Lähdekoodi sivulle Keskeinen raja-arvolause

'''Keskeinen raja-arvolause''' on [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennan]] tulos, jonka mukaan keskiarvo riittävän suuresta määrästä toisistaan [[riippumaton muuttuja|riippumattomia]] [[satunnaismuuttuja|satunnaismuuttujia]], joista kullakin on hyvin määritelty [[odotusarvo]] ja [[varianssi]], on tietyin edellytyksin likipitäen [[normaalijakauma|normaalisti jakautunut]] riippumatta kunkin satunnaismuuttujan omasta jakaumasta.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.math.uah.edu/stat/sample/CLT.htm | Nimeke = The Central Limit Theorem | Viitattu = 7.1.2015}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = Rice, John | Nimeke = Mathematical Statistics and Data Analysis, 2. painos | Julkaisija = Duxbury Press | Vuosi = 1995 | Tunniste = | Isbn = 0-534-20934-3}}</ref>

Lausetta voi havainnollistaa muodostamalla suuren määrän havaintoja käsittävä otos, jossa kukin havainto on generoitu satunnaisesti muista havaintokerroista riippumatta. Tämän jälkeen lasketaan otoksen eli havaintojen keskiarvo. Jos tämä toistetaan monta kertaa, keskeisen raja-arvolauseen mukaan niiden keskiarvo jakautuu todennäköisesti sitä tarkemmin normaalijakauman eli niin sanotun kellokäyrän mukaisesti. Esimerkiksi jos [[kolikon heittäminen|kolikkoa heitetään]] erittäin monta kertaa, todennäköisyys saada kruuna tietyllä määrällä kertoja noudattaa normaalijakaumaa, jonka [[odotusarvo]] on puolet heittojen lukumäärästä.

Keskeisestä raja-arvolauseesta on monia muunnelmia. Sen kauimmin tunnettu muoto edellyttää, että satunnaismuuttujat, joiden keskiarvoa tarkastellaan, ovat samoin jakautuneet. Satunnaismuuttujien keskiarvo kuitenkin [[suppeneminen|suppenee]] kohti normaalijakaumaa tietyin edellytyksin useissa sellaisissakin tapauksissa, joissa ne eivät ole samoin jakautuneet eivätkä edes toisistaan riippumattomat.

Yleisimmässä mielessä ''keskeiset raja-arvolauseet'' ovat koko joukko todennäköisyyslaskennan raja-arvolauseita. Ne kaikki ilmaisevat eri tavoin, että monen [[riippumaton ja identtisesti jakautunut|riippumattoman ja identtisesti jakautuneen]] tai tietyin edellytyksin myös tavalla tai toisella toisistaan riippuvankin satunnaismuuttujan summalla on taipumus noudattaa jakaumaa, joka kuuluu pieneen joukkoon ''[[attraktori]]jakaumaa''. Kun riippumattomien ja identtisten jakautuneiden satunnaismuuttujien varianssi on äärellinen, tämä attraktorijakauma on normaalijakauma. Sitä vastoin jos muodostetaan sellaisten satunnaismuuttujien summa, joilla on [[potenssilaki|potenssilain]] mukainen, funktion |''x''|<sup>-&alpha;-1</sup> mukaisesti (0 < &alpha; < 2) pienenevä "häntä" ja joiden varianssi näin ollen on ääretön, se suppenee kohti alfa-[[vakaa jakauma|vakaata jakaumaa]], jonka vakausparametri muuttujien lukumäärän kasvaessa on &alpha;<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Voit, Johannes | Nimeke = The Statistical Mechanics of Financial Markets | Sivu = 124 | Julkaisija = Springer-Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = | Isbn = 3-540-00978-7}}</ref>

[[Tilastotiede|Tilastotieteessä]] keskeisellä raja-arvolauseella on perustava merkitys käsiteltäessä suuria [[otanta|otoksia]] jostakin aineistosta. Sen sijaan pieniä otoksia käsiteltäessä se ei ole yhtä käyttökelpoinen.<ref name=VasamaVartia>{{kirjaviite | Tekijä = Vasama, Pyry-Matti & Vartia, Yrjö | Nimeke = Johdatus tilastotieteeseen, osa 1 | Sivut = 285-286 | Luku = Keskeinen raja-arvolause |Julkaisija = Gaudeamus | Vuosi = 1973 | Tunniste = | Isbn = 951-662-015-9}}</ref>

==Keskeisiä raja-arvolauseita riippumattomille jonoille==

===Klassinen keskeinen raja-arvolause===
Olkoon {''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>''} ''n'' alkion [[otanta|satunnaisotos]], toisin sanoen
jono [[riippumaton ja identtisesti jakautunut|riippumattomia ja identtisesti jakautuneita]] satunnaismuuttujia,
joilla kaikilla on sama [[odotusarvo]] on &mu; ja sama äärellinen varianssi &sigma;<sup>2</sup>. Tarkastellaan
näiden satunnaismuuttujien [[otoskeskiarvo]]a

:<math>S_n := \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}</math>.

[[Suurten lukujen laki|suurten lukujen lain]] mukaan otoskeskiarvo suppenee [[stokastinen konvergenssi|stokastisesti]] ja [[melkein varma tapahtuma|melkein varmasti]] kohti odotusarvoa ''&mu;'', kun ''n'' kasvaa rajatta. Klassinen keskeinen raja-arvolause kuvaa stokastisten [[fluktuaatio]]iden suuruutta ja niiden jakauman muotoa tämä raja-arvon &mu; molemmin puolin suppenemisen aikana. Tarkemmin sanottuna se sanoo, että kun ''n'' kasvaa, otoskeskiarvon ''S<sub>n</sub> ja sen raja-arvon &mu; erotuksen jakauma, kun se kerrotaan tekijällä <math>\sqrt{n}</math>, toisin sanoen tulon <math>\sqrt{n} (S_n - \mu)</math> jakauma) lähestyy [[normaalijakauma]]a, jonka keskiarvo on 0 ja varianssi &sigma;<sup>2</sup>.  Tarpeeksi suurella ''n'':n arvolla ''S<sub>n</sub>:n jakauma on lähellä normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on &mu; ja varianssi &sigma;<sup>2</sup>/''n''. Tuloksen merkitys perustuu siihen, että lausekkeen <math>\sqrt{n} (S_n - \mu)</math> jakauma lähestyy normaalijakaumaa riippumatta siitä, millainen jakauma alkuperäisillä satunnaismuuttujilla ''X<sub>i</sub>'' itsellään on.  Täsmällisessä muodossa lause voidaan esittää seuraavasti: 

<blockquote>'''Lindebergin–Lévyn keskeinen raja-arvolause.''' Olkoon {''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...} 
jono [[riippumaton ja identtisesti jakautunut|riippumattomia ja identtisesti jakautuneita]] satunnaismuuttujia,
joiden odotusarvo on E[''X<sub>i</sub>'']&nbsp;=&nbsp;''µ'' ja varianssi Var[''X<sub>i</sub>''] = &sigma;<sup>2</sup> <  ∞. Tällöin kun ''n'' kasvaa rajatta, satunnaismuuttujat  <math>\sqrt{n} (S_n - \mu)</math> [[jakaumakonvergenssi|konvergoivat jakaumaltaan]] kohti [[normaalijakauma]]a  ''N''(0, &sigma;<sup>2</sup>):<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Billingsley, Patrick | Nimeke = Probability and Measure, 3. painos | Sivu = 357 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Vuosi = 1995 | Tunniste = | Isbn = 0-471-00710-2}}</ref>

:<math>\sqrt{n}\bigg(\bigg(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\bigg) - \mu\bigg)\ \xrightarrow{d}\ N(0,\;\sigma^2).</math></blockquote>

Tapauksessa ''s''&nbsp;>&nbsp;0, jakaumakonvergenssi merkitsee, että lausekkeen <math>\sqrt{n} (S_n - \mu)</math> jakauman [[kertymäfunktio]] [[suppeneminen|suppenee]] pisteittäisesti kohti normaalijakauman N (0, &sigma;<sup>2</sup> kertymäfunktiota jokaisella reaaliluvulla&nbsp;''z'',

:<math>\lim_{n\to\infty} \Pr[\sqrt{n}(S_n-\mu) \le z] = \Phi(z/\sigma),</math>

missä F(''x'') on normaalijakauman kertymäfunktion arvo pisteessä ''x''.  Suppeneminen on myös [[tasainen suppeneminen|tasaista]] pisteessä ''z'' siinä mielessä, että

:<math>\lim_{n\to\infty}\sup_{z\in{\mathbf R}}\bigl|\Pr[\sqrt{n}(S_n-\mu) \le z] - \Phi(z/\sigma)\bigr| = 0,</math>

missä sup tarkoittaa joukon pienintä ylärajaa eli [[supremum]]ia.<ref>{{kirjaviite | Tekijä =  Bauer, Heinz | Nimeke = Measure and Integration Theory | Sivu = 199 | Luku = Theorem 30.13 | Julkaisija = de Gruyter | Julkaisupaikka = Berliini | Vuosi = 2001 | Tunniste = | Isbn = 3110167190}}</ref>

===Ljapunovin keskeinen raja-arvolause===
Tämä lause on saanut nimensä venäläisen matemaatikko [[Aleksandr Ljapunov]]in mukaan. Tämä keskeisen raja-arvolauseen muunnelma edellyttää, että satunnaismuuttujien ''X<sub>i</sub>'' on oltava riippumattomat, mutta ei välttämättä identtisesti jakautuneet.  Lause edellyttää myös, että satunnaismuuttujilla |''X<sub>i</sub>''| on oltava asteiden (2 + &delta;) [[momentti (matematiikka)|momentit]] ja että näiden momenttien kasvu on rajoitettu jäljempänä selitetyllä Ljapunovin ehdon mukaisella tavalla.

