Lähdekoodi sivulle Luonnollinen logaritmi

[[Kuva:Log.svg|thumb|right|300 px|Luonnollisen logaritmifunktion kuvaaja. Funktio kasvaa hitaasti, mutta rajattomasti, kun ''x'' kasvaa, ja sen raja-arvo, kun ''x'' lähestyy nollaa, on miinus ääretön. Näin ollen y-akseli on kuvaajan [[asymptootti]].]]

'''Luonnollinen logaritmi''' on [[logaritmi]]funktio, jonka kantaluku on [[Neperin luku]] ''e'', eräs [[irrationaaliluku|irrationaalinen]] ja [[Transsendenttiluku|transsendenttinen]] matemaattinen vakio, likiarvoltaan 2,718&nbsp;281&nbsp;828. Luvun ''x'' luonnollinen logaritmi voidaan merkitä log<sub>''e''</sub> ''x'', mutta tavallisesti sille käytetään merkintää ln ''x'', joskus myös yksinkertaisesti log ''x''.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Robert G. Mortimer | Nimeke = Mathematics for physical chemistry, 3. painos | Sivu = 9 | Julkaisija = Academic Press | Vuosi = 2005 | Tunniste = | Isbn = 0-12-508347-5 | www = http://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC&pg=PA9}}</ref> Selvyyden vuoksi merkintään liitetään toisinaan sulkumerkit: ln(''x''), log<sub>''e''</sub>(''x'') tai log(''x'') Näin menetellään varsinkin, jos funktion argumenttina ei ole yksittäinen luku tai symboli vaan lauseke.

Luvun ''x'' luonnollinen logaritmi on se [[eksponentti]], jonka osoittamaan potenssiin ''e'' on korotettava, jotta saadaan luku ''x''. Esimerkiksi ln 7,5 on noin 2,0149, koska ''e''<sup>2,0149</sup> on noin 7,5.  Neperin luvun ''e'' luonnollinen logaritmi on ln e = 1, koska ''e''<sup>1</sup> = ''e'', ja ln 1 = 0, koska ''e''<sup>0</sup> = 1.

Luonnollinen logaritmifunktio on siis [[eksponenttifunktio]]n ''e''<sup>''x''</sup> [[käänteisfunktio]], jolle pätevät:

:<math>e^{\ln(x)} = x \qquad </math>
:<math>\ln(e^x) = x.\,\! </math>,

ylempi näistä edellyttäen, että ''x'' > 0.

Luonnollinen logaritmi on määritelty kaikille positiivisille [[reaaliluku|reaaliluvuille]]. Luvun ''a'' luonnollinen logaritmi voitaisiin yhtäpitävästi määritellä myös sen alueen [[pinta-ala]]na, joka jää x-akselin, käyrän ''y'' = 1/''x'' sekä suorien ''x'' = 1 ja 'x'' = ''a'' väliin, tai jos ''a'' < 1, tämän pinta-alan [[vastaluku]]na. Tämän määritelmän yksinkertaisuus sekä monet muut kaavat, joissa luonnollinen logaritmi esiintyy, ovat johtaneet siihen, että sitä on alettu nimittämään "luonnolliseksi".

Luonnollisen logaritmin määritelmää voidaan laajentaa niin, että logaritmi voidaan ottaa myös negatiivisista luvuista ja kaikista [[kompleksiluku|kompleksiluvuista]] nollaa lukuun ottamatta, joskin tällöin logaritmista tulee [[moniarvoinen funktio]].

Kaikkien logaritmien tavoin luonnolliselle logaritmille pätee, että kahden luvun tulon logaritmi on lukujen logaritmien summa:

:<math> \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y). \!\, </math>

Täten logaritmi tavallaan muuntaa [[kertolasku]]n [[yhteenlasku]]ksi. Logaritmifunktio onkin [[isomorfismi]] positiivisten reaalilukujen [[ryhmä (matematiikka)|ryhmästä]], jossa laskutoimituksena on kertolasku, kaikkien reaalilukujen ryhmälle, jossa laskutoimituksena on yhteenlasku:
:<math>\ln \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.</math>

Logaritmifunktion kantalukuna voi olla, paitsi ''e'', mikä tahansa muukin positiivinen reaaliluku, ei kuitenkaan luku 1. Eri logaritmifunktioita erottaa toisistaan kuitenkin vain vakiokerroin, ja muut logaritmit määritelläänkin usein luonnollisen logaritmin avulla:
:log<sub>''b''</sub> ''a'' = ln ''a'' / ln ''b''. 
Esimerkiksi jokaisen luvun [[binäärinen logaritmi|binäärinen]] eli kaksikantainen logaritmi saadaan jakamalla luvun luonnollinen logaritmi luvulla ln&nbsp;2, luvun 2 luonnollisella logaritmilla ja vastaavasti [[Briggsin logaritmi|Briggsin]] eli kymmenkantainen logaritmi jakamalla luonnollinen logaritmi luvulla ln&nbsp;10. 

