Lähdekoodi sivulle Hagenin–Poiseuillen yhtälö

'''Hagen–Poiseuillen yhtälö''' tai '''Poiseuillen yhtälö''' on [[virtausdynamiikka|virtausdynamiikan]] yhtälö, jonka avulla voidaan määrittää painehäviö [[laminaarinen virtaus|laminaariselle virtaukselle]] poikkileikkaukseltaan ympyränmuotoisessa putkessa. Sen johtivat toisistaan riippumatta [[Gotthilf Hagen|Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen]] vuonna 1839 ja [[Jean Léonard Marie Poiseuille]] vuonna 1838. Yhtälön julkaisi ensimmäistä kertaa Poiseuille vuosina 1840 ja 1846.

Hagen–Poiseuillen yhtälö on
:<math> \Delta p = \frac{128 \mu L q_v}{\pi d^4}</math>,
missä
: ''Δp'' on [[paine]]häviö ([[Kansainvälinen yksikköjärjestelmä|SI]]: [Δ''p''] = Pa)
: ''μ'' on nesteen dynaaminen [[viskositeetti]] ([[Kansainvälinen yksikköjärjestelmä|SI]]: [''μ''] = Pa s)
: ''L'' on putken pituus ([[Kansainvälinen yksikköjärjestelmä|SI]]: [''L''] = m)
: ''q''<sub>v</sub> on [[tilavuusvirta]] ([[Kansainvälinen yksikköjärjestelmä|SI]]: [''q''<sub>v</sub>] = m<sup>3</sup> s<sup>−1</sup>)
: ''d'' on putken halkaisija ([[Kansainvälinen yksikköjärjestelmä|SI]]: [''d''] = m).

== Matemaattinen johto ==
Lähdetään [[Navierin–Stokesin yhtälöt|Navier–Stokesin yhtälöistä]]. Oletetaan virtaus stationääriseksi ja sylinterisymmetriseksi sekä putken suunnassa homogeeniseksi, jolloin jäljelle jää

:<math>0=-\frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2 \vec{u}(r)\,</math>

missä <math>\rho</math> on fluidin tiheys, <math>\mu</math> sen kinemaattinen [[viskositeetti]], <math>\vec{u}(r)</math> säteestä riippuva virtausnopeus ja <math>\nabla</math> [[nabla|osittaisdifferentiaalioperaattori]]. Kirjoitetaan tämä vielä [[skalaari]]muotoon sylinterisymmetrisyys ja ''x''-suuntainen homogeenisuus huomioon ottaen:

:<math>-\frac{\Delta P}{L} = \mu \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r}\right)\,</math>

Nyt kaksi kertaa [[integrointi|integroimalla]] ja asettamalla rajaehdot <math>u(r=0)<\infty</math> ja <math>u(r=R)=0</math> saadaan ratkaisu

:<math>u(r)=\frac{\Delta P}{4L\mu}(R^2-r^2)\,</math>

eli putkivirtauksen poikkileikkaus on [[paraboloidi]]n muotoinen. 

Toisaalta integroimalla edellinen lauseke putken poikkileikkauksen ''S'' yli saadaan tilavuusvirta eli

:<math>q_v = \iint_S u(r)\text{ d}y\text{ d}z = \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\textrm{ d}\phi \int_{r=0}^{r=R} \frac{\Delta P}{4L\mu}(R^2-r^2)r\textrm{ d}r = \frac{\Delta P \pi R^4}{8L\mu}\,</math>

mistä Hagen–Poiseuillen yhtälö seuraa kirjoittamalla <math>d=2R</math> ja ratkaisemalla painehäviö <math>\Delta P</math>.

==Lähteet==
*{{Kirjaviite | Tekijä = Kauranne, Kajaste & Vilenius  | Nimeke = Hydraulitekniikka | Vuosi = 2008 | Luku = | Sivu = 53, 57| Selite = | Julkaisupaikka = | Julkaisija = WSOY | Tunniste = | Isbn = 978-951-0-33844-5 | Viitattu = 28.9.2011 | Kieli = }}

{{Tynkä/Fysiikka}}

[[Luokka:Virtausdynamiikka]]
[[Luokka:Yhtälöt]]