Lähdekoodi sivulle Geodeesi

[[Tiedosto:Ortodroma.svg|thumb|Pallopinnalla lyhin matka pisteestä A pisteeseen B kulkee [[isoympyrä]]ä pitkin.]]
[[Tiedosto:Rhumbs and great circles on Mercator.svg|thumb|New Yorkin, Dakarin ja Moskovan väliset geodeesit (sininen) ja loksodromit (punainen). Vaikka loksodromit [[Mercatorin projektio]]ssa näyttävät suorilta, geodeesit ovat pallopinnalla lyhyempiä.]]
'''Geodeesi''' eli '''geodeettinen viiva''' on ”[[suora]]n viivan” käsitteen yleistys ”kaareviin avaruuksiin”, esimerkiksi pallopinnalle tai [[yleinen suhteellisuusteoria|yleisessä suhteellisuusteoriassa]] kaarevaan [[aika-avaruus|aika-avaruuteen]]. Geodeesin olennainen ominaisuus on, että ''lokaalisti'' (minkä tahansa pisteen pienessä ympäristössä tarkasteltuna) se muistuttaa suoraa viivaa ja (mikäli avaruudessa on olemassa etäisyysmitta) tarjoaa jossakin mielessä lyhimmän etäisyyden pisteiden välillä. Tarkka matemaattinen määritelmä vaihtelee riippuen siitä, millaista avaruutta tarkastellaan.

==Geodeesi pallopinnalla==
Yksinkertainen esimerkki geodeesista on [[pallo]]pinnalla [[isoympyrä]]. Kahta pallopinnan pistettä yhdistävä lyhin viiva kulkee pitkin isoympyrän kaarta, joten tällainen kaari on samalla tavoin pisteiden välinen ''lyhin reitti'' tai ”suorin mahdollinen reitti” samaan tapaan kuin [[jana (geometria)|jana]] on lyhin reitti [[taso]]n pisteiden välillä. Nimi ''geodeesi'' viittaa [[geodesia]]an eli maanmittausoppiin, joka tutkii [[maapallo]]n kokoa ja muotoa.<ref name="schwartzman"/> Esimerkiksi pitkillä meri- ja lentomatkoilla lyhin reitti kulkee pitkin isoympyrää (eikä pitkin [[loksodromi]]a, joka kulkee koko ajan samaan [[ilmansuunta]]an).

Geodeesin ja loksodromin ero voi aiheuttaa tulkintaongelmia, jos esimerkiksi sopimuksessa on sovittu jonkin rajan kulkevan maapallon pinnalla ”pitkin suoraa viivaa”. Esimerkiksi [[Ahvenanmaan sopimus|Ahvenanmaan sopimuksessa]] demilitarisoidun alueen rajat määriteltiin tiettyjen pisteiden välisinä ”suorina viivoina”, jolloin syntyy kysymys, tarkoitetaanko geodeeseja vai loksodromeja.<ref name="om"/>

==Geodeesi pinnalla==
[[Tiedosto:Rubber band geodesics on a glass vase.png|thumb|Kaksi eri geodeesia samojen pisteiden välillä. Vihreä kuminauha kulkee oranssien pisteiden välillä lyhintä reittiä, valkoinen ei.]]
[[Tiedosto:Transpolar geodesic on a triaxial ellipsoid case A.svg|thumb|Jos geodeesia pitkin kuljettaessa palataan lähtöpisteeseen, on kulkusuunta voinut kiertyä, ts. ei kuljeta samaan suuntaan kuin lähdettäessä. Näin voi käydä esimerkiksi ellipsoidin pinnalla. Kuvassa geodeesi kiertyy hiukan joka kierroksella.]]
Yleisemmin geodeesi voidaan määritellä millä tahansa [[euklidinen avaruus|euklidisen avaruuden]] ali[[monisto]]lla, esimerkiksi kolmiulotteisessa avaruudessa olevalla (mahdollisesti kaarevalla) [[pinta (geometria)|pinnalla]] kuten ellipsoidilla, lieriöpinnalla jne.

