Lähdekoodi sivulle Joukko-oppi

[[Tiedosto:Set subsetAofB.svg|thumb|Joukkoja voidaan havainnollistaa ns. [[Eulerin diagrammi|Eulerin diagrammeilla]].]]
[[Tiedosto:Venn A intersect B.svg|thumb|right|Kahden joukon (A ja B) [[leikkaus (matematiikka)|leikkausta]] esittävä Venn-diagrammi.]]
'''Joukko-oppi''' on [[joukko]]jen ominaisuuksiin perehtynyt [[matematiikka|matematiikan]] osa-alue. Joukko-opilla voidaan katsoa olevan matematiikalle perustavanlaatuinen merkitys, sillä sen avulla voidaan määritellä erilaiset matemaattiset oliot joukoiksi ja matemaattiset teoriat (kuten [[analyysin peruslause|analyysin peruslauseet]]) voidaan katsoa väitteiksi joukoista. Sitä pidetään siis yleismaailmallisena modernin tieteellisen matematiikan esittämismuotona.

Nykyisen joukko-opin merkittävimpänä perustajana voidaan pitää saksalaista matemaatikkoa [[Georg Cantor]]ia (1845–1918), joka sai ajatuksen tutkiessaan [[Fourier'n sarja|Fourier'n sarjoja]]. Cantorin työ sai aikanaan hyvän vastaanoton, ja hänen aikansa merkittävistä matemaatikoista sitä tutki hänen kanssaan läheisessä yhteistyössä muun muassa [[Richard Dedekind]].<ref name = "End">{{Kirjaviite| Nimeke = Elements Of Set Theory | Julkaisija = Academic Press | Vuosi =1977 | Tekijä =Herbert B. Enderton | Julkaisupaikka = Los Angeles, California | ISBN = 0-12-238440-7}}</ref> [[naiivi joukko-oppi|Naiivin joukko-opin]] [[paradoksi]]en löytymisen jälkeen laadittiin joukko-opille 1900-luvun alkupuolella useita [[aksiomaattinen joukko-oppi|aksioomajärjestelmiä]], joista tunnetuimman muodostavat [[Aksiomaattinen joukko-oppi|Zermelon–Fraenkelin aksioomat]] täydennettynä [[valinta-aksiooma]]lla.{{Lähde}}

Yleiskielessä joukko-opilla viitataan usein 1960- ja 1970-luvuilla toteutettuun, mutta lyhytaikaiseksi jääneeseen koulujen matematiikan opetuksen uudistukseen, niin sanottuun [[uusi matematiikka|uuteen matematiikkaan]], jossa joukko-oppi tuotiin uutena metodina matematiikan perusteiden kouluopetukseen. Uudistuksen tavoitteena oli selkeyttää matematiikan opetusta, mutta käytännössä joukko-oppi osoittautui varsinkin alaluokille liian abstraktiksi lähestymistavaksi, ja siitä luovuttiin Suomessa lukiota lukuun ottamatta 1980-luvun alkuun mennessä.<ref>{{Verkkoviite|osoite=https://www.hs.fi/tiede/art-2000004823594.html|nimeke=Joukko-opin nousu ja tuho|tekijä=Niko Kettunen HS|julkaisu=Helsingin Sanomat|ajankohta=2011-08-16|viitattu=2022-05-15|ietf-kielikoodi=fi}}</ref>

==Historia==
[[Tiedosto:Georg Cantor 1894.jpg|thumb|160px|Georg Cantor]]
Matematiikan oppialat ovat yleensä syntyneet ja kehittyneet monien eri tutkijoiden yhteistyön ja vuorovaikutuksen tuloksena. Joukko-oppi on kuitenkin saanut alkunsa eritoten yhdestä ainoasta, [[Georg Cantor]]in vuonna 1874 julkaisemasta tutkielmasta ”Kaikkien reaalisten algebrallisten lukujen luonteenomaisista ominaisuuksista.” <ref name="cantor1874">{{lehtiviite | Kirjoittaja = Georg Cantor | Otsikko = Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen | Julkaisu = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik | Vuosi = 1874 | www = Doi:https://doi.org/10.1515%2Fcrll.1874.77.258 }}</ref>

