Lähdekoodi sivulle Log-normaalijakauma

{{Todennäköisyysjakauma
  | name       = Log-normaalijakauma
  | type       = density
  | pdf_image  = [[Tiedosto:PDF-log normal distributions.svg|350px|<small>Logaritminormaalijakauman tiheysfunktiota parametrien eri arvoilla</small>]]
  | cdf_image  = [[Tiedosto:CDF-log normal distributions.svg|350px|<small>Logaritminormaalijakauman kertymäfunktioita parametrin &sigma; eri arvoilla, kun &mu;=0</small>]]
  | notation   = <math>\text{Lognormal}(\mu,\,\sigma^2)</math>
  | parameters = {{nowrap|''μ'' ∈ '''R'''}}<br />{{nowrap|''σ''<sup>2</sup> > 0}}
  | support    = ''x'' ∈ '''R'''
  | pdf       = <math>\frac 1 {x\sigma\sqrt{2\pi}}\ \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)</math>
  | cdf       = <math>\frac12 + \frac12\operatorname{erf}\Big[\frac{\ln x-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\Big]</math>
  | mean      = <math>\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)</math>
  | median    = <math>\exp(\mu)</math>
  | mode      = <math>\exp(\mu-\sigma^2)</math>
  | variance  = <math>[\exp(\sigma^2)-1] \exp(2\mu+\sigma^2)</math>
  | skewness  = <math>(\exp(\sigma^2)+2) \sqrt{\exp(\sigma^2)-1}</math>
  | kurtosis  = <math>\exp(4\sigma^2) + 2\exp(3\sigma^2) + 3\exp(2\sigma^2) -6</math>
  | entropy   = <math>\log_2(\sigma e^{\mu+\tfrac12} \sqrt{2\pi} )</math>
  | mgf       = määritelty vain luvuille, joilla on ei-positiivinen reaaliosa
  | char      = esitys <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math> hajaantuu asymptoottisesti, mutta sopii numeeristen likiarvojen laskentaan
  | fisher    = <math>\begin{pmatrix}1/\sigma^2&0\\0&1/2\sigma^4\end{pmatrix}</math>
  | moments = <math> \mu = \log \left(\frac{\operatorname{E}[X]^2}{\sqrt{\operatorname{Var}[X] + \operatorname{E}[X]^2}} \right) </math>, <br />  <math> \sigma^2 = \log\left(\frac{\operatorname{Var}[X]}{\operatorname{E}[X]^2} + 1 \right) </math>
}}
'''Log-normaalijakauma'''<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Pentti Laininen | Nimeke = Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen | Sivu = 96 | Luku = Tärkeitä jatkuvia jakaumismalleja | Julkaisija = Otatieto | Vuosi = 2001 | Tunniste = | Isbn = 951-672312-8}}</ref> eli '''logaritminormaalijakauma'''<ref name=TuomNorl>{{kirjaviite | Tekijä = Pekka Tuominen, Pekka Norlamo |Nimeke = Todennäköisyyslaskenta, osa 2 | Sivu = 323 | Luku = Satunnaismuuttujien yleistä teoriaa | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1978 | Tunniste = | Isbn = 951-745-023-0}}</ref> on [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]] sellaisen jatkuvan [[satunnaismuuttuja]]n jakauma, jonka [[logaritmi]] on [[normaalijakauma|normaalisti jakautunut]]. Toisin sanoen, jos satunnaismuuttuja <math>X</math> on log-normaalisti jakautunut, niin <math> Y = \ln{X}</math> on normaalisti jakautunut, ja jos <math>X</math> on normaalisti jakautunut, niin <math>Y = e^{X}</math> on log-normaalisti jakautunut.<ref name=TuomNorl /> Log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja voi saada vain positiivisia reaalilukuarvoja. Jakauma on käyttökelpoinen malli monille fysikaalisille, teknisille, taloustieteellisille ja muilla aloilla esiintyville muuttujille.

Jakaumaa nimitetään toisinaan myös '''Galtonin jakaumaksi''' [[Francis Galton]]in mukaan.<ref name=JKB>{{kirjaviite | Tekijä = Norman L. Johnson, Samuel Kotz, N. Balakrishnan | Nimeke = Continuous univariate distributions. Vol. 1 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Julkaisupaikka = New York | Selite = 2. painos | Kirjasarja = Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics | mr = 1299979 | Luku = Lognormal Distributions | Vuosi = 1994 | Tunniste = | Isbn = 978-0-471-58495-7}}</ref> Muita siihen toisinaan yhdistettyjä nimiä ovat McAlister, [[Gibratin laki|Gibrat]] ja [[Cobb-Douglas]].<ref name=JKB/>

Todennäköisyyslaskennan [[keskeinen raja-arvolause|keskeisen raja-arvolauseen]] mukaan monen riippumattoman satunnaismuuttujan ''summa'' noudattaa sitä tarkemmin normaalijakaumaa, mitä enemmän näitä satunnaismuuttujia on. Samaan tapaan tarpeeksi monen toisistaan riippumattoman satunnaismuuttujan ''tulolla'' on taipumus  noudattaa log-normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on.<ref name=Wolfram>{{verkkoviite | Osoite = https://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html | Nimeke = Log Normal Distribution | Julkaisija = Eric W. Weisstein | Sivusto = Wolfram MathWorld | Viitattu = 4.9.2020}}</ref> Log-normaalijakaumalla on myös suurin [[entropia]] niistä jakaumista, joilla on tietty [[odotusarvo]] ja [[varianssi]].<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Sung Y. Park, Anil K. Bera | Nimeke = Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model | Julkaisu = Journal of Econometrics | Vuosi = 2009 | Vuosikerta = 150 | Numero = 2 | Sivut = 219–230 | 8 =  | citeseerx = 10.1.1.511.9750 | Doi = 10.1016/j.jeconom.2008.12.014 | www = http://www.wise.xmu.edu.cn/Master/Download/..%5C..%5CUploadFiles%5Cpaper-masterdownload%5C2009519932327055475115776.pdf }} {{Wayback|1=http://www.wise.xmu.edu.cn/Master/Download/..%5C..%5CUploadFiles%5Cpaper-masterdownload%5C2009519932327055475115776.pdf |päiväys=20160307144515 }}</ref>

==Määritelmä ==

=== Jakauman muodostaminen ja parametrit ===

Olkoon <math>Z</math> [[standardinormaalijakauma]]a noudattava satunnaismuuttuja, ja olkoot <math>\mu</math> ja <math>\sigma>0</math> kaksi reaalilukua. Silloin satunnaismuuttujan 

:<math> X=e^{\mu+\sigma Z} </math>

jakaumaa sanotaan log-normaalijakaumaksi parametrein <math>\mu</math> and <math>\sigma</math>. Nämä parametrit ovat tällöin jakauman [[luonnollinen logaritmi|luonnollisen logaritmin]] [[odotusarvo]] ja [[keskihajonta]], mutta eivät itse jakauman <math>X</math> odotusarvo ja varianssi. 
[[Tiedosto:Lognormal Distribution.svg|thumb|upright=1.5|Normaalijakauman ja logaritminormaalijakauman välinen yhteys. Jos <math>Y=\mu+\sigma Z</math> on normaalisti jakautunut, on <math>X\sim e^{Y}</math> logaritminormaalisti jakautunut.]]

Tämä yhteys pätee logaritmi- tai [[eksponenttifunktio]]n kantaluvusta riippumatta. Jos <math>\log_a(X)</math> on normaalisti jakautunut, samoin on myös <math>\log_b(X)</math>, olivatpa <math>a</math> ja <math>b</math> mitkä tahansa positiiviset luvut (<math>\neq q</math>. Samoin jos <math>e^Y</math> on log-normaalisti jakautunut, samoin on satunnaismuuttujan <math>a^Y</math> laita, kun <math>0 < a \neq 1</math>.

Sellaisen jakauman muodostamiseksi, jolla on haluttu odotusarvo <math>\mu_X</math> ja varianssi <math>\sigma_X^2</math>, on valittava
<math>\mu = \log\left(\frac{\mu_X^2}{\sqrt{\mu_X^2+\sigma_X^2}}\right) </math> ja 
<math>\sigma^2 = \log\left(1+\frac{\sigma_X^2}{\mu_X^2}\right) </math> 

Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää "multiplikatiivisia" eli "geometrisia" parametreja <math>\mu^*=e^\mu</math> ja <math>\sigma^*=e^\sigma</math>.  Niillä on suorempi tulkinta: <math>\mu^*</math> on jakauman [[mediaani]], ja <math>\sigma^*</math> liittyy jakauman leviämiseen jäljempänä selitettävällä tavalla.

