Lähdekoodi sivulle Neliö (geometria)

{{tämä artikkeli|kertoo monikulmiosta. Muita merkityksiä on [[Neliö|täsmennyssivulla]].}}
[[Tiedosto:SquareDefinition.svg|pienoiskuva|Neliö ABCD ja lävistäjä d.]]
{{Geometria}}
'''Neliö''' on [[geometria]]ssa [[nelikulmio]], jonka kaikki [[sivu (geometria)|sivut]] ovat yhtä pitkät ja kaikki [[kulma]]t ovat [[suorakulma|suoria]] eli 90°.

Neliö on [[Tasasivuinen monikulmio|tasasivuinen]]- ja [[Tasakulmainen monikulmio|tasakulmainen]]- eli [[säännöllinen monikulmio|säännöllinen]] [[monikulmio]]. Neliö on myös [[yksinkertainen monikulmio|yksinkertainen]] monikulmio, joka on lisäksi [[konveksi monikulmio|konveksi]]. Koska vastakkaiset sivut ovat [[yhdensuuntaisuus|yhdensuuntaiset]], kuuluu neliö [[suunnikas|suunnikkaisiin]].<ref name=vaisala68/>

Neliö, jolla on kärkinä pisteet A, B, C ja D, voidaan merkitä <math>\Box ABCD .</math>

== Erityispiirteet ==
Konveksi nelikulmio on neliö [[jos ja vain jos]]<ref name=class/><ref name=set/>
* se on nelikulmio, jonka [[lävistäjä (geometria)|lävistäjät]] ovat yhtä pitkät ja kohtaavat toisensa kohtisuoraan.
* se on nelikulmio, jolla on neljä yhtä pitkää sivua ja neljä suoraa kulmaa.
* se on suunnikas, jolla on yksi suora kulma ja kaksi vierekkäistä ja yhtä pitkää sivua.
* se on neljäkäs, jolla on suora kulma.
* se on neljäkäs, jolla on kaikki kulmat yhtä suuria.
* se on neljäkäs, jolla on lävistäjät yhtä pitkät.
* se on suorakulmio, jolla on kaksi vierekkäistä ja yhtäpitkää sivua.

== Ominaisuudet ==
[[Tiedosto:Square dimensions.svg|pienoiskuva|Neliön mittoja. Ympäri ja sisälle piirretyt ympyrät.]]
Neliöllä on monia suunnikkaan ominaisuuksia. Esimerkiksi vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.<ref name=quadri/> Neliö on symmetrinen pisteen O suhteen, mikäli kuvion kaikille pisteille löytyy O:n vastakkaiselta puolelta, ja yhtä etäältä, kuvion oma piste. Neliöllä on symmetriapiste lävistäjien leikkauspisteessä O, joten sitä kutsutaan [[pistesymmetrinen|pistesymmetriseksi]] O:n suhteen. Neliö on myös symmetrinen [[symmetria-akseli]]en suhteen. Tällaisia akseleita ovat molemmat lävistäjät ja sivujen suuntaiset neliön puolittajasuorat.<ref name=vaisala30/>

=== Kulmat ===
Yksinkertaisen nelikulmion (kulmien lukumäärä '''n = 4''') [[sisäkulma|sisäkulmien]] summa on
:<math>S = (n-2) \cdot 180^\circ = (4-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ .</math><ref name=vaisala22/><ref name=iap/><ref name=ala3_17/><ref name=kon3_44/>
Koska neliö on tasakulmainen kuvio, ovat kulmat yhtä suuria eli
:<math>\alpha = \tfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ .</math> Neliö on siten [[Suora kulma|suorakulmainen]] nelikulmio eli [[suorakulmio]].
Neliön lävistäjät [[kulmanpuolittaja|puolittavat]] sisäkulmat ja leikkaavat toisensa suorassa kulmassa, ja lisäksi [[keskijana|mediaani]] vastaiselle sivulle erottaa (kuviossa ''e'') neliöstä kolmion, jonka terävä kulma on ''β = arctan 0,5'' ≈ 26,5650118°. Lävistäjät muodostavat sivua vastaan keskuskulman, joka on 90°.<ref name=vaisala125/>

=== Lävistäjät ===
Yksinkertaisessa nelikulmiossa on aina <math>\tfrac{n(n-3)}{2} = \tfrac{4(4-3)}{2} = 2</math> lävistäjää, jotka neliössä ovat saman pituiset (merkitään tässä d). Kun neliön sivun pituus on <math>a</math>, ovat lävistäjät
:<math>d=2a\sin 45^\circ = 2a \tfrac{1}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2} .</math><ref name=vaisala121/><ref name=PythagorassConstant/>
Lävistäjät puolittavat neliössä toisensa.<ref name=vaisala68/>