Logaritmeja tarvitaan sellaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, joiden eksponentissa esiintyy tuntematon. Niitä sovelletaan varsinkin tapauksiin, joissa jokin suure [[eksponentiaalinen kasvu|kasvaa tai vähenee eksponentiaalisesti]] jonkin toisen suureen, esimerkiksi ajan funktiona. Niillä on runsaasti sovelluksia luonnontieteissä ja myös monissa taloudellisissa yhteyksissä kuten [[korko|koronkorkoon]] liittyvissä laskuissa.

{| class="wikitable" width=200px align="right"
|+ Luonnollinen logaritmi
|-
|'''Merkintä''' ||<math>\ln x \,</math>
|-
|'''Käänteisfunktio''' ||<math>e^x \,</math>
|-
|'''Derivaatta''' ||<math>\frac{1}{x} \,</math>
|-
|'''Integraalifunktio''' ||<math>x\ln x - x + C \,</math>
|}

==Historia==
Luonnollisen logaritmin käsitteen ottivat käyttöön [[Gregoire de Saint-Vincent]] ja [[Alphonse Antonio de Sarasa]] ennen vuotta 1649.<ref>R. P. Burn (2001) "Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms", [[Historia Mathematica]] 28:1–17</ref> He tutkivat [[hyperbeli]]n <math>xy = 1</math> rajoittaman alueen neliöimistä eli sen pinta-alan määrittämistä. Ratkaistaakseen tehtävän he määrittelivät "hyperboliseksi logaritmiksi" nimittämänsä funktion, joka oli käytännössä sama, jota nykyisin sanotaan luonnolliseksi logaritmiksi.

Eräs varhainen maininta luonnollisesta logaritmistä sisältyy [[Nicholas Mercator]]in vuonna 1668 julkaistuun teokseen ''Logarithmotechnia''<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html | Nimeke = The number e | Kirjoittaja = J J O'Connor, E. F. Robertson | Julkaisija = The MacTutor History of Mathematics archive | Viitattu = 27.2.2015}}</ref>, joskin matemaatikko John Speidell oli jo vuonna 1619 laatinut taulukon arvoista, jotka käytännössä olivat lukujen luonnollisia logaritmeja.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Florian Cajori | Nimeke = A History of Mathematics, 5. painos |Sivu =152 |Julkaisija=AMS Bookstore |Vuosi=1991 | Tunniste = | Isbn = 0-8218-2102-4 |www=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+}}</ref> 

Luonnollista logaritmia nimitetään toisinaan myös ''Napierin logaritmiksi'' [[John Napier]]in mukaan, vaikka Napierin alun perin käyttämien logaritmien kantaluku poikkesi jonkin verran Neperin luvusta ''e''.

== Merkintätapoja ==
Merkinnät {{nowrap|"ln ''x''"}} ja {{nowrap|"log<sub>''e''</sub> ''x''"}} tarkoittavat molemmat yksiselitteisesti luvun ''x'' luonnollista logaritmia.

Myös merkintää {{nowrap|"log ''x''"}}, jossa kantalukua ei ole ilmoitettu, käytetään toisinaan tarkoittamaan luonnollista logaritmia. Tämä käytäntö on tavallinen matematiikassa ja joissakin tieteellisissä yhteyksissä, ja sitä noudatetaan myös monissa [[ohjelmointikieli]]ssä (esimerkiksi [[C (ohjelmointikieli)|C]], [[C++]], [[SAS (ohjelmisto)|SAS]], [[MATLAB]], [[Mathematica]], [[Fortran]] ja [[BASIC]]). Eräissä muissa yhteyksissä {{nowrap|"log ''x''"}} saattaa kuitenkin tarkoittaa myös kymmenkantaista eli [[Briggsin logaritmi]]a.

