Lähdekoodi sivulle Kolmion sisään ja viereen piirretyt ympyrät

[[Tiedosto:Incircle and excircles.png|pienoiskuva|Sisäympyrä ja vierusympyrät]]
'''Kolmion sisään- ja viereen piirretyt ympyrät''' ovat [[geometria]]ssa [[kolmio]]n sivuja, tai niiden jatkeita, sivuavien [[ympyrä|ympyröiden]] lyhennetyt nimitykset. [[Kolmion sisään piirretty ympyrä|Sisään piirretyllä ympyrällä]] (joskus myös '''sisäympyrä''') tarkoitetaan ympyrää, joka sivuaa kaikkia kolmion sivuja yhdessä pisteessä. Viereen piirretyllä ympyrällä (joskus myös vierusympyrä) tarkoitetaan ympyrää, joka sivuaa kolmion yhtä sivua ulkoisesti yhdessä pisteessä ja tämän sivun viereisten kummankin sivujen jatketta yhdessä pisteessä. Asetelmasta johtuu, että sisäympyröitä on vain yksi ja vierusympyröitä on aina kolme. Huomaa, että kolmion ympäri piirrettyä ympyrää voidaan kutsua myös [[Kolmion ympäri piirretty ympyrä|ulkoympyräksi]].<ref name=ExtouchTriangle/><ref name=pen115/>

Näitä nimityksiä käytetään suomalaisessa kirjallisuudessa vain satunnaisesti, koska niiden käyttö ei ole vakiintunutta. Sisäympyrällä on muissa kielissä monia samantapaisia vastineita {{k-en|incircle}}, {{k-de|Inkreis}} ja {{k-it|incerchio}}. Sisään piirretyllä ympyrällä on vastaavasti vastineita {{k-da|indskriven cirkel}}, {{k-sv|inskriven circel}} , {{k-es|circunferencia insctita}}, {{k-fr|cercle inscrit}} ja {{k-nl|ingeschreven circle}}. Viereen piirretylle ympyrälle on {{k-en|excircle}}, {{k-es|circulos exinscritos}}, {{k-de|Ankreis}}, {{k-nl|aangeschreven circel}}, {{k-ru|Вневписанная окружность}} ja {{k-sv|vidskriven circel}}. Suomalaiset vastineet voivat olla näiden suoria käännöksiä tai omia kuvailevia nimityksiä.<ref name=Excircles/>

== Viereen piirretty ympyrä ==
[[Tiedosto:Excircle and triangle.png|pienoiskuva|Kolmion viereinen ympyrä, joka sivuaa kolmion sivua ja kolmion kahden muun sivun jatkeita.]]
=== Kulmanpuolittajat ===
Viereen piirretyn ympyrän keskipiste (kuvassa '''E<sub>A</sub>'''), jota voidaan kutsua '''ulkokeskukseksi''' <ref name=trilin111/>, sijaitsee kolmion vastaisen kulman '''A''' [[kulmanpuolittaja]]lla. Myös kolmion ulkokulmien '''B''' ja '''C''' kulmanpuolittajat kulkevat ulkokeskuksen kautta.<ref name=Excircles/>

Kolmion sisäympyrän sivuamispiste ei välttämättä ole viereisen ympyrän sivumaispisteessä.<ref name=Excircles/>

=== Sivuamispiste X<sub>A</sub> ===
Kolmion viereen piirretty ympyrä sivuaa kolmea suoraa pisteissä '''X<sub>A</sub>''' sekä '''X<sub>AC</sub>''' ja '''X<sub>AB</sub>''' (kuvassa). Etäisyydet sivuamispisteistä '''X<sub>AB</sub>''' ja '''X<sub>AC</sub>''' kolmion vastaiseen kärkeen '''A''' ovat samat eli
:<math>|AX_{AB}|=|AX_{AC}| </math>,
koska ympyrän sivuamispisteiden ja keskipisteen muodostamat kolmiot <math>\scriptstyle \triangle A X_{AC} E_A</math> ja <math>\scriptstyle \triangle A X_{AB} E_A</math> ovat [[yhtenevyys|yhtenevät]].

