Lähdekoodi sivulle Monisto

{{korjattava/kieli}}
[[Tiedosto:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|220px|[[Pallo (geometria)|Pallon]] pinta on kaksiulotteinen ''monisto'', koska se voidaan esittää kaksiulotteisilla kartoilla.]]
[[Matematiikka|Matematiikassa]] '''monisto''' on [[topologinen avaruus]], joka näyttää lokaalisti [[euklidinen avaruus|euklidiselta avaruudelta]] <math>\R^n</math>.<ref>Tämän havainnollistamiseksi: muinoin uskottiin Maan olevan [[Litteä maa|litteä]], kun taas nykyään tiedämme sen olevan pallo.  Tämä ristiriitaisuus tulee pääasiassa siitä, että paikallisesti nähtynä Maa tosiaan on "litteä". Yleisesti ottaen siis mikä tahansa objekti, joka on miltei litteä pienessä mittakaavassa, on ''monisto''. [http://mathworld.wolfram.com/Manifold.html Mathworld: Manifold] </ref> Esimerkiksi [[käyrä]]t ovat yksiulotteisia eli 1-monistoja, [[pinta|pinnat]] kaksiulotteisia eli 2-monistoja.<ref name=Vaisala>{{kirjaviite | Tekijä = Jussi Väisälä | Nimeke = Topologia II | Sivu = 61–62 | Luku = Monistot | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1981 | Tunniste = | Isbn = 951-745-082-6}}</ref> Yksinkertaisia esimerkkejä monistoista ovat <math>\R^n</math>, [[yksikköpallo]] <math>S^n</math> ja erinäiset sileät pinnat. 

Monistot ovat kenties yksinkertaisimpia ja parhaiten tunnettuja käsitteitä geometriassa ja topologiassa. Niiden lokaali topologia on triviaali, mikä tekee niiden tutkimisesta yksinkertaisempaa. Toisaalta niiden globaali geometria voi olla hyvinkin monimutkainen. Fysiikassa ja matematiikassa monet luonnolliset objektit, kuten [[symmetriaryhmä]]t ja [[aika-avaruus]], mallinetaan monistoilla. [[Differentiaaligeometria|Differentiaaligeometriassa]] monistoon liitetään differentioituva struktuuri, ja niin sitä voidaan tutkia [[analyysi (matematiikka)|analyysin]] menetelmin.

== Historia ==

Historiallisesti moniston käsite sai alkunsa käyrien ja pintojen teoriasta<ref name=Vaisala />, kun matemaattisia määritelmiä täsmennettiin. Vanhoja [[geometria]]n lähteitä tarkasteltaessa on siis otettava huomioon, että esimerkiksi käsitteitä [[joukko-oppi]], [[funktio]], [[Jatkuva funktio|jatkuvuus]] ja [[topologia (matematiikka)|topologia]] joko ei tunnettu tai ne oli määritelty epätäsmällisesti. Esimerkiksi [[Bernhard Riemann|Riemann]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ja [[Henri Poincaré|Poincaré]] määrittelivät monistot [[yhtälöryhmä|yhtälöryhmien]] ratkaisuina, jotka nykyisen terminologian mukaan ovat ''alimonistoja''. Tämä näkyy vanhoissa differentiaaligeometrian kirjoissa (esim. <ref name=Eisenhart>{{kirjaviite | Tekijä = L.P. Eisenhart | Nimeke = Riemannian Geometry | Julkaisija = Princeton University Press | Vuosi = 1926 | Tunniste = | Isbn = 978-0691023533}}</ref>). Klassiset monistot olivat usein polynomisten yhtälöiden ratkaisuja ja niin ollen niin kutsuttuja algebrallisia varistoja, joita tutkitaan [[algebrallinen geometria|algebrallisessa geometriassa]]. Vanhin lähde, jossa monisto on määritelty kutakuinkin nykyiseen tapaan, on [[J. H. C. Whitehead|Whiteheadin]] ja [[Oswald Veblen|Veblenin]] kirjasta vuodelta 1936 <ref name=Whitehead>{{kirjaviite | Tekijä = Oswald Veblen ja J.H.C. Whitehead | Nimeke = The Foundations of Differential Geometry | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 1936 | Tunniste = | Isbn = 978-0521066747}}</ref>. Myöhemmin Whitney osoitti, että monet aikaisemmat määritelmät olivat ekvivalentteja Whiteheadin ja Veblenin määritelmän kanssa<ref name=Whitney>{{lehtiviite | Tekijä = Hassler Whitney | Otsikko = Differentiable Manifolds | Julkaisu = Annals of Mathematics | Numero = 3 | Ajankohta = 1936}}</ref>. Historian aikana syntyneistä epätäsmällisyyksistä seurasi, että useita vanhoja lauseita on jouduttu todistamaan uudelleen ja tarkentamaan niissä esiintyviä oletuksia.