<blockquote>'''Ljapunovin keskeinen raja-arvolause.'''
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Billingsley, Patrick | Nimeke = Probability and Measure, 3. painos | Sivu = 362 |
Julkaisija = John Wiley & Sons | Vuosi = 1995 | Tunniste = | Isbn = 0-471-00710-2}}</ref> Olkoon {''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...} jono riippumattomia satunnaismuuttujia, joista jokaisen
odotusarvo on µ<sub>''i''</sub> ja varianssi &sigma;<sub>i</sub><sup>2</sup>. Määritellään

:<math>s_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2</math>

Jos jollakin arvolla &delta; > 0, pätee ''Ljapunovin ehto''

: <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_{n}^{2+\delta}} \sum_{i=1}^{n} \operatorname{E}\big[\,|X_{i} - \mu_{i}|^{2+\delta}\,\big] = 0</math>

niin summa (''X<sub>i</sub>'' - µ<sub>''i''</sub>)/''s<sub>n</sub>'' konvergoi jakaumaltaan kohti standardia
normaalijakaumaa, kun ''n'' kasvaa rajatta:

: <math>\frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu_i) \ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;1).</math></blockquote>

Käytännössä on tavallisesti helpointa tarkistaa, päteekö Ljapunovin ehto arvolla &delta; = 1. Jos satunnaismuuttujien jono toteuttaa Ljapunovin ehdon, se toteuttaa myös Lindebergin ehdon. Kääntäen ei kuitenkaan Lindebergin ehdosta seuraa Ljapunovin ehto.

=== Lindebergin–Fellerin lause ===

Suomalainen matemaatikko [[Jarl Waldemar Lindeberg]] osoitti vuonna 1920, että keskeisen raja-arvolauseen
edellytyksenä ollut Ljapunovin ehto voidaan korvata heikommalla ''Lindebergin ehdolla''. Myöhemmin [[William Feller]] osoitti, että Lindebergin ehto on myös [[välttämätön ehto]] sille, että summa konvergoi jakaumaltaan kohti normaalijakaumaa. Täten kysymyksen siitä, millä ehdoilla keskeinen raja-arvolause pätee, voidaan katsoa saaneen tyhjentävän ratkaisun.<ref name=PT_PN2>{{kirjaviite | Tekijä = Tuominen, Pekka & Norlamo, Pekka |Nimeke = Todennäköisyyslaskenta, osa 2 | Luku = Keskeinen raja-arvolause | Sivut = 496–497 | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1978 | Tunniste = | Isbn = 951-745-023-0}}</ref>

Olkoon {''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...} jono riippumattomia satunnaismuuttujia, joista jokaisen
odotusarvo on µ<sub>''i''</sub> ja varianssi &sigma;<sub>i</sub><sup>2</sup>. Oletetaan lisäksi, että

:<math> \lim_{n \to \infty} \max_{1\le i\le n} \frac{\sigma_1}{s_n} = 0</math>, missä <math>s_n = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2}</math>.

Tällöin summa (''X<sub>i</sub>'' - µ<sub>''i''</sub>)/''s<sub>n</sub>'' konvergoi jakaumaltaan kohti standardia
normaalijakaumaa, kun ''n'' kasvaa rajatta, [[jos ja vain jos]] seuraava ''Lindebergin ehto'' pätee:<ref name=PT_PN2 />

:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_n^2}\sum_{i = 1}^{n} \int_{|x - \mu_i| > \epsilon s_n} (x - \mu_i)^2 dF_{X_i}(x) = 0</math> kaikilla &epsilon; > 0.

===Moniulotteinen keskeinen raja-arvolause===
Todistukset, joissa käytetään karakteristisia funktioita, voidaan yleistää tapauksiin, joissa kukin muuttuja ''X''<sub>''i''</sub> on [[satunnaisvektori]] avaruudessa <math>\mathbb{R}^k</math>, jonka vektoriarvoinen odotusarvo on µ = E(''X<sub>i</sub>'') ja vektorin komponenteista muodostettu [[kovarianssimatriisi]] ''S'', ja nämä satunnaisvektorit ovat riippumattomat ja identtisesti jakautuneet. Näiden vektorien summaus on suoritettava komponenteittain. Moniulotteinen keskeinen raja-arvolause sanoo, että skaalattuina nämä summat suppenevat kohti [[moniulotteinen normaalijakauma|moniulotteista normaalijakaumaa]].<ref>{{kirjaviite | Tekijä = A. W. Van der Vaart | Nimeke = Asymptotic statistics | Julkaisija = Cambridge University Press | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1998 | Tunniste = | Isbn = 978-0-521-49603-2 | Lccn = 98015176}}</ref>

Olkoon

:<math>\mathbf{X_i}=\begin{bmatrix} X_{i(1)} \\ \vdots \\ X_{i(k)} \end{bmatrix}</math>

''k''-vektori. Lihavointi merkinnässä '''X'''<sub>''i''</sub> osoittaa, että kyseessä on satunnaisvektori, ei yksiulotteinen satunnaismuuttuja. Tällöin satunnaisvektorien summa on

:<math>\begin{bmatrix} X_{1(1)} \\ \vdots \\ X_{1(k)} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} X_{2(1)} \\ \vdots \\ X_{2(k)} \end{bmatrix}+\cdots+\begin{bmatrix} X_{n(1)} \\ \vdots \\ X_{n(k)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n} \left [ X_{i(1)} \right ] \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} \left [ X_{i(k)} \right ] \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X_i}</math>

ja keskiarvo 

:<math> \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{X_i}= \frac{1}{n}\begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n} X_{i(1)} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} X_{i(k)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar X_{i(1)} \\ \vdots \\ \bar X_{i(k)} \end{bmatrix}=\mathbf{\bar X_n}</math>

ja sen vuoksi

:<math>\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} \left [\mathbf{X_i} - E\left ( X_i\right ) \right ]=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} ( \mathbf{X_i} - \mu ) = \sqrt{n}\left(\mathbf{\overline{X}}_n - \mu\right) </math>.

Moniulotteinen keskeinen raja-arvolause osoittaa, että

:<math>\sqrt{n}\left(\mathbf{\overline{X}}_n - \mu\right)\ \stackrel{D}{\rightarrow}\ \mathcal{N}_k(0,\Sigma)</math>

missä [[kovarianssimatriisi]] S on 

:<math> \Sigma=\begin{bmatrix}
{\operatorname{Var} \left (X_{1(1)} \right)} & \operatorname{Cov} \left (X_{1(1)},X_{1(2)} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1(1)},X_{1(3)} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{1(1)},X_{1(k)} \right) \\
\operatorname{Cov} \left (X_{1(2)},X_{1(1)} \right) & \operatorname{Var} \left (X_{1(2)} \right) & \operatorname{Cov} \left(X_{1(2)},X_{1(3)} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left(X_{1(2)},X_{1(k)} \right) \\
\operatorname{Cov}\left (X_{1(3)},X_{1(1)} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1(3)},X_{1(2)} \right) & \operatorname{Var} \left (X_{1(3)} \right) & \cdots & \operatorname{Cov} \left (X_{1(3)},X_{1(k)} \right) \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Cov} \left (X_{1(k)},X_{1(1)} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1(k)},X_{1(2)} \right) & \operatorname{Cov} \left (X_{1(k)},X_{1(3)} \right) & \cdots & \operatorname{Var} \left (X_{1(k)} \right) \\
\end{bmatrix}.</math>

