Lähdekoodi sivulle Kolmio

{{Tämä artikkeli|käsittelee geometrista kuviota. Kolmion muita merkityksiä on [[kolmio (täsmennyssivu)|täsmennyssivulla]].}}
{{Geometria}}
'''Kolmio''' eli '''kolmikulmio''' on yksinkertaisin monikulmio. Kaikki mahdolliset kolmiot voidaan muodostaa siten, että [[taso]]lle piirretään kolme pistettä, jotka eivät kaikki ole samalla [[suora]]lla ja jotka yhdistetään toisiinsa [[jana (geometria)|janoilla]]. Näin saatuja janoja kutsutaan kolmion sivuiksi. Minkä hyvänsä kolmen ei samalla suoralla olevan pisteen muodostama kolmio määrittää [[taso]]n avaruudessa. Kolmio on myös ainoa [[monikulmio]], joka aina määrittää avaruudessa tason. Kolmio on siten yksi [[tasokuvio]]ista.<ref name=vaisala22/><ref name=triangle/>

== Kolmiot tyypeittäin ==

Kolmiot voidaan luokitella sivujen suhteellisten pituuksien mukaan seuraavasti <ref name=vaisala22/><ref name=triangle/>:

'''Yleisessä kolmiossa''' kaikki sivut voivat olla eripituisia ja kaikki kulmat erisuuria.

'''[[tasakylkinen kolmio|Tasakylkisessä kolmiossa]]''' on kaksi yhtä pitkää sivua, joita kutsutaan kolmion kyljiksi. Tällaisessa kolmiossa on siis myös kaksi yhtä suurta kulmaa. Kolmatta eripituista sivua kutsutaan tällöin kolmion kannaksi.

'''[[tasasivuinen kolmio|Tasasivuisessa kolmiossa]]''' kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Tästä seuraa myös se, että kaikki tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60 [[aste]]en suuruisia ja lisäksi se, mikä sivuista on kolmion kanta, menettää tässä tapauksessa merkityksensä. Se on siis myös [[säännöllinen monikulmio]].

{| align="center"
|- align="center"
| [[Tiedosto:Triangle.Scalene.svg|Epäsäännöllinen kolmio]]
| [[Tiedosto:Triangle.Isosceles.svg|Tasakylkinen kolmio]]
| [[Tiedosto:Triangle.Equilateral.svg|150px|Tasasivuinen kolmio]]
|- align="center"
| Yleinen kolmio || Tasakylkinen kolmio || Tasasivuinen kolmio
|}

Kolmiot voidaan luokitella myös kulmien perusteella.

'''[[Teräväkulmainen kolmio|Teräväkulmaisessa kolmiossa]]''' kaikki kulmat ovat alle 90°:n suuruisia.

'''[[Suorakulmainen kolmio|Suorakulmaisessa kolmiossa]]''' on yksi kulma, joka on tasan 90°:n suuruinen. Suoraa kulmaa vastapäätä olevaa sivua kutsutaan ''hypotenuusaksi'' ja suoran kulman viereisiä sivuja ''kateeteiksi''.

'''[[Tylppäkulmainen kolmio|Tylppäkulmaisessa kolmiossa]]''' on yksi kulma, joka on suurempi kuin 90°.

{| align="center"
|- align="center"
| [[Tiedosto:Triangle.Acute.svg|150px|Terävä kolmio]]
| [[Tiedosto:Triangle.Right.svg|Suorakulmainen kolmio]]
| [[Tiedosto:Triangle.Obtuse.svg|Tylppä kolmio]]
|- align="center"
| Teräväkulmainen kolmio || Suorakulmainen kolmio || Tylppäkulmainen kolmio
|}

== Kolmioiden yleisiä ominaisuuksia ==

Kolmioita koskee joukko geometrisia [[lause (matematiikka)|lauseita]], jotka ovat olleet tunnettuja jo vanhalla ajalla, kuten [[Eukleides|Eukleideen]] teos ''Elementa'' osoittaa.