==Luonnollisen logaritmin erityisominaisuuksia ja nimityksen alkuperä ==
Tämän sivun alussa oleva luonnollisen logaritmifunktion kuvaaja ilmentää joitakin ominaisuuksia, jotka ovat yhteisiä kaikille logaritmifunktioille kantaluvusta riippumatta. Tärkeimpiä niistä ovat: luvun 1 logaritmi on 0, ja luvun lähestyessä 0:aa sen logaritmi lähestyy -∞:tä. Luonnollisen logaritmin erikoisasema ilmenee parhaiten ehkä siinä pisteessä, jossa logaritmi on kaikilla kantaluvuilla nolla, nimittäin luvun 1 kohdalla. Siinä kohdassa nimittäin luonnollisen logaritmin, ja vain sen, kuvaajan [[kulmakerroin]] on myös 1, toisin sanoen kuvaaja leikkaa x-akselin 45 asteen kulmassa. Jos logaritmifunktion kantaluku on suurempi kuin ''e'', kuten on esimerkiksi 10-kantaisen eli Briggsin logaritmin laita, kulmakerroin on tässä kohdassa pienempi kuin 1, ja jos kantaluku on pienempi kuin ''e'', kuten esimerkiksi 2-kantaisella logaritmilla, kulmakerroin on tässä kohdassa suurempi kuin 1.  Kaikkien menetelmien, joilla luvulle ''e'' tai luonnollisille logaritmeille voidaan laskea [[likiarvo]]ja, voidaan katsoa perustuvan viime kädessä juuri tähän ominaisuuteen. Tästä seuraa myös, että kun annettu luku on tarpeeksi lähellä lukua 1, sen luonnolliselle logaritmille saadaan hyvä likiarvo yksinkertaisesti vähentämällä luvusta 1. Esimerkiksi luvun 1,01 luonnollinen logaritmi on noin 0,00995 eli noin viiden tuhannesosan tarkkuudella 0,01. Samaan tapaan voidaan todeta, että luvun 0,99 luonnollinen logaritmi on hyvin lähellä lukua -0,01. Tämä pätee sitä tarkemmin, mitä lähempänä yhtä alkuperäinen luku on. Samassa mielessä kuin luku 1 itse on yhteinen kaikille lukujärjestelmille, voidaan luonnollista logaritmia pitää lukujärjestelmästä riippumattomana. Tämän erikoisasemansa vuoksi tätä logaritmifunktiota on alettu nimittää "luonnolliseksi" ({{k-la|naturalis}}, {{k-en|natural}}). 

Voisi ajatella, että koska [[kymmenjärjestelmä]] on yleismaailmallisesti käytetty [[lukujärjestelmä]], luku 10 olisi "luonnollisempi" myös logaritmijärjestelmän kantaluvuksi. Kymmenkantaisia eli [[Briggsin logaritmi|Briggsin logaritmeja]] ja niistä koottuja taulukoita onkin ennen [[taskulaskin]]ten yleistymistä paljon käytetty laskutoimitusten apuvälineenä. Matemaattisesti luku 10 ei kuitenkaan ole mitenkään erikoisasemassa. Todennäköisesti sen asema lukujärjestelmän kantalukuna onkin saanut alkunsa [[sormilla laskeminen|sormilla laskemisesta]] ja siten ihmisen sormien lukumäärästä.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Carl Boyers | Nimeke = A History of Mathematics | Julkaisija = John Wiley & Sons | Vuosi = 1968.}}</ref> Joissakin kulttureissa on käytetty myös muita lukujärjestelmiä, joiden kantalukuina ovat olleet esimerkiksi [[5 (luku)|5]], [[oktaalijärjestelmä|8]], [[duodesimaalijärjestelmä|12]], [[vigesimaalijärjestelmä|20]] tai [[seksagesimaalijärjestelmä|60]].
<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = John Harris | Otsikko = Australian Aboriginal and Islander mathematics | Julkaisu = Australian Aboriginal Studies | Numero = 2 | Sivut = 29–37 | Vuosi = 1987 | www = http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf | format = PDF }} {{Wayback|1=http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf |päiväys=20070831203123 }}</ref>
<ref>{{lehtiviite | Tekijä=J. J. Large | Otsikko=The vigesimal system of enumeration | Julkaisu=Journal of the Polynesian Society | Vuosikerta=11 | Numero=4 | Sivut=260–261 | Vuosi=1902 | www=http://www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=636 }} {{Wayback|1=http://www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=636 |päiväys=20190201040947 }}</ref>
<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Florian Cajori | Otsikko = Sexagesimal fractions among the Babylonians | Julkaisu=American Mathematical Monthly| Vuosikerta=29 | Numero = 1 | Sivut=8–10 | Vuosi=1922| doi=10.2307/2972914 | jstor=2972914 }}</ref>