===Yleistetty lause===

Keskeinen raja-arvolause sanoo, että riippumattoman ja identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien summa, kun niillä on äärellinen varianssi, lähestyy suurella todennäköisyydellä normaalijakaumaa, kun muuttujien lukumäärä kasvaa. [[Boris Vladimirovitš Gnedenko|Gnedenko]] ja [[Andrei Kolmogorov|Kolmogorov]] keksivät lauseelle
yleistyksen, joka koskee sellaisiakin satunnaismuuttujia, joiden jakaumat ääripäissään pienenevät potenssilain
mukaan kuten  |''x''|<sup>-a-1</sup>, missä 0 < a < 2, ja joiden varianssi tämän vuoksi on ääretön; tällainen on
esimerkiksi [[Pareton jakauma]]. Tällaisissakin tapauksissa satunnaismuuttujien summa suppenee kohti jotakin
vakaata jakaumaa <math>f(x;\alpha,0,c,0)</math>, kun yhteenlaskettavien lukumäärä kasvaa.<ref name=Voit2003a>{{kirjaviite | Tekijä = Voit, Johannes | Nimeke = The Statistical Mechanics of Financial Markets (Texts and Monographs in Physics) | Luku = Section 5.4.3 | Julkaisija = Springer-Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = | Isbn = 3-540-00978-7 | www = http://books.google.it/books?id=6zUlh_TkWSwC&dq=The+Statistical+Mechanics+of+Financial+Markets&hl=it&source=gbs_navlinks_s}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = Gnedenko, B. V. & Kolmogorovul, A. N. | Nimeke = Limit distributions for sums of independent random variables | Julkaisupaikka = Cambridge | Julkaisija = Addison-Wesley | Vuosi = 1954 | www = http://books.google.it/books/about/Limit_distributions_for_sums_of_independ.html?id=rYsZAQAAIAAuJ&redir_esc=y}}</ref> Jos a > 2, tämä summa suppenee kohti vakaata jakaumaa, jonka vakausparametri on arvoltaan 2, toisin sanoen Gaussin jakaumaa.<ref name=Uchaikin>{{kirjaviite | Tekijä = Uchaikin, Vladimir V. & Zolotarev, V. M. | Nimeke = Chance and stability: stable distributions and their applications | Sivut = 61–62 | Julkaisija = VSP | Vuosi = 1999 | Tunniste = | Isbn = 90-6764-301-7}}</ref>

== Keskeisiä raja-arvolauseita riippuville prosesseille ==
{{käännettävä}}
<!--
==Central limit theorems for dependent processes==

===CLT under weak dependence===
A useful generalization of a sequence of independent, identically distributed random variables is a [[Mixing (mathematics)|mixing]] random process in discrete time; "mixing" means, roughly, that random variables temporally far apart from one another are nearly independent. Several kinds of mixing are used in ergodic theory and probability theory. See especially [[Mixing (mathematics)#Mixing in stochastic processes|strong mixing]] (also called α-mixing) defined by α(''n'') → 0 where α(''n'') is so-called [[Mixing (mathematics)#Mixing in stochastic processes|strong mixing coefficient]].

A simplified formulation of the central limit theorem under strong mixing is:<ref>Billingsley (1995, Theorem 27.4)</ref>

'''Theorem.''' Suppose that ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... is stationary and α-mixing with α<sub>''n''</sub> = ''O''(''n''<sup>-5</sup>) and that E(''X<sub>n</sub>'') = 0 and E(''X<sub>n</sub>''<sup>2</sup>) < ∞. Denote ''S<sub>n</sub>'' = ''X''<sub>1</sub> + ... + ''X<sub>n</sub>'', then the limit

:<math> \sigma^2 = \lim_n \frac{E(S_n^2)}{n} </math>

exists, and if σ ≠ 0 then <math> S_n / (\sigma \sqrt n) </math> converges in distribution to ''N''(0, 1).

In fact,

:<math>\sigma^2  = E(X_1^2) + 2 \sum_{k=1}^{\infty} E(X_1 X_{1+k}),</math>

where the series converges absolutely.

The assumption σ ≠ 0 cannot be omitted, since the asymptotic normality fails for ''X<sub>n</sub>'' = ''Y<sub>n</sub>'' - ''Y''<sub>''n''-1</sub> where ''Y<sub>n</sub>'' are another [[stationary sequence]].

There is a stronger version of the theorem:<ref>Durrett (2004, Sect. 7.7(c), Theorem 7.8)</ref> the assumption E(''X<sub>n</sub>''<sup>12</sup>) < ∞ is replaced with {{nowrap|E({{!}}''X<sub>n</sub>''{{!}}<sup>2 + δ</sup>) < ∞, }} and the assumption α<sub>''n''</sub> = ''O''(''n''<sup>−5</sup>) is replaced with <math>\sum_n \alpha_n^{\frac\delta{2(2+\delta)}} < \infty.</math> Existence of such δ > 0 ensures the conclusion. For encyclopedic treatment of limit theorems under mixing conditions see {{Harv|Bradley|2005}}.

===Martingale difference CLT===
{{Main|Martingale central limit theorem}}
<blockquote>'''Theorem'''. Let a [[Martingale (probability theory)|martingale]] ''M<sub>n</sub>'' satisfy
* <math> \frac1n \sum_{k=1}^n \mathrm{E} ((M_k-M_{k-1})^2 | M_1,\dots,M_{k-1}) \to 1 </math>  in probability as ''n'' tends to infinity,
* for every e > 0, <math> \frac1n \sum_{k=1}^n \mathrm{E} \Big( (M_k-M_{k-1})^2; |M_k-M_{k-1}| > \varepsilon \sqrt n \Big) \to 0 </math>  as ''n'' tends to infinity,
then <math> M_n / \sqrt n </math> converges in distribution to N(0,1) as ''n'' → ∞.<ref>Durrett (2004, Sect. 7.7, Theorem 7.4)</ref><ref>Billingsley (1995, Theorem 35.12)</ref></blockquote>

''Caution:'' The [[restricted expectation]]{{clarify|reason=give source for this style of notation, else write using indicator functions|date=April 2012}} E(''X''; ''A'') should not be confused with the conditional expectation {{nowrap|E(''X''&nbsp;{{!}}&nbsp;''A'') {{=}} E(''X''; ''A'')/'''P'''(''A'').}}
-->
==Huomautuksia==

===Klassisen keskeisen raja-arvolauseen todistus===
Keskeisen raja-arvolauseen klassinen voidaan todistaa melko helposti [[karakteristinen funktio|karakterististen funktioiden]] avulla. Todistus on samantapainen kuin heikon [[suurten lukujen laki|suurten lukujen lain]]. [[Taylorin lause]]en mukaan jokaisen sellaisen satunnaismuuttujan ''Y'' karakteristinen funktio, jonka odotusarvo on nolla ja varianssi var(''Y'') = 1), on

:<math>\varphi_Y(t) = 1 - {t^2 \over 2} + o(t^2), \quad t \rightarrow 0</math>

missä ''o'' on jokin ''t'':n funktio, joka suppenee kohti nollaa nopeammin kuin ''t''<sup>2</sup>''.

Olettamalla, että ''Y<sub>i</sub>'' on (''X<sub>i</sub>'' - µ)/s eli ''X<sub>i</sub>'':n standardoitu arvo on helppo huomata, että havaintojen ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> standardoitu keskiarvo on 

:<math>Z_n = \frac{n\overline{X}_n-n\mu}{\sigma \sqrt{n}} =\sum_{i=1}^n {Y_i \over \sqrt{n}}</math>

Karakterististen funktioiden perusominaisuuksien nojalla summan karakteristinen funktio on:

:<math>
\begin{align}
\varphi_{Z_n} & =\varphi_{\sum_{i=1}^n {Y_i \over \sqrt{n}}}\left(t\right) = \varphi_{Y_1} \left(t / \sqrt{n} \right) \cdot \varphi_{Y_2} \left(t / \sqrt{n} \right)\cdots \varphi_{Y_n} \left(t / \sqrt{n} \right) \\[8pt]
& = \left[\varphi_Y\left({t \over \sqrt{n}}\right)\right]^n
\end{align}
</math>

niin että kun [[eksponenttifunktio]] voidaan esittää raja-arvona
:<math>e^x = \lim (1 + \frac{x}{n})^n</math>, 
''Z''<sub>''n''</sub>:n karakteristinen funktio on

:<math>\left[\varphi_Y\left({t \over \sqrt{n}}\right)\right]^n = \left[ 1 - {t^2 \over 2n} + o\left({t^2 \over n}\right) \right]^n \, \rightarrow \, e^{-t^2/2}, \quad n \rightarrow \infty.</math>

Mutta tämä on sama kuin standardin normaalijakauman ''N''(0, 1), karakteristinen funktio, ja keskeinen raja-arvolause seuraa [[Lévyn jatkuvuuslause]]esta, joka takaa, että karakterististen funktioiden suppenemisesta seuraa
jakaumien konvergenssi.

===Suppeneminen kohti raja-arvoa===
Keskeinen raja-arvolause antaa vain asymptoottisen jakauman. Äärelliselle äärelliselle määrälle havaintoja se antaa järkevän likiarvon vain lähellä normaalijakauman huippua; tarvitaan erittäin suuri määrä havaintoja, jotta tulos pätisi myös jakauman kummassakin ääripäässä.

