Lähdekoodi sivulle Eulerin tiili

'''Eulerin tiili''' on [[suorakulmainen särmiö]], jossa särmien pituudet ja tahkojen [[lävistäjä (geometria)|lävistäjien]] pituudet ovat positiivisia [[kokonaisluku]]ja. Eulerin tiili on saanut nimensä [[Leonhard Euler]]in mukaan. 

[[File:Euler_brick.svg|right|thumb|Eulerin tiili, jonka särmät ovat ''a'', ''b'' ja ''c'' ja tahkojen lävistäjät ''d'', ''e'' ja ''f''.]]

== Ominaisuudet ==

Eulerin tiilen sivujen pituudet saadaan ratkaisemalla seuraavat [[Diofantoksen yhtälö]]t: 
:<math>\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ b^2 + c^2 = e^2\\ a^2 + c^2 = f^2\end{cases}</math>

Jos ''a'', ''b'' ja ''c'' ovat Eulerin tiilen sivun pituudet, niin myös kolmikko (''bc'', ''ac'', ''ab'') muodostaa Eulerin tiilen.

== Esimerkkejä ==

Pienimmässä Eulerin tiilessä, jonka löysi Paul Halcke vuonna 1719, on sivujen pituudet <math>(a, b, c) = (240, 117, 44)</math> ja tahkojen lävistäjät 267, 244 ja 125.

Muut ratkaisut <math>(a, b, c)</math>, joiden pisin sivu on alle 1000:
* <math>(275, 252, 240)</math>
* <math>(693, 480, 140)</math>
* <math>(720, 132, 85)</math>
* <math>(792, 231, 160)</math>

== Täydellinen suorakulmainen särmiö ==

Täydellinen suorakulmainen särmiö on Eulerin tiili, jossa myös särmiön [[avaruuslävistäjä]]n pituus on positiivinen kokonaisluku. Toisin sanoen yllä esitettyyn Diofantoksen yhtälöön lisätään yhtälö 
:<math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2.\,</math>

Tiettävästi kukaan ei ole ratkaissut tätä yhtälöä. Ei tiedetä, onko täydellistä suorakulmaista särmiötä olemassa.

== Alkeellinen Eulerin tiili ==

Eulerin tiiltä sanotaan alkeelliseksi, jos sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia lukuja eli niiden [[suurin yhteinen tekijä]] on 1. Pienin löydetty Eulerin tiili, <math>(a, b, c) = (240, 117, 44)</math>, on alkeellinen sillä sen sivujen pituudet ovat keskenään jaottomia.

== Lähteet ==
* http://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html
* http://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html
* http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf

[[Luokka:Diofantoksen yhtälöt]]
[[Luokka:Euklidinen geometria]]