Jo 400-luvulla eaa. [[antiikin kreikka|kreikkalainen]] matemaatikko [[Zenon Elealainen]] kuten samanaikaisesti myös [[intia]]laiset matemaatikot painiskelivat [[ääretön|äärettömän]] käsitteen ongelmakohtien parissa. Aiheen myöhemmistä tutkijoista erityislaatuisen huomion saa [[Bernard Bolzano]] 1800-luvun alussa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Bernard Bolzano, Jan Berg | Nimeke = Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|Sivu=152 | Kirjasarja = Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, muokanneet Eduard Winter ym. | Julkaisija = Friedrich Frommann Verlag|Julkaisupaikka=Stuttgart, Bad Cannstatt| | Vuosi = 1975 | ISBN = 3-7728-0466-7}}</ref> Nykyisenkaltainen käsitys äärettömyyden olemuksesta sai alkunsa vuosina 1867&ndash;1871 Cantorin tutkiessa [[lukuteoria]]a. Vuonna 1872 Cantor tapasi [[Richard Dedekind]]in ja sai häneltä vaikutteita ajatuksiinsa, jotka johtivat vuonna 1874 julkaistuun tutkielmaan.{{Lähde}}

Alkuun Cantorin työhön suhtauduttiin vaihtelevin mielipitein. Cantorin matemaatikkokollegat [[Karl Weierstrass]] ja Dedekind tukivat häntä, mutta eriäviä mielipiteitä esitti [[Leopold Kronecker]], jota pidetään nykyisin [[matemaattinen konstruktivismi|matemaattisen konstruktivismin]] perustajana. Cantorin joukko-oppi sai kuitenkin pian suuren ja laajahkon vastaanoton, sillä Cantorin käsitteet osoittautuivat jossain määrin hyödyllisiksi. Niitä olivat eri joukkojen välinen kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli [[bijektio]], samoin todistus, että [[reaaliluku]]jen joukon [[mahtavuus]] on suurempi kuin kokonaislukujen, sekä ”äärettömyyksien äärettömyys” (”[[Cantorin paratiisi]]”), joka seuraa [[potenssijoukko|potenssijoukon]] ominaisuuksista. Joukko-opin käyttökelpoisuutta kuvaili [[Arthur Schoenflies]]in [[Kleinin ensyklopedia]]ssa vuonna 1898 julkaisema artikkeli ”Mengenlehre”.

Joukko-opin toinen tärkeä kehitysvaihe sattui 1900-luvun alkuun, kun havaittiin, että Cantorin joukko-oppi johti erinäisiin ristiriitoihin, joita sanotaan [[antinomia|antinomioksi]] tai [[paradoksi|paradokseiksi]]. [[Bertrand Russell]] ja [[Ernst Zermelo]] löysivät toisistaan riippumatta yksinkertaisimman ja tunnetuimman paradoksin, jota nykyisin tunnetaan [[Russellin paradoksi]]na. Se käsittelee kaikkien niiden joukkojen joukkoja, jotka eivät ole itsensä alkioita, mikä johtaa ristiriitaan, sillä tämän joukon olisi oltava itsensä alkio siinä ja vain siinä tapauksessa, ettei se sellainen ole. Vuonna 1899 Cantor oli itse asettanut kysymyksen siitä, mikä on kaikkien joukkojen joukon [[kardinaliteetti]], ja havaitsi myös tämän kysymyksen johtavan paradoksiin. Russell käytti paradoksiaan teemana vuonna 1903 laatimassaan yhteenvedossa mannermaisesta matematiikasta ''[[The Principle of Mathematics]]'' opuksessaan.{{Lähde}}

Joukko-oppi oli kuitenkin levinnyt matemaatikkojen keskuudessa jo niin laajalti omaksutuksi, että väittely paradokseista ei johtanut sen hylkäämiseen. Zermelon työ vuodelta 1908 ja [[Abraham Fraenkel]]in työ vuodelta 1922 johtivat aksioomajärjestelmään [[ZFC]], josta tuli yleisimmin käytetty joukko-opin aksioomajärjestelmä. [[Reaalianalyysi]]n tutkijat kuten [[Henri Lebesgue]] osoittivat joukko-opin suuren matemaattisen käyttökelpoisuuden, ja siitä onkin sittemmin tullut modernin matematiikan perusta. Sitä käytetään usein perustavana järjestelmänä, vaikka on tosiasia että joillakin matematiikan aloilla [[kategoriateoria]]a pidetään parempana perustana.{{Lähde}}

==Peruskäsitteet ja merkinnät==
{{Lähteetön}}
Joukkoon kuuluvia olioita kutsutaan [[alkio (joukko-oppi)|alkioiksi]], ja ne voivat olla mitä tahansa ihmisen havaintoon tai ajatukseen perustuvia. Se, että alkio ''o'' ''kuuluu'' tiettyyn joukkoon ''A'', on [[binäärirelaatio]] alkion ja joukon välillä, ja sille käytetään merkintää ''o'' ∈ ''A''. Joukotkin voivat olla toisen joukon alkioita.

