos

: <math>f^{-1}(a, \infty) = \{x\in X: f(x)>a\} </math>

on [[Tyhjä joukko|tyhjä]] . Määritellään funktion <math>f</math> ylärajojen joukko seuraavasti:

: <math> U_f = \{a \in \mathbb{R}: f^{-1}(a, \infty) = \varnothing\}. \,</math>

Tällöin funktion supremum määritellään

: <math> \sup f=\inf {U_f}, \, </math>

jos joukko <math> U_f</math> ei ole tyhjä, ja <math>\sup f = + \infty</math> jos <math> U_f</math> on tyhjä.

Vaihtoehtoisesti, supremum on sellainen reaaliluku <math>\sup f</math>, jolle pätee: jos <math> a \in \mathbb{R}</math> siten että<math> f(x) \le a </math> kaikille <math>x \in X</math>, niin sitten <math>\sup f \le a</math>.

Oletetaan nyt lisäksi, että <math>(X,\Sigma;\mu)</math> on [[mitta-avaruus]], ja että funktio <math>f</math> on [[Mitallinen funktio|mitallinen]]. Reaaliluku <math>a</math> on funktion ''<math>f</math>'' ''oleellinen yläraja'', jos joukko <math>f^{-1}(a, \infty)</math> on nollamittainen, eli jos ''melkein kaikille'' joukon <math>X</math> alkioille <math>x</math> pätee <math>f(x) \leq a</math>. Määritellään funktion <math>f</math> oleellisten ylärajojen joukko seuraavasti:

: <math>U^{\operatorname{ess}}_f = \{a \in \mathbb{R}: \mu(f^{-1}(a, \infty)) = 0\}. \,</math>

Tällöin '''oleellinen supremum''' määritellään<ref>PlanetMath</ref> (supremumin lailla)

: <math> \operatorname{ess} \sup f=\inf U^{\mathrm{ess}}_f \, </math>

jos <math> U^{\operatorname{ess}}_f \ne \varnothing</math> ja muuten <math>\operatorname{ess}\sup f = + \infty</math>.

Vaihtoehtoisesti, oleellinen supremum on sellainen reaaliluku <math>\operatorname{ess} \sup f</math>, jolle pätee: jos <math> a \in \mathbb{R}</math> siten että <math> f(x) \le a </math> ''melkein kaikille'' <math>x \in X</math>, niin sitten <math>\operatorname{ess} \sup f \le a</math>.<ref>Dieudonne, s. 172</ref>

'''Oleellinen infimum''' määritellään täysin vastaavasti oleellisten alarajojen supremumina:

: <math> \operatorname{ess} \inf f=\sup \{b \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) < b\}) = 0\}\, </math>

jos oleellisten alarajojen joukko ei ole tyhjä, ja muuten <math> \operatorname{ess} \inf f = -\infty </math>.

=== Lebesgue-mitalliselle joukolle ===

Olkoon <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B}_\mathbb{R}, m)</math> [[Lebesguen mitta|Lebesguen mitan]] mitta-avaruus. Lebesgue-mitallisen joukon <math>A \in \mathcal{B}_\mathbb{R}</math> oleellinen supremum (infimum) määritellään [[inkluusiokuvaus|inkluusiokuvauksen]] <math>A\hookrightarrow\mathbb R</math> oleellisena supremumina (infimumina). Yksityiskohtaisesti, joukon <math>A</math> oleellinen supremum on

: <math>\operatorname{ess} \sup A = \inf \{ \alpha \in \mathbb{R} \, | \, m ( A \cap [\alpha,\infty[ ) = 0 \}\, </math>

ja oleellinen infimum

: <math>\operatorname{ess} \inf A = \sup \{ \alpha \in \mathbb{R} \, | \, m ( A \cap [\alpha,\infty[ ) = 0 \}. \, </math>

=== Terminologiaa ===

Jos funktion tai joukon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on ''oleellisesti ylhäältä rajoitettu''. Jos funktion tai joukon oleellinen infimum on äärellinen, sanotaan, että se on ''oleellisesti alhaalta rajoitettu''. Jos funktion itseisarvon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on ''oleellisesti rajoitettu''.{{Lähde}}

== Ominaisuuksia ==

* Jos <math> \mu(X)>0 </math>, niin <math>\inf f \le \operatorname{ess} \inf f \le \operatorname{ess}\sup f \le \sup f</math> . Jos <math> X </math> on nollamittainen, niin <math>\operatorname{ess}\sup f=-\infty</math> ja <math>\operatorname{ess}\inf f = +\infty</math>.<ref name="Nimetön-rF5b-1">Dieudonne, s. 173</ref>
* <math>\operatorname{ess}\sup (fg) \le (\operatorname{ess}\sup f)(\operatorname{ess}\sup g)</math> aina kun molemmat oikeanpuoleiset termit eivät ole negatiivisia.<ref name="Nimetön-rF5b-1"/>

== Katso myös ==

* [[Mittateoria]]
* [[Borel-joukko]]
* [[Supremum]]
* [[Infimum]]
* [[Lp-avaruus|''L'' <sup>''p''</sup>-avaruus]]

== Lähteet ==

* PlanetMath, [https://planetmath.org/EssentialSupremum Essential supremum] Viitattu 1.3.2021. {{en}}
* Dieudonné, J. ''Treatise on analysis. Volume II. Enlarged and corrected printing.'' Academic press. New York, San Francisco, London. 1976.

=== Viitteet ===
{{Viitteet}}

== Aiheesta muualla ==

* Rowland, Todd. "Essential Supremum." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/EssentialSupremum.html. Luettu 1.3.2021. {{en}}

{{Käännös|:en:Essential supremum and essential infimum}}

[[Luokka:Mittateoria]]
[[Luokka:Funktionaalianalyysi]]
[[Luokka:Integraalilaskenta]]