Jos kolmas keskeinen [[momentti (matematiikka)|momentti]] E((''X''<sub>1</sub> - &mu;)<sup>3</sup>) on olemassa ja se on äärellinen, mainittu suppeneminen on [[tasainen suppeneminen|tasaista]] ja suppenemisvauhti on vähintään luokkaa 1/''n''<sup>1/2</sup> (katso [[Berryn-Esseenin lause]]). [[Steinin metodi]]a<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Stein, Charles | Otsikko = A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables | Julkaisu = Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability | Sivut = 583–602 | Vuosi = 1972 |  mr=402873 | zbl = 0278.60026| www = http://projecteuclid.org/euclid.bsmsp/1200514239}}</ref> voidaan käyttää, paitsi keskeisen raja-arvolauseen todistamiseen, myös suppenemisvauhdin arvioimiseen valitulla mitta-asteikolla.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Chen, L. H. Y. & Coldstein, L. & Shao, Q. M. | Nimeke = Normal approximation by Stein's method | Julkaisija = Springer | Vuosi = 2011 | Tunniste = | Isbn = 978-3-642-15006-7}}</ref>

Suppeneminen normaalijakaumaa kohti on monotonista siinä mielessä, että ''Z''<sub>''n''</sub>:n [[entropia]] kasvaa [[monotoninen funktio|monotonisesti]] kohti normaalijakauman entropiaa.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Artstein, S. & Ball, K. & Barthe, F. & Naor, Assaf | Otsikko = Solution of Shannon's Problem on the Monotonicity of Entropy | Julkaisu = Journal of the American Mathematical Society | Vuosi = 2004 | Vuosikerta = 17 | Numero = 4 | Sivut = 975–982 | Doi = 10.1090/S0894-0347-04-00459-X | www = http://www.ams.org/jams/2004-17-04/S0894-0347-04-00459-X/home.html}}</ref>

Keskeinen raja-arvolause pätee erityisesti myös riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden [[diskreetti satunnaismuuttuja|diskreettien satunnaismuuttujien]] keskiarvolle. Diskreettien satunnaismuuttujien summa on yhä diskreetti satunnaismuuttuja, joten tässä on kysymyksessä jono diskreettejä satunnaismuuttujia, joiden [[kertymäfunktio]] suppenee kohti jatkuvan jakauman, nimittäin [[normaalijakauma]]n kertymäfunktiota. Tämä merkitsee, että jos ''n'' riippumattoman identtisen satunnaismuuttujan toteutuneista summista laaditaan [[histogrammi]] ja piirretään käyrä, joka yhdistää histogrammin muodostavien suorakulmioiden yläreunojen keskipisteet, tämä käyrä muistuttaa muodoltaan [[Gaussin käyrä]]ä sitä tarkemmin, mitä suurempi luku ''n'' on. Tätä tulosta sanotaan [[de Moivren–Laplacen lause]]eksi. Esimerkiksi jos lasketaan sellaisten satunnaismuuttujien summa, joista kullakin on vain kaksi mahdollista arvoa, tämä summa noudattaa [[binomijakauma]]a, joka lähestyy muodoltaan normaalijakaumaa sitä enemmän, mitä enemmän näitä yhteenlaskettuja satunnaismuuttujia on.

===Keskeinen raja-arvolause ja suurten lukujen laki===
Keskeisen raja-arvolauseen tavoin myös [[suurten lukujen laki]] on osittainen ratkaisu yleiseen ongelmaan: Mitä
riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien summalle ''S''<sub>''n''</sub> tai niiden
keskiarvolle lopulta tapahtuu kun satunnaismuuttujien lukumäärä ''n'' kasvaa rajatta?  

Matemaattisessa analyysissä [[asymptoottonen sarja|asymptoottiset sarjat]] kuuluvat käytetyimpiin työkaluihin senlaatuisten kysymysten käsittelyssä. Oletetaan, että ''f''(''n''):llä on asymptoottinen kehitelmä:
: <math>f(n)= a_1 \varphi_{1}(n)+a_2 \varphi_{2}(n)+O(\varphi_{3}(n)) \qquad  (n \rightarrow \infty).</math>

Jakamalla molemmat puolet f<sub>1</sub>(''n''):llä ja ottamalla raja-arvo saadaan ''a''<sub>1</sub>, kehitelmän korkeimman asteen termin kerroin, joka osoittaa, kuinka nopeasti ''f''(''n''):n johtava termi muuttuu.

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{\varphi_{1}(n)}=a_1.</math>

Epämuodollisesti voidaan sanoa, että "''f''(''n'') kasvaa likiptäen samassa tahdissa kuin ''a''<sub>1</sub> f<sub>1</sub>(''n'')". Jos ''f''(''n''):n ja sen likiarvon erotus jaetaan kehitelmän seuraavalla termillä saadaan ''f''(''n''):lle tarkempi arvio:

: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)-a_1 \varphi_{1}(n)}{\varphi_{2}(n)}=a_2 .</math>

Tässä voidaan sanoa, että funktion ja sen likiarvon erotus kasvaa likipitäen saman verran kuin ''a''<sub>2</sub> f<sub>2</sub>(''n'').  Ajatuksena on, että kun funktio jaetaan sopivilla normalisointifunktioilla ja tutkitaan, miten näin saadulle funktiolle käy ''n'':n kasvaessa voidaan päätellä paljon myös siitä, miten alkuperäiselle funktiolle silloin tapahtuu

Kutakuinkin samaan tapaan voidaan tarkastella myös riippumattomien ja identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'' summaa ''S<sub>n</sub>''. Jos jokaisella ''X<sub>i</sub>'' on äärellinen odotusarvo &mu; suurten lukujen lain mukaan niiden keskiarvo lähestyy tätä odotusarvoa eli ''S<sub>n</sub>''/''n'' → µ.<ref>{{kirjaviite |Tekijä = Set, Jeffrey | Nimeke = A first look at rigorous probability theory | Luku = Theorem 5.3.4 | Sivu = 47 | Julkaisija = World Scientific | Vuosi = 2000 | Tunniste = | Isbn = 981-02-4322-7}}</ref> Jos lisäksi jokaisella ''X<sub>i</sub>'' on äärellinen varianssi &sigma;<sup>2</sup>, niin keskeisen raja-arvolauseen mukaan

: <math> \frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}} \rightarrow \xi ,</math>

missä &xi; noudattaa normaalijakaumaa N(0, &sigma;<sup>2</sup>).  Tästä saadaan kahden ensimmäisen vakion arvot epämuodollisessa kehitelmässä

: <math>S_n \approx \mu n+\xi \sqrt{n}. \, </math>

Tapauksessa, jossa satunnaismuuttujilla ''X''<sub>''i''</sub> ei ole äärellistä keskiarvoa tai varianssia, niiden
summalle voidaan silti sopivasti muuntamalla ja uudelleen skaalaamalla saada suppeneva lauseke:

:<math>\frac{S_n-a_n}{b_n} \rightarrow \Xi,</math>

tai vähemmän muodollisesti

: <math>S_n \approx a_n+\Xi b_n. \, </math>

Tällä tavoin saatuja jakaumia &Xi; sanotaan ''[[vakaa jakauma|vakaiksi jakaumiksi]]''.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Johnson, Oliver Thomas | Nimeke = Information theory and the central limit theorem | Sivu = 88 | Julkaisija = Imperial College Press | Vuosi = 2004 | Tunniste = | Isbn = 1-86094-473-6}}</ref> Normaalijakauma selvästikin on vakaa, mutta on olemassa muitakin vakaita jakaumia, esimerkiksi [[Cauchyn jakauma]], jolla ei ole odotusarvoa eikä varianssia ja jota sen vuoksi ei sen enempää keskeinen raja-arvolause enempää kuin suurten lukujen lakikaan koske.

Skaalaustekijä ''b<sub>n</sub>'' saattaa olla verrannollinen lausekkeeseen ''n''<sup>c</sup>, missä usein ''c'' = 1/2, mutta se voidaan myös kertoa jollakin ''n'':n [[hitaasti vaihteleva funktio|hitaasti vaihtelevalla funktiolla]].<ref name=Uchaikin /><ref>{{kirjaviite |Tekijä = Borodin, A. N. & Ibragimov, Il'dar Abdulovich & Sudakov, V. N. | Nimeke= Limit theorems for functionals of random walks | Sivu = 8 | Luku = Theorem 1.1 | Julkaisija = AMS Bookstore | Vuosi = 1995 | Tunniste = | Isbn = 0-8218-0438-3}}</ref>

[[Toistettujen logaritmien laki]] tarkentaa, mitä tapahtuu [[suurten lukujen laki|suurten lukujen lain]] ja keskeisen raja-arvolauseen "välissä".  Erityisesti se osoittaa, että normalisointifunktion <math> \sqrt{n\log\log n} </math> avulla, joka suuruudeltaan on suurten lukujen laissa esiintyvän lukumäärän ''n'' ja keskeisessä raja-arvolauseessa esiintyvän neliöjuuren <math>\sqrt{n}</math> välissä, saadaan ''n'':n kasvaessa ei-triviaaleja tuloksia.

