Lähdekoodi sivulle Goursat’n lemma

'''Goursat'n lemma''' on [[Édouard Goursat|Édouard Goursat'n]] vuonna 1884<ref name=groups>{{verkkoviite | Osoite = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Goursat.html | Nimeke = Édouard Jean-Baptiste Goursat | Julkaisija = School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews | Viitattu = 8.4.2016 | arkisto = https://web.archive.org/web/20160305041404/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Goursat.html | arkistoitu = 5.3.2016 }}</ref> todistama [[funktioteoria]]n tulos, joka on samalla [[Cauchyn integraalilause]]en erikoistapaus. Sen mukaan  [[Analyyttinen funktio|holomorfisen]]  funktion [[integraali]] [[kolmio]]n muotoisen polun yli on nolla.

== Lemman täsmällinen muotoilu ==

Olkoon [[funktio]] f   [[Analyyttinen funktio|holomorfinen]]  alueessa A <math>\subset \mathbb{C}</math> ja Δ kolmion muotoinen alue, jonka [[topologinen sulkeuma|sulkeuma]] sisältyy alueeseen A. Silloin on

<math>\int_a^b f(x) \, dx = 0</math>.

== Lemman merkitys ==

Goursat'n lemma sellaisenaan pätee vain kolmion muotoisille alueille. Kun kuitenkin jokainen [[monikulmio]] voidaan jakaa kolmioihin, lemmasta seuraa välittömästi, että sama pätee myös jokaiselle monikulmiolle, ja koska jokaista [[yhdesti yhtenäinen|yhdesti yhtenäistä]] tasoaluetta voidaan approksimoida jonolla sen yhä tarkemmin peittäviä monikulmioita, pätee vastaava tulos, [[Cauchyn integraalilause]], myös kaikille niille. [[Cauchyn integraalilause]]tta, jonka erikoistapaus Goursat'n lemma on, voidaan pitää funktioteorian perustavimpana lauseena. Sen mukaan annetulla alueella [[Holomorfinen funktio|holomorfisen funktion]] integraali tähän alueeseen sisältyvän suljetun käyrän yli on nolla. [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] todisti tämän lauseen tietyin edellytyksin jo 1820-luvulla. Hänen käyttämänsä holomorfisen funktion määritelmä, samoin kuin hänen käyttämänsä todistuskin, kuitenkin ''edellyttivät'', paitsi että funktiolla on [[derivaatta]], myös sen että sen derivaatta on [[jatkuvuus|jatkuva]].<ref name=groups /> Goursat'n lemman todistuksessa sitä vastoin ei ''oleteta'', että derivaatan on oltava jatkuva, ainoastaan, että funktiolla on derivaatta jollakin alueella. Goursat'n lemmasta kuitenkin ''seuraa'', että tällöin derivaatta on myös jatkuva, sillä  [[Cauchyn integraalilause|Cauchyn integraalilauseesta]] seuraa [[Cauchyn integraalikaava]], jonka avulla voidaan osoittaa, että holomorfinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva.

Täten Goursat'n lemma teki mahdolliseksi todistaa perustavanlaatuinen Cauchyn integraalilause olettamatta, että kompleksinen derivaatta on jatkuva. Nykyisin kompleksisen derivaatan jatkuvuutta ei yleensä sisällytetä holomorfisen funktion määritelmäänkään, sillä Goursat'n lemma osoitti, että se seuraa kompleksisen derivaatan olemassaolosta. Vaikka Goursat'n lemmalla ei ole käytännön merkitystä integraaleja laskettaessa, niin teoreettisessa mielessä tulos on tärkeä holomorfisten funktioiden luokan minimaalisen määritelmän valintaan (valinta on tehty Cauchyn integraalilauseen perusteella, sillä koko sovelluksiltaan rikas funktioteoria perustuu siihen).

== Todistus ==
[[Tiedosto:Triangle pour la démonstration du Lemme de Goursat en analyse complexe.png|right|thumb|300px|Kolmion jako neljään keskenään yhtenevään kolmioon]]
Kolmion Δ sivujen keskipisteet voidaan yhdistää janoilla, jotka jakavat alkuperäisen kolmion neljään keskenään [[yhtenevyys|yhtenevään]] kolmioon, jotka lisäksi ovat [[yhdenmuotoisuus|yhdenmuotoisia]] alkuperäisen kolmion kanssa. Näille kolmioille käytetään seuraavassa merkintöjä Δ<sub>1</sub>, Δ<sub>2</sub>, Δ<sub>3</sub> ja Δ<sub>4</sub>, ja δ on seuraavassa [[reuna (topologia)|reunan]] merkki, joka tarkoittaa aina, että kolmio, jonka merkinnän eteen se on sijoitettu, kierretään vastapäivään sen reunaa myöten. Tällöin

:<math>I = \int_{\delta\Delta} f(x) \, dx =  \Sigma_{n-1}^4 \int_{\delta\Delta_i} f(x),</math>

sillä muodostettaessa viimeksi mainittu summa tulee funktio integroiduksi niiden alkuperäisen kolmion Δ keskipisteiden yhdistysjanojen yli kahteen kertaan, vastakkaisiin suuntiin, jolloi näiden janojen yli otetut integraalit ovat toistensa [[vastaluku]]ja.  Valitaan kolmioksi Δ<sub>1</sub> se näistä kolmioista, jonka reunan ympäri otettuna funktion f integraali on [[itseisarvo]]ltaan suurin. Jos tämän integraalin arvolle käytetään merkintää ''I<sub>1</sub>'' on siis |''I''|&nbsp;=&nbsp;|''I''<sub>1</sub>|.  Käytetään kolmioiden Δ ja Δ<sub>1</sub> pinta-aloille merkintöjä |Δ| ja |Δ<sub>1</sub>|, jolloin |Δ|&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;|Δ<sub>1</sub>|. Tällöin saadaan:

:<math>\frac{|I|}{|\Delta|} \le \frac{|I_1|}{\Delta_1}</math>.