=== Tiheysfunktio ===

Positiivinen satunnaismuuttuja ''X'' on log-normaalisti jakautunut, jos ''X'':n logaritmi on normaalisti jakautunut, jolloin 
:<math> \ln(X) \sim \mathcal N(\mu,\sigma^2).</math>

Olkoon <math>\Phi</math> normaalijakauman ''N''(0,1) [[kertymäfunktio]] ja <math>\varphi</math> sen [[tiheysfunktio]]. Tällöin saadaan:<ref name=TuomNorl />

: <math>
\begin{align}
f_X(x) & = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \text{P}(X \le x) = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \text{P}(\ln X \le \ln x) 
 = \frac {\rm d}{{\rm d}x} \Phi\left( \frac{\ln x -\mu} \sigma \right) \\[6pt]
& = \varphi\left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) \frac {\rm d}{{\rm d}x} \left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) 
 = \varphi\left( \frac{\ln x - \mu} \sigma \right) \frac 1 {\sigma x} \\[6pt]
& = \frac{1}{x} \cdot \frac 1 {\sigma\sqrt{2\pi\,}} \exp\left( -\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right).
\end{align}
</math>,

missä esimerkiksi <math>\text{P}(X \le x)</math> tarkoittaa todennäköisyyttä sille, että satunnaismuuttujan ''X'' arvo on pienempi kuin ''x''.

=== Kertymäfunktio ===
Log-normaalijakauman [[kertymäfunktio]] on 

: <math> F_X(x) = \Phi\left( \frac{(\ln x) - \mu} \sigma \right) </math>

missä <math>\Phi</math> on normeeratun [[normaalijakauma]]n ''N''(0,1) kertymäfunktio.

[[Virhefunktio]]n <math>\operatorname{erfc}\left(x\right)</math> avulla kertymäfunktio voidaan esittää muodossa:<ref name=Wolfram />

:<math>
\frac12 \left[ 1 + \operatorname{erf} \left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right) \right] = \frac12 \operatorname{erfc} \left(-\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)
</math>

missä erfc on ''komplementaarinen virhefunktio'' erfc(''x'') = 1 - erf(''x'').

=== Useamman muuttujan lognormaalijakauma ===
Jos<math>\boldsymbol X \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\,\boldsymbol\Sigma)</math> on useamman muuttujan normaalijakauma, niin funktio <math>\boldsymbol Y=\exp(\boldsymbol X)</math> noudattaa useamman muuttujan logaritmista normaalijakaumaa.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://isi.cbs.nl/iamamember/CD2/pdf/329.PDF | Nimeke = Multivariate Log-Normal Distribution | Tekijä = Ghasem Tarmast, Statistics Department, 
Faculty of Mathematical Science and Computer, Shahid Chamran University | Ajankohta = 2001 | Tiedostomuoto = PDF | Viitattu = 4.9.2020 | arkisto = https://web.archive.org/web/20130719214220/http://isi.cbs.nl/iamamember/CD2/pdf/329.PDF | arkistoitu = 19.7.2013 }}</ref><ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.casact.org/pubs/forum/15spforum/Halliwell.pdf | Nimeke = The Lognormal Random Multivariate | Tekijä = Leigh J. Halliwell | Ajankohta = 2015 |Viitattu = 4.9.2020}}</ref>, jonka odotusarvo on 

:<math>\operatorname{E}[\boldsymbol Y]_i=e^{\mu_i+\frac{1}{2}\Sigma_{ii}} ,</math>

ja [[kovarianssimatriisi]]

:<math>\operatorname{Var}[\boldsymbol Y]_{ij}=e^{\mu_i+\mu_j + \frac{1}{2}(\Sigma_{ii}+\Sigma_{jj}) }( e^{\Sigma_{ij}} - 1) . </math>

Useamman muuttujan logaritminormaalijakauma ei kuitenkaan ole kovin yleisessä käytössä, minkä vuoksi jäljempänä rajoitutaan käsittelemään yhden muuttujan jakaumaa.

=== Karakteristinen funktio ja momentit generoiva funktio ===

Logaritmisella normaalijakaumalla on kaikki momentit, ja 

:<math>\operatorname{E}[X^n]= e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math>

Tämä voidaan johtaa sijoittamalla integraaliin <math>z=\frac{\ln(x) - (\mu+n\sigma^2)}{\sigma}</math>.  Kuitenkaan odotusarvo <math>\operatorname{E}[e^{t X}]</math> ei ole määritelty millään argumentin <math>t</math> positiivisella arvolla, koska sen määrittelevä integraali hajaantuu. Sen vuoksi logaritmisella normaalijakaumalla ei myöskään ole [[momenttifunktio|momentit generoivaa funktiota]].<ref name="Heyde">{{lehtiviite | Tekijä = CC. Heyde | Otsikko = On a property of the lognormal distribution | Julkaisu = Journal of the Royal Statistical Society, Series B | Vuosikerta = 25 | Numero = 2 | Sivut = 392–393 | Vuosi=1963 |Doi=10.1007/978-1-4419-5823-5_6 | Tunniste = | Isbn = 978-1-4419-5822-8 |doi-access=free}}</ref>  Tähän liittyy se, että logaritmisen normaalijakauman momentit eivät yksikäsitteisesti määrittele jakaumaa.

[[Karakteristinen funktio]] <math>\operatorname{E}[e^{i t X}]</math> on määritelty reaaliarvoille <math>t</math>, mutta ei sellaisille kompleksiluvuille, joilla on negatiivinen imaginaariosa, minkä vuoksi karakteristinen funktio ei ole [[analyyttinen funktio|analyyttinen]] origossa. Tämän vuoksi logaritmisen normaalijakauman karakteristista funktiota ei voida esittää päättymättömänä suppenevana sarjana.<ref name="Holgate">{{lehtiviite | Tekijä = P. Holgate | Otsikko = The lognormal characteristic function | Julkaisu = Communications in Statistics – Theory and Methods | Vuosikerta = 18 | Numero = 12 | Vuosi = 1989 | Sivut = 4539–4548 | Doi = 10.1080/03610928908830173}}</ref> Erityisesti sen muodollinen [[Taylorin sarja]]

: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}</math>

hajaantuu.  Funktiolle on kuitenkin voitu muodostaa vaihtoehtoisia hajaantuvia sarjaesityksiä.<ref name=Holgate /><ref name="Barakat">{{lehtiviite |Tekijä = R. Barakat | Otsikko = Sums of independent lognormally distributed random variables | Julkaisu = Journal of the Optica Society of America | Vuosikerta = 66 | Numero = 3 | Vuosi = 1976 | Sivut = 211–216 |bibcode=1976JOSA...66..211B |Doi=10.1364/JOSA.66.000211}}</ref><ref name="Barouch">{{lehtiviite | Tekijä = E. Barouch, GM. Kaufman, ML. Glasser | Nimeke = On sums of lognormal random variables | Julkaisu = Studies in Applied Mathematics | Vuosi = 1986 | Vuosikerta = 75 | Numero = 1 | Sivut = 37–55 | Doi = 10.1002/sapm198675137 | www = http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/48703/onsumsoflognorma00baro.pdf}}</ref><ref name="Leipnik">{{lehtiviite | Tekijä = Roy B. Leipnik | Otsikko = On Lognormal Random Variables: I – The Characteristic Function | Julkaisu=Journal of the Australian Mathematical Society Series B | Vuosikerta = 32 |Numero = 3 | Ajankohta = Tammikuu 1991 | Sivut =327–347 |Doi=10.1017/S0334270000006901 | www = https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/F1563B5AD8918EF2CD51092F82EB0B73/S0334270000006901a.pdf/div-class-title-on-lognormal-random-variables-i-the-characteristic-function-div.pdf}}</ref>

Karakteristiselle funktiolle <math>\varphi(t)</math> ei tunneta suljetussa muodossa esitettävää lauseketta. Sille saadaan kuitenkin hyviä likiarvoja lausekkeesta<ref name="Asmussen">{{lehtiviite | Tekijä = S. Asmussen, J.L. Jensen, L. Rojas-Nandayapa | Otsikko = On the Laplace transform of the Lognormal distribution | Julkaisu = [ Methodology and Computing in Applied Probability | Vuosikerta = 18 | Numero = 2 | Vuosi = 2014 | Sivut = 441-458 | www = https://link.springer.com/article/10.1007/s11009-014-9430-7}}</ref>

:<math>\varphi(t)\approx\frac{\exp\left(-\frac{W^2(-it\sigma^2e^\mu) + 2W(-it\sigma^2e^\mu)}{2\sigma^2} \right)}{\sqrt{1+W(-it\sigma^2e^\mu)}}</math>

missä <math>W</math> on [[Lambertin W-funktio]]. Tämä likiarvo voidaan johtaa asymptoottisella menetelmällä, mutta se pätee likimäärin kaikilla <math>t</math>:n arvoilla, joilla <math>\varphi(t)</math> suppenee.