Jos joukossa on vain muutama alkio, se voidaan esittää luettelomuodossa. Tällöin alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla, ja luettelo ympäröidään [[aaltosulkeet|aaltosuluilla]]. Esimerkiksi {1, 2, 3, 4} tarkoittaa joukkoa, johon kuuluvat luvut 1, 2, 3 ja 4. Joukon katsotaan olevan sama joukko, lueteltiinpa sen alkiot missä järjestyksessä tahansa; toisin on esimerkiksi [[järjestetty pari|järjestettyjen parien]] ja [[lukujono]]jen tapauksessa.

Joukon ''sisältyminen'' toiseen joukkoon on binäärirelaatio joukkojen välillä. Jos kaikki joukon ''A'' alkiot ovat myös joukon ''B'' alkioita, joukko ''A'' ''sisältyy'' joukkoon ''B'' eli se on ''B'':n [[osajoukko]], mikä merkintään ''A'' ⊆ ''B''. Esimerkiksi joukko {1,2} on joukon {1,2,3} osajoukko, mutta joukko {1,4} ei ole. Määritelmän perusteella on selvää, että jokainen joukko on itsensä osajoukko. Lisäksi määritellään, että ''A'' on ''B'':n [[aito osajoukko]], jos ''A'' on ''B'':n osajoukko, mutta ''A'' ei ole sama joukko kuin ''B''. Yhtäpitävästi voidaan määritellä myös, että ''A'' on ''B'':n aito osajoukko, jos ''A'' on ''B'':n osajoukko, mutta ''B'' ei ole ''A'':n osajoukko.

Samaan tapaan kuin [[aritmetiikka|aritmetiikassa]] käsitellään [[luku|luvuille]] määriteltyjä [[laskutoimitus|laskutoimituksia]], on myös joukkojen välille määritelty operaatioita, joiden avulla voidaan muodostaa uusia joukkoja. Sellaisia ovat:

*'''unioni''' eli '''[[yhdiste (matematiikka)|yhdiste]]'''. Joukkojen ''A'' ja ''B'' unioni (merkitään ''A'' ∪ ''B'') on kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joukkoon ''A'', joukkoon ''B'' tai molempiin. Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} unioni on joukko {1, 2, 3, 4}.
*'''[[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]]'''. Joukkojen ''A'' ja ''B'' leikkaus (merkitään ''A'' ∩ ''B'') on kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat sekä joukkoon ''A'' että joukkoon ''B''. Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} leikkaus on joukko {2, 3}.
*'''[[joukkoerotus]]'''. Joukkojen ''U'' ja ''A'' erotus (merkitään ''U'' \ ''A'') on niiden ''U'':n alkioiden joukko, jotka eivät kuulu joukkoon ''A''. Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} joukkoerotus on joukko {1}.
*'''[[symmetrinen erotus]]'''. Joukkojen ''A'' ja ''B'' symmetrinen erotus (merkitään ''A'' &#9651; ''B'' tai A &#8854; ''B'') on kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joko joukkoon ''A'' tai joukkoon ''B'', mutta eivät molempiin.
Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} symmetrinen erotus on joukko {1, 4}.
*'''[[karteesinen tulo]]''' eli tulojoukko. Joukkojen ''A'' ja ''B'' karteesinen tulo (merkitään ''A'' × ''B'') on niiden [[järjestetty pari|järjestettyjen parien]] (''a'',''b'') joukko, joissa ''a'' kuuluu joukkoon ''A'' ja ''b'' joukkoon ''B''. Esimerkiksi joukkojen {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} karteesinen tulo on joukko {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}
*'''[[potenssijoukko]]'''. Joukon ''A'' potenssijoukko on joukko, johon kuuluvat kaikki ''A'':n osajoukot. Esimerkiksi joukon {1, 2} potenssijoukko on { {}, {1}, {2}, {1,2} }.

Eräitä matematiikassa keskeisen tärkeitä joukkoja ovat [[tyhjä joukko]] (ainoa joukko, jossa ei ole yhtään alkiota), [[luonnolliset luvut|luonnollisten lukujen]] joukko ja [[reaaliluku]]jen joukko..{{Lähde}}

Joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja, kutsutaan perheeksi tai joukkoperheeksi. Esimerkiksi [[sigma-algebra]] ja [[potenssijoukko]] ovat joukkoperheitä..{{Lähde}}