== Määritelmä ==

Riippuen siitä paljonko stuktuuria monistolta oletetaan, saadaan eri luokkia monistoista, joilla kullakin on oma teoriansa.

=== Topologinen monisto===
Sanomme, että [[topologinen avaruus]] on '''topologinen n-monisto''', jos

* avaruuden topologialla on [[numeroituva]] [[Kanta (topologia)|kanta]],
* avaruus on [[Hausdorffin avaruus]] ja
* avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden <math>\R^n</math> kanssa.<ref name=Vaisala />

Lokaali homeomorfisuus avaruuden <math>\R^n</math> kanssa tarkoittaa sitä, että jokaisella n-moniston pisteellä on jokin [[avoin joukko|ympäristö]], joka on [[homeomorfismi|homeomorfinen]] avaruuden <math>\R^n</math> kanssa.<ref name=Vaisala /> Koska itse avaruus <math>\R^n</math> on homeomorfinen minkä tahansa avaruuden <math>\R^n</math> avoimen pallon kanssa, voidaan ehto 3. korvata yhtäpitävällä ehdolla: avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden <math>\R^n</math> avoimen pallon kanssa.

Toinen ekvivalentti tapa määritellä topologinen monisto juontaa Whiteheadilta ja Vebleniltä <ref name=Whitehead />. Oletetaan että <math>M</math> on joukko. Määritellään joukon <math>M</math> topologisen moniston struktuuriksi laskennallinen joukko <math>X</math>:n alijoukkoja <math>U_i</math>, missä <math>i \in \N</math>, ja bijektiivisiä kuvauksia <math>f_i:U_i \to \R^n</math>, jotka toteuttavat seuraavat kolme aksioomaa. 

* Joukot <math> f_i(U_j \cap U_i) \subset \R^n </math> ovat avoimia kaikille <math>i,j \in \N</math>. Huomioi, että [[tyhjä joukko]] on määritelty avoimeksi.
* Kuvaukset ovat yhteensopivia: <math>f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \R^n</math> ovat jatkuvia kaikille <math>i,j \in \N</math>.
* Joukot <math>U_i</math> muodostavat joukon <math>X</math> peitteen, eli <math>\cup_{i \in \N} U_i = X</math>.

Sanomme, että funktiot <math>f_i</math> ovat koordinaattifunktioita, ja että joukot <math>U_i</math> muodostavat kartaston. Kuvauksia <math>f_j \circ f_i^{-1}</math> sanomme koordinaattimuunnoksiksi. Kuvaukset <math>f_i</math> indusoivat <math>M</math>:lle topologian, joka on numeroituva Hausdorffin avaruus <ref name=Vaisala />. Kokonaislukua <math>n \in \N</math> edellisessä määritelmässä kutsutaan moniston ulottuvuudeksi, ja se on yksinkertaisin topologinen invariantti monistolle.

Tämä määritelmä on kätevä, koska se yleistyy helposti moniin muihin struktuureihin. Keskeistä tässä on jatkuvien kuvausten <math>f: A \to \R^n</math> kokoelma, missä <math>A,B \subset \R^n</math> ovat avoimia. Jatkuvia kuvauksia voi yhdistää, jos niiden arvo- ja määrittelyjoukot ovat yhteensopivia. Näin saadaan n.k. [[semiryhmä | semiryhmä]]. Ks. esimerkiksi <ref name=Nomizu>{{kirjaviite | Tekijä = Kobayashi, Nomizu | Nimeke = Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 | Julkaisija = Wiley Classics Library | Vuosi = 1996 | Tunniste = | Isbn = 978-0471157335}}</ref>. Valitettavasti koordinaattifunktiot ja kartastot eivät ole yksikäsitteisiä; samalle monistolle voi antaa eri kokoelman kordinaattifunktioita. Mutta jokainen kartasto indusoi topologian, ja jos kaksi kartastoa indusoi saman topologian, niin molemmat struktuurit ovat ekvivalentteja. Sanomme siis, että topologiset monistot ovat ekvivalentteja, jos ne ovat homeomorfisia topologisina avaruuksina.

=== Sileä ja differentioituva monisto ===

Sanomme, että <math>M</math> on sileä monisto, jos sille on valittu kartasto <math>(U_i,f_i)</math> (ks. yllä), joille oletamme, että


* Koordinaattimuunnokset <math>f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \R^n</math> ovat sileitä (äärettömästi jatkuvasti derivoituvia).


