Lähdekoodi sivulle Kaikkialla jatkuva ei-missään derivoituva funktio

Funktio on '''kaikkialla jatkuva ei-missään derivoituva''', mikäli se on jatkuva, mutta [[derivaatta|ei-derivoituva]] jokaisessa [[funktio]]n pisteessä. Tällaisia funktioita on suomen kielessä kutsuttu myös patologiksi funktioiksi.<ref name="Solmu">{{Lehtiviite | Tekijä = Markku Halmetoja | Otsikko = Analyysin alkulähteillä | Julkaisu = Matematiikkalehti Solmu | Ajankohta = | Vuosikerta = 2008| Numero =3 | Sivut =2 | Julkaisupaikka = Helsinki| Julkaisija = Helsingin yliopiston Matematiikan ja tilastotieteen laitos | Selite= | Tunniste= | www = solmu.math.helsinki.fi| www-teksti =http://solmu.math.helsinki.fi/2008/3/kummalliset.pdf | Tiedostomuoto = pdf| Viitattu = 21.12.2012 | Kieli ={{fi}} | Lopetusmerkki = }}</ref>
[[File:Kaikkialla jatkuva ei-missaan derivoituva funktio.jpg|thumb|Esimerkki kaikkialla jatkuvasta ei-missään derivoituvasta funktiosta.]]

==Historia==

1800-luvun loppupuolelle asti oletettiin, että jokainen [[jatkuva funktio]] on myös vähintään yhdessä sen pisteessä derivoituva. Syynä tähän oli liiallinen luottamus fysikaaliseen intuitioon ja määritelmien epätäsmällisyys; funktioiden tulkittiin olevan vain fysikaalisten ilmiöiden matemaattinen muoto.<ref name="Thim">{{Verkkoviite| Osoite =http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf| Nimeke =Continuous Nowhere Differentiable Functions| Tekijä =Thim, Johan| Tiedostomuoto =pdf| Selite =Pro Gradu-tutkielma| Julkaisu =| Ajankohta =2003| Julkaisupaikka =| Julkaisija =Luleå University of Technology| Viitattu =20.05.2012| Kieli ={{en}}| arkisto =https://web.archive.org/web/20071001015212/http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf| arkistoitu =1.10.2007}}</ref>

Ensimmäisen esimerkin kaikkialla jatkuvasta ei-missään derivoituvasta funktiosta antoi tšekkiläinen matemaatikko [[Bernard Bolzano]] vuoden 1830 tienoilla. Tämä funktio oli konstruoitu geometrisesti tietyllä suljetulla välillä. Valitettavasti tämä esimerkki unohtui ja julkaistiin vasta sata vuotta myöhemmin, vuonna 1922. Vuoden 1860 tienoilla matemaatikko [[Charles Cellerier]] kehitti esimerkkinä asiasta seuraavan funktion:

<math>C(x)=\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{a^k}\sin(a^kx)</math>, joka on kaikkialla jatkuva ei-missään derivoituva, kun <math>a>1000, a</math> on parillinen. Tämä tulos hautautui ja julkaistiin vasta Cellerierin kuoleman jälkeen vuonna 1890.<ref name="Thim"/>

Ensimmäinen julkaistu esimerkki kaikkialla jatkuvasta ei-missään derivoituvasta funktiosta on [[Karl Weierstrass]]in vuonna 1872 julkaisema funktio:

<math>W(x)=\sum^\infty_{k=0}a^k\cos(b^k\pi x)</math>, missä <math>0<a<1,b</math> pariton ja <math>ab>1+\frac{3\pi}{2}</math>.<ref name="Thim"/>
[[File:Weierstrass Animation.gif|thumb|right|Animaatio, joka esittää Weierstrassin funktion muuttujan b arvojen kasvamista 0,1:stä 5:een.]]


Puolalainen matemaatikko [[Stefan Banach]] todisti vuonna 1931 seuraavan tuloksen:
Kaikki ne välin <math>[0,1]</math> jatkuvat funktiot, joilla on derivaatta vähintään yhdessä kyseisen välin pisteessä, sijaitsevat välin kaikkien jatkuvien funktioiden joukossa samantyyppisesti kuin [[rationaaliluku|rationaaliluvut]] [[reaaliluku]]jen joukossa. Toisin sanoen, välillä <math>[0,1]</math> jatkuvat ei-missään derivoituvat funktiot ovat huomattavasti yleisempiä kuin derivoituvat.<ref name="Solmu"/>

Vuonna 1953 [[John McCarthy]] julkaisi seuraavan esimerkin<ref name="Thim"/>:

Määritellään funktio <math>\hat{g}:[-2,2[\to[-1,1]</math> seuraavasti:

<math>\hat{g}(x)=\begin{cases} 
  1+x,  & \mbox{kun }-2\le x<0 \\
  1-x, & \mbox{kun } 0\le x<2
\end{cases}.</math>

Olkoon apufunktio <math>g:\mathbb{R}\rightarrow [-1,1]</math> funktion <math>\hat{g}(x)</math> neljäperiodinen laajennus eli

<math>g(x_{0}+4p)=\hat{g}(x_{0})</math> aina, kun <math>-2\leq x_{0}<2</math> ja <math>p\in\mathbb{Z}</math>.

Tämä funktio on jatkuva kaikkialla, mutta ei-derivoituva pisteissä <math>x_{0}=2p,p\in\mathbb{Z}</math>.

Näillä merkinnöillä ja määritelmillä voidaan kirjoittaa varsinainen McCarthyn funktio <math>M</math>, joka on

<math>M(x)=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2^{k}}g(2^{2^{k}}x)</math>.

==Funktion muodostaminen==

Edellä esitetty McCarthyn funktio on esimerkki siitä, kuinka tämän tyyppisiä funktioita tavallisesti muodostetaan. Aluksi määritellään jaksollinen ja jatkuva "sahanteräfunktio", joka on ei-derivoituva yksittäisissä kärkipisteissä. Tämän jälkeen funktion kuvaajaa "rypytetään" siten, että lopulta funktion jokainen piste on kärkipiste ja täten derivaattaa ei ole määritelty missään funktion pisteessä.<ref name="Solmu"/>

==Lähteet==
{{Viitteet}}

{{Metatieto}}

[[Luokka:Analyysi]]