Lähdekoodi sivulle Konformikuvaus

[[Kuva:Conformal map.svg|right|thumb|Suorakulmainen ruudukko (ylempänä) ja sen kuva konformikuvauksessa ''f'' (alempana). Kuvasta näkyy, että ''f'' kuvaa toisensa kohtisuorasti leikkaavat suorat käyrille, jotka nekin leikkaavat toisensa kohtisuorasti.]]
'''Konformikuvaus''' on matemaattinen [[funktio|kuvaus]], jossa [[kulma]]t säilyvät ennallaan. <ref>{{Kirjaviite | Tekijä=Lepistö, Timo | Nimeke=Funktioteoria| Sivut=37 | Julkaisupaikka=Tampere | Julkaisija=Tampereen teknillinen korkeakoulu | Vuosi=1983 | Isbn= }}</ref>
Yleisimmin matematiikassa käsitellään konformikuvauksia, joiden [[lähtöjoukko|lähtö-]] ja [[maalijoukko]] ovat [[kompleksitaso]]n alueita.

== Määritelmä ja perusominaisuuksia ==
[[Jatkuva kuvaus|Jatkuvaa kuvausta]] <math>f</math> sanotaan '''konformiseksi''' eli '''konformikuvaukseksi''' annetussa pisteessä <math>z_0</math>, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

# Kun <math>z \rightarrow z_0</math> jotakin pisteeseen <math>z_0</math> johtavaa sädettä pitkin, suhteella <math>\frac{|f(z) - f(z_0)|}{|z-z_0|}</math> on äärellinen nollasta poikkeava raja-arvo, joka on riippumaton valitun säteen suunnasta.
# Jokaisella pisteestä <math>z_0</math> lähtevän säteen kuvalla on [[tangentti]] pisteessä <math>f(z_0)</math>, ja näiden tangenttien välinen kulma on aina yhtä suuri kuin säteiden välinen kulma pisteessä <math>z_0</math>.<ref name=Lehto1>{{kirjaviite | Tekijä = Olli Lehto | Nimeke = Funktioteoria I–II | Sivu = 15–16 | Luku = Analyyttinen funktio | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1985 (1980) | Isbn= 951745-077-X}}</ref>

Kuvausta <math>f</math> sanotaan '''konformikuvaukseksi alueessa''' <math>U</math>, jos se on konforminen alueen jokaisessa pisteessä. Jos alue <math>U</math> voidaan kuvata konformisesti ja [[bijektio |bijektiivisesti]] alueelle <math>V</math>, sanotaan, että alueet <math>U</math> ja <math>V</math> ovat ''konformiekvivalentit''.

Usein konformikuvaukselta edellytetään lisäksi, että se säilyttää myös [[orientaatio]]n. Tällaista kuvausta sanotaan toisinaan myös ''suoraan konformiseksi''. Tasoalueiden tapauksessa tämä merkitsee, etteivät kulmat pysy ainoastaan itseisarvoltaan yhtä suurina, vaan myöskään kulman oikea ja vasen kylki eivät vaihdu keskenään. Kuvaus, joka on konforminen, mutta kääntää orientaation, on ''kääntäen konforminen''.

Konformikuvauksissa [[infinitesimaali]]sen pienet alueet pysyvät muodoltaan, mutta eivät välttämättä kooltaan ennallaan. Sitä vastoin tarpeeksi suuret alueet saattavat muuttua muodoltaan paljonkin.

Yleisimmin matematiikassa käsitellään konformikuvauksia, joiden [[lähtöjoukko|lähtö-]] ja [[maalijoukko]] ovat [[kompleksitaso]]n alueita.

Kuvauksen konformisuus voidaan karakterisoida [[koordinaatisto]]n muunnokseen liittyvän [[Jacobin matriisi]]n avulla. Jos muunnoksen Jacobin determinantti on kaikkialla jokin [[rotaatiomatriisi]] kerrottuna jollakin [[skalaari]]lla, muunnos on konforminen.

