Lähdekoodi sivulle Matriisi

{{Tämä artikkeli|kertoo matemaattisesta käsitteestä. Matriisi on myös [[kirjake|kirjakkeen]] valmistamiseen käytetty muotti.}}
[[Tiedosto:Matrix.svg|thumb|350px|Matriisi]]
'''Matriisi''' on [[Matematiikka|matematiikassa]] suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka [[alkio (joukko-oppi)|alkiot]] ovat lukuja (usein [[reaaliluku|reaali-]] tai [[kompleksiluku]]ja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä [[lineaarinen yhtälöryhmä|lineaaristen yhtälöryhmien]] käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

== Määritelmä ==

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on ''m'' kappaletta rivejä ja ''n'' kappaletta sarakkeita kutsutaan ''tyypin <math>m \times n</math> matriisiksi'' ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:<ref name="WA">{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Matrix.html| Nimeke = "Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource| Tekijä = Weisstein, Eric W| Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 23.10.2014 }}</ref>

:<math>\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots   & a_{2n} \\
\vdots & \vdots   & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}</math>

Rivillä ''i'' ja sarakkeessa ''j'' olevaa matriisin alkiota merkitään <math>a_{ij}</math> tai <math>A_{ij}</math>. Lävistäjäalkio on alkio, jolla ''i=j''.

== Tavallisia matriiseja ==

''[[Yksikkömatriisi]]'' <math>\boldsymbol {I}</math> on mielivaltaisen kokoinen [[neliömatriisi]], jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. <math>n \times n</math> yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla <math>\boldsymbol{I}_{n \times n}</math>.<ref name="WA" /> Tällöin pätee <math>\boldsymbol{I}_{ij} = 1</math>, kun <math>i = j</math>, ja muuten <math>\boldsymbol{I}_{ij} = 0</math>.

:<math>\boldsymbol I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \ddots &    & 0 \\
\vdots &    & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}</math><ref>{{Verkkoviite | Osoite =  http://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html| Nimeke ="Identity matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource | Tekijä = Weisstein, Eric W| Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 23.10.2014 }}</ref>

''Nollamatriisi'' <math>\mathbf{O}</math> on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

''[[Neliömatriisi]]lla'' on yhtä monta riviä ja saraketta.<ref name="WA" />

''[[Lävistäjämatriisi]]'' (engl. ''diagonal matrix'') on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia.<ref name="WA" /> Matriisille <math>\boldsymbol A_{n \times n}</math> pätee että <math>A_{ij} = 0</math> kun <math> i \ne j</math>:
:<math> \boldsymbol A = \begin{bmatrix}
a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_2 & \, & 0 \\
\vdots & \, & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_n \\
\end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)</math>

1x1-matriisia kutsutaan [[skalaari]]ksi.

Matriisia, jossa on ''m'' vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin [[vektori]]ksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja ''n'' saraketta, kyseessä on vaakavektori.

== Transpoosi ja symmetrisyys ==

Matriisin '''''A''''' ''[[transpoosi]]'' (merk. '''''A'''''<sup>T</sup>) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:
<center>jos <math>\boldsymbol A = \begin{bmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\end{bmatrix}</math>, niin <math>\boldsymbol A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix}
1&4\\
2&5\\
3&6\end{bmatrix}</math>.</center>

Matriisi on ''[[Symmetrinen matriisi|symmetrinen]]'' jos se on sama kuin transpoosinsa, eli <math>\boldsymbol A^\operatorname{T}=\boldsymbol A</math>.

== Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa==
=== Skalaarilla kertominen ===

Matriisi <math>\boldsymbol A = (a_{ij})</math> kerrotaan skalaarilla <math>c</math> siten, että jokainen <math>\boldsymbol A</math>:n alkio kerrotaan skalaarilla c:
:<math>c\boldsymbol A = \boldsymbol Ac = ( ca_{ij})\,\!</math>

=== Yhteenlasku ===

Yhteenlaskussa<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/MatrixAddition.html | Nimeke =  "Matrix Addition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource| Tekijä = Weisstein, Eric W. | Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 23.10.2014 }}</ref> matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta [[yhteenlasku]] on mahdollista.