===Vaihtoehtoisia muotoiluja ===

====Tiheysfunktiot ====
Kahden tai useamman riippumattoman muuttujan summan [[tiheysfunktio]] on näiden muuttujien tiheyksien [[konvoluutio]], jos niillä on tiheysfunktiot. Niinä keskeinen raja-arvolauseen voidaan tulkita koskevan näiden tiheysfunktioiden ominaisuuksia konvoluutiossa: tiheysfunktiojoukon konvoluutio lähestyy normaalijakaumaa, kun tiheysfunktioiden lukumäärä kasvaa rajatta. Tällaiset tiheysfunktioiden suppenemista koskevat, niin sanotut ''lokaalit keskeiset raja-arvolauseet'' kuitenkin pätevät vain tietyin edellytyksin, jotka ovat ankarammat kuin keskeisen raja-arvolauseen edellä esitetyissä versiossa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Petrov, V. V. | Nimeke = Sums of Independent Random Variables | Luku = 7. luku | Julkaisija = Springer-Verlag | Julkaisupaikka = New York, Heidelberg | Vuosi = 1976}}</ref>

====Karakteristiset funktiot====
Koska konvoluution [[karakteristinen funktio]] on siinä mukana olevien tiheysfunktioiden karakterististen funktioiden tulo, keskeisestä raja-arvolauseesta on olemassa myös niitä koskeva muoto: tiheysfunktiojoukon karakterististen funktioiden tulo lähestyy normaalijakauman karakteristista funktiota, kun tiheysfunktioiden lukumäärä kasvaa rajatta, edellä mainituilla edellytyksillä.  Tämän tarkentamiseksi on karakterististen funktioiden argumentteja on kuitenkin muunnettava sopivalla skaalaustekijällä.

Vastaava tulos voidaan esittää myös [[Fourier-muunnos|Fourier-muunnoksille]], sillä karakteristinen funktio on
oleellisesti Fourier-muunnos.
==Lauseen laajennuksia ==

===Positiivisten satunnaismuuttujien tulo===
Lukujen tulon [[logaritmi]] on tulon tekijöiden logaritmien summa. Sen vuoksi sellaisten satunnaismuuttujien tulo, joista kukin lähestyy normaalijakaumaa mutta voi saada vain positiivisia arvoja, lähestyy [[log-normaalijakauma]]a. Monet fysikaaliset suureet (erityisesti massa tai pituus, jotka eivät voi olla negatiivisia), ovat monien satunnaisten tekijöiden tuloja, jolloin nämä suureet monissa tilanteissa noudattavat log-normaalijakaumaa.

Sen sijaan että satunnaismuuttujien summaa koskeva keskeinen raja-arvolause edellyttää äärellistä varianssia, vastaava lause niiden tulolle edellyttää, että tiheysfunktioiden neliöt ovat integroituvia.<ref name=Rempala>{{lehtiviite | Tekijä = Remala, G. & Wesolowski, G. | Otsikko = Asymptotics of products of sums and ''U''-statistics | Julkaisu = Electronic Communications in Probability | Vuosi = 2002 | Vuosikerta = 7 | Sivut = 47–54 | www = http://www.math.washington.edu/~ejpecp/EcpVol7/paper5.pdf | Doi = 10.1214/ecp.v7-1046 | viitattu = 9.1.2016 | arkisto = https://web.archive.org/web/20110927012357/http://www.math.washington.edu/~ejpecp/EcpVol7/paper5.pdf | arkistoitu = 27.9.2011 }}</ref>

==Klassisen viitekehyksen ulkopuolella ==

Asymptoottinen normaalisuus, toisin sanoen suppeneminen sopivien muunnosten ja uudelleenskaalausten jälkeen kohti normaalijakaumaa, on ilmiö, joka esiintyy monessa muussakin kuin edellä käsitellyissä tilanteissa, toisin sanoen satunnaismuuttujien tai -vektoreiden summan tapauksessa. Tilanteita, joissa vastaava ilmiö esiintyy, on aikaa myöten paljastunut jatkuvasti lisää, eikä niitä kaikkia toistaiseksi voida käsitellä yhtenäiseltä pohjalta.

{{käännettävä}}
<!--
===Convex body===
<blockquote>'''Theorem.'''  There exists a sequence ε<sub>''n''</sub> ↓ 0 for which the following holds. Let ''n'' ≥ 1, and let random variables ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'' have a [[Logarithmically concave function|log-concave]] [[Probability density function#Probability functions associated with multiple variables|joint density]] ''f'' such that {{nowrap|''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') {{=}} ''f''({{!}}''x''<sub>1</sub>{{!}}, ..., {{!}}''x<sub>n</sub>''{{!}})}} for all ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'',  and E(''X<sub>k</sub>''<sup>2</sup>) = 1 for all ''k'' = 1, ..., ''n''. Then the distribution of

:<math> \frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} </math>

is ε<sub>''n''</sub>-close to N(0, 1) in the [[Total variation distance of probability measures|total variation distance]].<ref>Klartag (2007, Theorem 1.2)</ref></blockquote>

These two ε<sub>''n''</sub>-close distributions have densities (in fact, log-concave densities), thus, the total variance distance between them is the integral of the absolute value of the difference between the densities. Convergence in total variation is stronger than weak convergence.

An important example of a log-concave density is a function constant inside a given convex body and vanishing outside; it corresponds to the uniform distribution on the convex body, which explains the term "central limit theorem for convex bodies".

Another example: {{nowrap|''f''(''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'') {{=}} const · exp( − ({{!}}''x''<sub>1</sub>{{!}}<sup>α</sup> + … + {{!}}''x<sub>n</sub>''{{!}}<sup>α</sup>)<sup>β</sup>)}} where α > 1 and αβ > 1. If β = 1 then ''f''(''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'') factorizes into {{nowrap|const · exp ( − {{!}}''x''<sub>1</sub>{{!}}<sup>α</sup>)…exp( − {{!}}''x<sub>n</sub>''{{!}}<sup>''α''</sup>), }} which means independence of ''X''<sub>1</sub>, …, ''X<sub>n</sub>''. In general, however, they are dependent.

The condition {{nowrap|''f''(''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'') {{=}} ''f''({{!}}''x''<sub>1</sub>{{!}}, …, {{!}}''x<sub>n</sub>''{{!}})}} ensures that ''X''<sub>1</sub>, …, ''X<sub>n</sub>'' are of zero mean and [[uncorrelated]];{{Citation needed|date=June 2012}} still, they need not be independent, nor even [[Pairwise independence|pairwise independent]].{{Citation needed|date=June 2012}} By the way, pairwise independence cannot replace independence in the classical central limit theorem.<ref>Durrett (2004, Section 2.4, Example 4.5)</ref>

Here is a [[Berry–Esseen theorem|Berry–Esseen]] type result.

'''Theorem.''' Let ''X''<sub>1</sub>, …, ''X<sub>n</sub>'' satisfy the assumptions of the previous theorem, then <ref>Klartag (2008, Theorem 1)</ref>

: <math> \bigg| \mathbb{P} \Big( a \le \frac{ X_1+\cdots+X_n }{ \sqrt n } \le b \Big) - \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_a^b \mathrm{e}^{-t^2/2} \, \mathrm{d} t \bigg| \le \frac C n </math>

for all ''a'' < ''b''; here ''C'' is a [[mathematical constant|universal (absolute) constant]]. Moreover, for every ''c''<sub>1</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''c<sub>n</sub>''&nbsp;∈&nbsp;'''R''' such that ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;…&nbsp;+&nbsp;''c<sub>n</sub>''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1,

: <math> \bigg| \mathbb{P} ( a \le c_1 X_1+\cdots+c_n X_n \le b ) - \frac1{\sqrt{2\pi}} \int_a^b \mathrm{e}^{-t^2/2} \, \mathrm{d} t \bigg| \le C ( c_1^4+\dots+c_n^4 ). </math>

The distribution of <math> (X_1+\cdots+X_n)/\sqrt n </math> need not be approximately normal (in fact, it can be uniform).<ref>Klartag (2007, Theorem 1.1)</ref> However, the distribution of ''c''<sub>1</sub>''X''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;…&nbsp;+&nbsp;''c<sub>n</sub>X<sub>n</sub>'' is close to ''N''(0,&nbsp;1) (in the total variation distance) for most of vectors (''c''<sub>1</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''c<sub>n</sub>'') according to the uniform distribution on the sphere ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;…&nbsp;+&nbsp;''c<sub>n</sub>''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1.
-->
===Lakunaariset trigonometriset sarjat===
<blockquote>'''[[Raphaël Salem|Salemin]]–[[Antoni Zygmund|Zygmundin]] lause'''. Olkoon ''U'' satunnaismuuttuja
joka on [[tasainen jakauma|jakautunut tasaisesti]] välille (0, 2p), ja ''X<sub>k</sub>'' = ''r<sub>k</sub>'' cos(''n<sub>k</sub>U'' + ''a<sub>k</sub>''), missä
* ''n''<sub>''k''</sub> toteuttaa lakunaarisuusehdon: on olemassa sellainen luku ''q'' > 1, että ''n''<sub>''k''+1</sub> = ''qn''<sub>''k''</sub> kaikilla ''k'':n arvoilla,
* ''r''<sub>''k''</sub> ovat sellaisia, että 
:: <math> r_1^2 + r_2^2 + \cdots = \infty \text{ and } \frac{ r_k^2 }{ r_1^2+\cdots+r_k^2 } \to 0, </math>
* 0 = ''a''<sub>''k''</sub> < 2p. 
Silloin<ref name=Zygmund>{{kirjaviite |Tekijä = Zygmund, Antoni | Nimeke = Trigonometric series, Volume II | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 1959 | Luku = Sect. XVI.5, Theorem 5-5 | Tunniste = | Isbn = 0-521-89053-5 | selite = (vuonna 2003 ilmestynyt yhdistelmä osista I ja II)}}</ref><ref>{{lehtiviite | Tekijä = Gaposhkin, V. F. | Otsikko = Lacunary series and independent functions | Luku = Theorem 2.1.13 | Julkaisu = Russian Mathematical Surveys Vuosi = 1966 | Vuosikerta = 21 | Numero = 6 | Sivut = 1–82 | Doi = 10.1070/RM1966v021n06ABEH001196}}</ref>