Neliön lävistäjä toi luvun <math>\sqrt{2}</math> ensimmäisen kerran antiikin kreikkalaisten tietoisuuteen. He havaitsivat silloin, ettei sen arvoa voinut ilmaista murtolukumerkinnällä, mikä johti lukualueen laajennuksiin. Lukua ei pidetty yhteismitallisena.<ref name=PythagorassConstant/>

=== Sisä- ja ympärysympyrät ===
Koska neliö on säännöllinen monikulmio, voidaan sen ympäri ja sisään aina piirtää ympyrät. Sisä- ja ympärysympyröiden keskipisteet ovat samalla symmetriapisteet.<ref name=vaisala91/>

'''Sisäympyrä''' sivuaa neliön sivuja sen sisäpuolelta, jolloin sen säde <math>r</math> on puolet sivun pituudesta
:<math>r = \tfrac{a}{2} .</math><ref name=Square/>
Sisäympyrän sädettä kutsutaan säännöllisen monikulmion '''apoteemaksi''' tai myös '''pieneksi säteeksi'''.<ref name=vaisala91/> Koska neliön sisään voidaan piirtää ympyrä, on myös [[tangentiaalinen monikulmio|tangentiaalinen]] monikulmio, ja erityisesti [[tangentiaalinen nelikulmio]].

'''Ympärysympyrän''', joka kiertää neliötä jokaisen kärjen kautta, halkaisija on neliön lävistäjän <math>d</math> pituinen. Ympärysympyrän säde on puolet siitä eli
:<math>R=\tfrac{d}{2} = \tfrac{a\sqrt{2}}{2} = \tfrac{a}{\sqrt{2}}.</math><ref name=Square/>
Ympärysympyrän sädettä kutsutaan myös '''suureksi säteeksi'''.<ref name=vaisala91/> Koska neliön ympäri voidaan aina piirtää ympyrä, on se myös [[syklinen monikulmio]].<ref name=vaisala88/> [[Syklinen nelikulmio]], joka on samalla tangentiaalinen nelikulmio, on myös [[bisentrinen nelikulmio]].

=== Mittoja ===
Yleisesti tunnettuja neliön mittoja ovat muun muassa
* [[Piiri]]: <math>p = 4a = 2d\sqrt{2} = 8r = 4R\sqrt{2}</math><ref name=Square/>
* [[Pinta-ala]]: <math>A = a^2 = \tfrac{1}{2}d^2 = 4r^2 = 2R^2</math><ref name=vaisala43/><ref name=Square/>
* Jana ''e'': <math>e=\tfrac{\sqrt{5}}{2}a</math>

== Konstruktio ==
[[Tiedosto:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|pienoiskuva|Eräs tapa piirtää neliö käyttäen vain harppia ja viivainta.]]
Eräs helppo tapa konstruoida neliö on käyttää kohtisuoruuden ominaisuuksia. Piirretään ensin puolisuora, jonka päättyvään päähän mitataan neliön haluttu sivun pituus. Mitattuun pisteeseen pyöräytetään pienempi ympyrä, jonka leikkauspisteet puolisuoran kanssa merkitään. Hieman suuremmalla säteellä piirretään leikkauspisteistä ympyrän kaaret, jotka leikkaavat toisensa kahdesti. Uusien leikkauspisteiden kautta piirretään ylöspäin puolisuora. Puolisuora katkaistaan sivun pituudeksi. Nyt on kaksi sivua, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ja neliöstä tunnetaan kolme kärkeä.<ref name=compass/>

Otetaan sivun pituus harppiin ja piirretään pienet toisiaan leikkaavat kaaret kummankin sivun kauimmaisista päätepisteistä. Tämä leikkauspiste on neliön viimeisen kulman paikka. Piirretään viivaimella viimeiset kaksi sivua.<ref name=compass/>

Neliön konstruointiin on lukuisia erilaisia tapoja.

== Muuta erikoista ==
=== Pythagoraan lause ===
Neliöitä apuna käyttäen voidaan todistaa mm. [[Pythagoraan lause]], jonka mukaan suorakulmaisen kolmion [[kateetti]]en neliöiden summa on yhtä suuri kuin [[hypotenuusa]]n neliö.<ref name=vaisala48/>

=== Pinta-alan käsite ===
[[Tiedosto:Five Squared.svg|pienoiskuva|Neliön muotoinen alue, joka on sivumitaltaan 5 metriä, voidaan jakaa 25:een neliömetrin kokoisiin neliöihin. Pinta-ala on silloin 25 m². Neliöluvut ovat samaa perua.]]
[[Pinta-ala]]n [[suure]] ilmaistaan käyttämällä vertailualaa neliönmuotoisia mittayksiköitä. Pinta-alan [[johdannaisyksikkö]] on ''neliömetri'', jolla tarkoitetaan metrin pituisten sivujen rajaamaa neliötä. Neliö on hyvä alan yksikön muoto, sillä se on helppo muodostaa (jopa likimääräisesti) ja neliöitä voidaan "laatoittaa" tasoalueelle aukottomasti.<ref name=Square/><ref name=vaisala42/>