== Ominaisuuksia ==

===Geometriset eli multiplikatiiviset momentit ===

Logaritmisen normaalijakauman [[geometrinen keskiarvo|geometrinen]] eli multiplikatiivinen keskiarvo on <math>\operatorname{GM}[X] = e^\mu = \mu^*</math>. Se on samalla jakauman [[mediaani]]. Jakauman geometrinen eli multiplikatiivinen keskihajonta on <math>\operatorname{GSD}[X] = e^{\sigma} = \sigma^*</math>.<ref name=Kirkwood>{{lehtiviite | Tekijä = Thomas BL Kirkwood | Otsikko = Geometric means and measures of dispersion | Julkaisu = Biometrics | Vuosikerta = 35 | Numero = 4 | Vuosi = 1979 | Sivut = 908–909 | jstor=2530139}}</ref><ref>{{lehtiviite | Tekijä = E. Limpert, W. Stahel, M. Abbt | Otsikko = Lognormal distributions across the sciences: keys and clues | Julkaisu = BioScience | Vuosi = 2001 | Vuosikerta = 51 | Numero = 5 | Sivut = 341–352 | Doi=10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2}}</ref> Analogisesti aritmeettisten tilastollisten tunnuslukujen kanssa voidaan määritellä geometrinen [[varianssi]] <math>\operatorname{GVar}[X] = e^{\sigma^2}</math>, ja myös geometrista [[variaatiokerroin]]ta<ref name=Kirkwood /> <math>\operatorname{GCV}[X] = e^{\sigma} - 1</math> on ehdotettu.  Viimeksi mainitun olisi tarkoitus olla analoginen tavallisen variaatiokertoimen kanssa lognormaalin aineiston tapauksessa, mutta tällä määritelmällä ei ole sellaista teoreettista perustaa, että sen perusteella voitaisiin arvioida itse variaatiokerrointa <math>\operatorname{CV}</math>.

On huomattava, että geometrinen keskiarvo on aina pienempi kuin sen aritmeettinen keskiarvo. Tätä tosiasiaa sanotaan [[aritmeettis-geometrinen epäyhtälö|aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi]], ja se kuvastaa sitä tosiasiaa, että logaritmifunktion kuvaaja on ylöspäin kupera. Itse asiassa pätee yhteys

: <math>\operatorname{E}[X] = e^{\mu + \frac12 \sigma^2} = e^{\mu} \cdot \sqrt{e^{\sigma^2}} = \operatorname{GM}[X] \cdot \sqrt{\operatorname{GVar}[X]}.</math><ref name="Acoustic Stimuli Revisited 2016">{{lehtiviite | Tekij = Friedrich B Heil | Otsikko = Onset-Duration Matching of Acoustic Stimuli Revisited: Conventional Arithmetic vs. Proposed Geometric Measures of Accuracy and Precision | Julkaisu = Frontiers in Psychology | Sivu = 2013 | Vuosi = 2017 | Numero = 7 | Doi = 10.3389/fpsyg.2016.02013|pmid=28111557|pmc=5216879}}</ref>

Liikealalla termiä <math>e^{-\frac12\sigma^2}</math> tulkitaan toisinaan [[kuperuuskorjaus|kuperuuskorjaukseksi]]. [[Stokastinen analyysi|Stokastisen analyysin]] kannalta kyseessä on sama korjaustermi kuin geometrista [[Brownin liike]]ttä koskevassa [[Itôn lemma]]ssa. 

===Aritmeettiset momentit ===

Kun <math>n</math> on mikä tahansa reaali- tai kompleksiluku, lognormaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan <math>X</math> ''n'':s [[momentti (tilastotiede)|momentti]] on<ref name=JKB />

: <math>\operatorname{E}[X^n] = e^{n\mu + \frac12n^2\sigma^2}.</math>

Erityisesti lognormaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan <math>X</math> aritmeettinen keskiarvo, [[odotusarvo]], aritmeettinen [[varianssi]] ja aritmeettinen [[keskihajonta]] ovat: 

:<math>\begin{align}
  \operatorname{E}[X] & = e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}, \\[4pt]
  \operatorname{E}[X^2] & = e^{2\mu + 2\sigma^2}, \\[4pt]
  \operatorname{Var}[X] & = \operatorname{E}[X^2] - \operatorname{E}[X]^2 = (\operatorname{E}[X])^2(e^{\sigma^2} - 1) = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} - 1), \\[4pt]
  \operatorname{SD}[X] & = \sqrt{\operatorname{Var}[X]} = \operatorname{E}[X] \sqrt{e^{\sigma^2} - 1}
  = e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}\sqrt{e^{\sigma^2} - 1},
  \end{align}</math>.

Jakauman aritmeettinen [[variaatiokerroin]] <math>\operatorname{CV}[X]</math> määritellään sen keskihajonnan ja keskiarvon suhteena:
: <math>\frac{\operatorname{SD}[X]}{\operatorname{E}[X]}</math>.

Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa se on:
: <math>\operatorname{CV}[X] = \sqrt{e^{\sigma^2} - 1}.</math>

Tätä tulosta sanotaan joskus "geometriseksi variaatiokertoimeksi" ({{k-en|Geometric coefficient of variation}}, GCV)<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://pharmasug.org/proceedings/2011/PO/PharmaSUG-2011-PO08.pdf |Nimeke = FAQ: Issues with Efficacy Analysis of Clinical Trial Data Using SAS | Kirjoittaja: S. Sawant, N. Mohan | Sivusto = PharmaSUG2011 | Viitattu = 4.9.2020}}</ref><ref>{{lehtiviite | Tekijä = MH Schiff | Otsikko = Head-to-head, randomised, crossover study of oral versus subcutaneous methotrexate in patients with rheumatoid arthritis: drug-exposure limitations of oral methotrexate at doses >=15 mg may be overcome with subcutaneous administration| Julkaisu = Ann Rheum Dis | Vuosi = 2014 | Vuosikerta = 73 | Numero = 8 |Sivut = 1–3 | Doi = 10.1136/annrheumdis-2014-205228 | pmid = 24728329 | pmc = 4112421}}</ref>.  Aritmeettisesta keskihajonnasta poiketen se on aritmeettisesta keskiarvosta riippumaton.

Parametrien <math>\mu;</math> ja <math>\sigma;</math> arvot voidaan laskea, jos aritmeettinen keskiarvo ja varianssi tunnetaan:

: <math>\begin{align}
\mu &= \ln \left(\frac{\operatorname{E}[X]^2}{\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}}\right) = \ln \left( \frac{\operatorname{E}[X]^2}{\sqrt{\operatorname{Var}[X] + \operatorname{E}[X]^2}} \right), \\[4pt]
  \sigma^2 &=  \ln \left(\frac{\operatorname{E}[X^2]}{\operatorname{E}[X]^2}\right) =  \ln \left(1 + \frac{\operatorname{Var}[X]}{\operatorname{E}[X]^2}\right).
  \end{align}</math>

Momentit <math>E[X^n] = e^{n\mu; + \frac{1}{2} \sigma;^2}</math> eivät määritä todennäköisyysjakaumaa yksikäsitteisesti. Toisin sanoen on muitakin jakaumia, joilla on samat momentit. Itse asiassa on koko joukko jakaumia, joilla on samat momentit kuin logaritmisella normaalijakaumalla.

=== Moodi, mediaani ja kvantiilit ===
[[Tiedosto:Comparison mean median mode.svg|thumb|upright=1.25|Kahden vinoudeltaan toisistaan poikkeavan logaritmisen normaalijakauman odotusarvot, mediaanit ja moodit]]

Jakauman [[moodi]] on piste, jossa sen tiheysfunktio saa suurimman arvonsa. Erityisesti se toteuttaa yhtälön <math>(\ln f)'=0</math>, josta saadaan:

: <math>\operatorname{Mode}[X] = e^{\mu - \sigma^2}.</math>

Koska logaritmisesti muunnettu muuttuja <math>Y = \ln X</math> on normaalisti jakautunut ja koska [[kvantiili]]t säilyvät monotonisissa muutoksissa, muuttujan <math>X</math> kvantiilit ovat:

: <math>q_X(\alpha) = e^{\mu+\sigma q_\Phi(\alpha)} =\mu^* (\sigma^*)^{q_\Phi(\alpha)},</math>

missä <math>q_\Phi(\alpha)</math> on standardin normaalijakauman kvantiili.

Erityisesti logaritmisen normaalijakauman [[mediaani]] on sama kuin sen [[geometrinen keskiarvo]].<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Leslie E. Daly, Geoffrey Joseph Bourke | Otsikko = Interpretation and uses of medical statistics | Julkaisu=Journal of Epidemiology and Community Health | Vuosi = 2000 | Vuosikerta = 46 | Numero = 3 | Selite = 5th edition | Julkaisija = Wiley-Blackwell | ISBN = 978-0-632-04763-5 |Sivu=89 |Doi=10.1002/9780470696750|pmc=1059583 }}</ref>

:<math>\operatorname{Med}[X] = e^\mu = \mu^*.</math>

=== Osittainen odotusarvo ===

Satunnaismuuttujan <math>X</math> osittainen odotusarvo kynnysarvon <math>k</math> suhteen määritellään seuraavasti: 

:<math> g(k) = \int_k^\infty x f_X(x)\, dx. </math>

Vaihtoehtoisesti se voidaan kirjoittaa [[ehdollinen odotusarvo|ehdollisen odotusarvon]] avulla muotoon  <math>g(k)=\operatorname{E}[X\mid X>k] P(X>k)</math>. Logaritmisen normaalijakauman tapauksessa osittainen odotusarvo on:

:<math>g(k) = \int_k^\infty x f_X(x)\, dx  = e^{\mu+\tfrac{1}{2} \sigma^2}\, \Phi\!\left(\frac{\mu+\sigma^2-\ln k} \sigma \right) </math>

missä <math>\Phi</math> on [[normaalijakauman kertymäfunktio]]. Osittaisen odotusarvon kaavalla on käyttöä vakuutusalalla ja taloustieteessä, ja sen avulla ratkaistaan  [[Black–Scholes-malli|Black–Scholesin kaavaan]] johtava [[osittaisdifferentiaaliyhtälö]]. 