Konformikuvauksen käsite voidaan yleistää, paitsi tasoalueiden, myös korkeampiulotteisten [[Euklidinen avaruus|euklidisten avaruuksien]] ja yleisemminkin [[Riemannin monisto]]jen ja Riemannin semimonistojen alueiden välisiin kuvauksiin.

==Kompleksianalyysi==
Erityisen suuri merkitys konformikuvauksilla on [[kompleksianalyysi]]ssä. Jos <math>u</math> on kompleksitason <math>\mathbb{C}</math> [[avoin joukko|avoin osajoukko]], funktio : <math>f: U \rightarrow \mathbb{C}</math> on suoraan konforminen, [[jos ja vain jos]] se on [[holomorfinen funktio|holomorfinen]] eli analyyttinen ja sen [[derivaatta]] on nollasta poikkeava kaikissa alueen ''U'' pisteissä. Jos ''f'' on [[antiholomorfinen|antiholomorfinen]] eli jonkin holomorfisen funktion [[kompleksikonjugaatti]], se säilyttää kulmat mutta kääntää niiden orientaation. 

[[Riemannin kuvauslause]] on yksi kompleksianalyysin syvällisistä tuloksista. Se osoittaa, että jokainen ei-tyhjä [[yhdesti yhtenäinen]] kompleksitason <math>\scriptstyle\mathbb{C}</math> avoin osajoukko voidaan kuvata [[bijektio|bijektiivisellä]] konformikuvauksella <math>\mathbb{C}</math>:n avoimelle [[yksikköympyrä|yksikkökiekolle]].<ref name=Lehto2>{{kirjaviite | Tekijä = Olli Lehto | Nimeke = Funktioteoria I–II | Sivu = 130 | Luku = Analyyttinen funktio | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1985 (1980) | Isbn= 951745-077-X}}</ref>

[[Laajennettu kompleksitaso]] on konformisti ekvivalentti [[pallo]]pinnan kanssa. Laajennetun tason bijektiivinen konformikuvaus itselleen on suora konformikuvaus, jos ja vain jos se on [[Möbiuskuvaus|Möbius-kuvaus]]. Laajennetussa tasossakin myös Möbius-kuvausten [[kompleksikonjugaatti|kompleksikonjugaatit]] säilyttävät kulmien suuruuden ennallaan, mutta kääntävät niiden orientaation.

Esimerkkinä laajennetun tason kuvauksesta, joka on kääntäen konforminen, voidaan mainita kompleksikonjugaatin käänteisarvo eli funktio
:<math>f (z) = \frac{1}{\bar{z}}</math>.
Se vastaa [[Riemannin pallo]]n peilausta yksikkökiekon määräämän tason kanssa tai kompleksitason peilaamista yksikköympyrän kehän yli. Tämä funktio säilyttää jokaisen [[kompleksiluku|kompleksiluvun]] ''r&nbsp;e<sup>iθ</sup>'' argumentin ''θ'' ennallaan mutta muuttaa sen itseisarvon ''r'' [[käänteisluku|käänteisluvukseen]].

== Riemannin geometria ==
[[Riemannin geometria]]ssa kahta sileän moniston <math>M</math> [[Riemannin metriikka]]a <math> g</math> ja <math> h</math>  sanotaan ''konformiekvivalenteiksi'', jos <math> g = u h </math> jollakin positiivisella funktiolla <math> u</math>, joka on määritelty monistossa <math> M</math>. Funktiota <math>u</math> sanotaan ''konformiseksi tekijäksi''.

Kahden Riemanin moniston välistä [[diffeomorfismi]]a sanotaan konformikuvaukseksi, jos metriikka, jonka sen [[käänteisfunktio|käänteiskuvaus]] indusoi lähtöavaruuteen, on konformisti ekvivalentti alkuperäisen kanssa. Esimerkiksi [[pallo]]pinnan [[stereografinen projektio]] [[laajennettu taso|laajennetulle tasolle]], johon on lisätty äärettömyyspiste, on konformikuvaus.

