Lähdekoodi sivulle Logaritminen spiraali

[[Tiedosto:Logarithmic Spiral Pylab.svg|260px|thumb|right|Logaritminen spiraali (vakiokulma 10°)]]
[[Tiedosto:Nautilus Cutaway with Logarithmic Spiral.png|200px|thumb|[[Nautilus]]-helmiveneen kuoren poikkileikkaus, joka on suunnilleen logaritmisen spiraalin muotoinen. Sinisellä merkityn logaritmisen spiraalin kasvuparametri on b = 0,1759.]]
[[Tiedosto:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|200px|thumb|Romanesco -[[parsakaali]]n kukinto, joka kasvaa logaritmisena spiraalina]]
[[Tiedosto:Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg|thumb|200px|[[Mandelbrotin joukko|Mandelbrotin joukon]] osa, joka seuraa logaritmista spiraalia.]]
[[Tiedosto:Low pressure system over Iceland.jpg|thumb|200px|Islannin ympärillä oleva [[sykloni]], jossa pilvet muodostavat likipitäen logaritmisia spiraaleja.]]
[[Tiedosto:Messier51 sRGB.jpg|thumb|200px|[[Kierteisgalaksi]]n haarat ovat usein logaritmisen spiraalin muotoisia. Kuvassa [[Pyörregalaksi]] Messier 51.]]
[[Tiedosto:Polygon spiral.svg|thumb|200px|Monikulmiospiraali]]

'''Logaritminen spiraali''' eli '''tasakulmainen spiraali'''<ref name=Bellos>{{kirjaviite | Tekijä = Alex Bellos | Nimeke = Kiehtova matematiikka, Seikkailu numeroiden ihmemaassa | Luku = 8. luku, Kultasormi | Sivut = 293-295 | Suomentaja = Eero Sarkkinen |Julkaisupaikka= Helsinki |Julkaisija= WSOY | Vuosi = 2011 | Isbn = 978-951-0-37676-8}}</ref> on [[itsesimilaarinen]] [[spiraali]]mainen [[käyrä]], joka esiintyy usein luonnossa. Sen kuvasi ensimmäisenä [[René Descartes|Descartes]], ja sen ominaisuuksia tutki myöhemmin tarkemmin [[Jakob Bernoulli]], joka antoi sille nimen ''Spira mirabilis'' ’ihmeellinen spiraali’.

==Käyrän yhtälö ==
[[Napakoordinaatisto]]ssa (<math>(r, \theta)</math>) logaritmisen spiraalin yhtälö on

:<math>r = ae^{b\theta}\,</math>

tai

:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),</math>

missä ''e'' on [[Neperin luku]], ja ''a'' ja ''b'' ovat vakiona pysyviä positiivisia [[reaaliluku]]ja.

[[Karteesinen koordinaatisto|Karteesisessa koordinaatistossa]] käyrä voidaan esittää parametrimuodossa:

:<math>x(t) = r(t) \cos(t) = ae^{bt} \cos(t)\,</math>
:<math>y(t) = r(t) \sin(t) = ae^{bt} \sin(t)\,</math>

missä <math>a</math> ja <math>b</math> ovat reaalisia vakioita.

Logaritmisella spiraalilla on se huomattava ominaisuus, että sen jokaisessa pisteessä käyrän [[Tangentti (geometria)|tangentin]] muodostaa yhtä suuren kulman spiraalin keskuksesta eli ''navasta''<ref name=Bellos /> alkavan puolisuoran kanssa. Tämän vakiokulman ''f'' ja käyrän yhtälössä esiintyvän vakion ''b'' välillä on yhteys:
:<math>b = cot{\phi}</math> eli
:<math>\arctan \frac{1}{b} = \phi.</math>

[[Differentiaaligeometria]]n käsittein tämä yhteys voidaan ilmaista seuraavasti:

:<math>\arccos \frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \arctan \frac{1}{b} = \phi.</math>

missä ''r'' ja <math>\theta</math> ovat käyrän mielivaltaisen pisteen napakoordinaatit.