=== Ehdollinen odotusarvo ===

Log-normaalin satunnaismuuttujan <math>X</math> [[ehdollinen odotusarvo]] kynnysarvon <math>k</math> suhteen on sen osittainen odotusarvo jaettuna sen kumulatiivisella todennäköisyydellä olla tällä välillä:

:<math>\begin{align}
E[X\mid X<k] & =e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}\cdot \frac{\Phi \left[\frac{\ln(k)-\mu -\sigma^2}{\sigma} \right]}{\Phi \left[\frac{\ln(k)-\mu}{\sigma} \right]} \\[8pt]
E[X\mid X\geqslant k] &=e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}\cdot \frac{\Phi \left[\frac{\mu +\sigma^2-\ln(k)} \sigma \right]}{1-\Phi \left[\frac{\ln(k)-\mu}{\sigma}\right]} \\
[8pt]
E[X\mid X\in [k_1,k_2]] &=e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}\cdot 
\frac{
  \Phi \left[\frac{\ln(k_2)-\mu -\sigma^2} \sigma \right]-\Phi \left[\frac{\ln(k_1)-\mu -\sigma^2} \sigma \right]
}{
  \Phi \left[\frac{\ln(k_2)-\mu}{\sigma}\right]-\Phi \left[\frac{\ln(k_1)-\mu}{\sigma}\right]
}
\end{align}</math>

=== Vaihtoehtoisia parametrointeja ===

Log-normaalijakauma määritetään tavallisimmin parametrien <math>\mu, \sigma</math> tai <math>\mu^*, \sigma^*</math> avulla, mutta vaihtoehtoisesti se voidaan parametroida useilla muillakin tavoilla. Todennäköisyysjakaumien tietokanta [[ProbOnto]] tuntee kaikkiaan seitsemän muuta tapaa parametroida log-normaalijakauma:<ref name="ProbOnto">{{Verkkoviite | Osoite = http://www.probonto.org | Nimeke = ProbOnto | Viitattu = 4.9.2020}}</ref><ref>{{lehtiviite | Tekijä = MH Swat, P. Grenon, S Wimalaratne | Otsikko = ProbOnto: ontology and knowledge base of probability distributions | Julkaisu = Bioinformatis | Vuosi = 2016 | Vuosikerta= 32 | Numero = 17 | Sivut = 2719–2721 | Doi=10.1093/bioinformatics/btw170 | pmc=5013898}}</ref>
[[Tiedosto:LogNormal17.jpg|thumb|400px|Yhteenveto log-normaalien jakaumien parametroinneista]]

* Normal1(μ,σ), parametreina [[odotusarvo]] μ ja [[keskihajonta]] σ<ref name="Forbes">{{kirjaviite | Tekijä = Forbes et al. | Nimeke = Probability Distributions | Julkaisija = John Wiley & Sons Inc. | Vuosi = 2011}}</ref>
*:<math>P(x;\boldsymbol\mu,\boldsymbol\sigma)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]</math>
* LogNormal2(μ,υ), parametreina odotusarvo μ ja varianssi υ, molemmat logaritmisella asteikolla
*:<math>P(x;\boldsymbol\mu,\boldsymbol {v})=\frac{1}{x \sqrt{v} \sqrt{2 \pi}} \exp\left[ \frac{-(\log x - \mu)^2}{2 v}\right]</math>
* LogNormal3(m,σ), parametreina [[mediaani]] m lineaarisella asteikolla ja keskihajonta σ logaritmisella asteikolla
*:<math>P(x;\boldsymbol m,\boldsymbol \sigma) =\frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} \exp\left[ \frac{-[\log(x/m)]^2}{2\sigma^2}\right]</math>
* LogNormal4(m,cv), parametreina mediaani m ja [[variaatiokerroin]] cv, molemmat lineaarisella asteikolla
*:<math>P(x;\boldsymbol m,\boldsymbol {cv})= \frac{1}{x \sqrt{\log(cv^2+1)} \sqrt{2 \pi}} \exp\left[ \frac{-[\log(x/m)]^2}{2\log(cv^2+1)}\right]</math>
* LogNormal5(μ,τ), parametreina odotusarvo μ ja tarkkuus τ, molemmat logaritmisella asteikolla.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = D. Lunn | Otsikko = The BUGS book: a practial introduction to Bayesian analysis | Julkaisu = Texts in statistical science | Julkaisija = CRC Press | Vuosi = 2012}}</ref>
*:<math>P(x;\boldsymbol\mu,\boldsymbol \tau)=\sqrt{\frac{\tau}{2 \pi}} \frac{1}{x} \exp\left[ {-\frac{\tau}{2}(\log x-\mu)^2} \right] </math>
* LogNormal6(m,σ<sub>g</sub>), parametreina mediaani m ja [[geometrinen keskihajonta]]  σ<sub>g</sub>, molemmat lineaarisella asteikolla<ref>{{lehtiviite | Tekijä = E. Limpert, W. Stahel. M. Abbt | Otsikko = Log-normal distributions across the sciences: Keys and clues | Julkaisu = BioScience | Vuosi = 2001 | Vuosikerta = 51 | Numero = 5 | Sivut = 341–352 | Doi = 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2}}</ref>
*:<math>P(x;\boldsymbol m,\boldsymbol {\sigma_g})=\frac{1}{x \log(\sigma_g)\sqrt{2 \pi}} \exp\left[ \frac{-[\log(x/m)]^2}{2 \log^2(\sigma_g)}\right]</math>
* LogNormal7(μ<sub>N</sub>,σ<sub>N</sub>), parametreina odotusarvo μ<sub>N</sub> ja keskihajonta σ<sub>N</sub>, molemmat lineaarisella asteikolla<ref>{{lehtiviite | Tekijä = J. Nyberg | Otsikko = PopED - An extended, parallelized, population optimal design tool | Julkaisu = Comput Methods Programs Biomed | Vuosi = 2012 | Vuosikerta = 108 | Numero = 2 | Sivut = 789–805 | Doi = 10.1016/j.cmpb.2012.05.005 | pmid = 22640817 }}</ref>
*:<math>P(x;\boldsymbol {\mu_N},\boldsymbol {\sigma_N})= \frac{1}{x \sqrt{2 \pi \log\left(1+\sigma_N^2/\mu_N^2\right)}} \exp\left( \frac{-\Big[ \log(x) - \log\Big(\frac{\mu_N}{\sqrt{1+\sigma_N^2/\mu_N^2}}\Big)\Big]^2}{2\log\Big(1+\sigma_N^2/\mu_N^2\Big)}\right)</math>

===== Esimerkkejä uudelleenparametroinneista =====

Tarkastellaan tilannetta, jossa samaa aineistoa halutaan mallintaa kahdella tavalla käyttämällä kahta erilaista optimointivälinettä, esimerkiksi PFIM<ref>{{lehtiviite | Tekijä = S. Retout, S. Duffull, F. Mentré | Otsikko = Development and implementation of the population Fisher information matrix for the evaluation of population pharmacokinetic designs | Julkaisu = Comp Meth Pro Biomed | Vuosikerta = 65 | Numero = 2 | Vuosi = 2001 | Sivut = 141–151 | Doi = 10.1016/S0169-2607(00)00117-6 | pmid = 11275334 }}</ref> and PopED.<ref>{{kirjaviite | Nimeke = PopED Manual, Release version 2.13. Technical report | Julkaisija = PopED:n kehitystiimi, Uppsalan yliopisto | Vuosi = 2016}}</ref> Näistä edellinen tukee LN2-, jälkimminen LN7-parametrointia. Siksi tarvitaan uudelleenparametrointia, sillä muutoin mallit johtaisivat eri tuloksiin.

Muunnokselle <math>LN2(\mu, v) \rightarrow LN7(\mu_N, \sigma_N)</math> pätevät kaavat:
<math>\mu_N = \exp(\mu+v/2) \text{ and } \sigma_N = \exp(\mu+v/2)\sqrt{\exp(v)-1}</math>.

Muunnokselle <math>LN7(\mu_N, \sigma_N) \rightarrow LN2(\mu, v)</math> taas pätevät kaavat:
<math>\mu = \log\Big( \mu_N/\sqrt{1+\sigma_N^2/\mu_N^2} \Big) \text{ and } v = \log(1+\sigma_N^2/\mu_N^2)</math>.