Sanomme, että monisto on luokassa <math>C^k</math> tai <math>C^{k,\alpha}</math>, jos koordinaattimuunnokset kuuluvat kyseiseen luokkaan funktioina. Ensimmäisessä tapauksessa voimme myös sanoa, että monisto on k-kertaa derivoituva. 

Vaikka topologisille monistoille kartaston valinta ei aiheuttanut ongelmia, niin sileille ja differentioituville monistoille on asia toisin. Näin ollen, vaikkei niin usein eksplisiittisesti tehdä, on pidettävä mielessä että kullekin monistolle on valittu jokin kartasto. Määritelläksemme ekvivalentit sileät monistot tarvitsemme sileän kuvauksen käsitteen. Olkoon <math>M,N</math> sileitä monistoja, joille olemme valinneet kartastot <math>(U_i,f_i)</math> ja <math>(V_j,g_j)</math>, vastaavasti. Määrittelemme, että jatkuva kuvaus <math>h: M \to N </math> on sileä (tai esim. <math>C^k</math>), jos 


* kaikille <math>i,j \in \N</math> kuvaukset <math> g_j \circ h \circ f_i : (f_i \circ h)^{-1}(U_j) \to \R^n </math> ovat sileitä.


Vastaavasti määrittelemme <math>C^k</math>-kuvaukset ja kaikki muut vastaavat funktioluokat. Jos kuvaus <math>h</math> on bijektiivinen ja sen käänteiskuvaus <math>h^{-1}</math> on myös sileä, niin sanomme että monistot ovat diffeomorfisia (eli tietyssä mielessä ekvivalentteja).

Mielenkiintoinen kysymys on, että voiko samalla topologisella monistolla olla eri sileitä kartastoja, jotka eivät ole keskenään diffeomorfisia. Vastaus on kyllä, minkä osoitti matemaattisen yhteisön suureksi yllätykseksi <ref>{{Lehtiviite|Tekijä=John W. Milnor |Otsikko=On manifolds homeomorphic to the 7-sphere|Julkaisu= Annals of Mathematics | Numero=64 | Ajankohta=1956}}</ref>. Milnor konstruoi sileän moniston, joka on homeomorfinen 7-ulotteisen pallon kanssa, mutta joka ei ole diffeomorfinen sen kanssa. Myöhemmin on löydetty suuri määrä muita esimerkkejä. Tällaista tulosta ei pystytty edes kuvittelemaan ennen täsmällistä moniston määritelmää. Maininnan arvoista on, että tätä ongelmaa ei esiinny yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa, jolloin topologiselle monistolle voi antaa vain yhden sileän struktuurin, diffeomorfismia vaille. Tämä on seurausta uniformisaatioteoreemasta <ref name=Marshall>{{Verkkoviite | Osoite = https://www.math.washington.edu/~marshall/preprints/uniformizationII.pdf | Nimeke = The Uniformization theorem |  Tekijä = Donald Marshall }}</ref>.

=== Riemannin pinta ja kompleksiset monistot ===

Kuten edellä, sanomme, että sileä monisto <math>M</math> on kompleksinen monisto, jos sen ulottuvuus on parillinen (<math>n=2k</math>) ja lisäksi kartastot toteuttavat seuraavat ehdot:

* Kuvaukset tulkitaan kompleksiarvoisina <math>f_i : U_i \to \Complex^k </math> ja
* koordinaattimuunnokset <math>f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \Complex^k</math> ovat analyyttisiä. Analyyttisyys tässä tarkoittaa sileyttä ja sitä että <math>f_j \circ f_i^{-1}</math> on koordinaateittain analyyttinen klassisessa mielessä.

Kokonaislukua <math>k=n/2</math> sanotaan moniston [[kompleksinen ulottuvuus|kompleksiseksi ulottuvuudeksi]]. Jos kompleksinen ulottuvuus on yksi, eli reaalinen ulottuvuus on kaksi, niin monistoa kutsutaan Riemannin pinnaksi.

=== Affiini varisto ===

Algebrallisessa geometriassa on samanlainen määritelmä kuin yllä, missä koordinaattimuunnokset ovat rationaalisia kuvauksia ja koordinaattijoukko <math>\R^n</math> korvataan jollakin varistolla <math>V_k</math>. Tällöin ei käytetä yllä esitetyn kaltaista topologiaa, vaan nk. [[Zariskin topologia]]a <ref name=Gathmann>{{Verkkoviite | Osoite = http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/main.pdf | Nimeke = Algebraic Geometry | Tekijä = Andreas Gathmann | viitattu = 9.5.2014 | arkisto = https://web.archive.org/web/20110517092306/http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/main.pdf | arkistoitu = 17.5.2011 }}</ref>. 