Lausekkeen <math>\mathbf{r}(\theta)</math> [[derivaatta]] on verrannollinen parametriin <math>b</math>. Toisin sanoen se ilmoittaa, kuinka "tiheästi" ja kumpaan suuntaan spiraali kiertyy. Rajatapauksessa, kun <math>b = 0</math> (<math>\textstyle\phi = \frac{\pi}{2}</math>), spiraalista tulee <math>a</math>-säteinen [[ympyrä]]. Toisaalta kun <math>b</math>:n annetaan kasvaa rajattomasti (''f'' -> 0), spiraali lähestyy puolisuoraa. Kulman ''f'' [[komplementtikulma]]a sanotaan spiraalin ''kaltevuuskulmaksi''{{lähde}} ({{k-en|pitch}}).<!--Onko tämä termi suomen kielessä käytössä tässä yhteydessä? En löytänyt mistään matematiikkaa käsittelevästä kirjasta suomenkielistä vastinetta. Mutta englantilais-suomalaisen sanakirjan mukaan sanalla ''pitch'' kyllä on myös merkitys ''kaltevuuskulma'', ja tässä yhteydessä tämä on merkitykseltään ainakin lähellä suoran tai tason kaltevuuskulmaa.-->

==''Spira mirabilis'' ja Jacob Bernoulli==
Logaritmisesta spiraalista käytetään myös [[latina]]laista nimeä ''Spira mirabilis'', "ihmeellinen spiraali". Vaikka muut matemaatikot olivat tutkineet sitä jo aikaisemmin, tämän nimen käyrälle antoi [[Jacob Bernoulli]],<ref name=Bellos /> koska häntä kiehtoivat sen ainutlaatuiset matemaattiset ominaisuudet: jokaisella kierroksella keskuksen ympäri spiraalin koko kasvaa, mutta sen muoto pysyy samana. Tätä ominaisuutta sanotaan [[itsesimilaarinen|itsesimilaarisuudeksi]]. Mahdollisesti juuri tämän ainutlaatuisen ominaisuutensa vuoksi ''spira mirabilis'' esiintyy monessa yhteydessä elollisessa luonnossa, esimerkiksi [[nautilus]]-helmiveneiden kuorissa ja [[auringonkukka|auringonkukan]] [[mykerö]]ssä. Jacob Bernoulli ilmoitti toivomuksenaan, että hänen [[hautakivi|hautakiveensä]] kaiverrettaisiin logaritminen spiraali ja lause ''[[Eadem mutata resurgo]]'' ("Nousen jälleen muuttuneena ja silti ennallani"), mutta väärinkäsityksen vuoksi siihen kaiverrettiinkin [[Arkhimedeen spiraali]].<ref name=Bellos />

== Ominaisuudet ==

Logaritminen spiraali eroaa [[Arkhimedeen spiraali]]sta siinä, että käyrän ja sen keskuksesta lähtevän puolisuoran leikkauspisteiden väliset etäisyydet kasvavat keskuksesta etäännyttäessä [[geometrinen sarja|geometrisen sarjan]] mukaan, kun taas Arkhimedeen spiraalissa tämä etäisyys on vakio. Jos sitä [[homotetia|skaalataan]] origo skaalauskeskuksena tekijällä <math>e^{2 \pi b}</math>, missä ''b'' on kokonaisluku, se kuvautuu itselleen; jos skaalaustekijä on jokin muu, saadaan sama käyrä, joka saataisiin myös [[rotaatio (geometria)|kiertämällä]] sitä origon ympäri jonkin kulman verran. Logaritminen spiraali on myös yhtenevä [[involuutta|involuuttansa]], [[evoluutta|evoluuttansa]] ja keskuksensa suhteen muodostetun [[pedaalikäyrä]]nsä<!--onko oikea suomennos? --> kanssa.

Lähtemällä pisteestä <math>p</math> ja etenemällä spiraalia pitkin sisäänpäin sen keskus voidaan kiertää rajattoman monta kertaa ilman, että sitä koskaan saavutaan. Kuitenkin tämän käyrän osan pituus on äärellinen, tai tarkemmin sanottuna sen pituuden [[raja-arvo]], kun <math>\theta -> -\infty</math>, on äärellinen. Tämän totesi ensimmäisenä [[Evangelista Torricelli]] jo ennen kuin [[differentiaali- ja integraalilaskenta]] keksittiin.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Carl Benjamin Boyer | Nimeke = The history of the calculus and its conceptual development | Sivu = 133 | Julkaisija = Courier Dover Publications | Vuosi = 1949 | Tunniste = | Isbn = 978-0-486-60509-8 | www = http://books.google.com/books?id=KLQSHUW8FnUC&pg=PA133}}</ref> Tarkemmin sanottuna spiraalin tämän osan pituus on <math>\textstyle\frac{r}{\cos(\phi)}</math>, missä <math>r</math> on pisteen <math>P</math> etäisyys origosta suoraa pitkin mitattuna.