== Joukon mahtavuus ==
Kahta joukkoa sanotaan [[mahtavuus|yhtä mahtaviksi]], jos on olemassa [[bijektio]], jolla toinen niistä voidaan kuvata toiselle. Jos tällaista bijektiota ei ole, mutta jokin ''B'':n osajoukko on yhtä mahtava kuin ''A'', sanotaan, että ''B'' on ''aidosti mahtavampi'' kuin A.<ref name=Ensyklopedia>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan suuri ensyklopedia, 3. osa (Hasek-Juuri) | Kirjoittaja = Ilkka Niiniluoto | Luku = Joukko-oppi | Sivu = 2396–2401 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1977 | ISBN =951-1-04350-1}}</ref>

Yhtä mahtavilla joukoilla sanotaan olevan sama ''kardinaliteetti''. [[Äärellinen joukko|Äärelliset joukot]] ovat yhtä mahtavia, jos ja vain jos niissä on yhtä monta alkiota. Mikään äärellinen joukko ei ole yhtä mahtava minkään aidon osajoukkonsa kanssa. Sitä vastoin [[Ääretön joukko|äärettömillä joukoilla]] on sellaisiakin aitoja osajoukkoja, joiden kanssa ne ovat yhtä mahtavia.<ref name=Ensyklopedia /> Esimerkiksi voidaan osoittaa, että [[luonnollinen luku|luonnollisten lukujen]] joukko <math>\mathbb{N}</math> on yhtä mahtava kuin [[rationaaliluku]]jen joukko <math>\mathbb{Q}</math>, vaikka vain osa rationaaliluvuista on luonnollisia lukuja. Sitä vastoin [[reaaliluku]]jen joukko <math>\mathbb{R}</math> on aidosti mahtavampi kuin rationaalilukujen joukko, sillä ei ole olemassa sellaista bijektiota, jolla nämä joukot voitaisiin kuvata toisilleen. Ääretöntä joukkoa sanotaan [[numeroituva joukko|numeroituvaksi]], jos se on yhtä mahtava kuin luonnollisten lukujen joukko, muussa tapauksessa [[ylinumeroituva joukko|ylinumeroituvaksi]]. Esimerkiksi rationaalilukujen joukko on siis numeroituva, reaalilukujen joukko ylinumeroituva.{{Lähde}}

[[Cantorin lause]]en mukaan jokaisen äärettömänkin joukon [[potenssijoukko]] on aidosti mahtavampi kuin kyseinen joukko itse. Voidaan osoittaa, että luonnollisten lukujen joukon potenssijoukko on yhtä mahtava kuin reaalilukujen joukko.{{Lähde}}

Kysymys siitä, onko olemassa joukkoja, jotka ovat aidosti mahtavampia kuin <math>\mathbb{N}</math> mutta aidosti vähemmän mahtavia kuin <math>\mathbb{R}</math>, tunnetaan [[kontinuumihypoteesi]]na. [[Paul Cohen]] osoitti vuonna 1963, että hypoteesia ei Zermelon-Frankelin aksioomien avulla voida todistaa oikeaksi eikä vääräksi.{{Lähde}}

==Puhtaat joukot==
[[Tiedosto:Von Neumann Hierarchy.svg|thumb|right|300px|von Neumannin hierarkian alkuosa.]]
[[Puhdas joukko]] on joukko, jonka kaikki alkiot ovat joukkoja, samoin kaikkien sen alkioina olevien joukkojen alkiot ja niin edelleen. Esimerkiksi joukko <nowiki>{{}}</nowiki>, jonka ainoa alkio on tyhjä joukko, on ei-tyhjä puhdas joukko. Nykyisessä joukko-opissa rajoitutaan usein käsittelemään puhtaiden joukkojen muodostamaa [[von Neumannin universumi]]a, ja monet joukko-opin aksioomajärjestelmät on laadittu käsittelemään vain näitä. Tällä rajoituksella saavutetaan useita teknisiä etuja eikä teorian yleispätevyydestäkään menetetä kovin paljon, koska lähes kaikki matemaattiset käsitteet voidaan mallintaa pelkillä puhtailla joukoilla. Puhtaat joukot von Neumannin universumissa voidaan järjestää kumulatiiviseksi hierarkiaksi sen mukaan, kuinka pitkälle niiden alkiota, alkioiden alkioita ja niin edelleen on olemassa. Tässä hierarkiassa jokaiseen joukkoon liittyy [[ordinaaliluku]] a, jota sanotaan sen ''asteeksi'' ({{k-en|rank}}). Puhtaan joukon X aste määritellään sen alkioiden astelukujen seuraajien [[pienin yläraja|pienimmäksi ylärajaksi]]. Esimerkiksi tyhjän joukon aste on 0, kun taas joukon <nowiki>{{}}</nowiki> aste on 1, sillä sen ainoa alkio on tyhjä joukko. Jokaista ordinaalilukua ''a'' kohti voidaan määritellä joukko ''V''<sub>a</sub>, johon kuuluvat kaikki puhtaat joukot, joiden aste on pienempi kuin ''a''. Koko von Neumannin universumi muodosta joukon, jolle käytetään merkintää&nbsp;''V''..{{Lähde}}

