Lähdekoodi sivulle Matematiikan kauneus

{{Korjattava/viitteet}}
[[Kuva:Pythagorean proof (1).svg|250px|right|thumb|Esimerkki ”menetelmän kauneudesta” – [[Pythagoraan lause]]en yksinkertainen todistus.]]
'''Matematiikan kauneudella''' tarkoitetaan sitä, että monet matemaatikot saavat [[Estetiikka|esteettistä]] mielihyvää työstään ja [[matematiikka|matematiikasta]] yleensäkin ja kuvaavat tätä tunnetta sanomalla matematiikkaa (tai jotain sen osa-aluetta) ”kauniiksi”.  Joskus matemaatikot kuvaavat matematiikkaa [[Taide|taiteeksi]], ja sitä verrataan erityisesti [[musiikki]]in tai [[runous|runouteen]]. [[Bertrand Russell]] luonnehti matematiikan kauneutta seuraavasti:
{{Sitaatti|Oikein nähtynä matematiikka sisältää paitsi totuuden myös äärimmäistä kauneutta — kylmää ja ankaraa kauneutta, sellaista kuin [[veistos]] edustaa, vetoamatta miltään osin luontomme vajavuuksiin, tukeutumatta musiikin tai taiteen suurellisiin hepeneisiin; silti ylevässä puhtaudessaan matematiikka pystyy tavoittamaan ankaran täydellisyyden, jota vain taiteista suurimmat edustavat. Puhtaan mielihyvän, haltioitumisen, ihmisyyden rajojen ylittymisen tunne, joka on parhaimman erinomaisuuden koetinkivi, kuuluu matematiikkaan yhtä olennaisesti kuin runouteenkin.<ref>{{Kirjaviite |Tekijä= Bertrand Russell|Nimeke =Mysticism and Logic: And Other Essays|Julkaisija =Longman|Vuosi=1919|Sivu=60|Luku=The Study of Mathematics|www = http://books.google.fi/books?id=8dWZc2qWTtcC&pg=PA60#v=onepage&q&f=false| Viitattu=2008-08-22}}</ref>}}

[[Paul Erdős]] luonnehti matematiikan sanoinkuvaamattomuutta kirjoittaessaan: "Miksi numerot ovat kauniita? Yhtä hyvin voisi kysyä, miksi [[Sinfonia nro 9 (Beethoven)|Beethovenin 9. sinfonia]] on kaunis. Jos joku ei näe syytä, kukaan ei voi sitä hänelle selittää. Minä ''tiedän'' numeroiden olevan kauniita. Jos ne eivät ole kauniita, ei mikään muukaan ole."<ref>{{Kirjaviite |Tekijä=Keith Devlin|Nimeke=The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip|Julkaisija=Basic Books|Vuosi=2000|Sivu=140|Luku=Do Mathematicians Have Different Brains?|Viitattu=2008-08-22|isbn=9780465016198}}</ref>

==Menetelmän kauneus==
Matemaatikot luonnehtivat erityisen onnistunutta [[Matemaattinen todistus|matemaattista todistusta]] elegantiksi tai tyylikkääksi.<ref>[http://www.takayaiwamoto.com/Sums_and_Series/sumcube_1.html Sum of integers cubed:Fibonacci's elegant proof]</ref> Tapauksesta riippuen sillä voidaan tarkoittaa

* todistusta, joka tukeutuu mahdollisimman vähän lisätodistuksiin tai aiempiin tuloksiin
* harvinaisen ytimekästä todistusta
* todistusta, joka johtaa tulokseen yllättävää tietä (esim. johtamalla todistus jostain asiaan liittymättömästä [[Lause (matematiikka)|lauseesta]] tai lauseista)
* uuteen ja omintakeiseen näkemykseen perustuvaa todistusta
* todistusmenetelmää, jota voidaan käyttää ratkaistaessa muita samankaltaisia ongelmia.