[[Kompleksitaso]]ssa [[eksponenttifunktio]] kuvaa kaikki suorat, jotka eivät ole reaali- eivätkä imaginaariakselin suuntaisia, logaritmisille spiraaleille, joiden keskus on origossa. Kääntäen jokainen tällainen logaritminen spiraali saadaan jonkin suoran kuvaksi eksponenttifunktiolla. Kuvana saatavan spiraalin kaltevuuskulma on alkuperäisen suoran ja imaginaariakselin välinen kulma.

Funktio <math>x \mapsto x^k</math>, missä <math>k</math> on [[kompleksiluku]], jonka imaginaariosa ei ole nolla, kuvaa kompleksitason realiakselin logaritmiselle spiraalille.

[[Kultainen spiraali]] on logaritminen spiraali, jonka pisteiden etäisyys kasvaa [[kultainen leikkaus|kultaisen leikkauksen]] suhteessa kierrettäessä origon ympäri 90 astetta. Sen kaltevuuskulma on noin 13,03239 astetta. Sitä voidaan approksimoida "Fibonaccin spiraalilla", joka muodostuu sarjasta ympyrän kehän neljänneksiä, joiden säteet ovat verrannollisia [[Fibonaccin lukujono]]n lukuihin.

== Logaritminen spiraali luonnossa ==

Useissa luonnonilmiöissä esiintyy käyriä, jotka ovat ainakin likipitäen logaritmisen spiraalin muotoisia. Esimerkiksi [[muuttohaukka]] lähestyy saalistaan logaritmista spiraalia myöten. Se näkee tarkimmin suuntaan, joka muodostaa tietyn suuruisen kulman sen lentosuuntaan nähden; kun se pitää lentosuuntansa ja saaliin suunnan välisen kulman vakinaisesti tämän suuntaisena, lentoreitiksi muodostuu logaritminen spiraali, jonka kaltevuuskulma on kyseisen kulman suuruinen.<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = Gilbert J. Chin | Otsikko = Organismal Biology: Flying Along a Logarithmic Spiral | Julkaisu = Science | Numero = 290 | Issue = 5498 | Sivu = 1857 | Vuosi = 2000 | www = http://www.sciencemag.org/content/290/5498/1857.3.short |doi=10.1126/science.290.5498.1857c}}</ref><ref name=Bellos />

Hyönteiset lähestyvät usein keinotekoisia valonlähdeitä logaritmisen spiraalin muotoista reittiä pitkin. Luonnossa ne suunnistautuvat siten, että lentosuunnan ja valonlähteen suunnan välinen kulma pysyy vakiona. Luonnossahan yleensä ainoa valon lähde on aurinko tai yöllä lentävien lajien tapauksessa kuu. Molemmat ovat niin kaukana, että hyönteisen lentäessä suoraan valonlähteen suunnan ja hyönteisen lentosuunnan välinen kulma pysyy käytännössä vakiona. Kun keinotekoiset valonlähteet kuitenkin ovat paljon lähempänä, ne voivat harhauttaa hyönteisen kiertämään niitä spiraalimaista reittiä myöten.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = John Himmelman | Nimeke = Discovering Moths: Nighttime Jewels in Your Own Backyard | Sivu = 63 | Julkaisija = Down East Enterprise Inc | 5 = Vuosi 2002 | Tunniste = | Isbn = 978-0-89272-528-1 | www = http://books.google.com/books?id=iGn6ohfKhbAC&pg=PA63 }}{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}</ref>