Sileällä monistolla voidaan myös määrätä ''konforminen rakenne'' konformisti ekvivalenttien Riemannin metriikkojen luokkana.

== Korkeampiulotteiset euklidiset avaruudet ==
[[Joseph Liouville]]n todistama [[Liouvillen lause (konformikuvaukset)|Liouvillen lause]] osoittaa, että korkeampiulotteisten avaruuksien ja niiden alueiden välillä on vähemmän erityyppisiä konformikuvauksia.

Jokainen kolmi- tai useampien euklidisen avaruuden alueen konformikuvaus voidaan muodostaa [[yhdistetty kuvaus|yhdistettynä kuvauksena]] kolmesta kuvauksesta, joista yksi on [[homotetia]], toinen [[isometria]] eli yhtenevyyskuvaus ja kolmas niin sanottu ''erityinen konforminen muunnos'' ({{k-en|special conformal transformation}})<!--Onko käännös oikea?--> eli [[peilaus|peilauksen]] ja pallopinnan suhteen suoritetun [[inversio (geometria)|inversion]] yhdistetty kuvaus. Täten useampiulotteisten avaruuksien konformikuvaukset muodostavat paljon suppeamman ryhmän kuin tasossa, jossa [[Riemannin kuvauslause]] tarjoaa mahdollisen muodostaa laajan ryhmän konformikuvauksia.

==Sovelluksia==
=== Fysiikassa ja tekniikassa ===
Jos funktio <math>f</math>on [[harmoninen funktio|harmoninen]] eli toteuttaa [[Laplacen yhtälö]]n <math>\nabla^2 f=0</math> jossakin tasoalueessa, ja jos alue se kuvataan konformikuvauksella <math>g</math> jollekin toiselle tasoalueelle,  yhdistetty funktio <math>f\circ g^{-1}</math> on myös harmoninen. Tämän vuoksi jokainen funktio, joka on määritelty jonkin [[potentiaali (matematiikka)|potentiaalin]] avulla, voidaan muuntaa konformikuvauksella, minkä jälkeen sillä edelleen on potentiaali. Fysiikassa potentiaalin avulla on muodostettu esimerkiksi [[sähkömagneettinen kenttä|sähkömagneettisen kentän]] ja [[gravitaatio]]kentän yhtälöt sekä [[virtausdynamiikka|virtausdynamiikassa]] [[potentiaalivirta]], nesteen tai kaasun virtauksen likimääräinen kuvailu olettamalla, että [[tiheys]] on vakio, [[viskositeetti]] nolla ja virtaus pyörteetöntä. Esimerkkinä konformikuvauksen sovelluksesta virtausdynamiikassa voidaan mainita aerodynamiikassa usein käytettävä Žukovskin muunnos eli [[Joukowskyn muunnos]] <math>z \mapsto z+{1\over z}</math>.

Konformikuvauksilla on suuri merkitys ratkaistaessa sellaisia fysiikan ja insinööritieteiden probleemoja, jotka voidaan esittää kompleksimuuttujien funktioina mutta joilla on epämukavia geometrisia ominaisuuksia. Valitsemalla sopiva muunnos voidaan epämukava geometria muuntaa helpommin käsiteltäväksi. Esimerkiksi voi olla tarpeen laskea pistevarauksen aiheuttaman [[sähkökentän voimakkuus]], <math>E(z)</math>, kun varaus sijaitsee lähellä paikkaa, jossa kaksi johtavaa tasoa kohtaavat toisensa ja nämä ovat tietyssä kulmassa keskenään. Tehtävä on sellaisenaan sangen vaikea ratkaista suljetussa muodossa. Yksinkertaisella konformikuvauksella epämukava kulma voidaan kuitenkin kuvata toiselle, joka on tasan <math>\pi</math> [[radiaani]]a (180 [[aste]]tta), jolloin tuloksena on vain yksi taso. Tilanteessa, jossa varaus on lähellä yhtä johtavaa tasoa, sähkökentän voimakkuus on helppo laskea. Kun ratkaisu on saatu tällä tilanteessa, <math>E(w)</math>, joka sitten kuvataan takaisin alkuperäisen tehtävän mukaiseen tilanteeseen ottamalla huomioon, että <math>w</math> saatiin <math>z</math>:n funktiona, <math>E</math>:stä ja <math>w</math>:stä yhdistettynä kuvauksena <math>E(w(z))</math>. Tämä sovellus ei ole ristiriidassa sen kanssa, että konformikuvauksissa kulmien suuruus säilyy, sillä näin on laita vain kuvattavan alueen sisällä, ei sen reunalla.