== Esimerkkejä ==

* Selvin esimerkki 1-monistosta on reaaliakseli. Tämän topologian (eli itseisarvometriikan määräämän metriikan antaman topologian) eräs numeroituva kanta koostuu [[avoin väli|avoimista väleistä]], joiden päätepisteet ovat [[rationaaliluku]]ja. Reaaliakseli on myös separoituva, sillä itse rationaaliluvut muodostavat tiheän reaaliakselin osajoukon ja rationaaliluvut muodostavat numeroituvan joukon.<ref>Väisälä, s. 50</ref> Lopuksi vielä avaruus on lokaalisti homeomorfinen itsensä kanssa, sillä se on homeomorfinen itsensä kanssa.

* Yleisemmin avaruus <math>\R^n</math> on n-monisto. 

* [[pallo (geometria)|Pallokuori]] <math>\mathbb{S}^{n-1}</math> on yksinkertainen esimerkki ei-triviaalista monistosta. Se on n-1-monisto jos topologia [[relatiivitopologia|peritään]] avaruuden <math>\R^n</math> tavallisesta topologiasta.

== Sileän moniston struktuureita ==

Tässä osiossa tarkastelemme sileälle monistolle määriteltyjä struktuureita, joita tutkitaan syvällisemmin Riemannin geometriassa. Oletamme tässä aina, että <math>M</math> on sileä monisto jollain sileällä kartastolla. Tarvitsemme ensin tangenttiavaruuden käsitteen.

=== Tangenttiavaruus ===

Olkoon <math>p \in M</math> mielivaltainen piste. On olemassa jokin kartta <math>(U,f)</math>, jolle <math>p \in U</math>. Lokaalisti tälle pisteelle määrittelemme tangenttivektorit <math>v_U(p) \in \R^n</math>. Kun tarkastelemme koordinaatteja <math>f</math>, niin <math>v_U(p)</math> ''vastaa'' suuntavektoria <math>v_U(p)</math> jonka kanta on pisteessä <math>f(p)</math>. Voimme myös ajatella sitä suoran <math>f(p)+tv</math>, missä <math>v \in \R_+ </math>, nopeusvektorina.  Ongelma tosin on, että monistoilla kaiken pitäisi olla määritelty invariantisti. Mitä siis, jos ottaisimme toiset koordinaatit <math>(V,g)</math> samalle pisteelle. Tällöin sanomme, että vektorit <math>v_V(p)</math> ja <math>v_U(p)</math> ovat ekvivalentteja, jos

<div style="text-align: center;">
<math>v_V(p) = D(g\circ f)v_U(p)</math>.
</div>

Tässä oikeanpuoleinen derivaatta on funktion <math>g\circ f</math> derivaatta lineaarisena kuvauksena. Näin kullekin moniston pisteelle on yksi ja vain yksi tangenttiavaruus, jota merkitään <math>T_pM</math>, joka on isomorfinen <math>\R^n</math>:n kanssa. Edellisestä määritelmästä on mahdollista määritellä sileä tangenttimonisto, joka sisältää kaikki tangenttiavaruudet <math>T_pM</math> yhteen, ja sitä merkitään <math>TM</math> <ref name=Holopainen>{{Verkkoviite | Osoite =  http://www.helsinki.fi/~iholopai/JohdDG.pdf | Nimeke = Johdatus Differentiaaligeometriaan | Tekijä = Ilkka Holopainen }}</ref>. Tangenttiavaruus on esimerkki [[vektorikimppu | vektorikimpusta]]. Moniston karttakuvaukset indusoivat karttakuvaukset seuraavasti. Olkoon <math>(U_i,\phi_i)</math> kartasto monistolla <math>M</math>. Sitten määrittele

<div style="text-align: center;">
<math>V_i = U_i \times \R^n,</math>
</div>

ja translaatiokuvaukset <math>\phi_{ij}: U_i \cap U_j \times \R^n \to U_i \cap U_j \times \R^n</math> on annettu koordinaateissa kaavalla

<div style="text-align: center;">
<math>(m,v) \in U_i \cap U_j \times \R^n  \to (\phi^{-1}_i \circ \phi_{j}, D(\phi_i \circ \phi_{j}^{-1})v).</math>
</div>

Nyt jos määrittelemme topologisen avaruuden <math>E = \sqcup_\sim  U_i \times \R^n</math>, missä samaistamme pisteet, jotka vastaavat toisiaan jollain translaatiokuvauksella. Tällöin inkluusiot <math>U_i \times \R^n \to E</math> ovat karttakuvauksia, ja lukija voi tarkistaa vektorikimpun aksioomat.