Seuraavassa osoitetaan, että piste '''X<sub>A</sub>''' jakaa kolmion piirin pisteen '''A''' kanssa kahteen [[puolipiiri]]in. Etäisyydet kärjestä '''C''' sivuamispisteisiin '''X<sub>AC</sub>''' ja '''X<sub>A</sub>''' ovat yhtä pitkät ja samoin ovat etäisyydet kärjestä '''B''' sivuamispisteisiin '''X<sub>AB</sub>''' ja '''X<sub>A</sub>'''. Silloin ovat seuraavien [[murtoviiva|murtoviivojen]] pituudet samat:
:<math>|AC|+|CX_{AC}|=|AC|+|CX_A|</math> sekä <math>|AB|+|BX_{AB}|=|AB|+|BX_A|</math>. 
Koska matkat kärjestä '''A''' kärkien '''B''' tai '''C''' kautta pisteeseen '''X<sub>A</sub>''' ovat yhtä pitkät, ovat ne pituudeltaan puolet kolmion piiristä ja murtoviivat '''ABX<sub>A</sub>''' ja '''ACX<sub>A</sub>''' ovat puolipiirejä.<ref name=Excircles/>

== Neljän ympyrän konstruktio ==
Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste sijaitsee [[sisäkulma|sisäkulmien]] kulmanpuolittajilla. Kolmion viereen piirrettyjen ympyröiden keskipisteet eli ulkokeskukset sijaitsevat kolmion [[ulkokulma|ulkokulmien]] kulmanpuolittajilla. Nämä kuusi suoraa leikkaavat toisensa, aina kolme kerrallaan, ympyröiden keskipisteissä. Jos ulkokeskuksien välille vedetään janat, muodostuu ulkokeskuskolmio, jonka korkeusjanoja sisäkulmien kulmanjakajat ovat.<ref name=pen115/>

Jos ympyrän, jonka ulkokeskus on esimerkiksi '''E<sub>A</sub>''', sädettä merkitään '''r<sub>A</sub>''' ja kolmion sisään piirretyn ympyrän [[säde (geometria)|sädettä]] merkitään '''r''', riippuvat säteet toisistaan
:<math>\frac{1}{r}=\frac{1}{r_A}+\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}</math>.
Kolmion ala voidaan myös ilmoittaa säteiden avulla
:<math>A=\sqrt{r_A \, r_B \, r_C \, r}</math>.
Jos koko konstruktio ympäröidään vierusympyröitä sivuavalla ympyrällä, jonka säde on '''R''', riippuu sen säde muiden ympyröiden säteistä
:<math>r_A+r_B+r_C-r=R</math>.<ref name=pen115/>

Ulkokeskuksien trilineaariset koordinaatit ovat <math>\scriptstyle E_A=(-1 \, : \, 1 \, : \, 1)</math>, <math>\scriptstyle E_B=(1 \, : \, -1 \, : \, 1)</math> ja <math>\scriptstyle E_C=(1 \, : \, 1 \, : \, -1)</math>.<ref name=trilin15/>

== Nagelin piste ==
[[Tiedosto:Nagel point 2.png|pienoiskuva|Nagelin piste]]
Edellä kuvattu geometrinen konstruktioon liittyy kolme [[kolmion merkilliset pisteet|merkillistä pistettä]]. [[Nagelin piste]] ja [[Gergonnen piste]] ovat [[ceviaanipiste]]itä sekä lisäksi on vielä [[Mittenpunkt]].
{{Pääartikkeli|[[Nagelin piste]]}}
Edellä kuvattuun havaintoon sivuamispisteen sijainnista piirin puolessa välissä vastaisesta kärjestä perustuu Nagelin pisteen olemassaolon todistus. Vierusympyröiden sivumaispisteisiin '''X<sub>A</sub>''', '''X<sub>B</sub>''' ja '''X<sub>C</sub>''' kolmion kärjistä vedetyt [[ceviaani]]janat leikkaavat aina Nagelin pisteessä (merkitään piirroksiin '''Na''' tai joskus [[Merkilliset pisteet|Kimberlingin merkillisten pisteiden]] luetettelon merkinnällä<math>\scriptstyle X_{8}</math>).