==Aksiomaattinen joukko-oppi==
Joukko-opin alkeita voidaan käsitellä epämuodollisesti ja intuitiivisesti, ja niin sitä onkin käsitelty kouluissa [[Venn-diagrammi]]en avulla. Tämä intuitiivinen lähestymistapa olettaa, että kohteista, jotka toteuttavat tietyn ehdon, voidaan aina muodostaa joukko. Tämä oletus, joka tunnetaan nimellä ''[[abstraktioskeema]]''<ref name=Ensyklopedia /> johtaa kuitenkin paradokseihin, joita yksinkertaisimpia ja tunnetuimpia ovat [[Russellin paradoksi]] ja [[Burali-Fortin paradoksi]]. Aksiomaattinen joukko-oppi kehitettiin alun perin, jotta tällaisista paradokseista päästäisiin eroon.<ref>Tutkielmassaan vuonna 1925 [[John von Neumann]] totesi: ”Joukko-opin ensimmäinen, Cantorin laatima ”naiivi” versio johti ristiriitoihin. Ne ovat tunnettuja [[Antinomia|antinomioita]], jotka koskevat kaikkien niiden joukkojen joukkoa, joka ei sisällä itseään (Russell), kaikkien transfiniittisten ordinaalilukujen joukkoa (Burali-Forti) tai kaikkien äärellisellä tavalla määriteltävien reaalilukujen joukkoa (Richard).” Hän jatkoi toteamalla, että oli kaksi ”tendenssiä” joukko-opin ”rehabilitoimiseksi”. Ensimmäisen yrityksen, josta esimerkkejä ovat [[Bertrand Russell]], [[Julius König]], [[Hermann Weyl]] ja [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|L. E. J Brouwer]], von Neumann nimitti heidän ”toimintansa lopputulosta . . . tuhoisaksi”. Jälkimmäisen ryhmän, esimerkiksi Zermelon, [[Abraham Fraenkel|Abraham Fraenkelin]] ja [[Arthur Moritz Schoenflies|Arthur Moritz Schoenfliesin]] käyttämästä aksiomaattisesta metodista von Neumann harmitteli: ”Voimme todeta vain, että antinomioihin johtaneet tunnetut päättelytavat osoittautuivat virheelliseksi, mutta kuka tietää, ettei niitä ilmaannu uusia?”. Hän otti tehtäväkseen ”toisen ryhmän hengessä” ”muodostaa, äärellisellä määrällä puhtaasti muodollisia operaatioita ... kaikki joukot, jotka hän haluaa nähdä muodostettavan” mutta ei sallia antinomioita. (Kaikki von Neumannin lainaukset vuodelta 1925 on julkaistu uudestaan teoksessa {{kirjaviite|Tekijä=Jean van Heijenoort|Nimeke=From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic|Vuosi=1979|Julkaisija=Harvard University Press|ISBN=0-674-32449-8}}</ref>

Joukko-opin aksioomajärjestelmissä abstraktioskeema onkin yleensä korvattu ns. ''[[erotteluskeema]]lla'' tai ''[[korvausskeema]]lla''. Erotteluskeeman mukaan eivät kaikki tietyn ehdon toteuttavat kohteet muodosta joukkoa, mutta ne jonkin annetun joukon alkiot, jotka toteuttavat tietyn ehdon, muodostavat joukon. Täten esimerkiksi sellaista joukkoa, jota Russellin paradoksi käsittelee, ei voida muodostaa, koska ”kaikkien joukkojen joukkoa” ei hyväksytä. Korvausskeeman mukaan taas jossakin joukossa määritellyn [[funktio]]n arvot muodostavat joukon.<ref name=Ensyklopedia />