Kaikissa kolmioissa on kulmien summa 180 [[aste]]tta eli kaksi [[suora kulma|suoraa kulmaa]]. Kuten kaikissa [[kupera monikulmio|konvekseissa monikulmioissa]]  (vanhahtava termi: kupera monikulmio), on kolmiossakin sen kulmien [[suplementtikulmat|suplementtikulmien]] summa 360 astetta.<ref name=vaisala22/>

Kolmion ''korkeusjanoiksi'' sanotaan janoja, jotka johtavat sen kärjistä vastakkaiselle sivulle ja leikkaavat sen kohtisuorasti. Ne leikkaavat toisensa samassa pisteessä. Myös kolmion [[keskijana]]t, jotka johtavat kolmion kärjistä vastakkaisten sivujen keskipisteisiin, leikkaavat toisensa samassa pisteessä, samoin kuin kolmion ''kulmanpuolittajat'' ja sen ''keskinormaalit''. Niiden leikkauspisteitä sanotaan kolmion [[merkilliset pisteet|merkillisiksi pisteiksi]]. Tasasivuisilla kolmiolla kaikki nämä leikkauspisteet yhtyvät.

Kolmion jokainen sivu on aina lyhempi kuin kahden muun sivun summa. Tätä tosiasiaa sanotaan [[kolmioepäyhtälö]]ksi.<ref name=vaisala22/>

Terävien kulmien [[Trigonometrinen funktio|trigonometriset funktiot]] määritellään [[suorakulmainen kolmio|suorakulmaisen kolmion]] avulla. Kaikille kulmille ne voidaan yleistää [[yksikköympyrä]]n avulla. Trigonometrisia funktioita voidaan [[sinilause]]en ja [[kosinilause]]en avulla soveltaa kaikkiin kolmioihin. Niinpä jos tarpeeksi monta kolmion sivuista ja kulmista tunnetaan, voidaan loputkin laskea eli kolmio voidaan [[Kolmion ratkaiseminen|ratkaista]].

[[Tiedosto:Pythagorean.svg|pienoiskuva|Pythagoraan lause]]

[[Pythagoraan lause]]en mukaan suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan (suoran kulman vastaisen sivun) neliö on yhtä suuri kuin muiden sivujen eli kateettien neliöiden summa.  Jos hypotenuusan pituus on ''c'' ja kateettien ''a'' ja ''b'', tämä voidaan ilmaista yhtälöllä

:<math>a^2 + b^2=c^2.   \,</math>

Tämä pätee myös kääntäen: jos kolmion sivut toteuttavat tämän yhtälön, sivujen ''a'' ja ''b'' välinen kulma on suora.

=== Yhdenmuotoisuussääntö ===
Jos kahdessa kolmiossa on kolme yhtä suurta kulmaa, kolmiot ovat [[yhdenmuotoisuus|yhdenmuotoiset]]. Kolmiot ovat yhdenmuotoisia myös, jos niissä toisiaan vastaavien sivujen suhteet ovat samat kaikille kolmelle sivulle.

=== Yhtenevyyssäännöt ===
Jos kahdessa kolmiossa on vähintään kolme yhtä suurta, toisiaan vastaavaa osaa, sivua tai kulmaa, eivätkä ne kaikki ole kulmia, ovat loputkin osat yhtä suuria eli kolmiot ovat [[yhtenevyys|yhtenevät]]. Näistä yhtenevyyslauseista käytetään lyhenteitä, joissa S tarkoittaa sivua ja K kulmaa:<ref name=vaisala34/>

* '''SKS''': Jos kahdessa kolmiossa kaksi sivua ja niiden välinen kulma ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.
* '''SSS''': Jos kahdessa kolmiossa kaikki toisiaan vastaavat sivut ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.
* '''KSK''': Jos kahdessa kolmiossa kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.
* '''SKK''': Jos kahdessa kolmiossa kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu ovat yhtä suuret, ovat kolmiot yhtenevät.
* '''SSK''': Jos kahdessa kolmiossa kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma ovat yhtä suuret ja lisäksi kyseinen kulma on tylppä, ovat kolmiot yhtenevät. (Jos kyseinen kulma on terävä, on olemassa yleensä kaksi erilaista kolmiota, joilla nämä vastinosat ovat yhtä suuret.)

SSS-yhtenevyydellä on suuri merkitys [[tekniikka|tekniikassa]], sillä se tekee kolmiosta [[jäykkä kappale|jäykän kappaleen]]: kolmio, jonka sivut ovat jäykät, säilyttää muotonsa vaikka kulmat eivät olisi jäykkiä. Millään muulla monikulmiolla ei ole tätä ominaisuutta. Tähän perustuvat muun muassa [[rakennustekniikka|rakennustekniikassa]] käytettävät [[Ristikkorakenne|ristikko-]] ja vinotukirakenteet.