== Gergonnen piste ==
[[Tiedosto:Gergonne point2.png|pienoiskuva|Gergonnen piste]]
{{Pääartikkeli|[[Gergonnen piste]]}}
Edellä kuvatussa konstruktiossa sisäympyrän kolmion sivuamispisteisiin '''I<sub>A</sub>''', '''I<sub>B</sub>''' ja '''I<sub>C</sub>''' kolmion kärjistä vedetyt ceviaanijanat leikkaavat aina Gergonnen pisteessä (merkitään piirroksiin '''Ge''' tai joskus ''Kimberlingin'' merkinnöin <math>\scriptstyle X_{7}</math>).<ref name=Incenter/><ref name=GergonnesPoint/>

== Mittenpunkt ==
[[Tiedosto:Mittenpunkt 2.png|pienoiskuva|Mittpunkt]]
'''Mittenpunkt''' <ref name=trilin38/> on [[geometria]]ssa [[kolmio]]on ja sitä sivuaviin [[ympyrä|ympyröihin]] liittyvä [[kolmion merkilliset pisteet|merkillinen piste]]. Sitä kutsutaan yleisesti eri kielissä nimellä ''Mittenpunkt'', koska se merkitsee saksankielessä ''keskipistettä'', mikä on liian tavallinen termin käytettäväksi geometriassa. Termillä ei ole suomalaista vastinetta, joten sen nimenä on jouduttu käyttämään samaa nimeä Mittenpunkt. Mittenpunkt merkitään piirroksissa  tunnuksella '''D''' tai '''M''' tai lyhennetään ''Kimberlingin'' merkinnöin <math>\scriptstyle X_{9}</math>.<ref name=Mittenpunkt/><ref name=trilin38/><ref name=ck/>

Kolme suoraa, jotka leikkaavat toisensa Mittenpunktissa, kulkevat kukin ympyränsä '''ulkokeskuksen''' (viereen piirretyn ympyrän keskipiste, {{k-en|excentral}}) ja sen sivuaman kolmion sivun keskipisteen kautta.<ref name=trilin38/>

=== Sijainti kolmiossa ===
Mittenpunktin [[trilineaariset koordinaatit]] ovat
:<math>(b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)=\cot \tfrac{\alpha}{2}: \cot \tfrac{\beta}{2}: \cot \tfrac{\gamma}{2}</math> <ref name=ck/><ref name=Mittenpunkt/>
ja sen [[barysentriset koordinaatit]] ovat
:<math>a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c).</math> <ref name=ck/>

=== Kollineaarisuus ===
Mittenpunkti on [[kollineaarisuus|kollineaarinen]] eräiden muiden ''merkillisten pisteiden'' kanssa.
* Gergonnen pisteen '''Ge''' (<math>\scriptstyle X_{7}</math>) ja [[Kolmion painopiste|painopisteen]] '''G''' (<math>\scriptstyle X_{2}</math>) kanssa. Etäisyyksien suhteet ovat '''GeG : GM''' = 2 : 1.<ref name=Mittenpunkt/> 
* [[Spiekerin piste]]en '''Sp''' (<math>\scriptstyle X_{10}</math>) ja [[ortokeskus|ortokeskuksen]] '''H''' (<math>\scriptstyle X_{4}</math>) kanssa.<ref name=Mittenpunkt/>
* [[Kolmion sisään piirretty ympyrä|Sisäympyrän keskuksen]] '''I''' (<math>\scriptstyle X_{1}</math>) ja [[Symmediaaninen piste|symmediaanisen pisteen]] '''K''' (<math>\scriptstyle X_{6}</math>) kanssa. Etäisyyksien suhde on '''IM : MK''' = 2(a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>) : -(a + b + c).<ref name=Mittenpunkt/>

=== Huomattavaa ===
Mittenpunkt on pisteen <math>\scriptstyle X_{57}</math> [[isogonaalinen konjugaatti]].<ref name=ck/>

== Ulkokeskuskolmio ==
[[Tiedosto:Excenter triangle.png|pienoiskuva|Ulkokeskuskolmio on väriltään keltainen.]]
'''Ulkokeskuskolmio''' ({{k-en|excentral triangle}}) muodostuu, kun kolmion viereen piirrettyjen ympyröiden keskipisteet eli '''ulkokeskukset''' yhdistetään toisiinsa. Kolmiota nimitetään {{k-en|excentral triangle tai tritangent triangle}}.<ref name=Mittenpunkt/><ref name=trilin15/>