Yleisimmin käytetyt joukko-opin aksioomajärjestelmät olettavat, että kaikki joukot muodostavat [[kumulatiivinen hierarkia|kumulatiivisen hierarkian]]. Sellaisia järjestelmiä on kahta tyyppiä:
*''järjestelmät, joissa oletetaan vain joukkoja''. 
**Tähän kuuluu yleisin aksioomajärjestelmä, ''[[Zermelon-Franekelin joukko-oppi]]'' täydennettynä [[valinta-aksiooma]]lla (ZFC). Teorian muut aksioomat ovat:
**#ei-triviaalisuus: on olemassa ainakin yksi joukko;
**#estensionaalisuusaksiooma: jos joukoilla A ja B on samat alkiot, ne ovat sama joukko
**#unioniaksiooma: jos A ja B ovat joukkoja, myös niiden unioni on joukko;
**#potenssijoukkoaksiooma: jokaisella joukolla on potenssijoukko, joka on myös joukko;
**#korvausskeema: annetussa joukossa määritellyn funktion arvot muodostavat joukon
**#äärettömyysaksiooma: on olemassa äärettömiä joukkoja.
**[[Zermelon joukko-oppi]], jossa [[korvausskeema]] on korvattu [[erotteluskeema]]lla
**[[Yleinen joukko oppi]], pieni osa Zermelon joukko-opista, joka käsittää [[Peanon aksioomat]] ja [[äärellinen joukko|äärelliset joukot]]
**[[Kripken-Platekin joukko-oppi]], johin eivät kuulu äärettömyysaksiooma, potenssijoukkoaksiooma ja valinta-aksiooma ja jossa erottelu- ja korvausaksioomaskeemoista käytetään vain heikennettyä versiota.
*''Järjestelmät, joissa on joukkoja ja [[aito luokka|aitoja luokkia]]. Tällaisia ovat [[von Neumannin-Bernayn-Gödelin joukko-oppi]], joka pelkästään joukkoja käsittelevien teoreemojen osalta on yhtä vahva kuin ZFC, sekä [[Morsen-Kelleyn joukko-oppi]] ja [[Tarskin-Grothendieckin joukko-oppi]], jotka molemmat ovat vahvempia juin ZFC.''

Edellä mainittuja järjestelmiä voidaan muokata niin, että sallitaan myös [[urelementti|urelementit]], jotka eivät itse ole joukkoja mutta voivat kuulua johonkin joukkoon..{{Lähde}}

NFU (''[[New Foundations]]'')- ja ''NF'' -järjestelmät eivät perustu kumulatiivisen hierarkiaan. Näistä NFU sisältää myös urelementit, NF ei. NF ja NFU sisältävät myös ”kaiken joukon”, johon nähden jokaisella joukolla on komplementti. Näissä järjestelmissä urelementeilla on merkitystä, koska NF:ssä, mutta ei NFU:ssa, on joukkoja, joihin nähden [[valinta-aksiooma]] ei päde..{{Lähde}}

[[Konstruktiivinen joukko-oppi|Konstruktiivisen joukko-opin]] järjestelmät kuten CST, CZF ja IZF yhdistävät aksioomansa [[intuitionistinen logiikka|intuitionistiseen logiikkaan]] [[ensimmäisen kertaluvun logiikka|ensimmäisen kertaluvun logiikan]] sijasta. Eräät muut systeemit hyväksyvät tavanomaisen ensimmäisen kertaluvun logiikan mutta käyttävät epästandardia kuulumisrelaatiota. Sellainen on esimerkiksi [[sumea joukko-oppi]], joissa lause, jonka mukaan tietty alkio kuuluu tiettyyn joukkoon, ei välttämättä ole yksinkertaisesti ''tosi'' tai ''epätosi''. Tähän liittyvät myös ZFC:n Boolen-arvoiset mallit.{{Lähde}}

[[Edward Nelson]] ehdotti vuonna 1977 ZFC:n laajennettua versiota, [[internaalinen joukko-oppi|internaalista joukko-oppia]].{{Lähde}}

==Sovelluksia==
{{Lähteetön}}
Monet matemaattiset käsitteet voidaan määritellä täsmällisesti vain joukko-opin käsitteiden avulla. Esimerkiksi niinkin erilaiset matemaattiset struktuurit kuin [[graafi]]t, [[monisto]]t, [[Rengas (matematiikka)|renkaat]] ja [[vektoriavaruus|vektoriavaruudet]] voidaan kaikki määritellä joukoiksi, jotka toteuttavat tietyt (aksiomaattiset) ehdot. [[Ekvivalenssirelaatio|Ekvivalenssi]]- ja [[järjestysrelaatio]]t ovat yleisiä kaikilla matematiikan aloilla, ja matemaattisten [[relaatio]]iden teoria voidaan esittää joukko-opin avulla.