Funktio log<sub>''e''</sub> on "luonnollinen" logaritmi, koska se esiintyy matematiikassa luonnostaan monissa yhteyksissä. Tarkastellaan esimerkiksi logaritmifunktioiden [[derivaatta|derivaattoja]]:<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Ron Larsson | Nimeke = Calculus: An Applied Approach, 8. painos | Sivu = 331 | Julkaisija = Cengage Learning | Vuosi = 2007 | Tunniste = 0-618-95825-8 | www = http://books.google.com/books?id=rbDG7V0OV34C&pg=PA331}}</ref>

:<math>\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(b)} \ln{x} \right) = \frac{1}{\ln(b)} \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>

Jos kantaluvuksi ''b'' valitaan ''e'', derivaatta on yksinkertaisesti  1/''x'', ja pisteessä ''x''&nbsp;=&nbsp;1 derivaatta saa arvon 1. Toinen syy, jonka vuoksi ''e''-kantaista logaritmia voidaan pitää luonnollisimpana, on, että se voidaan varsin helposti määritellä yksinkertaisena [[integraali]]na tai [[Taylorin sarja]]na, mikä ei ole mahdollista muille logaritmifunktioille.

Luonnollisen logaritmin "luonnollisuus" ei kuitenkaan liity yksinomaan [[differentiaali- ja integraalilaskenta]]an. Esimerkiksi on olemassa monia yksinkertaisia [[sarja (matematiikka)|sarjoja]], jotka johtavat luonnolliseen logaritmiin. [[Pietro Mengoli]] ja [[Nicholas Mercator]] käyttivätkin siitä nimitystä ''logaritmhmus naturalis'' jo vuosikymmeniä ennen kuin [[Isaac Newton|Newton]] ja [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] kehittivät differentiaali- ja integraalilaskennan.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.pballew.net/arithme1.html#ln | Nimeke = Math Words, and Some Other Words, of Interest | Kirjoittaja = Pat Ballew | Viitattu = 27.2.2015 | arkisto = https://web.archive.org/web/20120204055555/http://www.pballew.net/arithme1.html#ln | arkistoitu = 4.2.2012 }}</ref>

== Määritelmiä ==
[[Kuva:Log-pole-x 1.svg|thumb|X-akselin, suorien ''x'' = 1 ja ''x''=''a'' sekä käyrän ''y'' = 1/''x'' välisen alueen pinta-ala on ln&nbsp;''a''. Jos ''a'' on pienempi kuin 1, ln&nbsp;''a'' on kuitenkin negatiivinen ja alueen pinta-ala on sen positiivinen vastaluku -ln ''a''.]]

Muodollisesti ln(''a'') voidaan määritellä [[integraali]]na,
:<math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>

Tämä funktio on logaritmi, koska se toteuttaa logaritmien perusominaisuuden:
:<math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!</math>

Tämä voidaan osoittaa jakamalla ln(''ab''):n määrittelevä integraali osiin ja suorittamalla jälkimmäisessä muuttujan vaihto {{nowrap|1=''x'' = ''ta''}} seuraavasti:
:<math>\begin{align}
\ln(ab)= \int_1^{ab}\frac{1}{x} \; dx
&=\int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx\\
&=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)\\
&=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt\\
&= \ln (a) + \ln (b).
\end{align}</math>

Luku [[Neperin luku|e]] voidaan tämän jälkeen määritellä ainoaksi reaaliluvuksi ''a'', jolla ln(''a'')&nbsp;=&nbsp;1.

Vaihtoehtoisesti voidaan [[eksponenttifunktio]] määritellä ensin, esimerkiksi päättymättömän sarjan avulla, jolloin luonnollinen logaritmi voidaan määritellä sen [[käänteisfunktio]]na, toisin sanoen ln on funktio, jolle pätee exp(ln(''x''))&nbsp;=&nbsp;''x''.  Koska eksponenttifunktion arvojoukko käsittää kaikki positiiviset reaaliluvut ja koska se on aidosti kasvava, luonnollinen logaritmi on tällöin hyvin määritelty kaikille positiivisille argumentin arvoille.

== Ominaisuuksia ==
* <math>\ln(1) = 0 \,</math>
* <math>\ln(-1) = i \pi \,</math> <small>katso osiota [[#Kompleksinen logaritmi]]</small> 
* <math>\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,</math>
* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,</math>
* <math>\ln(x^y) = y \, \ln(x) \,</math>
* <math>\frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,</math>
* <math>\ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,</math>


{{avattava|otsikko=Todistus}}
Lause on tosi, kun <math>x=0</math>, ja osoitamme, että <math>\frac{d}{dx} \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \frac{d}{dx} ( \alpha x ) </math> kaikille <math>x</math>, jolloin todistuksen täydentää [[analyysin peruslause]]. Yritämme siis todistaa, että 