Muut uudelleenparametrointikaavat löytyvät ProbOnto -tietokannasta.<ref name=ProbOnto />

=== Monikerta, käänteisarvo ja potenssit ===
* Vakiolla kertominen: Jos <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math>, niin <math>a X \sim \operatorname{Lognormal}( \mu + \ln a,\ \sigma^2)</math>.
* Käänteisarvo: If <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math>, niin<math>\tfrac{1}{X} \sim \operatorname{Lognormal}(-\mu,\ \sigma^2)</math>.
* Potenssi: If <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math>, niin <math>X^a \sim \operatorname{Lognormal}(a\mu,\ a^2 \sigma^2)</math>, kun <math>a \neq 0</math>.

=== Log-normaalisti jakautuneiden satunnaismuuttujien kerto- ja jakolasku ===

Jos kaksi [[tilastollinen riippumattomuus|riippumatonta]] log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, <math>X_1</math> ja <math>X_2</math>, kerrotaan keskenään, niiden tulo on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina <math>\mu=\mu_1+\mu_2</math> ja <math>\sigma</math>, missä <math>\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2</math>. Tämän avulla voidaan helposti muodostaa useammankin log-normaalin satunnaismuuttujan tulon jakauma: Jos <math>X_j \sim \operatorname{Lognormal} (\mu_j, \sigma_j^2)</math> ovat <math>n</math> riippumatonta, log-normaalisti jakautunutta satunnaismuuttujaa, niin <math>Y = \textstyle\prod_{j=1}^n X_j \sim \operatorname{Lognormal} \Big(\textstyle \sum_{j=1}^n\mu_j,\ \sum_{j=1}^n \sigma_j^2 \Big).</math>

Jos taas log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja <math>X_1</math>, jonka parametrit ovat <math>\mu_1</math> ja <math>\sigma_1</math>, jaetaan toisella siitä riippumattomalla log-normaalisti jakautuneella satunnaismuuttujalla <math>X_2</math>, jonka parametrit ovat <math>\mu_1</math> ja <math>\sigma_1</math>, näiden osamäärä on sekin log-normaalisti jakautunut, parametreina <math>\mu=\mu_1-\mu_2</math> ja <math>\sigma</math>.

=== Multiplikatiivinen keskeinen raja-arvolause ===
Samalla tavalla jakautuneiden riippumattomien positiivisten satunnaismuuttujien <math>X_i</math> multiplikatiivinen eli [[geometrinen keskiarvo]] noudattaa logaritmista normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on. Tätä tulosta sanotaan ''multiplikatiiviseksi keskeiseksi raja-arvolauseeksi'', ja se seuraa suoraan todennäköisyyslaskennan [[keskeinen raja-arvolause|keskeisestä raja-arvolauseesta]], kun sitä sovelletaan muuttujiin, jotka saadaan alkuperästen satunnaismuuttujien logaritmeina. 

=== Muuta ===

Log-normaalijakaumaa noudattavalla aineistolla on symmetrinen [[Lorenzin käyrä]].<ref name=EcolgyArticle>{{lehtiviite | Tekijä = Christian Damgaard, Jacob Weiner | Otsikko = Describing inequality in plant size or fecundity | Julkaisu = Ecology | Vuosi = 2000 | Vuosikerta = 81 | Numero = 4 | Sivut = 1139–1142 | Doi = 10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2}}</ref>

Jakauman [[harmoninen keskiarvo|harmoninen]] (<math>H</math>), [[geometrinen keskiarvo|geometrinen]] (<math>G</math>) ja [[aritmeettinen keskiarvo]] (<math>A</math>) liittyvät toisiinsa seuraavasti:<ref name=Rossman1990>{{lehtiviite | Tekijä = Lewis A. Rossman | Otsikko = Design stream flows based on harmonic means | Julkaisu = Journal of Hydraulic Engineering | Ajankohta = Heinäkuu 1990 | Vuosikerta = 116 | Numero = 7 | Sivut = 946–950 | Doi = 10.1061/(ASCE)0733-9429(1990)116:7(946)}}</ref>

: <math>H = \frac{G^2} A.</math>

Log-normaalit jakaumat ovat [[ääretön jaollisuus (todennäköisyyslaskenta)|äärettömästi jaollisia]],<ref name=OlofThorin1978LNInfDivi>{{lehtiviite | Tekijä = Olof Thorin | Otsikko = On the infinite divisibility of the lognormal distribution | Julkaisu = Scandinavian Actuarial Journal | Vuosi = 1977 | Numero = 3 | Sivut = 121–148| ISSN=0346-1238|Doi=10.1080/03461238.1977.10405635}}</ref>,  mutta eivät [[stabiili jakauma|stabiileja jakaumia]].<ref name=Gao>{{lehtiviite | Tekijä = Gao Xin | Otsikko = Asymptotic Behavior of Tail Density for Sum of Correlated Lognormal Variables | Julkaisu = International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences | Vuosi = 2009 | Sivut = 1–28 | Doi = 10.1155/2009/630857}}</ref>

== Yhteydet muihin jakaumiin == 
* Jos <math>X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> on [[normaalijakauma|normaalisti jakautunut]], niin <math>\exp(X) \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2).</math>
* Jos <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math> on jakautunut log-normaalisti, niin <math>\ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> on jakautunut normaalisti.
* Olkoot <math>X_j \sim \operatorname{Lognormal}(\mu_j,\sigma_j^2)\ </math> riippumattomia log-normaaleja jakaumia, joilla mahdollisesti on erisuuret parametrit <math>\sigma</math> ja <math>\mu</math>, ja okoon <math>Y=\textstyle\sum_{j=1}^n X_j</math>.  Tällöin <math>Y</math>:n jakaumaa ei voida esittää suljetussa muodossa, mutta sitä voidaan sen oikeassa päässä approksimoida toisella log-normaalilla jakaumalla <math>Z</math>.<ref name="Asmussen2">{{lehtiviite | Tekijä = S Asmussen, L. Rojas-Nandayapa | Otsikko = Asymptotics of Sums of Lognormal Random Variables with Gaussian Copula | Julkaisu=Statistics and Probability Letters |Vuosikerta = 78 | Numero = 16 | Sivut = 2709–2714 |Vuosi=2008 |Doi=10.1016/j.spl.2008.03.035|www=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00595951/file/PEER_stage2_10.1016%252Fj.spl.2008.03.035.pdf }}</ref> Sen tiheysfunktion muoto tunnetaan myös 0:n läheisyydessä<ref name=Gao/>  missä se ei muistuta mitään log-normaalia jakaumaa. Sille saadaan L. F. Fentonin tunnetuksi tekemä, mutta R.I. Wilkinsonin jo aikaisemmin esittämä ja Marlowin matemaattisesti perustelema likiarvo<ref name="Marlow">{{lehtiviite | Tekijä = N. A. Marlow | Otsikko = A normal limit theorem for power sums of independent normal random variables |Julkaisu =Bell System Technical Journal |Vuosikerta = 46 | Numero = 9 | Sivut = 2081–2089 |Ajankohta = Marraskuu 1967 |Doi=10.1002/j.1538-7305.1967.tb04244.x}}</ref>) käyttämällä toisen log-normaalin jakauman keskiarvoa ja varianssia:
::<math>\begin{align}
  \sigma^2_Z &= \ln\!\left[ \frac{\sum e^{2\mu_j+\sigma_j^2}(e^{\sigma_j^2}-1)}{(\sum e^{\mu_j+\sigma_j^2/2})^2} + 1\right], \\
  \mu_Z &= \ln\!\left[ \sum e^{\mu_j+\sigma_j^2/2} \right] - \frac{\sigma^2_Z}{2}.
  \end{align}</math>
:Jos kaikilla muuttujilla <math>X_j</math> on sama varianssiparametrin arvo <math>\sigma_j=\sigma</math>, nämä kaavat yksinkertaistuvat muotoon
::<math>\begin{align}
  \sigma^2_Z &= \ln\!\left[ (e^{\sigma^2}-1)\frac{\sum e^{2\mu_j}}{(\sum e^{\mu_j})^2} + 1\right], \\
  \mu_Z &= \ln\!\left[ \sum e^{\mu_j} \right] + \frac{\sigma^2}{2} -  \frac{\sigma^2_Z}{2}.
  \end{align}</math>

Vielä parempia likiarvoja voidaan saada arvioimalla jakauman tiheys- ja kertymäfunktiota [[Monte Carlo -simulaatio|Monte Carlo menetelmällä]].<ref name="BotLec2017">{{kirjaviite |Tekijä = Z I Botev, P. L'Ecuyer | Nimeke = 2017 Winter Simulation Conference (WSC) | Selite = Las Vegasissa 3.-6.12.2017 pidetyn konferenssin julkaisu | Julkaisija = IEEE | Vuosi = 2017 | Sivut = 1880–1890 | Luku = Accurate computation of the right tail of the sum of dependent log-normal variates | Tunniste = | Isbn = 978-1-5386-3428-8 | Doi = 10.1109/WSC.2017.8247924 |arxiv=1705.03196}}</ref><ref name="AGL2016">{{verkkoviite | Osoite = https://arxiv.org/abs/1601.01763v1 | Nimeke = Orthonormal polynomial expansions and lognormal sum densities | Kirjoittaja = Søren Asmussen, Pierre-Olivier Goffard, Patrick J. Laub | Julkaisija = Cornell University | Viitattu = 4.9.2020}}</ref>