== Kolmion pinta-alan laskeminen ==

Kolmion pinta-alan laskeminen on yksinkertainen ongelma, joka tulee usein vastaan erilaisissa tilanteissa. On olemassa useita eri ratkaisutapoja riippuen siitä, mitä kolmiosta tiedetään. Ohessa on eräitä usein käytettyjä kaavoja pinta-alan laskemista varten. Yleinen tapa: kanta 
kertaa korkeus jaettuna kahdella, esim. (2&nbsp;cm × 4&nbsp;cm) ÷ 2 = 4&nbsp;cm²

=== Geometrinen menetelmä ===

Kolmion pinta-ala ''S'' voidaan laskea kaavalla ''S''&nbsp;=&nbsp;½''bh'', jossa ''b'' (kanta) on yhden satunnaisesti valitun sivun pituus ja ''h'' (korkeus) on kannan etäisyys vastapäisestä kärjestä. Tämä voidaan esittää oheisella piirustuksella.

[[Tiedosto:Triangle.GeometryArea.svg|frame|center|Kolmio muutetaan aluksi suunnikkaaksi, jolla on kaksinkertainen pinta-ala kolmioon nähden. Seuraavaksi tämä muunnetaan suorakulmioksi.]]

Annetun kolmion pinta-alan selvittämiseksi (kuvassa vihreällä) tehdään ensin alkuperäisestä kolmiosta kopio (sininen), kierretään se 180° ja liitetään osat yhteen. Näin saadusta [[suunnikas|suunnikkaasta]] leikataan palanen irti ja liitetään se nelikulmion toiselle puolelle, jolloin saadaan [[suorakulmio]]. Koska suorakulmion ala on ''bh'', annetun kolmion pinta-alan täytyy olla&nbsp;½''bh''.

[[Tiedosto:Triangle.VectorArea.svg|frame|right|Suunnikkaan pinta-ala ja kahden vektorin ristitulot ovat yhtä suuret.]]
=== Vektorien avulla ===

[[Suunnikas|Suunnikkaan]] pinta-ala voidaan laskea myös [[vektori]]en avulla.

Jos ''AB'' ja ''AC'' ovat vektoreita, jotka osoittavat A:sta B:hen ja A:sta C:hen, nelikulmion ABDC pinta-ala on |''AB''&nbsp;&times;&nbsp;''AC''|, eli vektorien ''AB'' ja ''AC'' [[ristitulo]]n suuruus. Lisäksi |''AB''&nbsp;&times;&nbsp;''AC''| = |''h''&nbsp;&times;&nbsp;''AC''|, missä ''h'' on korkeus ''h'' vektorina.

Kolmion ABC pinta-ala on puolet tästä, eli
''S''&nbsp;=&nbsp;½|''AB''&nbsp;&times;&nbsp;''AC''|.

Kolmion ABC pinta-ala voidaan laskea myös [[pistetulo]]na seuraavasti:
:<math>
\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \, .
</math>

[[Tiedosto:Triangle.TrigArea.svg|frame|right|Korkeuden ''h'' selvittäminen trigonometrian avulla.]]

=== Trigonometrian avulla ===

Kolmion korkeus voidaan saada selville [[trigonometria]]n avulla. Jos käytämme vasemmalla olevan kuvan merkintöjä, korkeus on 
''h''&nbsp;=&nbsp;''a''&nbsp;sin&nbsp;γ. Kun tämä sijoitetaan yllä johdettuun kaavaan ''S''&nbsp;=&nbsp;½''bh'', voidaan kolmion pinta-ala ilmoittaa muodossa 
:<math>S =  \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta.</math>

Koska sin α = sin (''π'' - α) = sin (β + γ), voidaan kahdesta muusta kulmasta todeta:

:<math>S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).</math>

Suunnikkaan pinta-ala on luonnollisesti myös ''ab''&nbsp;sin&nbsp;γ.

=== Koordinaattien avulla ===

Jos kärki A sijaitsee [[koordinaatisto|karteesisen koordinaattijärjestelmän]] origossa (0,&nbsp;0), ja kahden muun kärjen koordinaatit on annettu muodossa B&nbsp;=&nbsp;(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''y''<sub>1</sub>) ja C&nbsp;=&nbsp;(''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''y''<sub>2</sub>), niin pinta-ala ''S'' on puolet [[determinantti|determinantin]]

:<math>\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}</math>
itseisarvosta, tai ''S''&nbsp;=&nbsp;½&nbsp;|''x''<sub>1</sub>''y''<sub>2</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;''x''<sub>2</sub>''y''<sub>1</sub>|.

