Lähdekoodi sivulle Nollalla jakaminen

'''Nollalla jakaminen''' tarkoittaa [[jakolasku]]a, jossa jakaja on [[0 (luku)|nolla]]. Muodollisesti tällaista jakolaskua merkitään <math>\frac{a}{0}</math>. Tavallisessa [[aritmetiikka|aritmetiikassa]] <math>\frac{a}{0}</math> ei ole määritelty.

== Algebrallinen tulkinta ==

Jakolasku määritellään [[kertolasku]]n avulla: osamäärä <math>\frac{a}{b}</math> tarkoittaa sitä lukua <math>c</math>, jolla pätee <math>b \cdot c = a</math>. Oletetaan nyt, että <math>a \neq 0</math>. Jakolaskun määritelmän mukaan <math>\frac{a}{0}</math> on se luku <math>c</math>, jolla <math>0 \cdot c = a</math>. Kuitenkin <math>0 \cdot c = 0 \neq a</math> riippumatta luvusta <math>c</math>. Siis ei ole olemassa lukua <math>\frac{a}{0}</math>, eli nollalla ei voi jakaa nollasta eroavaa lukua <math>a</math>.

Myöskään nollaa ei voi jakaa nollalla: mikä tahansa luku <math>c</math> toteuttaa yhtälön <math>0\cdot c=0</math>, joten <math>\frac{0}{0}= c</math> voisi olla mikä reaaliluku hyvänsä. 

== Geometrisen summan avulla ==

Yksi tapa lähestyä nollalla jakamisen ongelmaa on [[geometrinen summa|geometrisen summan]] <math>1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}</math> avulla. Tiedetään että summan [[suppenemissäde]] on <math>|x| < 1</math>.

Kun sijoitetaan summaan arvo <math>x = 1</math>, saadaan <math>\frac{1}{1-1} = 1 + 1^2 + 1^3 + \cdots </math>. Koska summa <math>1 + 1 + 1 + \cdots</math> kasvaa rajatta, suureella <math>\frac{1}{0}</math> ei ole mielekästä arvoa.

== Raja-arvot ja nollalla jakaminen==

Nollalla jakamista voi tarkastella myös [[raja-arvo]]jen avulla. Kun <math>x</math> lähestyy nollaa oikealta puolelta, kasvaa osamäärä <math>1/x</math> rajoittamattomasti. Kun <math>x</math> lähestyy nollaa vasemmalta puolelta, osamäärä <math>1/x</math> vähenee rajatta. Jos siis haluttaisiin määritellä nollalla jakaminen lausekkeen <math>1/x</math> raja-arvona, tulisi osamäärän <math>1/0</math> olla yhtä aikaa sekä äärettömän suuri että äärettömän pieni. Tämä on mahdotonta, joten nollalla jakamista ei voi määritellä tälläkään tavalla.

== Nollalla jakamisen seuraukset ==

Jos sallitaan nollalla jakaminen ja oletetaan, että <math>0/0 = 1</math>, voidaan todistaa, että esimerkiksi 2 = 1.

Nollan ominaisuuksista johtuen tiedetään että <math>2 \cdot 0 = 0</math> ja <math>1\cdot0 = 0</math>. Näin siis on <math>2\cdot0 = 1\cdot 0</math>. Jakamalla yhtälö puolittain nollalla saadaan <math>2\cdot \frac{0}{0}=1\cdot \frac{0}{0}</math>. Siispä <math>2=1</math>.

Jakamalla nollalla on päädytty selvästi ristiriitaiseen johtopäätökseen. Siis nollalla ei voi jakaa.