:<math>\frac{d}{dx} \ln{( 1+x^\alpha )} = \frac{\alpha x^{\alpha - 1}}{1 + x^\alpha} \leq \alpha = \frac{d}{dx} ( \alpha x ) </math>

(Emme kuitenkaan ole vielä osoittaneet tätä todeksi). Jos tämä kaksoisepäyhtälö pätee, kertomalla keskimmänen lauseke positiivisella lausekkeella <math>(1+x^\alpha) / \alpha</math> ja vähentämällä <math>x^\alpha</math> saataisiin

:<math> x^{\alpha-1} \leq x^\alpha + 1 </math>
:<math> x^{\alpha-1} (1-x) \leq 1 </math>

Tämä pätee tietenkin, jos <math>x \ge 1</math> sillä vasen puoli on tällöin negatiivinen tai nolla. Se pätee myös, kun <math>0 \le x < 1</math>, sillä vasemmalla puolella molemmat tekijät ovat pienempiä kuin 1, sillä <math>\alpha \ge 1</math>). Niinpä jälkimmäinen lause on tosi, ja toistamalla samat askelet päinvastaisessa järjestyksessä todetaan, että  
:<math>\frac{d}{dx} \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \frac{d}{dx} ( \alpha x ) </math> kaikilla <math>x</math>:n arvoilla. mot.
{{avattavaLoppu}}

== Derivaatta ja Taylorin sarjat ==
Luonnollisen logaritmin [[derivaatta]] on 
:<math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,</math>

Tästä saadaan muodostetuksi luonnollisen logaritmin ln(1&nbsp;+&nbsp;''x'') [[Taylorin sarja]] nollan läheisyydessä:
:<math>\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm for}\quad \left|x\right| \leq 1,\quad</math>

joka pätee välillä -1 &lt; ''x'' ≤ 1.

Tätä nimitetään myös [[Mercatorin sarja]]ksi.

[[Leonhard Euler]] yritti rohkeasti soveltaa tätä sarjakehitelmää myös arvolle ''x''&nbsp;=&nbsp;-1 osoittaakseen, että [[harmoninen sarja|harmonisen sarjan]] summa on yhtä kuin ln&nbsp;(1/(1-1)), siis äärettömän luonnollinen logaritmi.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Leonhard Euler | Nimeke = Introductio in Analysin Infinitorum. Tomus Primus | Julkaisija = Bousquet | Julkaisupaikka = Lausanne | Vuosi = 1748 | Sivu = 228 | Luku = Exemplum 1}}</ref>  Nykyisin tätä todistusta ei pidetä pätevänä. Sen sijaan voidaan kyllä todistaa, että mitä suurempi luku ''N'' on, sitä lähempänä harmonisen sarjan ensimmäisten ''N'' termin summan ja ''N'':n luonnollisen logaritmin erotus on niin sanottua [[Eulerin–Mascheronin vakio]]ta, jonka likiarvo on 0,57721566490153286061.

[[Kuva:LogTay.svg|300px|thumb|right|ln(1&nbsp;+&nbsp;''x''):n Taylorin polynomit antavat hyviä likiarvoja vain välillä −1&nbsp;&lt;&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;1. Huomattava että kun ''x''&nbsp;&gt;&nbsp;1, korkeammat Taylorin polynomit ovat ''huonompia'' likiarvoja.]]

Oikealla olevassa kaaviossa on funktion ln(1&nbsp;+&nbsp;''x'') ja sen joidenkin [[Taylorin polynomi]]en kuvaajat nollan ympäristössä. Nämä antavat likiarvoja, jotka [[suppeneminen|suppenevat]] kohti funktiota ln(1&nbsp;+&nbsp;''x'') ainoastaan välillä  −1&nbsp;&lt;&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;1; tämän välin ulkopuolella Taylorin sarja hajaantuu ja korkeammat Taylorin polynomit antavat vain ''huonompia'' likiarvoja itse funktiolle.

Jos ''x'':n tilalle vaihdetaan ''''x''&nbsp;−&nbsp;1, saadaan vaihtoehtoinen esitys ln(x):lle itselleen, nimittäin
:<math>\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n</math>

:<math>\ln(x)= (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots</math>

:<math>{\rm for}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm unless}\quad x = 0 \,.</math><ref>[http://www.math2.org/math/expansion/log.htm "Logarithmic Expansions" at Math2.org]</ref>

Soveltamalla Mercatorin sarjaan [[Eulerin muunnos]]ta saadaan seuraava sarjakehitelmä, joka pätee kaikilla x:n arvoilla, joiden [[itseisarvo (matematiikka)|itseisarvo]] on suurempi kuin 1:

:<math>\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.</math>

Tämä sarja muistuttaa [[BBP-tyypin kaava]]a. 

