Lähdekoodi sivulle Erityinen suhteellisuusteoria

{{Yleinen suhteellisuusteoria}}
'''Suppea suhteellisuusteoria''' eli '''erityinen suhteellisuusteoria''' tai '''erikoinen suhteellisuusteoria''' on [[Fysiikka|fysiikassa]] yleisesti hyväksytty ja kokeellisesti hyvin tuettu [[tieteellinen teoria]], jonka [[Albert Einstein]] julkaisi 1905. Se korvasi newtonilaisen eli [[Klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] käsityksen [[Absoluuttinen aika ja avaruus|muuttumattomasta avaruudesta ja ajasta]] näiden yhtymäksi, [[Aika-avaruus|aika-avaruudeksi]], ja sisällytti itseensä [[sähkömagnetismi]]n teorian, kuten [[Maxwellin yhtälö]]issä on esitetty.

Muuttumattomalla nopeudella liikkuvan kappaleen sanotaan olevan [[inertiaalikoordinaatisto]]ssa. Jos vakionopeuksisia kappaleita on monia ja ne liikkuvat samaan suuntaan, ovat ne samassa inertiaalikoordinaatistossa. Jos inertiaalikoordinaatistoja on monia, ovat niiden kappaleiden ominaisuudet ''suhteellisia'' toisiinsa, ja ominaisuuksia voidaan verrata suppean suhteellisuusteorian avulla, josta nimi ''suhteellisuus''teoria tulee. Teoria on ''suppea'', koska se pätee vain inertiaalikoordinaatistoille, eikä siinä voi siten suhteellistaa [[Kiihtyvyys|kiihtyviä]] tai hidastuvia liiketiloja.<ref name=":0" /> Suppeassa suhteellisuusteoriassa jätetään huomiotta kappaleiden [[painovoima]]n luonne, joka [[Yleinen suhteellisuusteoria|''yleisen'' suhteellisuusteorian]] mukaan aiheuttaa aika-avaruuden vääristymistä ja kaikki liike, myös kiihtyvä, on saatettu teoriassa silloin yleisesti suhteellistetuksi.

Suppeassa suhteellisuusteoriassa vertaillaan inertiaalikoordinaatistojen kappaleiden ominaisuuksia, kuten suhteellista sijaintia, nopeutta ja [[liike-energia]]a, [[Lorentz-muunnos|Lorentz-muunnoksilla]]. Nämä ottavat huomioon aika-avaruuden muuttumisen, joka on merkittävää eritoten [[tyhjiö]]n [[Valonnopeus|valonnopeutta]] lähellä olevissa suhteellisissa nopeuksissa. Klassisessa mekaniikassa käytetään samankaltaisia [[Galilei-invarianssi|Galilei-muunnoksia]], jotka eivät ota huomioon aika-avaruuden muutoksia.<ref name=":0" /> Klassista mekaniikkaa voidaan pitää siksi nykyään enää vain suhteellisuusteorian [[approksimaatio]]na, jota voidaan soveltaa valoa paljon hitaammissa nopeuksissa.

Suppean suhteellisuusteorian pääkohdat julkaistiin 1905 [[Annalen der Physik]] -tiedejulkaisun numerossa 10 Einsteinin artikkelissa ''Liikkuvien kappaleiden elektrodynamiikasta'' ({{k-de|zur elektrodynamik bewegter körper}}).<ref>{{Lehtiviite|Tekijä=A Einstein|Otsikko=Zur elektrodynamik bewegter Körper|Julkaisu=Annalen der Physik|Ajankohta=1905|Vuosikerta=322|Numero=10|Sivut=891–921|Doi=10.1002/andp.19053221004|Issn=0003-3804|Selite=[https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/ Käännös englanniksi]|www=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/andp.19053221004}}</ref> Samassa numerossa julkaistiin myös Einsteinin [[Valokvantti|valokvantteja]] ja [[Brownin liike]]ttä käsitelleet artikkelit.

