Lähdekoodi sivulle Korteweg-de Vries -yhtälö

[[Kuva:KdV_simulation.png|thumb|350px|KdV-yhtälöä numeerisesti mallinnettuna. Kuvassa nähdään kahden aallon törmäys ja siinä tapahtuva vaihesiirtymä. X-akselina on aika ja y-akselina paikka. Värillä ilmaistaan aallon korkeutta.]]

'''Korteweg-de Vries -yhtälö''' (tai lyhyemmin '''KdV-yhtälö''') on [[epälineaarinen]] [[osittaisdifferentiaaliyhtälö]], jolla kuvataan matalassa vedessä eteneviä aaltoja. KdV-yhtälön merkitys [[solitoni]]teoriassa on suuri, sillä sen ratkaisuna saadaan malliesimerkki [[solitoni]]aallosta. Yhtälö on saanut nimensä sitä tutkineiden [[Diederik Korteweg]]in ja [[Gustav de Vries]]'n mukaan <ref>{{Lehtiviite | Tekijä = Korteweg, D. J.,  de Vries, F. | Otsikko = On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves | Julkaisu = Philosophical Magazine | Ajankohta = 1895 | Numero = 39 | Sivut = 422--443 }}</ref>.

==Määritelmä==

KdV-yhtälö on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiolle &phi; kahdessa ulottuvuudessa, paikassa ''x'' ja ajassa ''t'': 

:<math>\partial_t \phi + \partial^3_x \phi + 6\, \phi\, \partial_x \phi = 0,\,</math>

jossa &part;<sub>''x''</sub> merkitsee [[osittaisderivaatta]]a ''x'':n ja &part;<sub>''t''</sub> ''t'':n suhteen.

==Solitoniratkaisut==

Osa yhtälön merkittävyyttä johtuu siitä, että sille on mahdollista löytää analyyttinen ratkaisu. Tämä voidaan ratkaista muun muassa olettamalla solitoniaallon etenevän nopeudella ''v'' ja sen huipun sijaitsevan ajanhetkellä ''t'' = 0 kohdassa ''x''. Otetaan käyttöön uusi muuttuja ''z'' = ''x'' &minus; ''vt'' ja funktio ''f''(''z'') = &phi;(''x'', ''t''). Nyt saadaan yhtälöksi tavallinen [[differentiaaliyhtälö]]

:<math>\,\! f''' + 6ff' - vf' = 0, </math>

joka voidaan integroida ''z'':n suhteen ja saadaan

:<math>\,\! f'' + 3f^2 - vf  + C = 0.</math>

Tässä muuttuja ''C'' on integroimisvakio. Halutaan kuitenkin ratkaisun ''f''(''z''):n arvon olevan nolla kaukana aallon huipusta. Toisin sanoen siis  ''f''(''z'') lähestyy 0 kun ''z''&rarr;&plusmn;&infin;. Tästä seuraa, että vakio ''C'' = 0. Yhtälö täytyy kertoa vielä ''f''':lla ja integroida uudestaan ennen kuin ratkaisu saadaan ulos.

Ratkaisuksi näin saadaan

:<math>\phi(x,t)=\frac{1}{2}\, v\, \frac{1}{\cosh ^2\left[{\sqrt{v}\over 2}(x-vt-x_0)\right ]},</math>

jossa ''x''<sub>0</sub> merkitsee aallon huipun paikkaa ajanhetkellä ''t'' = 0. Yhtälö mallintaa oikealle liikkuvaa [[solitoni]]a.

==Säilyvät suureet==

KdV-yhtälölle saadaan ratkaistua äärettömän monta säilyvää suuretta <ref>{{Lehtiviite | Tekijä = Miura, Robert M., Gardner, Clifford S., Kruskal, Martin D. | Otsikko = Korteweg-de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion | Julkaisu = J. Mathematical Phys. | Ajankohta = 1968 | Numero = 9 | Sivut = 1204--1209}}</ref>. Ne voidaan laskea kaavalla

:<math> I_n = \int_{-\infty}^{\infty} P_{2n}(\phi, \partial_x\phi, \partial_{xx}^2\phi, \ldots) \textrm{d}x, \quad \forall n \geq 0,</math>

jossa ''P''<sub>i</sub> lasketaan kaavalla

:<math>P_0 = \phi</math>

:<math> P_{n+1} = -\partial_x P_{n} + \sum_{k = 0}^{n-1} P_{k}P_{k-n-1}, \quad \forall n \geq 1.</math>

Tästä saadaan muun muassa suureet:
* [[liikemäärä]] <math>I_0 = \int_{-\infty}^{\infty}\phi(x,t)\textrm{d}x</math>
* [[energia]]    <math>I_1 = \int_{-\infty}^{\infty}\phi(x,t)^2\textrm{d}x</math>
*                <math>I_2 = \int_{-\infty}^{\infty}2\phi(x,t)^3 - (\partial_x\phi(x,t))^2 \textrm{d}x</math>

==Historia==
KdV-yhtälön ja solitonien historia alkaa 1834, kun [[John Scott Russell]] havaitsi kapeassa tasasyvässä kanavassa aallon etenevän muuttamatta muotoaan ja hajoamatta. Ilmiötä tutkivat [[Lord Rayleigh]] ja [[Joseph Boussinesq]] 1870-luvulla <ref>{{Kirjaviite | Tekijä = Boussinesq, J | Nimeke = Essai sur la theorie des eaux courantes | Selite = Memoires presentes par divers savants ` l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII | Vuosi = 1877 | Kappale = | Sivu = 1–680}}</ref> ja lopulta Korteweg and De Vries vuonna 1895. Tästä seuraava merkittävä tulos saatiin 1965 kun Zabusky ja Kruskal mallinsivat KdV-yhtälöä numeerisesti <ref>{{Lehtiviite| Otsikko=Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States | Tekijä = Zabusky, N. J., Kruskal, M. D. | Julkaisu = Phys. Rev. Lett. | Numero = 15 | Sivut = 240–243 | Vuosi = 1965 | www = http://link.aps.org/abstract/PRL/v15/p240 | Tunniste = 10.1103/PhysRevLett.15.240}}</ref> ja huomasivat useamman aallon törmäyksissä aaltojen säilyttävän muotonsa ja nopeutensa. Tämän jälkeen on löydetty analyyttisiä ratkaisuja useampaa kuin yhtä aaltoa mallintamaan.

==Lähteet==
{{viitteet}}

[[Luokka:Aaltomekaniikka]]
[[Luokka:Osittaisdifferentiaaliyhtälöt]]