* Jos <math>X \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math>, niin muuttujan <math>X+c</math> jakaumaa sanotaan ''kolmiparametriseksi log-normaaliksi'', ja se on jakautunut välille <math>x\in (c, +\infty)</math>.<ref name="Sangal1970">{{lehtiviite | Tekijä = B. Sangal, A. Biswas | Otsikko = The 3-Parameter Lognormal Distribution Applications in Hydrology | Julkaisu = Water Resources Research |Vuosikerta=6 |Numero=2 |Sivut=505–515 |Vuosi=1970 |Doi=10.1029/WR006i002p00505}}</ref> <math>\operatorname{E}[X+c] = \operatorname{E}[X]+c</math>, <math>\operatorname{Var}[X+c] = \operatorname{Var}[X]</math>.
* Log-normaalijakauma on erikoistapaus puolittain rajoitetusta [[Johnsonin jakauma]]sta.
* Jos <math>X\mid Y \sim \operatorname{Rayleigh}(Y)\,</math> with <math> Y \sim \operatorname{Lognormal}(\mu, \sigma^2)</math>, niin <math> X \sim \operatorname{Suzuki}(\mu, \sigma)</math> ([[Suzukin jakauma]]).
* Lognormaalijakaumalle saadaan likiarvo, jonka integraali voidaan esittää alkeisfunktioiden avulla<ref>{{lehtiviite | Tekijä = P. K. Swanee | Otsikko = Near Lognormal Distribution | Julkaisu = Journal of Hydrologic Engineering | Vuosikerta = 7 | Numero = 6 | Sivut = 441–444 | Vuosi = 2002 | Doi = 10.1061/(ASCE)1084-0699(2002)7:6(441) | pmid =  | pmc = }}</ref>, käyttämällä sen määritelmässä normaalijakauman sijasta [[logistinen jakauma|logistista jakaumaa]]. Tällöin jakauman kertymäfunktioksi saadaan:

::<math> F(x;\mu,\sigma) = \left[\left(\frac{e^\mu}{x}\right)^{\pi/(\sigma \sqrt{3})} +1\right]^{-1}.</math>

: Tämä on [[log-logistinen jakauma]].

== Tilastollisia päätelmiä ==
===Parametrien estimointi===

Lognormaalijakauman parametrien ''μ'' ja ''σ'' [[suurimman uskottavuuden estimointi|suurimman uskottavuuden estimaattorien]] määrittämiseksi voidaan käyttää samaa menetelmää, jolla ne määritellään normaalijakaumalle. Voidaan todeta, että 

: <math>L(\mu, \sigma) = \prod_{i=1}^n \frac 1 {x_i} \varphi_{\mu,\sigma} (\ln x_i)</math>,

missä <math>\varphi_{}</math> on normaalijakauman <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math> tiheysfunktio. Niinpä log-normaalijakauman uskottavuusfunktio on

:<math>
\ell (\mu,\sigma \mid x_1, x_2, \ldots, x_n) = - \sum _i \ln x_i + \ell_N (\mu, \sigma \mid \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n)</math>.

Koska tässä ensimmäinen termi on vakio ''μ'':n ja ''σ'': suhteen, molemmat logaritmiset uskottavuusfunktiot, <math>\ell</math> ja <math>\ell_N</math>, saavat maksiminsa samoilla <math>\mu</math>:n ja <math>\sigma</math>:n arvoilla.  Niinpä suurimman uskottavuuden estimaattorit ovat samat kuin normaalijakaumalle havaintoarvoilla <math>\ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n)</math>,

: <math>\widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k}{n}, \qquad   \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k \left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2} {n}.</math>

Äärellisillä ''n'':n arvoilla näillä estimaattoreilla esiintyy systemaattinen virhe. Tämä virhe on tosin <math>\widehat\mu</math>:n osalta häviävän pieni, mutta <math>\sigma</math>:lle saadaan vähemmän vääristynyt arvo korvaamalla <math>\widehat\sigma^2</math>:n yhtälössä nimittäjä ''n'' arvolla ''n-1''.

Jos yksittäisiä arvoja <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> ei tunneta mutta aineiston keskiarvo <math>\bar x</math> ja keskihajonta ''s'' tunnetaan, vastaavat parametrit saadaan seuraavista kaavoista, jotka on muodostettu ratkaisemalla <math>\mu</math> ja <math>\sigma</math> odotusarvon <math>\operatorname{E}[X]</math> ja varianssin <math>\operatorname{Var}[X]</math> yhtälöistä: 

:<math> \mu=\ln\left(\bar x\ \Big/ \ \sqrt{1+\frac{\widehat\sigma^2}{\bar x^2}}\right), 
\qquad \sigma^2=\ln\left(1+\frac{\widehat\sigma^2}{\bar x^2}\right)</math>.

===Tilastollisia tunnuslukuja===
Log-normaalisti jakautunutta aineistoa voidaan tehokkaimmin analysoida soveltamalla logaritmisesti muunnettuun aineistoon normaalijakaumaan perustuvia tunnettuja metodeja ja suorittaa sen jälkeen tuloksille käänteinen muunnos.

====Hajontavälit====
Tyypillisen esimerkin tästä muodostavat hajontavälit. Normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja on noin kahden kolmasosan (68 %) todennäköisyydellä välillä <math>[\mu-\sigma,\mu+\sigma]</math> ja noin 95 %:n todennäköisyydellä välillä <math>[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]</math>. Sen vuoksi log-normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja on 

: välillä <math>[\mu^*/\sigma^*,\mu^*\cdot\sigma^*]=[\mu^* {}^\times\!\!/ \sigma^*]</math> todennäköisyydellä 2/3 ja
: välillä <math>[\mu^*/(\sigma^*)^2,\mu^*\cdot(\sigma^*)^2]=[\mu^* {}^\times\!\!/ (\sigma^*)^2]</math> todennäköisyydellä 95 % 

Käyttämällä estimoituja parametreja suunnilleen samat prosenttiosuudet log-normaalisti jakautuneesta aineistosta on näillä väleillä.

====<math>\mu^*</math>:n luottamusväli====
Samalla periaatteella todetaan, että <math>\mu</math>:n [[luottamusväli]] on <math>[\widehat\mu\pm q\cdot\widehat\mathop{se}]</math>, missä <math>\mathop{se}=\widehat\sigma/\sqrt{n}</math> on standardipoikkeama ja ''q'' [[Studentin t-jakauma]]n 97,5 prosentin [[kvantiili]], vapausasteluvulla ''n-1''.  Käänteisellä muunnoksella saadaan 
<math>\mu^*</math>:n luottamusväliksi

:<math>[\widehat\mu^* {}^\times\!\!/ (\operatorname{sem}^*)^q]</math> with <math>\operatorname{sem}^*=(\widehat\sigma^*)^{1/\sqrt{n}}</math>

=== Entropian ääriarvoperiaate vapaan parametrin <math>\sigma</math> määrittämiseksi===

* Sovelluksissa <math>\sigma</math> on määritettävä parametri. Kasvuproseseissa, joissa tuotto ja häviö tasapainottavat, saadaan Shannonin ääriarvoperiaatetta soveltamalla:   
:: <math>\begin{align}
\sigma=1\big/\sqrt{6}
\end{align}</math> <ref name=bai>{{lehtiviite | Tekijä = Wu Ziniu, Li Juan, Bai Chenyuan | Otsikko = Scaling Relations of Lognormal Type Growth Process with an Extremal Principle of Entropy | Julkaisu = Entropy | Vuosikerta = 19 | Numero = 56 | VUosi = 2017 | Sivut = 1–14 | Doi = 10.3390/e19020056|bibcode=2017Entrp..19...56W|doi-access=free | www = https://www.mdpi.com/1099-4300/19/2/56}}</ref>

* Tämän arvon avulla voidaan muodostaa skaalausrelaatio lognormaalijakauman maksimikohdan ja [[käännepiste]]iden välille.<ref name=bai/> Osoittautuu, että tämän yhteyden määrittää [[Neperin luku]], ja sillä on tiettyjä geometrisia yhtäläisyyksiä minimipintaenergiaperiaatteen kanssa.
*Nämä skaalausrelaatiot ovat osoittautuneet käyttökelpoisiksi useiden kasvuprosessien ennustamisessa. Sellaisia ovat esimerkiksi epidemioiden leviäminen, kiinteälle pinnalle muodostuvien nestepisaroiden laajeneminen, väestön kasvu, pyörteen syntyminen pesuallasta tyhjennettäessä, kielen piirteiden levinneisyys, [[turbulenssi]]n nopeusprofiili ja monet muut.