Muita pinta-alan yksiköitä on paljon, mutta neliömetristä voidaan muodostaa kerrannaisyksiköitä jakamalla sivut 10-osiin, jolloin alue jakaantuu 100-osiin. Tämän vuoksi alan suhdeluku on sata, ja esim. 1 m² kokoiselle neliölle mahtuu 100 pienempää 1 dm² kokoista neliötä.<ref name=vaisala43/>

=== Neliöluvut ===
[[neliöluku|Neliöluvut]] ovat pinta-alan peruja. On ollut hyödyllistä muistaa tiettyjä lukuja, koska ne on muodostettu luonnollisten lukujen neliöinä. Neliöjuuri on siten neliöluvun <math>a</math> synnyttävä luku <math>b</math>
:<math>\sqrt{a} = b ,</math> koska <math> b^2 = a .</math><ref name=SquareNumber/>

=== Alan jako kolmeen ===
[[Tiedosto:Neliö per 3.jpg|pienoiskuva|Esimerkki neliön jakamisesta kolmeen yhtä suureen osaan.]]
Jaettaessa neliö kolmeen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan kuvassa esitetyllä tavalla sivut jakautuvat kokonaislukusuhteissa.<ref name=modens/>

== Lähteet ==
*{{Kirjaviite | Tekijä =[[Kalle Väisälä|Väisälä, Kalle]] | Nimeke =Geometria | Vuosi =1959 | Julkaisupaikka =Porvoo | Julkaisija =Wsoy | www =http://solmu.math.helsinki.fi/2011/geometria.pdf | Tiedostomuoto =pdf | Viitattu = 29.9.2013}}
*{{Kirjaviite | Tekijä =Alatupa, Sami et al. | Nimeke =Pitkä Sigma 3 | Vuosi =2008 |Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Tammi| Isbn = 978-951-26-5927-2 | Viitattu =11.11.2012}}
*{{Kirjaviite | Tekijä =Kontkanen, Pekka & al. | Nimeke =Pyramidi 3 | Vuosi =2005 |Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Tammi | Isbn = 978-951-26-5059-0 | Viitattu =15.10.2013}}

=== Viitteet ===
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=vaisala30>Väisälä, Kalle: Geometria, s.30</ref>
* <ref name=vaisala68>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 68–72</ref>
* <ref name=vaisala88>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 88–90</ref>
* <ref name=vaisala91>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 91–96</ref>
* <ref name=vaisala42>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 42</ref>
* <ref name=vaisala43>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 43</ref>
* <ref name=vaisala22>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 22</ref>
* <ref name=vaisala125>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 125</ref>
* <ref name=vaisala121>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 121</ref>
* <ref name=vaisala48>Väisälä, Kalle: Geometria, s. 48</ref>
* <ref name=compass>planetmath.org: [http://planetmath.org/compassandstraightedgeconstructionofsquare construction of square]</ref>
* <ref name=iap>Math Open Reference: [http://www.mathopenref.com/polygoninteriorangles.html Interior Angles of a Polygon]</ref>
* <ref name=ala3_17>Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3 – Geometria, 2008, s. 17–27</ref>
* <ref name=kon3_44>Kontkanen, Pekka et al.: Pyramidi 3 – Geometria, 2005, s. 44–52</ref>
* <ref name=modens>{{Lehtiviite | Tekijä = Mogens Esrom Larsen | Otsikko = Neliö jaetaan kolmeen | Julkaisu = [[Tieteen Kuvalehti]] | Ajankohta = 1997 | Vuosikerta = | Numero = 4 | Sivut = 66 | Julkaisupaikka = Helsinki | Julkaisija = Bonnier Julkaisut Oy | Selite = | Tunniste = | www = | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = | Kieli = | Lopetusmerkki = }}</ref>
* <ref name=class>Usiskin, Zalman & Griffin, Jennifer: ''The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition'', Information Age Publishing, 2008, s. 55–56, ([http://books.google.fi/books?id=ZkoUR5lRwdcC&lpg=PR10&ots=WKnX8wfA81&dq=Zalman%20Usiskin%20and%20Jennifer%20Griffin%2C%20%22The%20Classification%20of%20Quadrilaterals&hl=fi&pg=PA55#v=onepage&q=Zalman%20Usiskin%20and%20Jennifer%20Griffin,%20%22The%20Classification%20of%20Quadrilaterals&f=false linkki sivulle 55])</ref>
* <ref name=set>Wilson, J.: [http://jwilson.coe.uga.edu/MATH7200/ProblemSet1.3.html Problem Set 1.3], Georgian Yliopisto</ref>
* <ref name=quadri>Math is Fun: [http://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html Quadrilaterals]</ref>
* <ref name=Square>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Square.html | Nimeke = Square | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=PythagorassConstant>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html | Nimeke = Pythagoras's Constant | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=SquareNumber>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/SquareNumber.html | Nimeke = Square Number | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
}}

[[Luokka:Monikulmiot]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]