Suppeasta suhteellisuusteoriasta seuraa myös [[massa]]n ja [[energia]]n välisen yhteyden osoittava yhtälö [[E=mc²]]. Yhtälö julkaistiin myöhemmin 1905 Einsteinin kirjoittamassa Annalen der Physikin artikkelissa ''Riippuuko kappaleen hitaus sen energiasta?'' ({{k-de|Ist die trägheit eines körpers von dessen energieinhalt abhängig?}}).<ref>{{Lehtiviite|Tekijä=A Einstein|Otsikko=Ist die trägheit eines körpers von seinem energieinhalt abhängig?|Selite=[https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/E_mc2/www/ Käännös englanniksi]|Julkaisu=Annalen der Physik|Ajankohta=1905|Numero=18|Sivut=639–641|Doi=10.1002/andp.19053231314|Issn=0003-3804|www=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/andp.19053231314|Lopetusmerkki=pois}}</ref>

1915 Einstein julkaisi toistaiseksi epävarman [[Yleinen suhteellisuusteoria|yleisen suhteellisuusteorian]]. Se on suppean suhteellisuusteorian yleispätevämpi laajennos, josta teorian nimi ''yleinen'' johtuu. Teorian avulla voidaan tarkastella muun muassa kiihtyvää tai hidastuvaa liikettä, painovoimaa, [[Musta aukko|mustia aukkoja]], [[Maailmankaikkeuden muoto|aika-avaruuden kaareutumista]] ja [[Maailmankaikkeus|maailmankaikkeuden]] kehitystä.<ref name=":0" />

== Postulaatit ==

# Suhteellisuusperiaate: Fysiikan lait ovat samat jokaisessa [[inertiaalikoordinaatisto]]ssa.<ref name="banerji20">{{Kirjaviite|Tekijä=S Banerji, A Banerjee|Nimeke=Special theory of relativity|Vuosi=2004|Sivu=20|Julkaisija=PHI Learning Pvt. Ltd.| Tunniste = | Isbn = 9788120319639}}</ref> [[Aika-avaruus|Avaruudessa]] ei siis ole mitään toisia parempaa erityispistettä tai suuntaa, jonka voisi määrätä olevan paikallaan tai nopeudeltaan nolla.
# [[Valo]]n (tai muun [[Sähkömagneettinen säteily|sähkömagneettisen säteilyn]]) tyhjiönopeus on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistossa, eikä riipu valon lähteen ja havaitsijan keskinäisestä nopeudesta.<ref name="banerji20" />

[[Postulaatti|Postulaatit]] ovat olettamuksia, joihin suppea suhteellisuusteoria perustuu. Postulaateista toinen on seuraus ensimmäisestä.<ref name=":0" />

== Suhteellisuusteorian seurauksia ==
Postulaateista seuraa suppean suhteellisuusteorian mukaan muun muassa seuraavanlaisia maailmankaikkeuden ominaisuuksia:

* Levossa olevalle samanaikaiset tapahtumat eivät ole samanaikaisia kuin levossa olevan kannalta liikkeessä olevalle.
* Ajankulku on suhteellista ja suhteellisesti liikkuvan aika kuluu hitaammin (katso [[kaksosparadoksi]]). Siten [[Aikamatkustus|ajassa eteenpäin "matkustaminen"]] on mahdollista.
* Levossa olevan suhteen liikkuvien kappaleiden kulkema matka on fyysisesti lyhempi kuin levossa olevan mittaamana ja levossa olevan mittaamana liikkuvat kappaleet lyhentyvät/litistyvät menosuuntaansa. Esimerkiksi raketin lähtiessä Maasta ja liikkuessa lähes valonnopeudella suhteessa Maahan, on raketti Maasta mitattuna fyysisesti lyhentynyt pitkittäin menosuuntaansa. Raketista katsoen Maa ja muu Maan kaltaisella nopeudella liikkuva universumi on litistynyt raketin menosuuntaan. Siten myös raketin kannalta sen kulkema matka on lyhyempi kuin maasta mitattuna. (Katso myös: [[Tikapuuparadoksi]].)
* Aine voi muuntua [[energia]]ksi ja päinvastoin, rikkoen [[Aineen häviämättömyyden laki|massan säilymislain]]. Tätä tapahtuu havaittavasti [[ydinreaktio]]issa, mutta jatkuvasti myös arkielämässä, joskin tämä on huomaamattomampaa.
* [[Sähkömagneettinen säteily]] liikkuu tyhjiössä aina valonnopeudella havaitsijasta riippumatta. Esimerkiksi suhteessa Maahan lähellä valonnopeutta liikkuvan raketin matkustajat näkevät valon liikkuvan tyhjiössä edelleen valonnopeudella huolimatta heidän rakettinsa nopeudesta. Maasta raketin rinnalle lähetetty [[laser]]säde ei siis raketista mitattuna liiku hitaammin kuin Maasta mitattuna.
* [[Massa]]llinen kappale ei voi saavuttaa tyhjiön valonnopeutta suhteessa levossa olevaan kappaleeseen sillä massallinen kappale vaatii valonnopeuden saavuttamiseksi äärettömästi energiaa. Massallinen tai [[massaton hiukkanen]] valonnopeuden ylittäessään jossakin inertiaalikoordinaatistossa rikkoisi myös syy-seuraus suhteen (kausaliteetin). Tällöin tapahtuman A aiheuttama tapahtuma B, jota valoa nopeampi kappale välittää, ja joiden välillä on jokin etäisyys, voisi tapahtua ennen A:ta jossakin toisessa inertiaalikoordinaatistossa.