: <math> \frac{ X_1+\cdots+X_k }{ \sqrt{r_1^2+\cdots+r_k^2} } </math>

konvergoi jakaumaltaan kohti normaalijaumaa ''N''(0, 1/2).</blockquote>

===Gaussin polytoopit===
<blockquote>'''Teoreema''':  Olkoot ''A''<sub>1</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub> riippumattomia satunnaisesti valittuja pisteitä tasossa <math>\mathbb{R}^2</math>, joista jokainen noudattaa kaksiulotteista standardinormaalijakaumaa. Olkoon ''K''<sub>''n''</sub> näiden pisteiden [[kupera peite]] ja ''''X<sub>n</sub>'' alueen ''K''<sub>''n''</sub> pinta-ala. Silloin<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Bárány, Imre & Vu, Van | Nimeke = Central limit theorem for Gaussian polytopes (Theorem 1.1.) | Julkaisu = Annals of Probability | Julkaisija = Institute of Mathematical Statistics | Vuosi = 2007 | Vuosikerta = 35 | Numero = 4 | 1593–1621 | Doi = 10.1214/009117906000000791 | Arxiv = math/0610192}}</ref>

: <math> \frac{ X_n - \mathrm{E} (X_n) }{ \sqrt{\operatorname{Var} (X_n)} } </math>

suppenee jakaumana kohti normaalijakaumaa ''N''(0, 1), kun ''n'' kasvaa rajatta.</blockquote>

Sama pätee kaikissa ulottuvuuksissa (2, 3, ...).

[[Kupera polytooppi|Kuperaa polytooppia]] ''K''<sub>''n''</sub> sanotaan Gaussin satunnaispolytoopiksi.

Vastaava tulos pätee Gaussin polytooppien kärkien, särmien ja sivutahkojenkin lukumäärälle.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Bárány, Imre & Vu, Van | Nimeke = Central limit theorem for Gaussian polytopes (Theorem 1.2.) | Julkaisu = Annals of Probability | Julkaisija = Institute of Mathematical Statistics | Vuosi = 2007 | Vuosikerta = 35 | Numero = 4 | 1593–1621 | Doi = 10.1214/009117906000000791 | Arxiv = math/0610192}}</ref>
<!--
===Linear functions of orthogonal matrices===
A linear function of a matrix ''M'' is a linear combination of its elements (with given coefficients), ''M'' ↦ tr(''AM'') where ''A'' is the matrix of the coefficients; see [[Trace (linear algebra)#Inner product]].

A random [[orthogonal matrix]] is said to be distributed uniformly, if its distribution is the normalized [[Haar measure]] on the [[orthogonal group]] O(''n'', '''R'''); see [[Rotation matrix#Uniform random rotation matrices]].

'''Theorem.''' Let ''M'' be a random orthogonal ''n'' × ''n'' matrix distributed uniformly, and ''A'' a fixed ''n'' × ''n'' matrix such that tr(''AA*'') = ''n'', and let ''X'' = tr(''AM''). Then<ref name=Meckes/> the distribution of ''X'' is close to N(0, 1) in the total variation metric up to{{clarify|reason=what does up to mean here|date=June 2012}} 2{{sqrt|3}}/(''n''&nbsp;−&nbsp;1).
-->
===Alijonot===
'''Lause.'''  Olkoot satunnaismuuttujat ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, … ∈ ''L''<sub>2</sub>(O) sellaisia, että ''X<sub>n</sub>'' → 0 [[heikko suppeneminen (Hilbertin avaruus)|heikosti]] joukossa ''L''<sub>2</sub>(O) ja ''X<sub>n</sub>''<sup>2</sup> → 1 heikosti joukossa ''L''<sub>1</sub>(O). Silloin on olemassa sellaiset kokonaisluvut ''n''<sub>1</sub> < ''n''<sub>2</sub> < …, että <math> ( X_{n_1}+\cdots+X_{n_k} ) / \sqrt k </math> suppenee kohti jakaumaa ''N''(0, 1), kun ''k'' kasvaa rajatta.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Gaposhkin, V. F. | Otsikko = Lacunary series and independent functions | Luku = Sect. 1.5. | Julkaisu = Russian Mathematical Surveys Vuosi = 1966 | Vuosikerta = 21 | Numero = 6 | Sivut = 1–82 |
Doi = 10.1070/RM1966v021n06ABEH001196}}</ref>
<!--
===Tsallis statistics===
A generalization of the classical central limit theorem to the context of [[Tsallis statistics]] has been described by Umarov, Tsallis and Steinberg<ref name="Umarov2008">{{Citation |last1=Umarov |first1=Sabir |last2=Tsallis |first2=Constantino |last3=Steinberg |first3=Stanly |year=2008 |title=On a q-Central Limit Theorem Consistent with Nonextensive Statistical Mechanics |journal=Milan j. Math. |volume=76 |issue= |pages=307–328 |publisher=Birkhauser Verlag |doi=10.1007/s00032-008-0087-y |url=http://www.cbpf.br/GrupPesq/StatisticalPhys/pdftheo/UmarovTsallisSteinberg2008.pdf |accessdate=2011-07-27 |postscript=.}}</ref> in which the independence constraint for the i.i.d. variables is relaxed to an extent defined by the ''q'' parameter, with independence being recovered as ''q''&nbsp;&rarr;&nbsp;1. In analogy to the classical central limit theorem, such random variables with fixed mean and variance tend towards the [[q-Gaussian]] distribution, which maximizes the [[Tsallis entropy]] under these constraints. Umarov, Tsallis, Gell-Mann and Steinberg have defined similar generalizations of all symmetric alpha-[[stable distributions]], and have formulated a number of conjectures regarding their relevance to an even more general central limit theorem.<ref name="Umarov2010">{{Citation |last1=Umarov |first1=Sabir |last2=Tsallis |first2=Constantino |last3=Gell-Mann |first3=Murray |last4=Steinberg |first4=Stanly |year=2010 |title=Generalization of symmetric a-stable Lévy distributions for ''q''&nbsp;>&nbsp;1 |journal=J Math Phys. |volume=51 |issue=3 |pages= 033502|publisher=American Institute of Physics |doi=10.1063/1.3305292 |pmc=2869267 |pmid=20596232 |postscript=.}}</ref>
-->
===Satunnaiskulku kidehilassa ===
Keskeisestä raja-arvolauseesta on olemassa myös versio, joka koskee yksinkertaista [[satunnaiskulku]]a [[kidehila]]ssa. Kidehilan oletetaan olevan ääretön Abelin verkko, joka peittää äärellisen verkon. Tätä tulosta on käytetty kiteiden rakenteiden kuvaamiseen.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Kotani, M. & Sunada, Toshikazu | Nimeke = Spectral geometry of crystal lattices | Sivut = 271–305 | Julkaisija = Contemporary Math | Vuosi = 2003 | Tunniste = | Isbn = 978-0-8218-4269-0}}</ref><ref>{{kirjaviite |Tekijä = Toshikazu Sunada | Nimeke = Topological Crystallography ---With a View Towards Discrete Geometric Analysis--- | Kirjasarja = Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences | Julkaisija = Springer | Vuosi = 2012 | Tunniste = | Isbn = 978-4-431-54177-6}}</ref>

==Sovelluksia ja esimerkkejä==

===Yksinkertainen esimerkki===
[[Tiedosto:Dice sum central limit theorem.svg|thumb|250px|Todennäköisyystiheysfunktioita silmälukujen summalle
heitettäessä noppaa 1...5 kertaa. Heittokertojen lukumäärän ''n'' kasvaessa jakauma lähestyy keskeisen raja-arvolauseen mukaisesti muodoltaan normaalijakaumaa. Oikeassa alakulmassa tiheysfunktioiden kuvaajat on skaalattu uudelleen ja sijoitettu päällekkäin, jolloin niitä voidaan helposti verrata normaalijakaumaan (musta käyrä).]]