Eleganttia todistusta etsiessään matemaatikot usein hakevat erilaisia, toisistaan riippumattomia tapoja tuloksen todistamiseksi — ensimmäisenä löydetty ei välttämättä ole paras (kuten sokkelossa ensimmäisenä perille vievä reitti ei välttämättä ole lyhin). Eniten erilaisia todistuksia on luultavasti löydetty [[Pythagoraan lause]]elle: sille on esitetty satoja todistuksia.<ref>[[Elisha Scott Loomis]] julkisti yli 360 todistusta kirjassaan ''Pythagorean Proposition'' ({{ISBN|0873530365}}).</ref>

Myös [[neliönjäännöslause]]elle on löydetty monia eri todistuksia — yksin [[Carl Friedrich Gauss]] julkaisi lauseelle kahdeksan eri todistusta.

Vastavuoroisesti tuloksia, jotka ovat loogisesti oikeita mutta jotka vaativat työläitä laskelmia, ylettömän huolellisia menetelmiä, erittäin perinteisiä lähestymistapoja tai jotka edellyttävät lukuisia erityisen voimakkaita [[aksiooma|aksioomia]] tai aikaisempia tuloksia, ei yleensä luonnehdita "eleganteiksi", vaan niitä kuvataan pikemminkin "rumiksi" tai "kömpelöiksi".

Tähän liittyy [[Occamin partaveitsi]], jonka mukaan teoriasta tulee karsia kaikki ylimääräiset tekijät eli niiden tulee olla mahdollisimman yksinkertaisia.
<!-- Tähän voisi laittaa jonkinlaisen todistuksen siitä, että 2 + 2 = 4, yksinkertaisella ja monimutkaisella tavalla. -->

== Tulosten kauneus ==
[[Image:EulerIdentity2.svg|thumb|right|Kun lähdetään kohdasta ''e''<sup>0</sup> = 1, matkaten nopeudella ''i'' ajan pituuden ''π'' verran ja lisätään 1, päästään kohtaan 0.]]
Matemaatikot näkevät kauneutta tuloksissa, jotka muodostavat yhteyksiä kahden matematiikan osa-alueen välille, vaikka niillä ei ensisilmäyksellä näyttäisi olevan mitään yhteistä. Näitä tuloksia kuvataan usein ''syvällisiksi'' tai ''syviksi'' (engl. ''deep'').

Vaikka on vaikeaa löytää yksimielisyyttä siitä, onko jokin tulos syvällinen vai ei, muutamiin esimerkkeihin viitataan usein. Yksi on [[Eulerin identiteetti]]:

:<math>\displaystyle e^{i \pi} + 1 = 0\, .</math>

Kaava sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: [[Neperin luku|Neperin luvun]], [[Pii (vakio)|piin]], [[imaginaariluku|imaginaariyksikön]] ja perusluvut [[1 (luku)|1:n]] ja [[0 (luku)|0:n]]. Se yhdistää [[Analyysi (matematiikka)|matemaattisen analyysin]], [[geometria]]n ja [[algebra]]n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: [[yhteenlasku]], [[kertolasku]] ja [[potenssi|potenssiin korottaminen]]. Fyysikko [[Richard Feynman]] kutsuu tätä "matematiikan merkittävimmäksi lauseeksi".

Nykyaikaisiin esimerkkeihin kuuluvat [[modulaarisuuslause]], joka tuo tärkeän yhteyden [[Elliptinen käyrä|elliptisten käyrien]] ja [[modulimuoto]]jen välille ([[Andrew Wiles]] ja [[Robert Langlands]] saivat tästä työstään [[Wolfin palkinto|Wolfin palkinnon]]), ja "Hirviömäinen pontikka" ("Monstrous moonshine"), joka yhdistää "Hirviöryhmän" ("Monster group") [[modulimuoto]]ihin [[säieteoria]]n kautta ([[Richard Borcherds]] palkittiin työstään [[Fieldsin mitali]]lla).

Syvällisen vastakohta on ''triviaali''. Triviaali lause voi olla tulos, joka voidaan johtaa itsestään selvällä ja suoraviivaisella tavalla toisista tunnetuista tuloksista tai joka koskee vain tiettyä osaa määrätystä joukosta, kuten [[tyhjä joukko]]. Joskus kuitenkin lause voi olla kyllin omaperäinen, että se voidaan luokitella "syväksi", vaikka sen todistus onkin melko ilmeinen.

== Kokemuksen kauneus ==

Numeroiden ja symbolien käsittelystä saatavaa tyydytystä tarvitaan kenties kaikessa matematiikassa.
Koska matematiikkaa tarvitaan [[tiede|tieteessä]] ja [[tekniikka|tekniikassa]], on todennäköistä, että mikä tahansa teknologinen yhteiskunta tukee tätä [[estetiikka]]a, ainakin sen [[tieteenfilosofia]]ssa, jos ei muualla.