[[Ebenezer Cunningham]] tunnisti vuonna 1980 ja [[Harry Bateman]] vuonna 1910 laajan ryhmän konformikuvauksia [[Maxwellin yhtälöt|Maxwellin yhtälöiden]] eri ratkaisujen välille, [[palloaalto]]jen muunnokset. Opiskellessaan [[Cambridgen yliopisto]]ssa he olivat tutustuneet [[peilivarausmetodi|peilivarausmetodeihin]] ja niihin liittyviin, pallopintoja ja inversioita käyttäviin menetelmiin. [[Andrew Warwick]] totesi vuonna 2003 teoksessaan ''Masters of Theory'':<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Andrew Warwick | Nimeke = Masters of Theory |Julkaisija = The University of Chicago Press |Sivut = 404–424 | Vuosi = 2003}}</ref>
{{lainaus|Jokainen neliulotteinen ratkaisu voitaisiin invertoida neliulotteisen hyperpallon suhteen, jonka pseudosäde on <math>K</math>, ja jolloin myös saadaan uusi ratkaisu.}}
Warwick korostaa tätä "uutta suhteellisuusteoreemaa" Cambridgen vastauksena [[Albert Einstein|Einsteinille]] ja se perustuu inversioiden käyttöön, jota käsitellään esimerkiksi [[James Hopwood Jeans]]in laatimassa oppikirjassa ''Mathematical Theory of Electricity and Magnetism''.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = James Hopwood Jeans | Nimeke = Mathematical Theory of Electricity and Magnetism | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 1925 (uusi painos 2009) | Isbn= 978-1-108-00561-6}}</ref>

[[Yleinen suhteellisuusteoria|Yleisessä suhteellisuusteoriassa]] konformikuvaukset ovat yksinkertaisin ja sen vuoksi yleisin kausaalisten muunnosten tyyppi. Fysikaalisesti ne esittävät erilaisia maailmankaikkeuksia, joissa samat tapahtumat ja vuorovaikutukset ovat yhä (kausaalisesti) mahdollisia, mutta joissa on oletettava jokin lisävoima saamaan aikaan nämä tapahtumat. Toisin sanoen liikeradat voivat pysyvät samoina vain, jos liike ei ole [[geodeettinen viiva|geodeettista]], koska [[metrinen tensori|metriikka]] on erilainen. On usein yritetty laatia malleja, joita voitaisiin laajentaa [[singulariteetti|singulariteetinkin]] ohi ja joilla voitaisiin kuvailla maailmankaikkeutta jopa ennen [[alkuräjähdys]]tä.

=== Karttaprojektiot ===
Muutamat yleisesti käytetyt olevat [[karttaprojektio]]t ovat ''oikeakulmaisia'', eli niissä kahden suunnan välinen suunta kartalla on kaikkialla yhtä suuri kuin maastossakin. Tällaiset projektiot ovat konformikuvauksia pallopinnalta jollekin tasoalueelle. Aiemmin mainitun, myös karttaprojektiona käytetyn [[stereografinen projektio|stereografisen projektion]] ohella oikeakulmaisia ovat erityisesti
[[Mercatorin projektio]] ja sen muunnelma, [[Gauss-Krüger-projektio|Gaussin–Krügerin projektio]] ja [[Lambertin projektio]].<ref>{{Kirjaviite | Tekijä = Martin Vermeer ja Antti Rasila | Nimeke = Maailman kartta – johdatus matemaattiseen geodesiaan | Julkaisija = Ursa | Vuosi = 2014 | Sivut = 25–34 | Isbn = 978-952-5985-19-1}}</ref>