Vaihtoehtoisia (mutta sopivin edellytyksin yhtäpitäviä) määritelmiä ovat ainakin seuraavat:
* Geodeesi on ''lokaalisti etäisyyden minimoiva käyrä''.<ref name="mathworld"/><ref name="edm178"/> Tämä merkitsee, että jos tarkastellaan ''riittävän lyhyttä'' käyrän osaa, niin kaikkien sen pisteiden välillä lyhin reitti kulkee kyseistä käyrää pitkin. Tätä määritelmää voi havainnollistaa ajattelemalla, että pinnalle voi asettaa venytetyn [[kuminauha]]n geodeesia pitkin.<ref name="sullivan"/> Jos kuminauhan yrittäisi asettaa sellaista reittiä, joka ei ole geodeesi, kuminauha pyrkisi oikaisemaan reittiä.
* Geodeesi on käyrä, jota vakiovauhdilla kuljettaessa [[kiihtyvyys]] on jatkuvasti pintaa vastaan [[kohtisuora]].<ref name="sullivan"/>
* Geodeesi on käyrä, jonka ''geodeettinen kaarevuus'' jokaisessa pisteessä on nolla. Geodeettinen kaarevuus on <math>\kappa_g = \kappa \cos \theta</math>, missä <math>\kappa</math> on käyrän kaarevuus koko avaruudessa ja <math>\theta</math> on käyrän binormaalin ja moniston normaalin välinen kulma.<ref name="edm111"/>

===Lokaalisuuden merkitys===
Usein sanotaan hiukan epätäsmällisesti, että geodeesi on tietyllä pinnalla ”kahden pisteen välinen lyhin viiva”.<ref name="solmu"/><ref name="m"/> Tämä on osittain totta. Mikäli kahden pisteen välillä on olemassa lyhin viiva, niin se on ''eräs'' geodeesi, mutta samojen pisteiden välillä voi olla useita eripituisia geodeeseja. Kukin geodeesi on kuitenkin ''lokaalisti'' etäisyyden minimoiva.<ref name="sullivan"/>

Esimerkki 1. Jos ''A'' ja ''B'' ovat kaksi pistettä pallopinnalla lähellä toisiaan, voi niiden välillä isoympyrää pitkin kahta eri reittiä: joko ”suoraan” tai pallon ympäri. Molemmat reitit ovat geodeeseja, mutta pallon kiertävä reitti voi olla paljonkin pidempi.<ref name="sullivan"/>

Esimerkki 2. Maapalloa voidaan karkeasti pitää litistyneenä [[ellipsoidi]]na, jonka ympärysmitta [[päiväntasaaja]]a pitkin on 40&nbsp;075&nbsp;km, mutta ympärysmitta napojen kautta vain 40&nbsp;008&nbsp;km.<ref name="handy"/> Jos pisteet ''A'' ja ''B'' ovat päiväntasaajalla [[antipodi|vastakkaisilla puolilla]], on niiden välimatka napojen kautta 33,5 km lyhyempi kuin päiväntasaajaa pitkin; silti molemmat reitit ovat geodeeseja.

Esimerkki 3. [[Lieriö]]pinnalla kahden pisteen välinen geodeesi (kuten kuminauha) voi kulkea mielivaltaisen monta kertaa lieriön ympäri, jolloin syntyy [[ruuviviiva]]. Tällainen viiva on ''lokaalisti'' etäisyyden minimoiva, mutta ei ole lyhin reitti pisteiden välillä.<ref name="sullivan"/>

Esimerkki 4. [[Madonreikä]] (Einsteinin–Rosenin silta) on hypoteettinen oikoreitti aika-avaruudessa. Jos sellaisia esiintyy, voi samojen pisteiden välillä olla huomattavan eripituisia geodeeseja.<ref name="tahtinen"/>

Joillakin pinnoilla, erityisesti [[taso]]ssa pätee, että kahden pisteen välillä on aina täsmälleen yksi geodeesi, joka on samalla niiden välinen lyhin viiva.<ref name="mathworld"/>

==Geodeesi differentiaaligeometriassa==
Vielä yleisemmin geodeesi voidaan määritellä esimerkiksi millä tahansa differentioituvalla [[monisto]]lla (jonka ei tarvitse olla upotettuna korkeampiulotteiseen monistoon). Jos ''M'' on differentioituva monisto ja ''C'' on sen differentioituva käyrä, niin ''C'' on geodeesi, jos sen tangenttivektorit [[konnektio|kuljetettuna]] käyrää pitkin ({{K-en|parallel displacement}}) pysyvät käyrän tangenttivektoreina.<ref name="edm80"/>