* Arvon <math>\sigma=1\big/\sqrt{6}</math> avulla saadaan probabilistinen ratkaisu Draken epäyhtälölle.<ref name=Bloetscher>{{lehtiviite | Tekijä = Frederck Bloetscher | Otsikko = Using predictive Bayesian Monte Carlo- Markov Chain methods to provide a probabilistic solution for the Drake equation|Julkaisu = Acta Astronautica
|Numero = 155 | Vuosi = 2019 | Sivut = 118–130|Doi=10.1016/j.actaastro.2018.11.033|bibcode=2019AcAau.155..118B}}</ref>

==Esiintyminen ja sovelluksia ==
Log-normaalijakaumaa voidaan soveltaa moniin luonnonilmiöihin. Tyypillisessä tapauksessa sen käyttö voidaan perustella seuraavasti: Monet luonnon kasvuilmiöt muodostuvat suuresta määrästä pieniä muutoksia, joissa kohteen koko kasvaa pienen prosenttimäärän verran entisestään. Tällaiset muutokset kumuloituvat multiplikatiivisesti, mutta [[logaritminen asteikko|logaritmisella asteikolla]] additiivisesti. Jos jokaisen yksittäisen muutoksen vaikutus on mitättömän pieni, [[keskeinen raja-arvolause]]en mukaan niiden summan jakauma on lähempänä normaalijakaumaa kuin yksittäisten muutoksen jakauma. Tästä seuraa, että kasvavien kohteiden koon logaritmilla on taipumus noudattaa normaalijakaumaa, jolloin koko itse noudattaa log-normaalijakaumaa. Tosin jos jakauman [[keskihajonta]] on tarpeeksi pieni, normaalijakaumaa voidaan käyttää sillekin hyvänä likiarvona.

Tämä keskeisen raja-arvolauseen multiplikatiivinen versio tunnetaan myös [[Gibratin laki]]na, [[Robert Gibrat]]in (1904–1980) mukaan, joka muotoili sen liikeyrityksille.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = John Sutton | Otsikko = Gibrat's Legacy | Julkaisu = Journal of Economic Literature | Vuosikerta = 32 | Numero = 1 | Ajankohta = Maaliskuu 1997 | Sivut = 40–59 | jstor=2729692}}</ref> Jos näiden pienten muutosten kertymisnopeus ei vaihtele ajan kuluessa, kasvu tulee koosta riippumattomaksi. Vaikka näin ei tapahtuisikaan, minkä tahansa ajan kuluessa kasvavan suureen jakaumalla on taipumus muodostua logartminormaaliksi.

Toinen perustelu jakauman käytölle on, että perustavien luonnonlakien mukaan monien suureiden arvot saadaan kertomalla ja jakamalla positiivisia muuttujia. Esimerkkeinä voidaan mainita [[gravitaatio]]laki, jonka mukaisesti voima määräytyy kappaleiden massojen ja niiden etäisyyden mukaan, tai kemikaalien [[konsentraatio]]t liuoksessa tasapainon vallitessa, jotka määräytyvät lähtöaineiden alkutilanteessa vallinneiden konsentraation mukaan. Tällaisia tilanteita voidaan mallintaa olettamalla, että muuttujat noudattavat logaritmista normaalijakaumaa.

Silloinkin kun edellä esitetyt perustelut eivät päde, logaritminen normaalijakauma on usein uskottava ja empiiristen havaintojen mukaan pätevä malli. Esimerkkeinä voidaan mainita:

* Ihmisten käyttäytymisestä:
** Internetin [[keskustelupalsta|keskustelupalstoille]] lähetettyjen kommenttien pituuden on todettu noudattavan logaritmista normaalijakaumaa.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Pawel Sobkowicz | Otsikko = Lognormal distributions of user post lengths in Internet discussions - a consequence of the Weber-Fechner law? | Julkaisu = EPJ Data Science | Vuosi = 2013|display-authors=etal}}</ref>
** Aika, jonka käyttäjät pitävät verkosta lukemaansa artikkelia tai uutissivua auki, noudattaa myös logaritmista normaalijakaumaa.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://mldm.ict.ac.cn/platform/pweb/academicDetail.htm?id=16 | Nimeke = Silence is also evidence: interpreting dwell time for recommendation from psychological perspective | Kirjoittaja = Yin Peifeng, Luo Ping, Lee Wang-CHien, Wang Min | Selite = konferenssijulkaisu, ACM International Conference on KDD | Ajankohta = 2013 | Viitattu = 4.9.2020 | arkisto = https://web.archive.org/web/20170510064118/http://mldm.ict.ac.cn/platform/pweb/academicDetail.htm?id=16 | arkistoitu = 10.5.2017 }}</ref>
** [[Shakki]]pelierien kestolla on taipumus noudattaa logaritmista normaalijakaumaa.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://chess.stackexchange.com/questions/2506/what-is-the-average-length-of-a-game-of-chess/4899#4899| Nimeke = What is the average length of a game of chess?|author=|date=|Sivusto=chess.stackexchange.com|Viitattu = 4.9.2020}}</ref>
** Vääntöjen lukumäärä [[Rubikin kuutio]]ta ratkaistaessa, sekä yleisesti että kullakin ratkaisijalla erikseen, näyttää noudattavan log-normaalia jakaumaa.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://www.reddit.com/r/dataisbeautiful/comments/ctazua/oc_rubiks_cube_competitors_mean_times_from_2019/|Nimeke=Rubik's Cube Competitors' Mean times from 2019 competitions|author=|Ajankohta = 21.8.2019 | Sivusto = reddit.com| Viitattu = 4.9.2020}}</ref>

* [[Biologia]]n ja [[lääketiede|lääketieteen]] alalta:
** Elävien kudosten mitat kuten pituus, nahan pinta-ala ja paino.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Julian S. Huxley | Nimeke = Problems of relative growth | Julkaisija = Lontoo | Vuosi = 1932 | ocls = 476909537 | Tunniste = | Isbn = 978-0-486-61114-3}}</ref>
** Nopeasti leviävissä epidemioissa kuten [[SARS]]:issa vuonna 2003 sairaalassa hoidettujen tapausten lukumäärän on voitu todeta noudattavan log-normaalijakaumaa ilman vapaita parametreja, jos entropialla on tunnettu arvio ja keskihajonta voidaan määrittää entropian tuotannon maksimiperiaatteella.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Jennifer S. K. Chan, Philip L. H. Yu | Otsikko = Modelling SARS data using threshold geometric process | Julkaisu = Statistics in Medicine |Vuosi=2006 |Vuosikerta=25 |Numero=11 |Sivut=1826–1839 |Doi=10.1002/sim.2376 |pmid=16345017 }}</ref>
** Karvojen, kynsien ja hampaiden pituus niiden kasvusuunnassa noudattaa log-normaalijakaumaa.
** Normalisoitu RNA-sekvenssin pituutta millä tahansa genomialueella voidaan hyvin approksimoida log-normaalijakaumalla.
** Tietyt fysiologiset mittaustulokset kuten aikuisten ihmisten [[verenpaine]] noudattavat log-normaalijakaumaa, erikseen miehillä ja naisilla.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Robert Makuch, D. H. Freeman, M. F. Johnson | Nimeke = Justification for the lognormal distribution as a model for blood pressure| Julkaisu=Journal of Chronic Diseases|Vuosi=1979|Vuosikerta=32|Numero=3|Sivut=245–250|Doi=10.1016/0021-9681(79)90070-5|pmid=429469 |url=}}</ref>
** Neurotieteissä ärsykkeiden kulkua neuronien välillä approksimoidaan usein log-normaalijakaumalla. Tämä havaittiin ensin [[aivokuori|aivokuoressa]] ja [[aivojuovio]]ssa<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Gabriele Scheler, Johann Schumann | Nimeke = 36th Society for Neuroscience Meeting, Atlanta | Selite = konferenssijulkaisu | Luku = Diversity and stability in neuronal output rates | Vuosi = 2006}}</ref>, myöhemmin myös [[hippokampus|hippokampuksessa]]<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Kenji Mizuseki, György Buszáki | Otsikko = Preconfigured, skewed distribution of firing rates in the hippocampus and entorhinal cortex | Julkaisu = Cell Reports | Vuoikerta = 4 | Numero = 5 | Ajankohta = 12.9.2013 | Sivut = 1010–1021|Doi=10.1016/j.celrep.2013.07.039|issn=2211-1247|pmc=3804159|pmid=23994479}}</ref> ja muualla aivoissa.<ref>{{lehtiviite |Tekijä = György Buszäki, Menju Mizuseki | Otsikko = The log-dynamic brain: how skewed distributions affect network operations | Julkaisu = Nature Reviews. Neuroscience | Vuosikerta = 15 | Numero = 4 | Sivut = 264–278 | Ajankohta = 6.1.2017 | Doi=10.1038/nrn3687|issn=1471-003X|pmc=4051294|pmid=24569488}}</ref><ref>{{lehtiviite | Tekijä = Adrien wohrer, Mark. D. Humphries, Christian K. Machens | Otsikko = Population-wide distributions of neural activity during perceptual decision-making|Julkaisu=Progress in Neurobiology|Numero =103 | Ajankohta = 1.4.2013 |Sivut=156–193|Doi=10.1016/j.pneurobio.2012.09.004| Tunniste = | Issn = 1873-5118|pmid=23123501|pmc=5985929}}</ref>