== Laajennettu reaaliakseli ==

[[Reaaliluku|Reaaliakseli]] <math>\R</math> voidaan laajentaa sisältämään alkiot <math>-\infty</math> ja <math>\infty</math>, jotka sopivasti tulkittuna antavat järkevän määritelmän nollalla jakamiselle.<ref>{{Verkkoviite | Osoite =  http://cs.uef.fi/matematiikka/kurssit/LUMA10vuottaNorssilla22012010/NollallaJakaminen.pdf| Nimeke =Nollalla jakaminen  | Tekijä = Itä-Suomen yliopisto | Ajankohta =22.1.2010 | Julkaisu =LUMA-linja 10 vuotta Norssilla-tapahtuma | Viitattu = 27.7.2017 }}</ref> Joissain [[matematiikka|matematiikan]] aloissa, kuten [[mittateoria]]ssa, tämä on luontevaa sillä usein eteen tulee [[funktio]]ita, joille esimerkiksi ääretönarvoisuus olisi selkempää määritellä kuin jättää raja-arvojen varaan.

Määrittelemme, että '''laajennettu reaaliakseli''' on joukko <math>\bar{\R} = \R \cup \{-\infty\} \cup \{\infty\}</math>, missä <math>-\infty</math> ja <math>\infty</math> ovat alkioita, joille pätee seuraavat ominaisuudet:

* <math>-\infty < a < \infty</math> kaikilla <math>a \in \mathbb{R}</math> 

* <math>-(\infty) = -\infty</math> ja <math>-(-\infty) = \infty</math> 

* <math>\infty + \infty = \infty</math> ja <math>\infty \cdot \infty = \infty</math> 

* <math>a \cdot \infty = \infty \cdot a = \infty</math> kaikilla <math>a > 0</math>

* <math>a (-\infty) = (-\infty) a = -\infty</math> kaikilla <math>a > 0</math> 

* <math>a \cdot \infty = \infty \cdot a = -\infty</math> kaikilla <math>a < 0</math>

* <math>a (-\infty) = (-\infty) a = \infty</math> kaikilla <math>a < 0</math> 

* <math>a + \infty = \infty + a = \infty</math> kaikilla <math>a \in \mathbb{R}</math> 

* <math>\infty - a = \infty</math> kaikilla <math>a \in \mathbb{R}</math> 

* <math>a - \infty = -\infty</math> kaikilla <math>a \in \mathbb{R}</math> 

* <math>\frac{a}{\infty} = 0</math> kaikilla <math>a \in \mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace</math> 

* <math>\frac{a}{0} = \infty</math> kaikilla <math>a > 0 \rbrace</math>

* <math>\frac{a}{0} = -\infty</math> kaikilla <math>a < 0 \rbrace</math>.

Tapauskohtaisesti myös määritellään

* <math>0 \cdot \infty = \infty \cdot 0 = 0</math> ja <math>0 \cdot (-\infty) = (-\infty) \cdot 0 = 0</math>.

Merkinnät

* <math>\frac{\infty}{\infty}</math>,

* <math>\frac{\infty}{0}</math>, 

* <math>\frac{0}{\infty}</math>, 

* <math>\infty - \infty</math> ja 

* <math>\frac{0}{0}</math>

eivät ole määritelty joukossa <math>\bar{\R}</math>.

== Nollalla jakaminen ohjelmoinnissa ==

[[Ohjelmointi|Tietokoneohjelmoinnissa]] [[kokonaisluku (tietotekniikka)|kokonaislukujen]] jakolasku, jossa jakaja on nolla, aiheuttaa ohjelman keskeytymisen tai siirtymisen [[poikkeus]]käsittelijään. [[Liukuluku|Liukuluvuilla]] laskettaessa (hallitsevan [[IEEE 754]] -standardin mukaan) nollia on kaksi: positiivinen nolla ja [[−0|negatiivinen nolla]]; näiden voi ajatella kuvaavan esitystarkkuuden rajaa pienempiä lukuja, joista kuitenkin tiedetään [[etumerkki]]. Nollalla jakaminen antaa tulokseksi positiivisen äärettömän tai negatiivisen äärettömän riippuen jaettavan ja nollajakajan etumerkeistä. Jos myös jaettava on nolla eli jaetaan nollaa nollalla, tulos on määrittelemätön arvo, jota kutsutaan nimellä [[NaN|Not-a-Number]] tai lyhenteellä NaN (vakiintumaton suomennos 'epäluku').

==Lähteet==
{{Viitteet}}

[[Luokka:Analyysi]]
[[Luokka:Nolla]]
[[Luokka:Ohjelmointivirheet]]