Saattaa kuulla väitettävän että suppean suhteellisuusteorian mukaan kaikki on suhteellista. Tämä ei pidä paikkaansa: muun muassa sähkömagneettisen säteilyn tyhjiönopeus, [[E=mc²|massan lepoenergia]] ja aika-avaruusintervalli (matemaattinen käsite) ovat kaikille havaitsijoille samat.

== Inertiaalikoordinaatistot ==
[[Inertiaalikoordinaatisto]]t ovat olennainen osa suppeaa suhteellisuusteoriaa.

Täysin muuttumattomalla nopeudella liikkuvan kappaleen sanotaan olevan [[inertiaalikoordinaatisto]]ssa. Jos vakionopeuksisia kappaleita on useita ja ne liikkuvat täysin samaan suuntaan, ovat ne samassa inertiaalikoordinaatistossa, vaikka kappaleiden välinen etäisyys olisi ääretön. Siten inertiaalikoordinaatistotkin ovat äärettömiä. Eri vakionopeudella tai eri suuntaan liikkuvat kappaleet ovat eri inertiaalikoordinaatistoissa. Inertiaalikoordinaatistot ovat ihanteellisia eli kuvitteellisia, eikä niitä oikeasti ole. Tämä johtuu siitä, että kaikkialla kappaleiden liikkeeseen vaikuttaa kaukaistenkin kappaleiden [[painovoima]], jolloin minkään todellisen kappaleen nopeus ei voi olla täysin muuttumaton. Syvällä avaruudessa kaukana muista kappaleista oleva ja siten lähes vakionopeuksinen kappale on kuitenkin lähellä inertiaalikoordinaatistossa olevaa kappaletta.<ref name=":0">{{Kirjaviite|Tekijä=RD Knight et al|Nimeke=Physics for scientists and engineers: a strategic approach|Vuosi=2013|Sivut=1060–1097|Selite=3. painos|Julkaisija=Pearson Education inc|Isbn=9780321740908}}</ref>

Kahden samaan suuntaan nopeudella 50&nbsp;km/h liikkuvan auton voidaan sanoa olevan likimain samassa inertiaalikoordinaatistossa, ja 60&nbsp;km/h samaan suuntaan menevä auto on omassaan. Nopeudet ovat aina kuitenkin suhteellisia. 50&nbsp;km/h autojen voidaan sanoa olevan paikallaan koordinaatistossaan ja 60&nbsp;km/h auton liikkuvan suhteessa näihin vain nopeudella 10&nbsp;km/h. Todellista nopeutta etsiessä voidaan lähteä autoja vertaamaan niiden liikkeeseen suhteessa [[maa]]pallon pintaan. Kuitenkin näiden maapallolla olevien autojen nopeutta voidaan myös verrata suhteessa [[Aurinko]]on maapallon pyöriessä sen ympäri, sitten autojen liikettä suhteessa [[Linnunrata]]an [[Aurinkokunta|aurinkokunnan]] liikkuessa sen halki ja niin edelleen.