Voimakkain kokemus matemaattisesta kauneudesta tulee useimmille matemaatikoille siitä, että he aktiivisesti harjoittavat sitä. Matematiikasta ei voi nauttia tai harjoittaa sitä passiivisesti. Siinä ei ole roolia tarkkailijalle, yleisölle tai katsojalle.<ref>{{cite book|last=Phillips|first=George|title=Mathematics Is Not a Spectator Sport|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|date=2005|chapter=Preface|isbn=0387255281|url=http://books.google.com/?id=psFwdN6V6icC&pg=PR7&lpg=PR7&dq=there+is+nothing+in+the+world+of+mathematics+that+corresponds+to+an+audience+in+a+concert+hall,+where+the+passive+listen+to+the+active.+Happily,+mathematicians+are+all+doers,+not+spectators.|accessdate=2008-08-22|quote="...there is nothing in the world of mathematics that corresponds to an audience in a concert hall, where the passive listen to the active. Happily, mathematicians are all ''doers'', not spectators.}}</ref> [[Bertrand Russell]] viittasi matematiikan ''karuun kauneuteen''.

<!-- ==Beauty in experience==
Some degree of delight in the manipulation of [[number]]s and [[symbol]]s is probably required to engage in any mathematics. Given the utility of mathematics in [[science]] and [[engineering]], it is likely that any technological society will actively cultivate these [[aesthetics]], certainly in its [[philosophy of science]] if nowhere else.

The most intense experience of mathematical beauty for most mathematicians comes from actively engaging in mathematics. It is very difficult to enjoy or appreciate mathematics in a purely passive way—in mathematics there is no real analogy of the role of the spectator, audience, or viewer.<ref>{{cite book|last=Phillips...spectators.}}</ref> [[Bertrand Russell]] referred to the ''austere beauty'' of mathematics.
-->

== Kauneus ja filosofia==
[[Tiedosto:Kepler-solar-system-1.png|thumb|220px|[[Johannes Kepler]]in [[Platonin kappale]]isiin perustuva malli [[aurinkokunta|aurinkokunnasta]], joka yhdisti matemaattisen kauneuden [[tähtitiede|tähtitieteeseen]].]]
Joillain matemaatikoilla on se mielipide, että matematiikan tekeminen on lähempänä löytämistä kuin keksimistä. Esimerkiksi:
{{Sitaatti|Ei ole tieteen tutkijaa, ei runoilijaa, ei maalaria eikä muusikkoa joka ei kertoisi löytäneensä valmiina tieteellistä löytöään tai runoaan tai kuvaansa – että se tuli hänelle ulkoa eikä hän tietoisesti sitä luonut sisältään.
|[[William Kingdon Clifford]], luennosta ''Royal Institutionille'' otsikkona "Mentaalisen kehityksen tiloja" (Some of the conditions of mental development")}}
Nämä matemaatikot uskovat, että matematiikan yksityiskohtaisten ja tarkkojen tulosten voidaan järkevästi olettaa olevan tosia täysin riippumatta universumista, jossa elämme. He voivat esimerkiksi väittää teorian [[luonnolliset luvut|luonnollisista luvuista]] olevan perustavalaatuisesti pätevä riippumatta kontekstista. Jotkin matemaatikot ovat laajentaneet tämän näkemyksen matemaattisesta kauneudesta vielä pitemmälle lähestyen [[mystiikka]]a.

Pythagoras (sekä hänen koulukuntansa [[pythagoralaisuus]]) uskoivat numeroiden kirjaimelliseen olevaisuuteen. [[Irrationaaliluku]]jen olemassaolon löytyminen oli heille šokki – heille sellaisten numeroiden olemassaolo, joita ei voitu esittää kahden luvun suhteena, oli luonnossa oleva virhe. Nykyajan näkökulmasta katsottuna Pythagoraan numeroiden mystinen käsittely oli paremminkin [[numerologia]]a kuin matematiikkaa.
<!--It turns out that what Pythagoras had missed in his world view was the limits of infinite sequences of ratios of natural numbers—the modern notion of a real number.-->

[[Platon]]in filosofiassa on olemassa kaksi maailmaa: todellinen fyysinen maailma, jossa me elämme, ja toinen, [[abstrakti]] maailma, joka sisältää muuttumattoman totuuden – johon kuuluu myös matematiikka. Hän uskoi todellisen maailman olevan vain abstraktin maailman heijastuma.