On myös huomattava, että <math> x \over {x-1} </math> on itsensä käänteisfunktio, ja niinpä annetun luvun ''y'' luonnollinen logaritmi voidaan saada korvaamalla ''x'' lausekkeella <math> y \over {y-1} </math>.
Tällä tavoin voidaam muodostaa sarjakehitelmä

:<math>\ln{x} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,</math>

joka pätee, kun <math>{\rm for }\quad \operatorname{Re} (x) \geq \frac12 \,.</math>

== Luonnollinen logaritmi integraalilaskennassa ==

Luonnollisen logaritmin avulla voidaan helposti [[integraali|integroida]] muotoa ''g''(''x'') = ''f''&nbsp;'(''x'')/''f''(''x'') olevat funktiot: funktion ''g''(''x'') eräs [[integraalifunktio]] on ln(|''f''(''x'')|). Tämä perustuu [[ketjusääntö]]ön ja siihen, että

:<math>\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.</math>

Toisin sanoen 

:<math>\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C</math>

ja

:<math>\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.</math>

Esimerkkinä voidaan mainita tapaus, jossa ''g''(''x'') = [[trigonometrinen funktio|tan]](''x''):

:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.</math>
Letting ''f''(''x'') = cos(''x'') and ''f'''(''x'')= – sin(''x''):
:<math>\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C</math>

missä ''C'' on mielivaltainen [[integroimisvakio]].

Itse luonnollisen logaritmin integraalifunktio saadaan [[osittaisintegrointi|osittaisintegroinnilla]]:
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino | Nimeke = Matematiikka 11 | Sivu = 216 | Luku = Osittaisintegrointi | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1974 | Tunniste = | Isbn = 951-26-0078-1}}</ref>

:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.</math>

== Likiarvojen laskenta ==
Annetun luvun luonnollisen logaritmin laskemiseksi Taylorin sarja voidaan muuntaa muotoon:
:<math>\ln(1+x)= x \,\left( \frac{1}{1} - x\,\left(\frac{1}{2} - x \,\left(\frac{1}{3} - x \,\left(\frac{1}{4} - x \,\left(\frac{1}{5}- \cdots \right)\right)\right)\right)\right) \quad{\rm for}\quad \left|x\right|<1.\,\!</math>

Jotta saataisiin nopeammin suppeneva sarja, voidaan käyttää seuraavia identiteettejä:
:<math>\begin{align}
\ln(x) = \ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)
&= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} y^{2} + \frac{1}{5} y^{4} + \frac{1}{7} y^{6} + \frac{1}{9} y^{8} + \cdots \right)\\
&= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + y^{2} \, \left( \frac{1}{3} +  y^{2} \, \left( \frac{1}{5} + y^{2} \, \left( \frac{1}{7} + y^{2} \, \left( \frac{1}{9} + \cdots \right) \right) \right)\right) \right)
\end{align}</math>

edellyttäen, että ''y'' = (''x''−1)/(''x''+1) ja Re(''x'') &ge; 0 mutta ''x'' ≠ 0.

Kun ''x'' &gt; 1; tämä sarja suppenee sitä nopeammin, mitä lähempänä ''x'' on arvoa 1. Logaritmin laskemiseksi suurista luvuista voidaan käyttää seuraavanlaista apukeinoa, esimerkiksi:
:<math>\begin{align}
\ln(123.456) &= \ln(1.23456 \times 10^2)\\
&= \ln(1.23456) + \ln(10^2)\\
&= \ln(1.23456) + 2 \times \ln(10)\\
&\approx \ln(1.23456) + 2 \times 2.3025851.
\end{align}</math>

Tällaisia apukeinoja käytettiin varsinkin ennen nykyaikaisten [[laskin]]ten aikaa: pienten lukujen logaritmit katsottiin taulukosta ja suuret luvut muunnettiin pienen luvun ja jonkin 10:n potenssin tuloksi.

===Luvun 10 luonnollinen logaritmi ===

Luvun 10 luonnollinen logartimi on desimaalilukuna 2,30258509...,<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://oeis.org/A002392 | Nimeke = The On-line Encyclopedia of Integer Sequences | Julkaisija = N. J. A. Sloane | viitattu = 27.2.2015}}</ref> Tätä voidaan käyttää hyväksi laskettaessa arvoja hyvinkin suurten lukujen luonnollisille logaritmeille. Tällaiset luvut esitetään usein [[kymmenpotenssimuoto|kymmenpotenssimuodossa]], jolloin pätee:

: <math>\ln (a\times 10^n) = \ln a + n \ln 10.</math>

Hyvin suurten ja hyvin pienten lukujen luonnolliset logaritmit voidaan näin laskea käyttämällä taulukkoja, joissa ovat ainoastaan välillä <math>[1, 10)</math> olevien lukujen luonnolliset logaritmit.