Todellista nopeutta ei siis ole olemassa ja kaikki nopeudet ovat suhteellisia sekä suhteellisuusteoriassa että [[Klassinen mekaniikka|klassisessa mekaniikassa]], joissa molemmissa [[nopeus]] on suuntaa huomioimatta kuljettu matkan muutos Δx jaettuna ajan muutoksella Δt, joissa Δ on muutosta merkitsevä matemaattinen symboli. Matka täytyy aina suhteuttaa johonkin, mitä varten on luotu koordinaatistojen käsite. Saman inertiaalikoordinaatiston kappaleet eivät liiku suhteessa toisiinsa, eli ne ovat toisiinsa nähden levossa, mutta liikkuvat suhteessa toisiin koordinaatistoihin. Minkään koordinaatiston ei kuitenkaan voida sanoa olevan levossa, vain liikkeessä suhteessa toisiinsa.<ref name=":0" />

== Teorian synty ==
Suhteellisuus ei ole klassiselle fysiikalle vieras käsite. Newtonilaisessa mekaniikassa käytetään [[Galilei-invarianssi]]n eli -muunnoksen kaavoja vertailemaan eri [[inertiaalikoordinaatisto]]jen kappaleiden suhteellisia ominaisuuksia. Kaavoissa kuitenkin ajan, kuten matkaan käytetyn ajan, ja avaruuden, kuten kuljetun matkan, oletetaan olevan kaikissa koordinaatistoissa muuttumattomia eri koordinaatistojen kappaleiden välisissä nopeuksissa.<ref name=":0" />

Valon tiedettiin liikkuvan [[tyhjiö]]ssä [[Valonnopeus|valonnopeudella]] jo pitkään ennen Einsteinin suppeaa suhteellisuusteoriaa. 1865 [[James Maxwell]]in [[sähkömagnetismi]]n teoria ennusti valon olevan [[Sähkömagneettinen säteily|sähkömagneettinen aalto]], ja ennusti tyhjiön [[Permittiivisyys|permittiivisyyden]] ε<sub>0</sub> ja tyhjiön [[Permeabiliteetti|permeabiliteetin]] µ<sub>0</sub> avulla [[Valonnopeus|valonnopeuden]] c olevan tyhjiössä<ref>{{Lehtiviite|Tekijä=JC Maxwell|Otsikko=VIII. A dynamical theory of the electromagnetic field|Julkaisu=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|Ajankohta=1865|Vuosikerta=155|Sivut=459–512|Doi=10.1098/rstl.1865.0008|Bibcode=1865RSPT..155..459C|Issn=0261-0523|www=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rstl.1865.0008}}</ref>

<math>c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\approx3\cdot10^8\,\mathrm{m/s}</math>

Yhtälössä ei ole paikkaa ulkoisille muuttujille, jotka ottaisivat huomioon valon liikkeen eri inertiaalikoordinaatistoissa. Galilei-muunnoksen mukaan esimerkiksi nopeammassa liikkeessä olevan koordinaatiston kappaleen lähettäessä valoa, tulisi tämän valon liikkua nopeammin kuin hitaammassa liikkeessä olevan koordinaatiston kappaleen lähettämä valo. Tämän uskottiin pitävän paikkansa ennen suppeaa suhteellisuusteoriaa.<ref name=":0" />

Yllä oleva sähkömagnetismin kaava ei siis ole yhteensopiva klassisen mekaniikassa käytetyn Galilei-muunnoksen kanssa, koska kaava ennustaa valon tyhjiönopeuden olevan vakio ja koordinaatistosta riippumatta todennäköisesti sama. Ongelman ratkaisemiseksi ehdotettiin [[valoeetteri]]teoriaa. Arveltiin että [[valo]] liikkuu tyhjiössä valonnopeudella vain suhteessa universumin täyttävän, eetteriksi nimetyn asian muodostamaan koordinaatistoon, jonka suhteen sähkömagnetismin yhtälöt pätevät. Siten tyhjiön valonnopeus olisi myös pienempi eetterin suhteen liikkuvassa galileisessa koordinaatistossa: jos koordinaatisto liikkuu samaan suuntaan nopeudella v kuin valo suhteessa eetterikoordinaatistoon, olisi mitattu tyhjiön valonnopeus c - v. Tämä on arkijärjen mukaista.<ref name=":0" />