=== Riemannin monisto ===

Sileä monisto on [[Riemannin monisto]], jos voimme määritellä sileän bilineaarisen positiivisesti definiitin tensorikentän, eli jokaisessa pisteessä on määritelty kuvaus 

<math>g:T_pM \times T_pM \to \R</math>,

joka toteuttaa seuraavat ehdot.


* Kuvaus <math>g</math> on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla <math>TM</math>, ks. <ref name=Holopainen />.


* Kuvaus on bilineaarinen: <math>g(aX+bY,cZ+dW)=acg(X,Z)+bcg(Y,Z) + adg(X,W) + bdf(Y,W), \forall X,Y,Z,W \in T_p M</math>.


* Kuvaus on positiivisesti definiitti: <math>g(X,X) \geq 0, \forall X \in T_p M</math> ja <math> g(X,X)=0 \rightarrow X = 0 </math>.


* Kuvaus on symmetrinen: <math>g(X,Y)=g(Y,X), \forall X,Y \in T_pM</math>

Riemannin monistoille voidaan määritellä etäisyysfunktio, ja siten niistä tulee metrisiä avaruuksia. Jos pudotamme oletuksen, että metriikka <math>g</math> on positiivisesti definiitti saamme semi-definiitit riemannin monistot. Näistä tärkeimmät ovat Lorenzin monistoja, jotka mallintavat [[Yleinen suhteellisuusteoria|yleisen suhteellisuusteorian]] aika-avaruutta, ja siten koko universumia. Tällöin metriikkaan liittyvä [[kaarevuus]] kuvaa painovoimaa Einsteinin yhtälöitten kautta.

=== Symplektinen monisto ===

Symplektinen monisto on Riemannin monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus

<math>\omega:T_pM \times T_pM \to \R</math>,

joka toteuttaa seuraavat ehdot.


* Kuvaus <math>\omega</math> on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla <math>TM</math>, ks. <ref name=Holopainen />.


* Kuvaus on bilineaarinen: <math>\omega(aX+bY,cZ+dW)=ac\omega(X,Z)+bc\omega(Y,Z) + ad\omega(X,W) + bd\omega(Y,W), \forall X,Y,Z,W \in T_p M</math>.


* Kuvaus on antilineaarinen: <math>\omega(X,Y)=-\omega(Y,X), \forall X,Y \in T_pM</math>


* Tekninen oletus, että kuvaus on eidegeneroituva, eli ei ole olemassa tangenttivektoria <math>X \in T_pM</math>, jolle kaikille <math>Y \in T_pM</math> pätee <math>\omega(X,Y)=0</math>.

Tärkein esimerkki symplektisestä monistosta on mielivaltaisen sileän moniston tangenttiavaruus <math>TM</math>. Tämä on keskeisessä roolissa, kun ratkaistaan epälineaarisia ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä nk. karakteristika-menetelmällä. Symplektiset monistot ovat keskeisessä asemassa Hamiltonisessa mekaniikassa. 

=== Melkein kompleksinen monisto ===

Melkein kompleksinen monisto on sileä monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus 

<math>J:T_pM \to T_pM </math>,

joka toteuttaa seuraavat oletukset.

* Kuvaus <math>J: TM \to TM</math> on sileä, ks. <ref name=Holopainen />.

* Kuvaus on lineaarinen: <math>J(aX+bY) = aJ(X)+bJ(Y), \forall X,Y \in T_p M</math>.

* Kuvaus toteuttaa: <math>J^2 = -I</math>, missä <math>I</math> on identiteettikuvaus (kansan kielellä yksikkömatriisi).

Jokainen kompleksinen monisto on melkein kompleksinen, mutta ei toisinpäin. Melkein kompleksit monistot ovat luonnollisia objekteja, jotka yleistävät kompleksista geometriaa. Lisäksi tensorin <math>J</math> avulla voidaan ilmaista analyyttiset ja anti-analyyttiset vektorikentät ja funktiot.

== Lähteet ==
{{Viitteet}}

== Aiheesta muualla ==
* https://tuhat.halvi.helsinki.fi/portal/files/28298386/Teemu_Saksalan_gradu_20022013.pdf {{Wayback|1=https://tuhat.halvi.helsinki.fi/portal/files/28298386/Teemu_Saksalan_gradu_20022013.pdf |päiväys=20140221153230 }}

[[Luokka:Monistot|*]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]