[[Galileo Galilei]]n kerrotaan sanoneen: "Mathematiikka on kieli, jolla Jumala kirjoitti Universumin."

[[Unkari]]lainen mathemaatikko [[Paul Erdős]] (vaikkakin [[ateisti]]<ref>{{cite book | author=Schechter, Bruce | title=My brain is open: The mathematical journeys of Paul Erdős | publisher=[[Simon & Schuster]] | location=New York | year=2000 | pages=70–71 | isbn = 0-684-85980-7}}</ref>) puhui kuvitellusta kirjasta, johon Jumala on kirjoittanut kaikki kauneimmat matemaattiset todistukset. Kun Erdős halusi erityisesti korostaa jotain todistusta, hän toi ilmi, että "Tämä löytyy Kirjasta!" Tämä näkemys tuo ilmi sen idean, että matematiikka – olennaisena perustuksena, jolle universumimme lait on perustettu – on luonnollinen ehdokas sille, mikä on personoitu [[Jumala]]ksi eri uskonnoissa.

Ranskalainen filosofi [[Alain Badiou]] väittää [[ontologia]]a matematiikaksi. Hän myös uskoo, että matematiikan, runouden ja filosofian välillä on syvä yhteys.

Joissain tapauksissa filosofit ja muut tieteenharjoittajat, jotka ovat käyttäneet matematiikkaa laajasti hyväkseen, ovat tehneet päättelyissään loikkia kauneuden ja fyysisen totuuden välillä virheellisisiksi osoittautuneilla tavoilla.

Esimerkiksi [[Johannes Kepler]] uskoi yhdessä vaiheessa, että silloin tunnettujen planeettojen radat olivat Jumalan järjestämiä muistuttamaan viiden [[Platonin kappale]]en järjestystä. Koska Platonin kappaleita on vain viisi, Keplerin [[hypoteesi]] salli vain kuusi planeettarataa, ja oli todistettu vääräksi [[Uranus|Uranuksen]] löytyessä.
<div style="clear: both"></div>

== Kauneus ja matemaattinen informaatioteoria==

1970-luvulla [[Abraham Moles]] ja [[Frieder Nake]] analysoivat linkkejä kauneuden, informaation käsittelyn (information processing) ja [[informaatioteoria]]n välillä.<ref>A. Moles: ''Théorie de l'information et perception esthétique'', Paris, Denoël, 1973 ([[Information Theory]] and aesthetical perception)</ref><ref>F Nake (1974). Ästhetik als Informationsverarbeitung. ([[Aesthetics]] as information processing). Grundlagen und Anwendungen der Informatik im Bereich ästhetischer Produktion und Kritik. Springer, 1974, {{ISBN|3211812164}}, {{ISBN|9783211812167}}</ref> 1990-luvulla [[Jürgen Schmidhuber]] kehitti matemaattisen teorian katsoja-riippuvaisesta subjektiivisesta kauneudesta, joka perustuu [[algoritminen informaatioteoria|algoritmiseen informaatioteoriaan]]: kauneimmilla verrattavissa olevilla kohteilla on lyhyimmät [[algoritmi]]t (esim. [[:en:Kolmogorov complexity]]) suhteessa siihen, mitä tarkkailija jo tietää.<ref>J. Schmidhuber. [[Low-complexity art]]. Leonardo, Journal of the International Society for the Arts, Sciences, and Technology, 30(2):97–103, 1997. http://www.jstor.org/pss/1576418</ref><ref>J. Schmidhuber. Papers on the theory of beauty and [[low-complexity art]] since 1994: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html</ref><ref>J. Schmidhuber. Simple Algorithmic Principles of Discovery, Subjective Beauty, Selective Attention, Curiosity & Creativity. Proc. 10th Intl. Conf. on Discovery Science (DS 2007) p. 26-38, LNAI 4755, Springer, 2007. Also in Proc. 18th Intl. Conf. on Algorithmic Learning Theory (ALT 2007) p. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Joint invited lecture for DS 2007 and ALT 2007, Sendai, Japan, 2007. http://arxiv.org/abs/0709.0674</ref>