==Vaihtoehtoiset kulmat==
Nimitys konformikuvaus johtuu siitä, että sellaisessa kohteiden muodot säilyvät ainakin [[infinitesimaali]]sissa mittasuhteissa. Sana on muodostettu [[latina]]n [[prefiksi]]stä ''com'' (yhdessä, kanssa, lähellä) ja [[substantiivi]]sta ''forma'' (muoto, ulkonäkö).<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.wordnik.com/words/conformal |Nimeke=conformal – definition and meaning |Julkaisija=Wordnik.com | Viitattu = 19.11.2014}}</ref><ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.myetymology.com/english/conformal.html |Nimeke=English etymology of conformal |Julkaisija=myEtymology.com | Viitattu = 19.11.2014}}</ref><ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.memidex.com/conformal |Nimeke=conformal – Memidex dictionary/thesaurus |Julkaisija=Memidex.com |Viitattu = 19.11.2014}}</ref> Käsite sisältää yleensä oletuksen, että säilyvä muoto mitataan tavanomaisella euklidisella [[kulma]]lla, jonka yksikkönä voidaan käyttää esimerkiksi [[aste]]ina tai [[radiaani|radiaaneina]]. Tasokuvauksiin liittyy kuitenkin kaksi muutakin kulmasuuretta, [[hyperbolinen kulma]] ja [[kulmakerroin]], joka on analoginen [[duaaliluku]]jen välisten kulmien kanssa.

Olkoon <math>\scriptstyle f: U \rightarrow \mathbb{V}</math> pintojen välinen kuvaus, joka voidaan parametrisoida lukupareilla <math>\scriptstyle (x,y)\,</math> ja <math>\scriptstyle (u,v)\,</math>. Tällöin <math>\scriptstyle f</math>:n [[Jacobin matriisi]]n muodostavat <math>\scriptstyle u</math>:n ja <math>\scriptstyle v</math>:n neljä [[osittaisderivaatta]]a <math>\scriptstyle x</math>:n ja <math>\scriptstyle y</math>:n suhteen.

Jos Jacobin matriisin ''g'' [[determinantti]] ei ole nolla, kuvaus <math>f</math> on "konforminen yleistetyssä mielessä" näistä kulmasuureista yhden suhteen riippuen Jacobin matriisin ''g'' ilmaisemasta reaalimatriisista.

Itse asiassa jokainen tällainen matriisi ''g'' kuuluu erityiseen ''tasomaiseen'' kommutatiiviseen [[alirengas|alirenkaaseen]], ja ''g'':n napakoordinaatit määräytyvät kahden parametrin mukaan, joista toinen kuvaa etäisyyttä, toinen kulmaa tai suuntaa. Edellinen, säteittäinen parametri vastaa jotakin [[yhdenmuotoisuus]]kuvausta, ja sille voidaan kuvausten konformisuutta tutkittaessa valita arvo 1. Jälkimmäinen, ''g'':n kulmaparametri, voi olla kolmea tyyppiä, transvektiivinen, hyperbolinen tai euklidinen:
* Jos alirengas on [[isomorfia|isomorfinen]] [[duaaliluku]]jen tasojen kanssa, ''g'' on ''transvektiivinen kuvaus'' ({{k-en|shear mapping}}, ''transvection''), jossa duaalikulmat säilyvät.
* Jos alirengas on isomorfinen [[hyperboliset luvut|hyperbolisten lukujen]] tason kanssa, ''g'' on ''hyperbolinen kuvaus'' ({{k-en|squeeze mapping}}, ''hyperbolic mapping''), jossa hyperboliset kulmat säilyvät.
* Jos alirengas on isomorfinen tavallisen [[kompleksitaso]]n kanssa, ''g'' on [[rotaatio (geometria)|rotaatio]], jossa euklidinen kulma säilyy.