Matriisien <math>\boldsymbol A_{m \times n}</math> ja <math>\boldsymbol B_{m \times n}</math> summa on 
<math>
(\boldsymbol A+\boldsymbol B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots &
\ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{bmatrix}
</math>

=== Kertolasku ===
[[Kuva:Matrix multiplication diagram.PNG|thumb|Matriisien kertolasku.]]
Matriisien kertolaskussa<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/MatrixMultiplication.html| Nimeke = "Matrix Multiplication." From MathWorld--A Wolfram Web Resource| Tekijä = Weisstein, Eric W. | Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 23.10.2014 }}</ref> tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakariveistä ja toisen matriisin sarakkeista muodostettujen vektoreiden [[Pistetulo|pistetuloista]]. Olkoon matriisi '''''A''''' kokoa <math>m \times p</math> ja '''''B''''' kokoa <math>p \times n</math>. Tällöin matriisien '''''A''''' ja '''''B''''' tulo '''''AB''''' on kokoa <math>m \times n</math>. Nyt matriisitulo on

<math>\boldsymbol {AB} = 
\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_n \\ \vdots &
\ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_n
\end{bmatrix}
</math>,

missä kukin <math>\mathbf{a}_i</math> on matriisin '''''A''''' ''i'':nnestä vaakarivistä muodostettu vektori, ja <math>\mathbf{b}_j</math> on matriisin '''''B''''' ''j'':nnestä sarakkeesta muodostettu vektori. On tärkeää huomata, että matriisin '''''A''''' sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin '''''B''''' vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

==== Esimerkki ====
<math>
\left( \begin{array}{ccc}
3  &  -1   \\ 
5 & 2  \\   \end{array} \right)
 \left( \begin{array}{ccc}
1 &  4 & -3   \\ 
0 & -2 & 6  \\   \end{array} \right)
</math>
<math>
=
 \left( \begin{array}{ccc}
3\cdot 1+(-1)\cdot 0  & 3\cdot 4+(-1)\cdot(-2) & 3\cdot (-3)+(-1)\cdot 6   \\ 
5\cdot 1+2\cdot 0  & 5\cdot 4+2\cdot(-2) & 5\cdot (-3)+2\cdot 6   \\   \end{array} \right)
</math>
<math>
=
 \left( \begin{array}{ccc}
 3  &  14  & -15 \\ 
 5  &  16  &  -3  \\   \end{array} \right).
</math>

=== Tärkeimmät laskusäännöt ===

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille <math>A</math>, <math>B</math> ja <math>C</math>, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

*<math>\boldsymbol {A + O = A} </math>
*<math>\boldsymbol {A O = O A = O}</math>, missä <math> (\forall [\boldsymbol O]_{ij} = 0)</math>
*<math>\boldsymbol{A + B = B + A}</math>
*<math>(\boldsymbol{A + B) + C = A + (B + C)}</math>
*<math>c(\boldsymbol{A + B}) = c\boldsymbol A + c\boldsymbol B</math>
*<math>1\boldsymbol{ A = A}</math>
*<math>\boldsymbol {A(BC) = (AB)C}</math>
*<math>c(\boldsymbol{AB}) = (c\boldsymbol A)\boldsymbol B = \boldsymbol A(c\boldsymbol B)</math>
*<math>\boldsymbol{A(B + C) = AB + AC}</math>
*<math>\boldsymbol{(A + B)C = AC + BC}</math>
*<math>\boldsymbol{IA = AI = A}</math>
*<math>\boldsymbol{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}}</math>
Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: <math>\boldsymbol {AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}}</math>

On huomattava, että ''yleisesti'' <math>\boldsymbol{AB \ne BA}</math>, so. matriisitulo ei noudata [[vaihdantalaki]]a.

== Determinantti ==
{{Pääartikkeli|[[determinantti]]}}

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti.<ref>{{Verkkoviite | Osoite =  http://mathworld.wolfram.com/Determinant.html| Nimeke = "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource| Tekijä = Weisstein, Eric W.| Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 23.10.2014 }}</ref> Neliömatriisin <math>A</math> determinantti merkitään:
:<math>\det \boldsymbol A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}</math>

Matriisin <math>\boldsymbol A</math> alimatriisi <math>\boldsymbol A_{ij}</math> saadaan poistamalla matriisista <math>i</math>:s vaakarivi ja <math>j</math>:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia <math>\displaystyle \det \boldsymbol A_{ij}</math> sanotaan alkion <math>a_{ij}</math> '''alideterminantiksi'''.

Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. 

=== Määritelmä ===
Determinantin määritelmä voidaan esittää [[permutaatio]]iden avulla:

Matriisin <math>\boldsymbol A=[a_{ij}]_{n \times n}</math> determinantti on

:<math>\det \boldsymbol A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1,  j_2, j_3, \ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}</math>

,jossa <math>(j_1, j_2, j_3, \dots, j_n)</math> on eräs <math>\{1, \dots, n\}</math>:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja 
:<math>
\sigma \left( j_1, j_2, j_3, ..., j_n \right) 
= \begin{cases} 
  1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on parillinen} \\
 -1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on pariton} 
\end{cases}
</math>

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,''n''}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla alkiot 2 ja 3 keskenään.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi <math>2\times2</math> determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

:<math>
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} 
= \sigma(1,2)\cdot a\cdot d + \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c
</math>

=== Laskusääntöjä ===

*<math>\det \left( \boldsymbol{A^\operatorname{T}} \right) = \det \left( \boldsymbol A \right) </math>

*<math> \det (\boldsymbol A\cdot \boldsymbol B) = \det (\boldsymbol A ) \cdot \det (\boldsymbol B) </math>, jossa '''''A''''' ja '''''B''''' ovat molemmat ''n'' <math>\times</math> ''n'' -matriiseja.

