Lähdekoodi sivulle Infimum

[[Järjestysrelaatio|Järjestetyn joukon]] T [[Osajoukko|osajoukon]] S '''infimum''' eli '''suurin alaraja''' on joukon T alkio, joka on suurin kaikista osajoukon S kaikkia alkioita pienemmistä tai yhtä suurista alkioista. Infimum ei välttämättä kuulu osajoukkoon S. Jos joukko sisältää [[Pienin alkio|pienimmän alkion]] eli minimin, on se myös joukon infimum. Infimum on yksikäsitteinen, jos se on olemassa.

[[Reaaliluku|Reaalilukujen joukon]] osajoukoille infimum määritellään joskus miinus äärettömyydeksi, jos se ei ole olemassa. Tällöin saatetaan sanoa, että kaikille reaalilukujoukoille on yksikäsitteinen infimum.

Jos <math>A</math> on järjestetty joukko, niin sen infimumia merkitään symbolilla
<center><math>\inf_{a \in A} a</math>, <math>\inf \{ a \, | \, a \in A \}</math> tai <math>\inf A</math>.</center>
Vähenevän lukujonon <math>A = (a_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>, jolle siis <math>a_{i+1} < a_i</math>, infimumia voi merkitä symbolilla
<center><math>\inf_{n \rightarrow \infty} a_n</math>.</center>

==Reaalilukujoukon infimum==

'''[[Alaraja|Alarajan]] määritelmä.''' Olkoon <math>S \subset \R </math>.

Reaaliluku e on joukon S [[Alaraja|alaraja]] , [[jos ja vain jos]] kaikille <math> x \in S </math> pätee x ≥ e.

Joukko S on alhaalta rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen [[Alaraja|alaraja]].

'''Infimumin määritelmä.''' Olkoon edelleen <math>S \subset \R </math>.

Luku e <math> \in  \R</math>  on joukon S '''infimum''' eli '''suurin alaraja''',
jos ja vain jos se on suurin joukon S alarajoista eikä mikään suurempi reaaliluku ole joukon S alaraja.

Tällöin merkitään e = inf(S). Siis joukolla S on infimum ja kyseinen infimum on e.

e = inf(S) <math> \Longleftrightarrow </math>

1) e ≤ x kaikilla x  <math> \in </math> S eli e on joukon S alaraja.

2) e ≥ m kaikilla joukon S alarajoilla m.

Siis vielä sanallisesti: Reaaliluku e on joukon S infimum jos ja vain jos e on pienempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita ja e on suurempi tai yhtäsuuri kaikkia muita joukon S alarajoja.

Jos epätyhjällä joukolla S on olemassa infimum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi infimum.
'''Todistus.''' Olkoon inf(S) = e ja inf(S) = e2. Siis e2 on joukon S eräs alaraja. Tällöin infimumin määritelmän nojalla e ≥ e2. Samoin saadaan e2 ≥ e. Siis e = e2.

Jos inf(S) on olemassa niin joukko S on alhaalta rajoitettu. Jos joukko S sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon S infimum.

==Joukon minimi==

Joukon pienimmän alkion eli minimin on kuuluttava joukkoon kun taas infimumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos infimum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon S infimum.

Jos <math>S  \subset \R </math> ja minS on olemassa niin minS = inf(S).

'''Todistus.''' Olkoon olemassa minS = e.

1)e on joukon S alaraja eli kaikilla x <math>\in</math> S pätee x ≥ e.

2)Koska e <math> \in </math> S niin e ≥ inf(S). Toisaalta 1):n nojalla e on joukon S alaraja. Siis e ≤ inf(S). Siis e = inf(S).

==Infimumin osoittaminen==

Yksinkertaisessakin tapauksessa infimumin määritelmän soveltaminen on melko työlästä. Seuraavien lauseiden avulla infimumia voidaan tutkia yksinkertaisemmalla tavalla.

Lause 1. Olkoon e = inf(S) ja  <math>\varepsilon</math> > 0. Tällöin on olemassa x <math> \in </math> S, jolle x <  e + <math>\varepsilon</math>

Lause 2. Olkoon S <math>\subset  \R </math> ja e <math> \in \R </math>. Tällöin e = inf(S) jos ja vain jos

1) e on joukon S alaraja. Siis x ≥ e kaikilla x <math>\in</math> S.

2) Kaikille <math> \varepsilon</math> > 0 <math> \exists </math> x  <math>\in</math>  S, jolle x < e + <math>\varepsilon</math>


Infimum osoitetaan jollakin seuraavista tavoista tilanteesta riippuen:

'''a)''' Jos joukossa S näyttäisi olevan pienin alkio e, osoitetaan kohdat:

1) e <math> \in</math>  S.

2) x ≥ e  kaikille x <math> \in </math> S.

Tällöin  minS = inf(S).

'''b)''' Jos joukko S on alhaalta rajoitettu, mutta joukossa ei ole pienintä alkiota, osoitetaan kohdat:

1) x ≥ e kaikille x <math> \in </math> S, jolloin e on S:n eräs alaraja.

2) e + <math>\varepsilon</math> ei ole S:n alaraja. Siis e on alarajoista suurin.

Tällöin e = inf(S).

'''c)''' Osoitetaan, että joukko ei ole alhaalta rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen pieniä lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa pienempiä lukuja.

==Esimerkkejä==
*<math>\inf([0,1])= 0, min([0,1]) = 0 </math>
*<math>\inf(]0,1[)= 0, \not \exists min(]0,1[)</math>
*<math>\inf \{ 1, 2, 3 \} = 1\,</math>
*
*<math>\inf\{ 2 - 1/n| n \in \N \} = 1 , min\{ 2 - 1/n| n \in \N \} =1 </math>
*<math>\inf \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}  =  \inf \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x  \leq 1 \} = 0\,</math>

*[[Luonnollinen luku|Luonnollisten lukujen]] joukolla <math> \N</math> ei ole ylärajaa, sillä joukolla <math>\N</math> ei ole suurinta alkiota eikä joukko <math>\N</math> siis ole ylhäältä rajoitettu. Joukolla <math>\N</math> on kuitenkin alaraja: nolla. Siis <math>\N</math> on alhaalta rajoitettu ja  luonnollisten lukujen joukolla <math>\N</math> on siis infimum. Merkitään inf(<math>\N</math>) = 0.

== Katso myös ==
* [[Limes inferior]] Jonon äärettömän kaukana olevien alkioiden infimum
* [[Oleellinen supremum ja oleellinen infimum | Oleellinen infimum]] Joukon suppeimman positiivismittaisen osajoukon infimum
* [[Supremum]] Joukon pienin yläraja

== Lähteet==
*Apostol, Tom. M.: Mathematical analysis. Addison-Wesley publishing company. 3. edition. London, England, 1960, 7–8.
*Hurri-Syrjänen, Ritva. Differentiaali- ja integraalilaskenta, Luentomonisteet. Helsingin yliopisto, Syksy 1999, 11–14.
*[http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/AnalyysinPeruskurssi/supremum.pdf Huuskonen, Taneli. Analyysin peruskurssi: Supremum ja infimum. Luentomoniste-pdf. Helsingin yliopisto. Helsinki, 2006.]{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}
*Myrberg, Lauri. Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1. 3 painos. Yhteiskirjapaino Oy, Helsinki, 1981, 17–20, 24–26.
*http://joyx.joensuu.fi/~didmatcl/anper1.pdf/{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }} 
*https://matta.hut.fi/matta2/mtreeni1/ag/ag002.pdf

== Aiheesta muualla ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Infimum.html MathWorld. Infimum]

[[Luokka:Joukko-oppi]]