<!-- Käännettävää...
Schmidhuber explicitly distinguishes between beautiful and  interesting. The latter corresponds to the [[first derivative]] of subjectively perceived beauty:
the observer continually tries to improve the [[predictability]] and  [[compressibility]] of the observations by discovering regularities such as repetitions and  [[symmetries]] and [[fractal]] [[self-similarity]]. Whenever the observer's learning process (possibly a predictive artificial [[neural network]]) leads to improved data compression such that the observation sequence can be described by fewer [[bit]]s than before, the temporary interestingness of the data corresponds to the compression progress, and is  proportional to the observer's internal  curiosity reward<ref>.J. Schmidhuber. Curious model-building control systems. International Joint Conference on Neural Networks, Singapore, vol 2, 1458–1463. IEEE press, 1991</ref><ref>Schmidhuber's theory of beauty and curiosity in a German TV show: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml </ref>{{Dead link|date=February 2011}}-->

== Matematiikka ja taide ==
[[Tiedosto:The Parthenon in Athens.jpg|thumb|220px|Ateenan [[Parthenon]]in korkeuden ja sen päädyn pituuden suhde on kultainen leikkaus.]]
[[Kuvataide|Kuvataiteessa]] ja [[arkkitehtuuri]]ssa esiintyvä [[kultainen leikkaus]] on [[Kompositio (kuvataide)|sommittelun]] perussääntöjä. Muodot, joissa esiintyy kultainen leikkaus, koetaan yleisesti [[estetiikka|esteettisesti]] miellyttäviksi.<ref name=lukujenmaailma>{{kirjaviite | Tekijä = David Bergamini | Nimeke = Lukujen maailma | Sivu = 94 | Suomentaja = Pertti Jotuni | Julkaisija = Sanoma Oy | Vuosi = 1972}}</ref>

[[Tiedosto:Wallpaper group-p3-1.jpg|thumb|220px|Jalkakäytävää samanmuotoisista palasista]]
[[Tessellaatio]]n avulla voidaan täyttää kaksiulotteinen taso geometrisen muodon toistamisella aukkoja jättämättä. [[M. C. Escher]] sai niihin inspiraation tutkiessaan [[Alhambra]]n koristeluja.

[[Kuva:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|thumb|220px|[[Mandelbrotin joukko|Mandelbrotin joukon]] [[fraktaali]]taidetta]]
[[Fraktaali]] on [[itsesimilaarinen]] joukko, eli se näyttää samalta tai samankaltaiselta, katsoi sitä millä suurennoksella tahansa. Fraktaaleja voidaan suurentaa rajatta. Niillä on yksityiskohtia kaikissa mittakaavoissa eli yksityiskohdat jatkuvat äärettömiin.<ref>{{Verkkoviite | Osoite=https://www.jyu.fi/hallinto/aikuiskoulutus/suunnittelu/polkuja/fraktaalisello | Nimeke=Fraktaali selätti sellon | Tekijä=Kananen, Anitta | Julkaisu=Tiedonjyvä | Ajankohta=1/2004 | Viitattu=7.7.2011 | arkisto=https://web.archive.org/web/20121113121218/https://www.jyu.fi/hallinto/aikuiskoulutus/suunnittelu/polkuja/fraktaalisello | arkistoitu=13.11.2012 }}</ref> Fraktaaleista voidaan laatia [[taide]]teoksia [[Ohjelmointi|ohjelmoitavan]] [[Tietokonegrafiikka|tietokonegrafiikan]] keinoin.
{{Kesken}}
{{Käännös}}

== Lähteet ==
{{Viitteet|sarakkeet}}

== Kirjallisuutta ==
* {{Kirjaviite | Tekijä=Hardy, G. H. | Nimeke=[[Matemaatikon apologia]] | Selite=(A mathematician’s apology, 1940.) Esipuhe: C. P. Snow. Suomentanut Kimmo Pietiläinen | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Terra Cognita | Vuosi=1997 | Tunniste = | Isbn = 952-5202-04-6}}

[[Luokka:Matematiikan filosofia]]
[[Luokka:Estetiikka]]