*Jos '''''A''''':n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

:<math> \det ( \boldsymbol A ) = 0 </math>

*Jos '''''A''''':n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

:<math> \det \left( \boldsymbol A \right) = 0 </math>

*Jos matriisi '''''A'''''<sub>1</sub> saadaan matriisista '''''A''''' kertomalla jokin rivi vakiolla ''c'',

:<math>\det \left( \boldsymbol A_1 \right) = c\cdot\det \left( \boldsymbol A \right) </math>

*Jos matriisi ''A'' on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

*Jos matriisi '''''A'''''<sub>1</sub> saadaan matriisista '''''A''''' vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

:<math>\det \left( \boldsymbol A_1 \right) = -\det \left( \boldsymbol A \right) </math>

=== Determinantin laskeminen ===

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

:<math>\det \boldsymbol A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij} \,, \quad A\in\mathbb{R}^{n \times n}</math>

,jossa '''''A'''''<sub>''ij''</sub> on determinantti matriisista, joka saadaan, kun poistetaan '''''A''''':sta ''i'':s rivi ja ''j'':s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

:<math>
\begin{align}
\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}

&= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} 
- 5 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} 
+ 7 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} 
\\
&= 1 \cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right) 
- 5 \cdot \left( 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \right) 
+ 7 \cdot \left( 6 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \right) = 97
\end{align}
</math>

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo <math>25\times25</math> matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

:<math>\det \left( \boldsymbol A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}</math>

,jossa vakio ''c'' määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja <math>d_{ii}</math> ovat ''A'':sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus ''c'':hen näkyy alla:

# Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: <math>c = -1c_0</math>.
# Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: <math>c = c_0</math>.
# Kun kerrotaan rivi vakiolla ''k'': <math>c = k c_0</math>.

''Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.''

[[Sarrus’n sääntö]] on eräs tapa 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

=== Alkion komplementti ===

määritellään alkion <math>a_{ij} \,\!</math> '''komplementti''' eli '''kofaktori'''
:<math>C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} \,\!</math>.

Matriisin <math>\boldsymbol A = (a_{ij})\,\!</math> '''adjungoitu matriisi''' saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään 
:<math>\operatorname{adj} \boldsymbol A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}</math>.

=== Determinantin käyttäminen ===

Neliömatriisia <math>\boldsymbol A</math> sanotaan '''singulaariseksi''', jos <math>\det \boldsymbol A = 0 \,\!</math>. Jos <math>\det \boldsymbol A \ne 0</math>, matriisi on '''ei-singulaarinen''' (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille <math>\boldsymbol A</math> pätee
:<math>\boldsymbol A \left( \frac{1}{\det \boldsymbol A}\operatorname{adj} \boldsymbol A \right) = I</math> ja <math>\left( \frac{1}{\det \boldsymbol A}\operatorname{adj} \boldsymbol A \right) \boldsymbol A = \boldsymbol I</math>.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin '''käänteismatriisi'''.

==Matriisit ja lineaarikuvaukset==
Jokaista äärellisulotteista [[lineaarikuvaus]]ta <math>\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> vastaa tietty <math>m \times n</math> kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtöavaruuden [[vektori]]en ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvausavaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvausavaruuden vektorin, joksi jokin lähtöavaruuden [[Vektoriavaruuden kanta|kantavektoreista]] kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvausavaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa [[sisätulo]]lla.

Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on [[neliömatriisi]]. Jos lineaarikuvauksen matriisi on [[Kääntyvä matriisi|kääntyvä]] neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa [[käänteisfunktio]]. Käänteiskuvaus on matriisin [[käänteismatriisi]].<ref>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html | Nimeke = "Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource | Tekijä =Stover, Christopher ja Weisstein, Eric W.| Ajankohta = | Julkaisija = | Viitattu = 23.10.2014 }}</ref>

== Lineaariset yhtälöryhmät ==

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen [[yhtälöryhmä]], jossa on <math>m</math> ehtoa ja <math>n</math> tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

<math>\begin{align}
  a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + &\cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
  a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + &\cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
                            &\ \ \vdots \\
  a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + &\cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{align}</math>