Tämä menettely voidaan toistaa jakamalla edelleen Δ<sub>1</sub> neljään yhtenevään kolmioon ja valitsemalla niistä se, jonka reunan yli laskettuna f:n integraalilla on suurin itseisarvo, ja jakamalla tämä kolmio edelleen neljään yhtenevään kolmioon ja niin edelleen. Täten saadaan päättymätön jono sisäkkäisiä kolmiota:
<math>\Delta \supset \Delta_1 ... \supset \Delta_n</math>,
joille pätee:

:<math>\frac{|I|}{|\Delta|} \le \frac{|I_1|}{\Delta_1} \le ... \le \frac{|I_1|}{\Delta_1} \le ...</math>,

missä
:<math>I_n = \int_\delta\Delta_n f(x) dx</math>
ja |Δ<sub>n</sub>| on kolmion  Δ<sub>n</sub> pinta-ala.

Konstruktiosta seuraa [[Topologia (matematiikka)|topologisesti]], että kaikkien näin saatujen kolmioiden 
Δ<sub>n</sub> [[leikkaus (matematiikka)|leikkaus]] 
:<math>\bigcap_{i=1}^{\infty} \Delta_{i}</math>
käsittää vain yhden pisteen, jolle voidaan käyttää merkintää ''z''<sub>0</sub>.

Koska funktiolla f on oletuksen mukaan [[derivaatta]] jossakin pisteen z<sub>0</sub> ympäristössä, on:

:<math>\int_{\delta\Delta_n} f(x)dx = f(z_0) \int_{\delta\Delta_n} dz + f'(z_0) \int_{\delta\Delta_n} (z-z_0) dz + \int_{\delta\Delta_n} dz (z-z_0) \eta(z-z_0) dz</math>,

missä  Δ (''z''-''z''<sub>0</sub> lähestyy nollaa, kun ''z'' lähestyy arvoa ''z''<sub>0</sub>.  

Kahdessa ensimmäisessä yllä olevassa integraalissa on integroitavana [[vakiofunktio]] f(''z'') = 1 sekä funktio f(''z'') = ''z''-''z''<sub>0</sub>. Näillä molemmilla on [[integraalifunktio]], edellisellä ''z'', jälkimmäisen (''z''-''z''<sub>0</sub>)<sup>2</sup>/2. Jo ennen Gourzat'n lemmaa oli kompleksifunktioiden osalta todistettu, että jos funktiolla on integraalifunktio, sen integraali säännöllisen umpinaisen polun yli on nolla. Kolmannessa integraalissa taas lauseke |''z''-''z''<sub>0</sub>| lähestyy nollaa, kun ''n'' kasvaa rajatta.  Lukujonon [[raja-arvo]]n määritelmän mukaan näin ollen jokaista positiivista lukua ε kohti on olemassa sellainen kokonaisluku n<sub>ε</sub>, että kun ''n'' ≥ ''n''<sub>ε</sub>, on |η (''z''-''z''<sub>0</sub>)| < ε. Jos |δΔ<sub>n</sub>| on kolmion Δ<sub>n</sub> kehän pituus, saadaan jo aikaisemmin todistetun epäyhtälön perusteella:

:<math>|I_n| = | \int_\delta\Delta_n (z-z_0) \eta(z-z_0)dz| \le \epsilon |\delta\Delta_n|^2</math>.

Tästä seuraa:

:<math>\frac{|I|}{|\Delta|} \le \frac{|I_n|}{|\Delta_n|} \le \epsilon \frac{|\delta\Delta_n|^2}{|\Delta_n|}</math>.

Kun kuitenkin kaikki kolmiot Δ, Δ<sub>1</sub>, ..., Δ<sub>n</sub> jne. ovat yhdenmuotoisia, on 
:<math>\frac{|\delta\Delta_n|^2}{|\Delta_n|} = \frac{|\delta\Delta|^2}{|\Delta|}</math>
ja näin ollen
:<math>|I| \le \epsilon |\delta\Delta|^2</math>,
mikä on mahdollista vain, jos I = 0, [[mikä oli todistettava]].

== Lähteet ==
* {{kirjaviite | Tekijä = Lehto, Olli | Nimeke = Funktioteoria I–II | Sivut = 50–52 | Luku = Cauchyn integraalilause | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1980 | Tunniste = | Isbn = 951-745-077-X}}

=== Viitteet ===
{{viitteet}}

[[Luokka:Kompleksianalyysi]]
[[Luokka:Matemaattiset todistukset]]