Ulkokeskuskolmiolla on seuraavia ominaisuuksia. Kolmion kulmanpuolittajat ovat ulkokeskuskolmion korkeusjanoja, jolloin kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste on ulkokeskuskolmion ortokeskus.<ref name=pen115/> Kolmion Mittenpunkt on ulkokeskuskolmion symmediaaninen piste.<ref name=Mittenpunkt/> Ulkokeskuskolmion sivujen pituudet '''a', b' ja  c'''' ovat kolmion sivujen pituuksien '''a, b ja c''' ja kulmien avulla lausuttuna
:<math>a'= \frac{a}{\sin \tfrac{\alpha}{2}},</math> <math>b'= \frac{b}{\sin \tfrac{\beta}{2}}</math> ja <math>c'= \frac{c}{\sin \tfrac{\gamma}{2}}.</math> <ref name=trilin17/>

== Yhdeksän pisteen ympyrä ==
Feuerbach todisti, että [[yhdeksän pisteen ympyrä]]llä on enemmän erikoispisteitä kuin vain yhdeksän. Neljä lisäpistettä saadaan siitä ominaisuudesta, että yhdeksän pisteen ympyrä sivuaa kaikkia konstruktion ympyröitä kerran.<ref name=pen76/>

== Historia ==
Mainittu geometrinen konstruktio oli mielenkiinnon alla 1800-luvulla kolmion geometrian uuden tulemisen aikoihin. Silloin keksittiin muun muassa lukuisia uusia kolmion [[kolmion merkilliset pisteet|merkillisiä pisteitä]], kehitettiin tasogeometriassa käytettävät [[trilineaariset koordinaatit]] ja [[barysentriset koordinaatit]] ja luotiin muutenkin uusia menetelmiä  geometrian algebralliseen laskentaan. Näiden sovellukset ovat nykyään tietoneanimaation ja 3D-grafiikan alalla. [[Christian Heinrich von Nagel|Christian von Nagel]] Saksasta, Ulmin kaupungista, tutki kolmion vierus- ja sisäympyröitä vuonna 1836 löytäen Nagelin pisteen lisäksi Mittenpunktina tunnetun pisteen. Hän esitti erässä julkaisussa todistukset Nagelin-, Gergonnen- ja Mittenpunktin pisteiden olemassaolosta.<ref name=mitt/>

== Lähteet ==
* {{Kirjaviite | Nimeke = The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | Julkaisija = Penguin Group | Vuosi = 1991 | Tekijä = Wells, David | Sivut = || Julkaisupaikka = Englanti | Isbn =0-14-011813-6 | Viitattu =10.5.2013 | Kieli = {{en}}}}
* {{Verkkoviite | osoite = https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/40300/URN%3ANBN%3Afi%3Ajyu-201211132988.pdf?sequence=1 | nimeke = Trilineaariset koordinaatit | tekijä = Koivulahti, Perttu | tiedostomuoto = pdf | selite = tutkielma | ajankohta =2012 | julkaisupaikka = Jyväskylä | julkaisija = Jyväskylän Yliopisto | viitattu = 15.4.2013}}

=== Viitteet ===
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=pen115>Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, 1991, s.115</ref>
* <ref name=pen76>Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, 1991, s.76</ref>
* <ref name=trilin111>Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.111</ref>
* <ref name=trilin15>Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.15</ref>
* <ref name=trilin38>Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.38</ref>
* <ref name=trilin17>Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.17</ref>
*<ref name=mitt>Kimberling, Clark: [http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/mitten.html Mittenpunkt]</ref>
* <ref name=ck>{{Verkkoviite | osoite = http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html | nimeke = Encyclopedia | tekijä = Kimberling, Clark | tiedostomuoto = html | julkaisu = Tekijän kotisivut | ajankohta = 2013 | julkaisupaikka = Evansville | julkaisija = Evansvillen Yliopisto | viitattu = 20.4.2013 | kieli = {{en}}}}</ref>
* <ref name=Incenter>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Incenter.html | Nimeke = Incenter | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=GergonnesPoint>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/GergonnePoint.html | Nimeke =  Gergonne's Point | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=ExtouchTriangle>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/ExtouchTriangle.html | Nimeke = Extouch Triangle  | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=Excircles>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Excircles.html | Nimeke = Excircles | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=Mittenpunkt>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Mittenpunkt.html | Nimeke = Mittenpunkt | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
}}

[[Luokka:Geometria]]