=== Heronin kaavaa käyttäen ===

''S'' voidaan laskea myös [[Heronin kaava]]n avulla:
:<math>S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>

missä
''s''&nbsp;=&nbsp;½&nbsp;(''a''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''c'') eli puolet kolmion ympärysmitasta.

Kaava voidaan kirjoittaa myös muodossa
:<math> S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}.</math>

== Tasasivuisen kolmion sivun pituus ==
Tasasivuisen kolmion sivun pituus voidaan laskea pinta-alasta seuraavalla kaavalla:
:<math>
s = \frac{2\sqrt[2]{A}}{\sqrt[4]{3}}
</math>
jossa s on sivun pituus ja A pinta-ala.

== Mielivaltaisen kolmion yhden sivun pituus ==
[[Tiedosto:Kolmio.png|pienoiskuva|Mielivaltainen kolmio]]

Jotta mielivaltaisen kolmion pinta-alasta voitaisiin ratkaista sivujen pituuksia, on tunnettava sivujen väliset kulmat.
Yhden sivun pituus on:
:<math>
s = \sqrt[2]{\frac{2A(1+\frac{\left| \tan \alpha \right|}{\left| \tan \beta \right| })}{\left| \tan \alpha \right|}}
</math>
jossa α ja β ovat s:n viereiset kulmat. Jos α tai β on 90°, käytettävä kaava on 
:<math>
s = \sqrt[2]{\frac{2A}{\tan \alpha}}
</math>
jossa α on se s:n viereinen kulma, joka ei ole 90°.

== Muita esimerkkejä ==

Jos kolmiossa kulma α on kaksi kertaa niin suuri kuin kulma β, niin kolmion sivun pituuksille on voimassa yhtälö a² = b² + bc, missä a on kulman α  vastaisen sivun pituus, b on kulman β  vastaisen sivun pituus ja c on kolmannen sivun pituus.<ref>{{Lehtiviite | Tekijä = Larsen, Mogens Esrom | Otsikko = Salaperäinen sivu | Julkaisu = Tieteen Kuvalehti | Ajankohta = 1991 | Vuosikerta = | Numero = 10 | Sivut = 77 | Julkaisupaikka = Helsinki | Julkaisija = Bonnier Julkaisut Oy | Selite = | Tunniste = | Issn = 0903-5583 | www = | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = | Kieli = | Lopetusmerkki = }}</ref>

== Katso myös ==
* [[Kolmioluku]]

== Lähteet ==
*{{Kirjaviite | Tekijä = Väisälä, Kalle | Nimeke =Geometria | Vuosi =1959  | Julkaisupaikka =Porvoo | Julkaisija =Wsoy | www =http://matematiikkalehtisolmu.fi/2011/geometria.pdf  | Tiedostomuoto =pdf  | Viitattu = 25.8.2013}}

=== Viitteet ===
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=vaisala22>Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 22–25</ref>
* <ref name=vaisala34>Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s. 34–40</ref>
* <ref name=triangle>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html | Nimeke = Triangle | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
}}

==Kirjallisuutta==
* {{kirjaviite | Tekijä = Kivelä, Simo K. | Nimeke = [[Algebra ja geometria]] | Julkaisija = Otatieto | Julkaisupaikka = Espoo | Vuosi = 1989 | Isbn = 951-672-103-6}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Rikkonen, Harri | Nimeke=[[Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria]] | Julkaisija=Otakustantamo | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=1969 | Isbn = 951-671-067-0}}
* {{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf  |  Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. {{ISBN|978-952-7010-12-9}} {{ISBN|978-952-7010-13-6}} (pdf) | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat}}
* [https://www.nettilaskuri.com/matematiikka/kolmion-pinta-ala-sivu-ja-kulmalaskuri Kolmion pinta-ala-, sivu- ja kulmalaskuri] Laskuri jonka avulla voidaan laskea kolmion pinta-ala, sivut ja kulmat.
* [http://www.laskurini.fi/matematiikka/kolmion-pinta-ala-sivu-kulma Kolmiolaskuri] Laskee esimerkiksi pinta-alan kun tiedetään sivut.

{{Metatieto}}

[[Luokka:Monikulmiot]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]