==Lähteet==
{{Viitteet|refs=
https://jyx.jyu.fi/dspace/handle/123456789/44666
<ref name="mathworld">{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Geodesic.html | Nimeke = Geodesic | Tekijä = Rowland, Todd ja Weisstein, Eric W.  | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = MathWorld | Ajankohta = | Julkaisupaikka = | Julkaisija = Wolfram Research Inc. | Viitattu = 25.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="solmu">{{Verkkoviite | Osoite = http://matematiikkalehtisolmu.fi/sanakirja/g.html | Nimeke = Matematiikan verkkosanakirja | Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = | Ajankohta = | Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 25.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="m">{{Verkkoviite | Osoite = https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/pallo3.html | Nimeke = M niinkuin matematiikka. Lukiotason matematiikan tietosanakirja. Versio 1.12 | Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = Geodeettiset viivat; pallokolmiot | Julkaisu = | Ajankohta = 10.08.2000 | Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 25.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="om">{{Verkkoviite | Osoite = https://oikeusministerio.fi/hanke?tunnus=OM025:00/2005 | Nimeke = Ahvenanmaan demilitarisoinnin rajoja koskeva selvitys. Rajatyöryhmän mietintö | Tekijä =  | Tiedostomuoto =  | Selite = Sarjanumero 2006:18. Sivut 12, 16, 18 | Julkaisu =  | Ajankohta = 2006 | Julkaisupaikka =  | Julkaisija = Oikeusministeriö | Viitattu = 25.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="edm80">{{Kirjaviite | Tekijä = Kiyosi Itô (editor) | Nimeke =  Encyclopedic Dictionary of Mathematics | Vuosi = | Luku = 80. Connections | Sivu = 303 | Selite = Second English edition, third printing, volume I | Julkaisupaikka = | Julkaisija = MIT Press | Tunniste = | www = | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = 25.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="edm111">{{Kirjaviite | Tekijä = Kiyosi Itô (editor) | Nimeke =  Encyclopedic Dictionary of Mathematics | Vuosi = | Luku = 111. Differential Geometry of Curves and Surfaces | Sivu = 418 | Selite = Second English edition, third printing, volume I | Julkaisupaikka = | Julkaisija = MIT Press | Tunniste = | www = | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = 25.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="edm178">{{Kirjaviite | Tekijä = Kiyosi Itô (editor) | Nimeke =  Encyclopedic Dictionary of Mathematics | Vuosi = | Luku = 178. Geodesics | Sivu = 675 | Selite = Second English edition, third printing, volume I | Julkaisupaikka = | Julkaisija = MIT Press | Tunniste = | www = | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = 25.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="sullivan">{{Verkkoviite | Osoite = http://www.math.uiuc.edu/~jms/m302/01Sp/handouts/geodesic.pdf | Nimeke = Math 302, NonEuclidean Geometry, Spring 2001 | Tekijä = John M. Sullivan | Tiedostomuoto = | Selite = Luentomateriaali. Kappale ”Geodesics on Smooth Surfaces” | Julkaisu = | Ajankohta = 2001 | Julkaisupaikka = | Julkaisija = University of Illinois at Urbana-Champaign | Viitattu = 25.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="tahtinen">{{Lehtiviite | Tekijä = Leena Tähtinen | Otsikko = Aikamatkailu tieteellisenä ongelmana | Julkaisu = Tieteessä tapahtuu | Ajankohta = 2000 | Vuosikerta =  | Numero = 8 | Sivut =  | Julkaisupaikka =  | Julkaisija =  | Selite =  | Tunniste =  | www = http://www.tieteessatapahtuu.fi/008/tahtinen.htm | www-teksti =  | Tiedostomuoto =  | Viitattu = 30.10.2015 | Kieli =  | Lopetusmerkki =  }} {{Wayback|1=http://www.tieteessatapahtuu.fi/008/tahtinen.htm |päiväys=20160305185106 }}</ref>
<ref name="handy">{{Kirjaviite | Tekijä = Naomi E. Balaban ja James E. Bobick (toim.) | Nimeke = The handy science answer book | Vuosi = 2011 | Luku = | Sivu = 113 | Selite = Neljäs painos | Julkaisupaikka = | Julkaisija = Visible Ink Press | Tunniste = | www = https://books.google.fi/books?id=z2jlRq_0gOMC&lpg=PA113&ots=fzXDyUYuzN&dq=earth%2040075%2040008%20oblate%20ellipsoid&hl=fi&pg=PA113#v=onepage&q=earth%2040075%2040008%20oblate%20ellipsoid&f=false | www-teksti = Google Books -esikatselu | Tiedostomuoto = | Viitattu = 30.10.2015 | Kieli = }}</ref>
<ref name="schwartzman">{{Kirjaviite | Tekijä = Steven Schwartzman | Nimeke = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English | Vuosi = 1994 | Luku = | Sivu = 98 | Selite = | Julkaisupaikka = | Julkaisija = The Mathematical Association of America | Tunniste = | www = https://books.google.fi/books?id=iuoZSkSOBQsC&lpg=PA98&ots=MTJO3-3rVu&dq=geodesic%20etymology&hl=fi&pg=PA98#v=onepage&q=geodesic&f=false | www-teksti = Google Books -esikatselu | Tiedostomuoto = | Viitattu = 30.10.2015 | Kieli = }}</ref>
}}

[[Luokka:Geometria]]
[[Luokka:Geodesia]]