Joukko-oppi on myös lupaava perustava järjestelmä suurelle osalle matematiikkaa. Siitä lähtien kun teoksen ''[[Principia Mathematica]]'' ensimmäinen nide ilmestyi, on väitetty, että useimmat tai jopa kaikki matemaattiset teoreemat voidaan johtaa asianmukaisesti laaditusta joukko-opin aksioomajärjestelmästä, johon on [[ensimmäisen asteen logiikka|ensimmäisen]] ja [[toisen asteen logiikka|toisen asteen logiikan]] avulla täydennetty monilla määritelmillä. Esimerkiksi [[luonnolliset luvut|luonnollisten]] ja [[reaaliluku]]jen ominaisuudet voidaan johtaa joukko-opista, sillä jokainen lukualue voidaan määritellä jossakin [[ääretön joukko|äärettömässä joukossa]] määriteltyyn [[ekvivalenssirelaatio]]on liittyvien [[ekvivalenssiluokka|ekvivalenssiluokkien]] joukkona.

Joukko-opin asema [[matemaattinen analyysi|matemaattisen analyysin]], [[topologia]]n, [[abstrakti algebra|abstraktin algebran]] ja [[diskreetti matematiikka|diskreetin matematiikan]] perustana on niin ikään kiistaton; matemaatikot hyväksyvät ainakin periaatteessa, että näiden alojen teoreemat voidaan kohtaa asianmukaisten määritelmien ja joukko-opin aksioomien avulla. Kuitenkin vain harvat monimutkaisten matemaattisten teoreemojen johtamiset joukko-opista on muodollisesti varmistettu, koska sellaiset muodolliset johtamiset ovat usein paljon pidempiä kuin luonnolliseen kieleen perustuvat todistukset, joita matemaatikot yleisesti käyttävät. Eräs varmistusprojekti, [[Metamath]], sisältää yli 10&nbsp;000 matemaattista teoreemaa, jotka on johdettu ZFC-aksioomeista [[ensimmäisen kertaluvun logiikka|ensimmäisen kertaluvun logiikan]] avulla.

== Tutkimusaloja ==
{{Lähteetön}}
Joukko-oppi ja monet siihen liittyvät erityisalat ovat matematiikassa laajan tutkimuksen kohteina.{{Lähde}}

===Kombinatorinen joukko-oppi===
[[Kombinatorinen joukko-oppi]] on äärellisten joukkojen [[kombinatoriikka|kombinatoriikan]] laajennus, jossa käsitellään myös äärettömiä joukkoja. Siihen kuuluvat [[kardinaaliaritmetiikka]] ja [[Ramseyn lause]]en yleistykset kuten [[Erdósin-Radon lause]].{{Lähde}}

===Sumea joukko-oppi===
{{Main|Fuzzy set theory}}

[[Georg Cantor|Cantor]]in määrittelemässä, [[Zermelo]]n ja [[Fraenkel]]in aksiomatisoimassa joukko-opissa kohde joko kuuluu tiettyyn joukkoon tai ei kuulu. [[Lotfi A. Zadeh]]in kehittämässä [[Sumea joukko-oppi|Sumeassa joukko-opissa]] tätä ehtoa on lievennetty siten, että kohteella on joukossa ''jäsenyyden aste'', joka on luku 0:n ja 1:n välillä. Esimerkiksi henkilön kuuluminen ”pitkien ihmisten” joukkoon ei ole yksiselitteisesti määriteltävissä siten, että jokainen joko kuulu siihen tai ei, ja sumeassa joukko-opissa kuulumisen astetta esittävä luku voi olla esimerkiksi 0,75.{{Lähde}}

===Suuret kardinaalit===
[[Suuri kardinaali]] on kardinaaliluku, jolla on jokin ylimääräinen ominaisuus. Monia sellaisia ominaisuuksia on tutkittu, kuten [[saavuttamaton kardinaali|saavuttamattomia]] ja [[mitattava kardinaali|mitattavia kardinaaleja]]. Nämä ominaisuudet yleensä edellyttävät, että kardinaaliluku on hyvin suuri, jolloin sellaisen kardinaaliluvun olemassaoloa ei voida todistaa Zermelo-Fraenkelin aksioomeilla.

=== Joukko-opillinen topologia ===
[[Joukko-opillinen topologia]] käsittelee sellaisia [[yleinen topologia|yleisen topologian]] kysymyksiä, jotka ovat luonteeltaan joukko-opillisia ja joiden ratkaiseminen edellyttää kehittyneempiä joukko-opin menetelmiä. Monet sellaiset teoreemat ovat ZFC:stä riippumattomia ja edellyttävät vahvempia aksioomeja, jotta ne voidaan todistaa. Tunnettu probleema on normaalin [[Mooren avaruus|Mooren avaruuden]] kysymys, joka oli yleisessä topologiassa laajan tutkimusken kohteena. Normaalin Mooren avaruuden kysymys osoittautui lopulta riippumattomaksi ZFC:stä.