Sama voidaan esittää matriisilla <math>\boldsymbol A_{m \times n}</math> ja <math>n</math>-pituisilla vektoreilla <math>\boldsymbol{x}</math> ja <math>\boldsymbol{b}</math> lyhyesti muodossa <math>A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}</math>:

<math>\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

</math>

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

== Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys ==

Neliömatriisi <math>\boldsymbol A_{n \times n}</math> on ''säännöllinen'' eli ''kääntyvä'' mikäli on olemassa matriisi <math>\boldsymbol B_{n \times n}</math> siten että <math>\boldsymbol{AB = I}_{n \times n}</math> ja <math>\boldsymbol{BA=I}_{n \times n}</math>. Muussa tapauksessa matriisi <math>\boldsymbol A</math> on ''singulaarinen''. Matriisia <math>\boldsymbol B</math> kutsutaan matriisin <math>\boldsymbol A</math> käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla <math>\boldsymbol A^{-1}</math>. Säännölliset <math>n \times n</math>-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat yhteen- ja kertolaskun suhteen [[Rengas (matematiikka)|renkaan]], jota merkitään <math>GL_n</math>. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi [[Gaussin algoritmi]]lla.

Oletetaan, että lineaarisessa yhtälöryhmässä <math>\boldsymbol A_{n \times n} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}</math> on <math>n</math> ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis <math>\boldsymbol A</math> on <math>n \times n</math> neliömatriisi. Matriisin <math>\boldsymbol A_{n \times n}</math> säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli <math>\boldsymbol A</math> on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori <math>\boldsymbol{b}</math> mikä hyvänsä. Mikäli <math>\boldsymbol A</math> on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin <math>\boldsymbol{b}</math> arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on, että matriisi <math>\boldsymbol A</math> on säännöllinen, jos ja vain jos <math>\boldsymbol{Ax = 0} \Leftrightarrow \boldsymbol{x = 0}</math>.

==Historia==
Englanninkielisen sanan ''Matrix'' tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko [[James Joseph Sylvester]] vuonna 1850: <ref name=sylvester1850/>
{{Sitaatti|For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of ''m'' lines and ''n'' columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants ...}}
Sana ({{K-la|matrix}} ’kohtu’ < ''mater'' ’äiti’ <ref name=mw/>) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”).<ref name=sylvester1851/>

==Lähteet==
{{Viitteet|refs=
<ref name=sylvester1850>{{Lehtiviite | Tekijä =  | Otsikko = Additions to the articles in the September number of this journal, ”On a new class of theorems,” and on Pascal’s theorem | Julkaisu = The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science | Ajankohta = 1850 | Vuosikerta = 37 | Numero = | Sivut = 363–370 | Julkaisupaikka = | Julkaisija = Taylor & Francis | Selite= | Tunniste= | www = https://books.google.fi/books?id=CBhDAQAAIAAJ&pg=PA369&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = 20.1.2018 | Kieli = | Lopetusmerkki = }}</ref>
<ref name=sylvester1851>{{Kirjaviite | Tekijä =  | Nimeke = The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853 | Vuosi = 2005 | Luku = | Sivu = 247 | Selite = Paper 37 | Julkaisupaikka = | Julkaisija = American Mathematical Society | Suomentaja = | Tunniste = | Isbn = | www = https://books.google.fi/books?id=5GQPlxWrDiEC&pg=PA247&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = 20.1.2018 | Kieli = }}</ref>
<ref name=mw>{{Verkkoviite | Osoite = https://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix | Nimeke = Merriam-Webster dictionary | Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = Hakusana ''matrix'' | Julkaisu = | Ajankohta = | Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 20.1.2018 | Kieli = }}</ref>
}}

==Kirjallisuutta==
* {{kirjaviite | Tekijä = Kivelä, Simo K. | Nimeke = [[Algebra ja geometria]] | Julkaisija = Otatieto | Julkaisupaikka = Espoo | Vuosi = 1989 | Isbn= 951-672-103-6}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Kivelä, Simo K. | Nimeke=[[Matriisilasku ja lineaarialgebra]] | Selite= | Julkaisija=Otatieto | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=1984 | Isbn= 951-671-368-8}}
* {{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf  |  Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. {{ISBN|978-952-7010-12-9}} {{ISBN|978-952-7010-13-6}} (pdf) | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat}}
* [http://matta.hut.fi/mattafi/linis/xml/kertolasku.xml Matriisien kertolasku eli matriisitulo] {{Wayback|1=http://matta.hut.fi/mattafi/linis/xml/kertolasku.xml |päiväys=20100924063813 }}

{{Metatieto}}

[[Luokka:Matriisit|*]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]