Olisi sittenkin siis olemassa muita parempi koordinaatisto, jonka suhteen voitaisiin mitata muiden koordinaatistojen kappaleiden todellinen nopeus. Jos eetteriä ei olisi, olisi klassinen mekaniikka, joka oli tuolloin valtavirran käsitys fysiikasta, ainakin osittain väärässä.<ref name=":1">{{Kirjaviite|Tekijä=RA Serway et al|Nimeke=Physics for scientists and engineers|Vuosi=2010|Sivut=1145–1176|Selite=8. painos|Julkaisija=Brooks/Cole, Cengage Learning|Isbn=9780495827818}}</ref>
[[Tiedosto:AetherWind.svg|pienoiskuva|311x311px|[[Maa]] ja muu [[aurinkokunta]] liikkuu maailmankaikkeuden täyttämän valoeetterin halki.|vasen]]
Ennen 1800-luvun loppua ei onnistuttu tarkimmillakaan laitteilla mittaamaan valon ja liikkeessä olevan kappaleen välillä olevaa pientä eroa, jolla eetteriteoria voitaisiin todistaa. 1881 keksittiin käyttää [[interferometri]]ä ja Maan nopeaa liikettä niin sanotun eetterituulen havaitsemiseksi, joka muodostuisi Maan ja muun aurinkokunnan liikkuessa maailmankaikkeuden sisältämän eetterin halki. Koe tunnetaan [[Michelsonin–Morleyn koe|Michelsonin–Morleyn kokeena]], ja sillä olisi havaittu pienikin ero eetterin ja Maan liikkeen välillä. Tässä kokeessa eikä muissakaan kokeissa kuitenkaan havaittu eetteriä, joten ei voitu määrittää missä sen koordinaatisto oli.<ref name=":0" />
[[Tiedosto:Electromagneticwave3D.gif|pienoiskuva|251x251px|Valo sähkömagnetismin mukaan: muuttuva sähkökenttä E saa aikaan magneettikentän B, joka aiheuttaa E:n ja niin edelleen, jolloin muodostuu itseään ylläpitävä [[Aallonpituus|aallonpituuden]] λ sähkömagneettinen aalto.]]
Eetteriä ei siis vaikuttanut olevan, mutta muun tuon ajan fysiikkaan yhteensopimattomasta sähkömagnetismista sen sijaan oli todisteita. Tämä oli ongelmallista koska sähkömagnetismin avulla kuvattuna valo on [[sähkömagneettinen aalto]], joka ylläpitää itseään vaihtelevasti muuttuvan [[Sähkökenttä|sähkökentän]] ja [[Magneettikenttä|magneettikentän]] avulla. Jos joku liikkuisi tyhjiön valonnopeudella valon mukana, ei hän havaitsisi kenttien muuttuvan ja siten valon ei myöskään pitäisi pystyä ylläpitämään itseään ilman eetteriä. Tämä johti Einsteinin tekemään suhteellisuusperiaatteeksi kutsutun johtopäätöksen, jonka mukaan<ref name=":0" />

: "Kaikki fysiikan lait ovat samat kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa."

Tämä on suppean suhteellisuusteorian ensimmäinen [[postulaatti]], joka kieltää eetterin olemassaolon. Postulaatista on johdettu koko suppea suhteellisuusteoria, myös sen toinen postulaatti. Väittämä vaikuttaa ongelmattomalta, mutta ei ole. Jos Maxwellin sähkömagnetismin teorian yhtälöitä pidetään fysiikan lakeina, kuten ne kokeiden mukaan tuolloin ja nyt näyttävät olevan, myös niiden tulisi päteä inertiaalikoordinaatistoissa. Einsteinin suhteellisuusperiaatteesta voidaan johtaa kolmivaiheinen johtopäätös:<ref name=":0" />

# [[Maxwellin yhtälöt]] pätevät kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.
# Maxwellin yhtälöt ennustavat tyhjiön valonnopeudeksi c ≈ 3 · 10<sup>8</sup> m/s.
# Tyhjiön valonnopeus c on kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa sama.