==Vastalauseita joukko-opille matematiikan perustana ==
Joukko-opin keksimisestä lähtien jotkut matemaatikot ovat kiistäneet sen soveltuvan matematiikan perustaksi. Yleisin joukko-oppiin kohdistunut vastaväite, jonka [[Leopold Kronecker|Kronecker]] esitti jo sen varhaisvuosina, lähtee [[Konstruktivismi (matematiikka)|konstruktivistisesta]] näkemyksestä, jonka mukaan matematiikka liittyy laskemiseen. Jos tämä näkemys hyväksytään, äärettömien joukkojen käsittely sekä naiivissa että aksiomaattisessa joukko-opissa tuo matematiikkaan menetelmiä ja kohteita, jotka eivät edes periaatteessa ole laskettavissa.{{Lähde}}

[[Ludwig Wittgenstein]] hylkäsi joukko-opin. Hänen mukaansa joukko-oppi on väärässä, sillä se perustuu ”mielettömään” kuvitteelliseen symboliikkaan ja sisältää ”turmiollisia idiomeja”, ja hänen mukaansa on mieletöntä puhua ”kaikista luvuista”.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Ludwig Wittgenstein | Nimeke = Philosophical Remarks | Luku = §129, §174 | Julkaisija = Basil Blackwell | Vuosi = 1975 | Julkaisupaikka = Oxford | ISBN = 0631191305}}</ref> Wittgensteinin näkemystä matematiikan perusteista arvostelivat myöhemmin [[Georg Kreisel]] ja [[Paul Bernays]], ja sitä tutki tarkemmin muun muassa [[Crispin Wright]].

[[Kategoriateoria]]n kehittäjät ovat esittäneet [[topos-teoria]]a vaihtoehdoksi perinteiselle aksiomaattiselle joukko-opille. Topos-teoriassa voidaan esittää tälle teorialle useita vaihtoehtoja kuten konstruktivismi, äärellinen joukko-oppi ja [[Turingin kone]]eseen liittyvä laskettava joukko-oppi.<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = A. Ferro, E. G. Omodeo, J. T. Schwartz | Otsikko = Decision procedures for elementary sublanguages of set theory. I. Multi-level syllogistic and some extensions | Julkaisu = Communications on Pure and Applied Mathematics | Vuosi = 1980 | Numero = 33 | Issue = 5 | Sivut = 599–608 |doi=10.1002/cpa.3160330503 | issn = 0010-3640 }}</ref>

==Katso myös==
*[[Boolen algebra]]
*[[Logiikka]]

== Lähteet ==
{{Viitteet}}

== Kirjallisuutta ==
*[[Keith Devlin|Devlin, Keith]], 1993. ''The Joy of Sets'' (2nd ed.). Springer Verlag, {{ISBN|0-387-94094-4}}
* Ferreirós, Jose, 2007 (1999). ''Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics''. Basel, Birkhäuser. {{ISBN|978-3-7643-8349-7}}
*Johnson, Philip, 1972. ''A History of Set Theory''. Prindle, Weber & Schmidt {{ISBN|0-87150-154-6}}
* [[Kenneth Kunen|Kunen, Kenneth]], 1980. ''[[Set Theory: An Introduction to Independence Proofs]]''. North-Holland, {{ISBN|0-444-85401-0}}.
*Potter, Michael, 2004. ''Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction''. [[Oxford University Press]].
*Tiles, Mary, 2004 (1989). ''The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise''. [[Dover Publications]].
* {{kirjaviite | Tekijä=Lipschutz, Seymour | Nimeke=Set Theory and Related Topics | Selite=Part I, Elementary Theory of Sets |Julkaisija=McGraw-Hill | Vuosi=1964 | Isbn = 0070379866}}

==Aiheesta muualla==
{{commonscat}}
{{Wikikirjasto|Diskreetti matematiikka/Joukko-oppi}}
* {{Verkkoviite | Osoite = https://yle.fi/aihe/artikkeli/2007/11/23/joukko-oppia-vareissa | Nimeke = Joukko-oppia väreissä | Tekijä = Lindfors, Jukka | Ajankohta = 23.11.2007 | Julkaisu = Yle Areena | Viitattu = }}
* {{Verkkoviite |Osoite=<!-- http://yle.fi/vintti/yle.fi/priima/node/329.html -->| Arkisto = https://archive.is/FRL4O | Arkistoitu = 29.4.2013 | Nimeke = Muistatko, kun kouluissa opetettiin joukko-oppia? | Ajankohta = 31.1.2008 | Julkaisu = Yle Priima | Viitattu = }}

[[Luokka:Joukko-oppi|*]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]