[[Tiedosto:Central Limit Theorem.png|thumb|640px|Binomijakaumaan perustuva simulaatio. Valitaan useita kertoja satunnaisesti luku 0 tai 1, ja tulosten keskiarvo lasketaan, kun näin on tehty 1...512 kertaa. Voidaan nähdä, että kun otoskoko kasvaa, keskiarvojen jakauma kapenee ja tulee molemmissa ääripäissään matalaksi.]]

Yksinkertainen esimerkki keskeisestä raja-arvolauseesta saadaan heittämällä suurta määrää samanlaisia, "painottamattomia" noppia. Saatujen silmälukujen summa tai vaihtoehtoisesti keskiarvo noudattaa tällöin likimain normaalijakaumaa. Koska reaalimaailman suureet ovat usein monien havaitsematta jääneiden satunnaisilmiöiden painotettuja keskiarvoja, keskeinen raja-arvolause osaltaan myös selittää, miksi normaalijakauma esiintyy mitä erilaisimmissa ilmiöissä. Siihen perustuu myös normaalijakauman käyttö likiarvona suuria otoksia koskevia kontrolloiduissa tilastollisissa kontrolloiduissa kokeissa. 

<!--[[File:Empirical CLT - Figure - 040711.jpg|none|thumb|500px|This figure demonstrates the central limit theorem.  The sample means are generated using a random number generator, which draws numbers between 0 and 100 from a uniform probability distribution.  It illustrates that increasing sample sizes result in the 500 measured sample means being more closely distributed about the population mean (50 in this case).  It also compares the observed distributions with the distributions that would be expected for a normalized Gaussian distribution, and shows the [[Pearson's chi-squared test|chi-squared]] values that quantify the goodness of the fit (the fit is good if the reduced [[Pearson's chi-squared test|chi-squared]] value is less than or approximately equal to one).  The input into the normalized Gaussian function is the mean of sample means (~50) and the mean sample standard deviation divided by the square root of the sample size (~28.87/{{sqrt|''n''}}), which is called the standard deviation of the mean (since it refers to the spread of sample means).]]-->

===Sovellettavuudesta yleisesti ===
Julkaistussa kirjallisuudessa on suuri joukko käyttökelpoisia ja mielenkiintoisia esimerkkejä keskeisen raja-arvolauseen sovelluksista.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Ivo Dinov & Nicolas Christou & Juana Sanchez | Otsikko = Central Limit Theorem: New SOCR Applet and Demonstration Activity | Julkaisu = Journal of Statistics Education | Julkaisija = ASA | Vuosi = 2008 | Vuosikerta = 16 | Numero = 2 | www = http://www.amstat.org/publications/jse/v16n2/dinov.html | viitattu = 9.1.2016 | arkisto = https://web.archive.org/web/20160303185802/http://www.amstat.org/publications/jse/v16n2/dinov.html | arkistoitu = 3.3.2016 }}</ref> Esimerkkeinä voidaan mainita seuraavat:<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_EduMaterials_Activities_GCLT_Applications 
| Nimeke = SOCR CLT Activity | Viitattu = 9.1.2016}}</ref> 
*Sen etäisyyden todennäköisyysjakauma, johon [[satunnaiskulku|satunnaiskulussa]] päädytään, lähestyy normaalijakaumaa.
*Heitettäessä suurta määrää kolikkoja kruunien tai vastaavasti klaavojen lukumäärän todennäköisyysjakauma lähestyy normaalijakaumaa.

Keskeistä raja-arvolauseesta seuraa, että mielivaltaisten riippumattomien satunnaismuuttujien summa noudattaa 
likimain normaalijakaumaa, mikäli niitä yhteenlaskettavia muuttujia on hyvin paljon ja mikäli jokaisen yksityisen
muuttujan vaihtelu on pieni verrattuna summan vaihteluun.<ref name=VasamaVartia />

Täten keskeinen raja-arvolause myös selittää "kellokäyrän" ([[Gaussin käyrä]]n) yleisen esiintymisen
reaalimaailman aineistoon sovelletuissa tietynlaisen tapauksen esiintyvyyden arvioinneissa. Sen kaltaisissa tapauksissa kuin esimerkiksi elektronisessa hälyssä, tutkintojen arvosanoissa ja monissa muissa voidaan yksittäistä mitattua arvoa usein pitää painotettuna keskiarvona suuresta määrästä pieniä ilmiöitä. Keskeisen raja-arvolauseen yleistysten avulla todetaan, että tämä usein, joskaan ei kaikissa tapauksissa, tuottaa lopullisen jakauman, joka on likipitäen normaali.

===Regressioanalyysi===

[[Regressioanalyysi]] ja varsinkin tavallinen [[pienimpien neliösummien menetelmä]] osoittavat, että jos jokin
muuttuja ei ole riippumaton, se yleensä riippuu jonkin funktion mukaisesti yhdestä tai useammasta riippumattomasta muuttujasta, joihin lisäksi liittyy korjaustermi. Useat regressioon perustuvat tilastolliset päätelmät edellyttävät, että korjaustermi on normaalisti jakautunut. Tämä oletus voidaan perustella olettamalla, että korjaustermi itse asiassa on hyvin monien riippumattomien korjaustermien summa; vaikka yksittäiset korjaustermit sinänsä eivät olisikaan normaalisti jakauteet, keskeisen raja-arvolauseen perusteella niiden summaa voidaan kuitenkin approksimoida normaalijakaumalla. 

==Historia==

Käsityksen normaalijakauman luonteesta eräänlaisena monen tekijän yhteisvaikutusta kuvaavana rajajakaumana esitti eräissä erikoistapauksissa jo [[Abraham de Moivre]]<ref name=PT_PN_johdanto>{{kirjaviite | Tekijä = Tuominen, Pekka & Norlamo, Pekka |Nimeke = Todennäköisyyslaskenta, osa 1 | Sivu = iv | Luku = Johdanto, katsaus historiaan | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1978 | Tunniste = | Isbn = 951-745-023-0}}</ref> vuonna 1733.<ref name=Tijms>{{kirjaviite |Tekijä = Tijms Henk | Nimeke = Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life | Sivu = 169 | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 2004 | Tunniste = | Isbn = 0-521-54036-4}}</ref> Keksintö oli tuolloin pitkälti aikaansa edellä, ja se lähes unohdettiin, kunnes kuuluisa ranskalainen matemaatikko [[Pierre-Simon Laplace]] palasi asiaan vuonna 1812 julkaistussa teoksessa ''Théorie analytique des probabilités''.<ref name=Tijms /> Laplace kuitenkin onnistui todistamaan lauseen vain [[binomijakauma]]n tapauksessa.<ref name=PT_PN_johdanto /> Mutta myöskään Laplacen keksintö ei hänen omana aikanaan saanut paljonkaan huomiota. Vasta 1800-luvun lopulla keskeisen raja-arvolauseen merkitys alettiin yleisesti ymmärtää, ja vuonna 1901 venäläinen matemaatikko [[Aleksandr Ljapunov]] määritteli sen yleisin käsittein ja todisti täsmällisesti, miten se matemaattisesti toimii.<ref name=Tijms />  Nykyisin keskeinen raja-arvolause yhdessä [[suurten lukujen laki|suurten lukujen lain]] kanssa muodostaa perustan koko matemaattiselle [[tilastotiede|tilastotieteelle]].<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Pekka Tuominen & Pekka Norlamo |Nimeke = Todennäköisyyslaskenta, osa 1 | Luku = Alkusanat | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1978 | Tunniste = | Isbn = 951-745-023-0}}</ref>

[[Francis Galton]] kuvaili keskeisen raja-arvolauseen merkitystä seuraavasti:<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Galton, Francis | Nimeke = Natural Inheritance | Sivu = 66 | Vuosi = 1889 | www = http://galton.org/cgi-bin/searchImages/galton/search/books/natural-inheritance/pages/natural-inheritance_0073.htm }} {{Wayback|1=http://galton.org/cgi-bin/searchImages/galton/search/books/natural-inheritance/pages/natural-inheritance_0073.htm |päiväys=20211218001940 }}</ref>

{{lainaus|Tunnen tuskin mitään, mikä siinä määrin olisi omiaan kiehtomaan mielikuvitusta kuin se ihmeellinen kosminen järjestys, jonka "virheen frekvenssin laki" ilmaisee. Kreikkalaiset olisivat personifioineet lain ja pitäneet sitä jumalana, jos olisivat tunteneet sen. Se hallitsee tyynesti ja itse täysin syrjässä pysytellen keskellä villeintä sekaannusta. Mitä runsaampi väkijoukko ja mitä suurempi näennäinen sekasorto, sitä täydellisemmin se vallitsee. Se on Järjettömyyden ylin laki. Missä tahansa onkin käsillä suuri joukko kaoottisia alkeisvoimia, jotka ohjautuvat niiden suuruusluokkien mukaisessa järjestyksessä, odottamaton ja mitä kaunein säännöllisyyden muoto osoittautuu olleen piilevänä koko ajan.}}