Päätelmistä kolmas on suppean suhteellisuusteorian toinen postulaatti.<ref name=":0" />

Tämä tarkoittaa sitä, että jos joku liikkuu nopeudella 0,5&nbsp;c (50&nbsp;% tyhjiön valonnopeudesta) ja hänen menosuunnastaan sekä takaansa lähetetään kohtisuoraan valoa, ei suhteellisuusperiaatteen mukaan valo liikkuvasta näytä tulevan hänen edestään nopeudella 1,5&nbsp;c = 1&nbsp;c + 0,5&nbsp;&nbsp;c ja takaansa nopeudella 0,5&nbsp;c = 1&nbsp;c - 0,5&nbsp;c. Valo tulee liikkuvan näkökannalta samalla nopeudella 1&nbsp;c molemmista suunnista, mikä vaikuttaa järjenvastaiselta. Asia on kuitenkin todistettu kokeellisesti 1905 esitetyn suhteellisuusteorian jälkeen muun muassa<ref name=":0" /> jo 1932. Tällöin R. Kennedy ja E. Thorndike mittasivat merkittävää eroa havaitsematta valonnopeutta maapallolla eri kuukausina, jolloin mittauspaikka maapallolla liikkui Maan pyörimissuunnan vuoksi eri nopeuksilla suhteessa Aurinkoon.<ref>{{Lehtiviite|Tekijä=RJ Kennedy, EM Thorndike|Otsikko=Experimental establishment of the relativity of time|Julkaisu=Physical Review|Ajankohta=1932|Vuosikerta=42|Numero=3|Sivut=400–418|Doi=10.1103/PhysRev.42.400|Issn=1536-6065|www=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.42.400}}</ref>

Kyse ei siis ole vain näkökannasta vaan valo todellakin liikkuu kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa samalla nopeudella eli tyhjiön valonnopeudella.<ref name=":0" />

Tämä johtaa toiseen johtopäätökseen inertiaalikoordinaatistojen ajan suhteellisuudesta. Jos paikallaan seisova ja vakionopeudella kävelevä mittaavat vakionopeudella juoksevan henkilön nopeutta tämän juostessa pisteestä A pisteeseen B, on kävelijän oman inertiaalikoordinaatistonsa perusteella mittaama juoksijan nopeus väistämättä pienempi kuin seisojan, jos kävelijä menee samaan suuntaan kuin juoksija. Tietyssä ajassa juoksijan liikkuma matka on myös lyhyempi kuin seisojan näkökannalta koska kävelijä itsekin lähestyy pistettä B, eli piste B näyttää kävelijästä lähestyvän häntä. Tällaisissa tyhjiön valonnopeuteen verrattuna hitaissa nopeuksissa saadaan seisojan, kävelijän ja juoksijan havaitsemat muiden henkilöiden ja pisteiden nopeudet muunnettua ongelmitta toisikseen Galilei-muunnoksella.<ref name=":0" />

Jos juoksijan sijaan mitataan valon nopeutta pisteestä A pisteeseen B, tulee näennäinen ongelma. Suhteellisuusperiaatteen vuoksi tyhjiön valonnopeus on sama kussakin inertiaalikoordinaatistossa. Myös seisojan ja juoksijan mittaamat valon kulkemat matkat ovat eri. Nopeuden määritelmä on matka jaettuna ajalla, joten aika on nopeuden kaavassa ainoa jäljelle jäävä muuttuja.<ref name=":0" />

Ainoa johtopäätös on se, että [[aika]] ei ole muuttumaton eli absoluuttinen. Siten se on sijaintia mittaavien x-, y-, z-avaruuskoordinaattien mukaisesti neljäs koordinaatti, jota täytyy käyttää inertiaalikoordinaatistojen vertailuun. Suhteellisuusteorian mukaan aika on siksi kolmen tilaulottuvuuden lisäksi neljäs [[ulottuvuus]]. Yhdessä näitä kutsutaan aika-avaruuskoordinaateiksi.<ref name=":0" /> Siksi puhutaan myös [[Aika-avaruus|aika-avaruudesta]], eikä ajasta ja avaruudesta, koska käsitteet ovat toisistaan riippuvaisia: myös avaruus on suppean suhteellisuusteorian mukaan muuttuva.