Lähellä logaritmista spiraalia ovat muodoltaan myös:
*[[Kierteisgalaksi]]en kierrehaarat.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = G. Bertin, C. C. Lin | Nimeke = Spiral structure in galaxies: a density wave theory | Sivu = 78 | Julkaisija = MIT Press | Vuosi = 1996 | Tunniste = | Isbn = 978-0-262-02396-2 | www = http://books.google.com/books?id=06yfwrdpTk4C&pg=PA78}}</ref> Omalla galaksillamme, [[Linnunrata|Linnunradan]] galaksilla, tällaisia kierrehaaroja on useita, ja niiden kaltevuuskulmat ovat noin 12 astetta.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = David J. Darling | Nimeke = The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes | Sivu = 188 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Vuosi = 2004 |Isbn = 978-0-471-27047-8 | www = http://books.google.com/books?id=nnpChqstvg0C&pg=PA188}}</ref>
*[[Sarveiskalvo]]n hermot<ref name="Yu">{{lehtiviite | Kirjoittaja = C. Q. Yu CQ and M. I. Rosenblatt | Otsikko = Transgenic corneal neurofluorescence in mice: a new model for in vivo investigation of nerve structure and regeneration | Julkaisu = Invest Ophthalmol Vis Sci. | Ajankohta = huhtikuu 2007 | Numero = 48(4) | Sivut = 1535-42}}</ref>
*[[Trooppinen hirmumyrsky|Trooppisiin hirmumyrskyihin]] liittyvät sadealueet<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Andrew Gray | Nimeke = Treatise on physics, vol. 1 | Sivu = 356–357 | Julkaisija = Churchill | Vuosi = 2901 | www = http://books.google.com/books?id=ArELAAAAYAAJ&pg=PA357}}</ref>
*Monet biologiset rakenteet, kuten [[nilviäiset|nilviäisten]] kuoret.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Michael Cortie, István Hargittai, Clifford A. Pickover | Nimeke = The form, function, and synthesis of the molluscan shell | Sivu = 370 | Julkaisija = World Scientific | Vuosi = 1992 | www =http://books.google.com/books?id=Ga8aoiIUx1gC&pg=PA370}}</ref> Syynä lienee, että ne rakentuvat yhdenmuotoisten osien laajetessa samaan tapaan kuin [[monikulmio]]t oheisessa kuviossa.
*Rantaviiva hiekkarannoilla saattaa meren aaltojen heijastumisen ja [[diffraktio]]n vaikutuksesta vähitellen muotoutua suunnilleen logaritmisen spiraalin kaaren muotoiseksi. Niin on tapahtunut esimerkiksi [[Half Moon Bay]]n rannalla [[Kalifornia]]ssa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Anton Micallef | Nimeke = Beach management: principles and practice | Sivu = 14 | Julkaisija = Earthscan | Vuosi = 2009 |Isbn = 978-1-84407-435-8 | www = http://books.google.com/books?id=z_vKEMeJXKYC&pg=PA14}}</ref>

== Katso myös ==
* [[Arkhimedeen spiraali]]
* [[Epispiraali]]
* [[Kultainen spiraali]]

== Lähteet ==
* {{verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html | Nimeke = Logarithmic Spiral | Julkaisija = Wolfram MathWorld | Viitattu = 4.3.2015}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/related%20curves/related%20curves.html | Nimeke = Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves | Juklkaisija = University of Georgia | Ajankohta = 1999 | Viitattu = 4.3.2015 | arkisto = https://web.archive.org/web/20210501125348/http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/related%20curves/related%20curves.html | arkistoitu = 1.5.2021 }}
* {{verkkoviite |Tekijä= Alexander Bogomolny |  Osoite = http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Mirabilis.shtml | Nimeke = Spira Mirabilis - Wonderful Spiral | Viitattu = 4.3.2015}}

=== Viitteet ===
{{viitteet}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat-rivi}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden%20spiral/logspiral-history.html | Nimeke = Spira mirabilis (historiaa ja matematiikkaa) | viitattu = 4.3.2015 | arkisto = https://web.archive.org/web/20070715203210/http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden%20spiral/logspiral-history.html | arkistoitu = 15.7.2007 }}
* {{verkkoviite | Osoite = http://apod.nasa.gov/apod/ap030925.html | Nimeke = Astronomy Picture of the Day | Selite = hurrikaani Isabel vs. Pyörregalaksipool Galaxy | Ajankohta = 23.9.2005}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://apod.nasa.gov/apod/ap080517.html | Nimeke = Astronomy Picture of the Day | Selite = taifuuni Rammasun (2008)|Typhoon Rammasun vs. [[Tuulimyllygalaksi]]}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://SpiralZoom.com/ | Nimeke = SpiralZoom.com | Selite = Opetustarkoituksiin laadittu sivusto spiraaleista luonnossa ja myyttisessä mielikuvituksessa}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Logarithmic_spiral | Nimeke = Spira Mirabilis | Selite = JSXGraphin avulla tehty JavaSript-ohjelma, jolla voidaan piirtää logaritminen spiraali}}

{{käännös|:en:Logarithmic spiral}}
[[Luokka:Spiraalit]]