Termin "keskeinen raja-arvolause" ({{k-de|zenrtaler Grenzwertsatz}}) otti ensimmäisenä käyttöön [[George Pólya]] vuonna 1920 erään tutkielmansa nimessä.<ref name=Polya1920>{{lehtiviite | Tekijä = Pólya, George | Otsikko = Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem | Julkaisu = Mathematische Zeitschrift | Vuosi = 1920 | Vuosikerta = 8 | Numero = 3–4 | Sivut = 171–181 | Kieli = (saksaksi) | www = http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0008 | Doi = 10.1007/BF01206525}}</ref><ref name=LC1986>{{lehtiviite | Tekijä = Lucien Le Cam | Nimeke = The central limit theorem around 1935 | Julkaisu = Statistical Science | Vuosi = 1986 | Vuosikerta = 1 |Numero = 1 |Sivut = 78–91 | www = http://projecteuclid.org/euclid.ss/1177013818 | Doi = 10.2307/2245503}}</ref> Pólya nimitti lausetta "keskeiseksi" sen suuren merkityksen vuoksi, joka sillä todennäköisyysteoriassa on. Le Camin mukaan todennäköisyyslaskennan ranskalainen koulukunta kuitenkin tulkitsee sanan "keskeinen" viittaavan siihen, että lause kuvaa jakauman keskikohdan, ei sen ääripäiden käyttäytymistä.<ref name=LC1986/> Pólyan vuonna 1920 julkaiseman tutkielman yhteenvedossa<ref name=Polya1920 /> sanotaan:

<blockquote>Gaussin todennäköisyystiheyden 1 = e<sup>-x²</sup> esiintyminen toistokokeissa ja mittausvirheissä, jotka saadaan yhteistuloksena hyvin monista ja hyvin pienistä virhelähteistä, sekä diffuusioprosesseissa ja niin edelleen voidaan tunnetusti selittää samalla raja-arvolauseella, jolla on keskeinen osa todennäköisyyslaskennassa. Tämän raja-arvolauseen keksijäksi pitää nimetä Laplace; luultavaa on, että sen täsmällisen todistuksen esitti ensimmäisenä Tšebyšov, ja terävin löydettävissä oleva muoto, jonka tunnen, on eräässä Ljapunovin artikkelissa.  [...]</blockquote>

Yleisimmässä muodossaan lauseen todisti suomalainen matemaatikko [[Jarl Waldemar Lindeberg|Lindeberg]] vuonna 1922. Saman tuloksen todisti myöhemmin Lindebergin todistuksesta tietämättä myös [[Alan Turing]] vuonna 1934. Vasta lähetettyään tutkielmansa [[Cambridgen yliopisto]]on tarkastettavaksi hän sai tietää, että se oli jo aiemmin todistettu, minkä vuoksi Turingin tutkielmaa ei koskaan julkaistu.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Aldrich, John | Otsikko = England and Continental Probability in the Inter-War Years | Julkaisu = Electronic Journ@l for History of Probability and Statistics | Vuosikerta = 5/2 | Ajankohta = joulukuu 2009 | www = http://www.jehps.net/decembre2009.html}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = S. L. Zabell | Nimeke = Symmetry and its discontents: essays on the history of inductive probability | Sivut = 199– | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 2005 | Tunniste = | Isbn = 0-521-44470-5}}</ref>

Eräs Andreas Haldin laatima artikkeli matemaattisen tilastotieteen historiasta sisältää myös perusteellisen esityksen keskeisen raja-arvolauseen historiasta. Siinä kerrotaan yksityiskohtaisesti Laplacen sekä myös [[Augustin Louis Cauchy|Cauchyn]], [[Friedrich Bessel|Besselin]] ja [[Siméon Denis Poisson|Poissonin]] keksinnöistä.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.gbv.de/dms/goettingen/229762905.pdf | Nimeke = A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930 | Selite = Ch. 17 | Julkaisija = Andreas Hald}}</ref> Hans Fischer on laatinut asiasta kaksi historiallista esityistä, joista ensimmäinen kuvaa kehitystä Laplacesta Cauchyyn, jälkimmäinen [[Richard von Mieses|von Misesin]], [[George Pólya|Pólyan]], [[Jarl Waldemar Lindeberg|Lindebergin]], [[Paul Lévy (matemaatikko)|Lévyn]] ja [[Harald Cramér|Cramérin]] tutkimuksia 1920-luvulla.<ref name=Fischer>{{kirjaviite | Tekijä = Fischer, Hans | Nimeke = A History of the Central Limit Theorem: From Classical to Modern Probability Theory|series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences| Luku = Luku 2: The Central Limit Theorem from Laplace to Cauchy: Changes in Stochastic Objectives and in Analytical Methods; Luku 5.2: The Central Limit Theorem in the Twenties | Kirjasarja = Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | Julkaisija = Springer | Vuosi = 2001 | Tunniste = | Isbn = 978-0-387-87856-0|Doi=10.1007/978-0-387-87857-7}}</ref>  Le Cam on kuvaillut kehitystä vuoden 1935 aikoihin.<ref name=LC1986 /> Bernstein on myös laatinut lauseen historiasta esityksen, joka keskittyy [[Pafnuty Tšebyšov]]in ja hänen oppilaidensa [[Andrei Markov]]in ja [[Aleksandr Ljapunov]]in töihin, jotka johtivat keskeisen raja-arvolauseen ensimmäiseen yleisillä ehdoilla päteviin todistuksiin.<ref name=Bernstein>{{kirjaviite | Tekijä = Bernstein, Sergei Natanovich | Nimeke = Nauchnoe Nasledie P.L.Chebysheva,  Vypusk Pervyi: Matematika (P. L. Tšebyšovin tieteellinen perintö, 1. osa: Matematiikka) | Luku = P.L. Tšebyšovin töistä todennäköisyysteoriassa | Kieli = (venäjäksi) | Julkaisu = Vypusk Pervyi: Matematika | Sivut = 174– | Julkaisija = Academiya Nayk SSSR | Julkaisupaikka = Moskova, Leningrad | Vuosi = 1945}}</ref>

{{käännös|:en:Central limit theorem}}

==Katso myös ==
* [[Suurten lukujen laki]]
* [[Normaalijakauma]]
* [[Benfordin laki]] 

==Lähteet==
* {{kirjaviite | Tekijä = Bradley, Richard | Nimeke = Introduction to Strong Mixing Conditions, 1. painos | Julkaisija = Kendrick Press | Julkaisupaikka = Heber City, Utah | Vuosi = 2007 | Tunniste = | Isbn = 0-9740427-9-X}}
* {{lehtiviite | Tekijä = Bradley, Richard | Otsikko = Basic Properties of Strong Mixing Conditions. A Survey and Some Open Questions | Julkaisu = Probability Surveys|Vuosi=2005|Vuosikerta=2|Sivut=107–144 |arxiv=math/0511078v1 |Doi=10.1214/154957805100000104 |www=http://arxiv.org/pdf/math/0511078.pdf}}

=== Viitteet ===
{{viitteet}}

==Aiheesta muualla==
{{commonscat}}
* {{verkkoviite | Osoite = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Central_limit_theorem | Nimeke = Central limit theorem | Kirjoittaja = Hazewinkel, Michiel | Sivusto = Encyclopedia of Mathematics | Viitattu = 9.1.2016}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.statisticalengineering.com/central_limit_theorem.html | Nimeke = Central Limit Theorem, Example: Uniform Distribution | Tekija = Charles Annis}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.vias.org/simulations/simusoft_cenlimit.html | Nimeke = Learning by Simulations: Central Limit Theorem}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://ccl.northwestern.edu/curriculum/ProbLab/CentralLimitTheorem.html | Nimeke = CLT in NetLogo | Julkaisija = CM ProbLab}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_EduMaterials_Activities_GeneralCentralLimitTheorem | Nimeke = SOCR EduMaterials Activities GeneralCentralLimitTheorem}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/About_pages_for_SOCR_Experiments | Nimeke = About Pages for SOCR Experiments}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.indiana.edu/~jkkteach/ExcelSampler/ | Nimeke = Generate Samplers for Excel | Julkaisija = John K. Kruschke | viitattu = 9.1.2016 | arkisto = https://web.archive.org/web/20080517023217/http://www.indiana.edu/~jkkteach/ExcelSampler/ | arkistoitu = 17.5.2008 }}
* {{verkkoviite | Osoite = http://demonstrations.wolfram.com/TheCentralLimitTheorem/ | Nimeke = The Central Limit Theorem | Julkaisija = Chris Boucher | Sivusto = Wolfram Demonstrations Project}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/CentralLimitTheorem.html | Nimeke = Central Limit Theorem |Julkaisija = Eric W. Weisstein | Sivusto = Wolfram MathWorld}}
* {{verkkoviite | Osoite = http://elonen.iki.fi/articles/centrallimit/ | Nimeke = Keskeinen raja-arvolause yleistajuisesti | Julkaisija = Jarno Elonen}}

[[Luokka:Todennäköisyyslaskenta]]
[[Luokka:Tilastotiede]]
[[Luokka:Matemaattiset teoreemat]]