* [[Kolloidi]]en ja [[polymeeri]]en kemiassa:
**Hiukkasten koon jakaumat
**Moolimassojen jakaumat.
Tämän vuoksi terveiltä henkilöiltä tehtyjen mittausten [[viitearvo]]t voidaan asianmukaisemmin määritellä olettamalla suureiden noudattavan logaritmista normaalijakaumaa kuin olettamalla niiden jakautuneen symmetrisesti keskiarvon molemmin puolin.
[[Tiedosto:FitLogNormDistr.tif|thumb|Eri vuosien suurimmat yhdessä päivässä saadut sademäärät sovitettuina kumulatiiviseen logaritminormaalijakaumaan]]

*[[Hydrologia]]ssa logaritmista normaalijakaumaa käytetään mallinnettaessa esimerkiksi kuukauden tai vuoden suurinta yhdessä päivässä tullutta sademäärää tai jokien virtaamaa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = R. J. Oosterbaan, H. P. Ritzema | Nimeke = Drainage Principles and Applications, Publication 16 | Sivut = 175–224 | Luku = chapter=6: Frequency and Regression Analysis | Vuosi = 1994 | Julkaisija = International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI) |Julkaisupaikka =Wageningen, Alankomaat | Tunniste = | Isbn = 978-90-70754-33-4 | www = http://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf}}</ref>
::Oikealla oleva [[CumFreq]]:illä tehty kuva esittää esimerkkiä log-normaalijakauman sovittamisesta eri vuosien suurimpiin yhden päivän sademääriin, ja se osoittaa myös [[binomijakauma]]an perustuvan 90%:n [[luottamusväli]]n.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://www.waterlog.info/cumfreq.htm | Nimeke = Cumulative frequency analysis with probability distribution fitting |Sivusto = CumFreq | Viitattu = 4.9.2020}}</ref>
::Sadanta-aineistoa kuvaa kaavioon merkityt pisteet osana kumulatiivista frekvenssianalyysiä.

* Yhteiskuntatieteissä ja demografiassa:
** Todisteet viittaavat siihen, että väestön valtaosan (97%–99%) tulot ovat jakautuneet log-normaalisti.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://ideas.repec.org/p/wpa/wuwpmi/0505006.html | Nimeke = Pareto's law of income distribution: Evidence from Germany, the United Kingdom and the United States | Kirjoittaja = Fabio Clementi, Mauro Gallegati | Sivusto = EconWPA | Viitattu = 4.9.2020}}</ref>  (Sitä vastoin kaikkein suurituloisimpien tulot noudattavat [[Pareton jakauma]]a.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Hideki Takayasu (toim); Souma Wataru | Nimeke = Empire Science of Financial Fluctuations: The Advent of Econophysics | Luku = Physics of Personal Income | Selite = Konferenssijulkaisu | Julkaisija = Springer | Vuosi = 2002 | Doi = 10.1007/978-4-431-66993-7}}</ref>
** [[Finanssi]]alalla, varsinkin [[Black–Scholes-malli]]ssa vaihtokurssien, hintaindeksien ja osakekurssi-indeksien muutosten ''logaritmien'' oletetaan olevan normaalisti jakautuneet.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = F. Black, M. Scholes | Otsikko = The Pricing of Options and Corporate Liabilities | Julkaisu = Journal of Political Economy | Vuosikerta = 81 | Numero = 3 |Sivu = 637 | Vuosi = 1973 | Doi = 10.1086/260062}}</ref>  Nämä muuttujat nimittäin käyttäytyvät kuin [[korko#koronkorko|koronkorko]], eivät yksinkertaisen koron tavoin, ja ovat näin ollen multiplikatiivisia. Kuitenkin jotkut matemaatikot kuten [[Benoit Mandelbrot]] ovat väittäneet<ref>{{kirjaviite |Tekijä = Benoit Mandelbrot | Nimeke = The (mis-)Behaviour of Markets | Julkaisija = Basic Books | Vuosi = 2004 | Tunniste = | Isbn = 9780465043552 | www = https://books.google.com/?id=9w15j-Ka0vgC}}</ref>, että logaritminen [[Lévyn jakauma]] raskaine "häntineen" olisi parempi malli varsinkin [[pörssiromahdus]]ten analysointiin. Itse asiassa osakekurssien jakaumilla usein on paksu "häntä".<ref>{{kirjaviite | Tekijä = P. Bunchen | Nimeke = Advamced Option Pricing | Julkaisija = University of Sydney | Vuosi = 2007}}</ref>  Tämä pörssiromahduksia kuvaava paksuhäntäinen jakauma ei toteuta [[keskeinen raja-arvolause|keskeisen raja-arvolauseen]] edellytyksiä.
** [[Skientometriikka|Skientometriikassa]] on todettu, että tieteellisiin artikkeleihin tai patentteihin tehtyjen viittausten lukumäärä nopudattaa diskreettiä log-normaalia jakaumaa.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Mike Thelwall, Paul Wilson | Otsikko = Regression for citation data: An evaluation of different methods |Julkaisu = Journal of Infometrics |Vuosi=2014 |Vuosikerta=8 |Numero=4 |Sivut=963–971 |Doi=10.1016/j.joi.2014.09.011|arxiv=1510.08877}}</ref><ref>{{lehtiviite | Tekijä = Paul Sheridan, Taku Onodera | Otsikko = A Preferential Attachment Paradox: How Preferential Attachment Combines with Growth to Produce Networks with Log-normal In-degree Distributions |Julkaisu=Scientific Reports |Vuosi=2018 |Vuosikerta=8 |Numero=1 |Sivu=2811 |Doi=10.1038/s41598-018-21133-2|arxiv=1703.06645}}</ref>
** Kaupunkien asukaslukujen on väitetty noudattavan log-normaalijakaumaa.

* Teknologiassa
** Luotettavuusanalyysissä lognormaalijakaumaa käytetään usein mallina sille, kuinka monta kertaa ylläpidettävää systeemiä on korjattava.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Patrick O'Connor, Andre Kleyner | Nimeke = Practical Reliability Engineering | Sivu = 35 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Vuosi = 2011 | Tunniste = | Isbn = 978-0-470-97982-2}}</ref>
** [[Langaton tiedonsiirto|Langattomassa tiedonsiirrossa]] paikallinen keskiteho ilmaistuna [[logaritminen asteikko|logaritmisella asteikolla]] kuten [[desibeli|desibeleinä]] tai [[neper]]einä noudattaa normaalijakaumaa.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://wireless.per.nl/reference/chaptr03/shadow/shadow.htm | Nimeke = Shadowing | Sivusto = WirelessCommunication.NL | Viitattu = 4.9.2020 | arkisto = https://web.archive.org/web/20120113201345/http://wireless.per.nl/reference/chaptr03/shadow/shadow.htm | arkistoitu = 13.1.2012 }}</ref> Myös suurten rakennusten ja kukkuloiden radiosignaaleille aiheuttamaa varjostusta mallinnetaan usein log-normaalijakaumalla.
** Julkisesti saatavilla olevien video- ja äänitiedostojen koko noudattaa log-normaalijakaumaa viiden [[suuruusluokka|suuruusluokan]] välillä.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = C. Gros, G. Kaczor, D. Markovic | Otsikko =Neuropsychological constraints to human data production on a global scale |Julkaisu=The European Physical Journal B |Vuosi=2012 |Vuosikerta=85 |Numero=28 |Sivut=28 |Doi=10.1140/epjb/e2011-20581-3|arxiv=1111.6849 |bibcode=2012EPJB...85...28G }}</ref>
** Tietokoneverkoissa ja Internet-tietoliikenteen analyysissä log-normaalijakauma on osoittautunut hyväksi tilastolliseksi malliksi liikenteen määrälle aikayksikköä kohti. Tämä on todettu soveltamalla tehokasta tilastollista lähestymistä suuriin ryhmiin todellisia Internet-jälkiä. Tässä yhteydessä log-normaalijakauman on todettu toimivan hyvin kahdessa tärkeässä käyttöyhteydessä: (1) ennakoitaessa sitä, kuinka suuren osan ajastaan liikenne ylittää tietyn rajan (palvelutasosopimuksissa tai linkin kapasiteetin arvioinnissa) sekä (2) ennustettaessa 95 %:n kvantiilihinnoittelua.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://arxiv.org/abs/1902.03853 | Nimeke = On the Distribution of Traffic Volumes in the Internet and its Implications | Tekijä = Mohammed Alasmar, George Parisis, Richard G. Clegg, Nickolay Zakhleniuk | Ajankohta = 11.2.2019 | Viitattu = 4.9.2020}}</ref>

{{käännös|:en:Log-normal distribution}}

== Lähteet ==
{{viitteet}}

{{Todennäköisyysjakaumat}}

[[Luokka:Todennäköisyysjakaumat]]