=== Suuri tarkkuus ===

Luonnollisen logaritmin laskemiseen monen desimaalin tarkkuudella ei Taylorin sarja ole tehokas, koska se suppenee hitaasti. Jos ''x'' on lähellä 1:tä, vaihtoehtoinen tapa on käyttää [[Newtonin menetelmä]]ä eksponenttifunktion kääntämiseksi, sillä eksponenttifunktion sarja suppenee nopeammin. Parhaiten valitulla funktiolla iteraatio yksinkertaistuu muotoon 
:<math> y_{n+1} = y_n + 2 \cdot \frac{ x - \exp ( y_n ) }{ x + \exp ( y_n ) } \,</math>
joka [[kuutiollinen suppeneminen|suppenee kuutiollisesti]] kohti arvoa ln(''x'').

Toinen keino erittäin suuren tarkkuuden saamiseksi on kaava<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = T. Sasaski, Y. Kanada | Otsikko=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) | Julkaisu=Journal of Information Processing | Vuosikerta = 5| Numero=4 |Sivut=247–250 |Vuosi=1982 | www=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332}}</ref>
<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = Timm Ahrend | Julkaisu = Lecture notes in computer science | Otsikko = Stacs 99, Fast Computations of the Exponential Function | Vuosi = 1999 | Sivut = 302–312 | ISBN = 978-3540-65691-3}}</ref> 

:<math>\ln x \approx \frac{\pi}{2 M(1,4/s)} - m \ln 2,</math>

missä ''M'' tarkoittaa lukujen 1 ja 4/s [[aritmeettis-geometrinen keskiarvo|aritmeettis-geometrista keskiarvoa]] ja

:<math>s = x \,2^m > 2^{p/2},</math>

missä ''m'' valitaan niin, että saavutetaan ''p'' bitin tarkkuus. Useimpiin tarkoituksiin riittää arvo m = 8. Itse asiassa tämän tuloksen avulla voidaan Newtonin menetelmää käyttää eksponenttifunktion arvojen tehokkaaseen laskentaan. Vakiot ln 2 ja [[pii (vakio)|π]] on laskettava ennalta halutulla tarkkuudella käyttämällä jotakin niille kehitetyistä nopeasti suppenevista sarjoista.

==Ketjumurtolukuesitys==
Vaikka luonnolliselle logaritmille ei ole yksinkertaista [[ketjumurtoluku]]esitystä, se voidaan muodostaa useammallakin tavalla [[yleistetty ketjumurtoluku|yleistettynä ketjumurtolukuna]], esimerkiksi:

:<math>
\ln (1+x)=\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots=
\cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}
</math>

:<math>
\ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}}
= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}
</math>

Nämä ketjumurtoluvut, varsinkin jälkimmäinen, suppenevat nopeasti lähellä 1:tä olevilla arvoilla. Paljon suurempienkien lukujen luonnolliset logaritmit voidaan helposti saada laskemalla yhteen pienempien lukujen logaritmeja, joiden ketjumurtolukuesitykset suppenevat nopeasti.

Esimerkiksi, koska 2 = 1x25<sup>3</sup> &middot; 1,024, voidaan luvun 2 luonnollinen logaritmi laskea seuraavasti:
:<math>
\ln 2 = 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right)
= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}.
</math>

Vastaavasti koska 10 = 1,25<sup>10</sup> &middot; 1,024<sup>3</sup>, voidaan myös luvun 10 luonnollinen logaritmi laskea samaan tapaan:
:<math>
\ln 10 = 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right)
= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}.
</math>

==Kompleksinen logaritmi==

Eksponenttifunktio voidaan laajentaa [[kompleksiluku]]jen joukkoon niin, että jokaiselle kompleksiluvuille ''z'' saadaan funktion arvo ''e''<sup>''z''</sup> samalla Taylorin sarjalla kuin reaaliluvuillekin. Tämän laajennetun funktion käänteisfunktiona voidaan kompleksiluvuille määritellä myös luonnollinen logaritmi, jolla pätevät useimmat reaalisen luonnollisen logaritmin ominaisuudet. Kaksi seikkaa aiheuttaa kuitenkin vaikeuksia: ensinnäkään millekään luvulle ''z'' ei ole ''e''<sup>''z''</sup> = 0, ja toiseksi osoittauutuu, että ''e''<sup>2''πi''</sup> = 1 = ''e''<sup>0</sup>. Koska kertolaskuominaisuus kuitenkin toimii kompleksisellakin eksponenttifunktiolla, on
:''e''<sup>''z''</sup> = ''e''<sup>''z''+2''n&pi;i''</sup> 
kaikilla kompleksiluvuilla ''z'' ja kokonaisluvuilla ''n''.