Käsitellessään analyyttisä bireaalisten muuttujien funktioita U. Bencivenga ja G. Fox ovat kirjoittaneet konformikuvauksista, joissa hyperboliset kulmat säilyvät. Myös duaalilukujen ja hyperbolisten lukujen tasoissa voidaan määritellä Möbius-kuvauksia vastaavat muunnokset, jotka ovat näiden tasojen konformikuvauksia edellä mainitussa yleistetyssä mielessä.

{{käännös|:en:Conformal map}}

== Lähteet ==
* {{kirjaviite | Tekijä = Lars V. Ahlfors | Nimeke = Conformal invariants: topics in geometric function theory | Julkaisija=McGraw–Hill Book Co. | Julkaisupaikka = New York | mr=0357743 | Vuosi=1973}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Hubert Chanson | Nimeke = Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows | Julkaisija = CRC Press, Taylor & Francis Group | Julkaisupaikka = Leiden | Vuosi = 2009 | Isbn= 978-0-415-49271-3 | www = http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:191112}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Michiel Hazewinkel | Nimeke = Encyclopedia of Mathematics | Kirjoittaja = E. P. Dolzhenko | Luku = Conformal Mapping | Julkaisija = Springer | Vuosi = 2001 | Isbn= 978-1-55608-010-4}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Walter Rudin | Nimeke = Real and complex analysis, 3. painos | Julkaisija = McGraw–Hill Book Co. | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1987 | mr=924157 | Isbn= 978-0-07-054234-1}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Ruel V. Churchill | Nimeke = Complex Variables and Applications | Julkaisija=McGraw–Hill Book Co. | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1974 | Isbn= 0-07-010855-2}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html | Nimeke = Conformal Mapping | Julkaisija = MathWorld | Viitattu = 19.11.2014}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Spiegel, Murray R. et al. | Nimeke=Complex Variables | Selite=Shaum's Outline Series | Julkaisija=McGraw-Hill Book Company |Vuosi=2009 | Isbn = 978-0-07-161569-3 }} – {{ISBN|978-0-07-161570-9}} (eBook)

=== Viitteet ===
{{Viitteet}}

== Kirjallisuutta ==
* {{kirjaviite | Tekijä = Olli Lehto | Nimeke = [[Funktioteoria I–II]] | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1985 (1980) | Isbn= 951745-077-X}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Väisälä, Kalle | Nimeke=Matematiikka IV | Selite=141, 10. painos | Julkaisija=Otakustantamo | Julkaisupaikka=Espoo | Vuosi=1986 (1965) | Isbn= 951-671-087-5}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat}}
* [http://virtualmathmuseum.org/galleryCM.html Monien konformikuvausten interaktiivisia visualisointeja] {{Wayback|1=http://virtualmathmuseum.org/galleryCM.html |päiväys=20160208003659 }}
* [http://demonstrations.wolfram.com/ConformalMaps/ Wolfram Demonstrations Project: Conformal Maps (Michael Trott)]
* [http://www-m10.ma.tum.de/twiki/bin/view/Lehre/Bsp10_6 Jürgen Richter-Gebertin Cinderella-ohjelmistolla laatima Java-applet]{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}
* [http://www.math.univ-montp2.fr/SPIP/IMG/jar/ComplexMapStill.jar Christian Mercatin laatima Java-applet kuvien muuntamiseksi]{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}
* [http://www.bru.hlphys.jku.at/conf_map/index.html Conformal Mapping images of current flow] Virtauksista konformikuvauksilla saatuja kuvia] eri geometrioissa magneettikenttien läsnä ollessa ja ilman niitä, laatinut Gerhard Brunthaler
* [http://www.flickr.com/photos/sbprzd/362529354 Conformal Transformation: from Circle to Square].

[[Luokka:Riemannin geometria]]
[[Luokka:Funktiot]]
[[Luokka:Kompleksianalyysi]]
[[Luokka:Karttaprojektiot]]