Näin ollen logaritmia ei voida määritellä koko [[kompleksitaso]]ssa, ja määrittelyjoukossaankin sen on moniarvoinen: jokaiseen kompleksiluvun logaritmi voidaan muuntaa toiseksi saman kompleksiluvun logaritmiksi lisäämällä siihen mielivaltainen 2&pi;''i'':n monikerta. Esimerkiksi  ln ''i'' = 1/2 &pi;''i'', 5/2 &pi;''i'' tai −3/2 &pi;''i'' jne, ja vaikka ''i''<sup>4</sup> = 1, voidaan määritellä, että 4 log ''i'' on 2&pi;''i'', 10&pi;''i'' tai −6&pi;''i'' ja niin edelleen. Kompleksinen logaritmi voidaan kuitenkin määritellä yksiarvoisena jatkuvana funktiona jokaisessa sellaisessa kompleksitason [[yhdesti yhtenäinen alue|yhdesti yhtenäisessä]] alueessa, johon origo ei sisälly. Tällöin valitaan alueesta jokin piste ja jokin kyseistä pistettä vastaavan luonnollisen logaritmifunktion arvoista funktion arvoksi. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi sellainen yksiarvoinen [[jatkuvuus|jatkuva]] funktio, jonka arvo kaikissa kyseisen alueen pisteissä on jokin pistettä vastaavan kompleksiluvun luonnollisen logaritmin arvoista. <ref name=Lehto>{{kirjaviite | Tekijä = Olli Lehto | Nimeke = Funktioteoria I–II | Sivu = 40 | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1980 | Tunniste = | Isbn = 951-745-077-X}}</ref> Tämä funktio on myös [[analyyttinen funktio|analyyttinen]] kyseisessä alueessa.<ref name=Lehto />

Kompleksitason yhdesti yhtenäisiä alueita, joissa luonnollinen logaritmi voidaan tällä tavoin yksikäsitteisesti määritellä, ovat esimerkiksi sellaiset [[kiekko (matematiikka)|kiekot]], joihin origo ei sisälly, sekä myös alueet, jotka saadaan poistamalla tasosta ainoastaan jokin origosta alkava puolisuora, joka tällöin ei sisälly alueeseen. Usein tällaiseksi puolisuoraksi valitaan negatiivinen reaaliakseli, jolloin jäljelle jäävän alueen jokaisen luvun luonnollisella logaritmilla on sellainen arvo, jonka imaginääriosa ''y'' on välillä <math>-\pi < y < \pi</math>. Tätä sanotaan logaritmin ''päähaaraksi'', ja sille käytetään merkintää Log ''z''.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Heikki Apiola | Nimeke = Kompleksiluvut ja -funktiot | Julkaisija = Teknillinen korkeakoulu | Vuosi = 2004 | Sivu = xvii | Luku = Logaritmi ja yleinen potenssi | www = http://math.aalto.fi/opetus/k3/04/L/CApruju.pdf}}</ref>


<gallery mode="packed" caption="Luonnollisen logaritmin päähaaran graafisia esityksiä kompleksitasossa">
Image:Natural Logarithm Re.svg| ''z'' = Re(ln(x+iy))
Image:Natural Logarithm Im Abs.svg| ''z'' = <math>\textstyle \left\vert \operatorname{Im}(\ln(z)) \right\vert</math>
Image:Natural Logarithm Abs.svg| ''z'' = <math>\textstyle \left\vert \ln(z) \right\vert</math>
Image:Natural Logarithm All.svg| Kolmen edellistä kuvaajaa yhdistettyinä
</gallery>

== Lähteet ==
{{viitteet}}

==Kirjallisuutta==
* {{Kirjaviite | Tekijä=Rikkonen, Harri | Nimeke=Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku | Julkaisija=Otakustantamo | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=1969 | Tunniste = | Isbn = 951-671-022-0}}
* {{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf  |  Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. {{ISBN|978-952-7010-12-9}} {{ISBN|978-952-7010-13-6}} (pdf) | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf}}

== Aiheesta muualla ==
* [http://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/ Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained]

[[Luokka:Analyysi]]
[[Luokka:Funktiot]]