Suhteellisuusteoriassa aika-avaruuden muutoksen ottavat huomioon toisiinsa suhteellisina ajan ja avaruuden koordinaatteina [[Lorentz-muunnos|Lorentz-muunnokset]].<ref name=":0" />

== Samanaikaisuuden suhteellisuus ==
Suppean suhteellisuusteorian mukaan aika on suhteellista, eikä se ole kaikissa [[inertiaalikoordinaatisto]]issa sama. Siksi myös yhdessä inertiaalikoordinaatistossa havaitut samanaikaiset tapahtumat eivät koskaan ole täysin samanaikaisia jossakin toisessa inertiaalikoordinaatistossa.<ref name=":0" />

Einstein esitti tämän havainnollistamiseksi ajatuskokeen junavaunulla, joka on suunnilleen seuraavanlainen. Junavaunun molemmissa päissä on räjähde. Vaunun keskellä ja täysin samoilla etäisyyksillä räjähteistä on Jaana, jolla on räjähdysten valonvälähdyksen havaitseva laite. Laitteessa on merkkivalo, johon syttyy pysyvästi ''punainen valo'', jos se havaitsee välähdyksen tulevan ensin junan menosuunnasta, ja ''vihreä valo'', jos välähdys tulee molemmilta suunnilta samanaikaisesti. Junaradan vieressä seisoo Simo, jonka ohi junavaunu liikkuu vakionopeudella.<ref name=":0" />

Ennen koetta Jaana ja Simo sopivat Simon räjäyttävän räjähteet samanaikaisesti kun Jaana ja Simo ovat kohdakkain junan liikkuessa Simon ohitse. Paikallaan seisova Simo olettaa siksi näkevänsä räjähdykset samaan aikaan ja laitteen valon muuntuvan ''punaiseksi'', koska junassa oleva Jaana ehtii laitteineen siirtyä valon yhä liikkuessa sen verran eteenpäin että valo ehtii laitteelle ensin vain junan menosuunnasta.<ref name=":0" />

Jaana on kuullut suhteellisuusteorian suhteellisuusperiaatteesta, jonka mukaan valo liikkuu kaikkien havaitsijoiden mukaan aina samalla nopeudella riippumatta heidän nopeudestaan suhteessa johonkuhun toiseen paikallaan seisovaan, kuten Simoon. Jaana olettaa siksi näkevänsä räjähdykset täysin samanaikaisesti. Siten niistä tuleva valon pitäisi tulla laitteeseen molemmista suunnista samanaikaisesti, ja valon muuttua ''vihreäksi''. Vaunun pysähtyessä ja tuloksia vertailtaessa Simo ei voi nähdä punaista valoa ja Jaana vihreää valoa samanaikaisesti.<ref name=":0" />

Kun koe suoritetaan käytännössä, ''valo muuttuu punaiseksi''. Tämä johtuu siitä, että vaikka valonnopeus on molemmille havaitsijoille sama suhteellisuusperiaatteen mukaan, ei vaunussa oleva Jaana havaitsekaan räjähdyksiä samanaikaisesti toisin kuin hän oletti. Hän näkee räjähdyksen ''ensin menosuunnastaan'' ja vasta ''sitten tulosuunnastaan''.<ref name=":0" />

Molemmat havaitsijat ovat kuitenkin oikeassa räjähdysten samanaikaisuudesta. Kyse ei ole vain havaitsemisesta, vaan räjähdykset tapahtuvat Jaanan inertiaalikoordinaatistossa (junassa) eri aikaan kuin Simon inertiaalikoordinaatistossa (junaradan vieressä).<ref name=":0" />

== Aikavenymä ja tosiaika ==
{{Katso myös|[[Kaksosparadoksi]]}}
[[Tiedosto:Nonsymmetric velocity time dilation.gif|pienoiskuva|212x212px|Aika kuluu kiihtyvällä tai vakionopeudella liikkuvalla kappaleella (punainen) hitaammin kuin kappaleella, joka on levossa (sininen).]]
Suppean suhteellisuusteorian mukaan kahden eri [[inertiaalikoordinaatisto]]n ajankulku on eri. Tämän vuoksi koordinaatistoista katsottuna kahden eri aikaan tapahtuvan tapahtuman väliset aikaerot eivät ole samat ja tapahtuu '''aikavenymä''' eli '''aikadilataatio''' eli '''aikadilaatio'''. Kappale, jonka kohdalla tapahtumat tapahtuvat samassa pisteessä kuin kappale itsekin on, kuluu näiden tapahtumien välillä aika, jota kutsutaan '''tosiajaksi''' (eng. ''proper time''), jota Einstein nimitti oma-ajaksi (saks. ''eigenzeit'').<ref name=":1" />

Kaksi tapahtumaa voivat olla mitä tahansa, kuten lähteminen [[Planeetta|planeetalta]] ja saapuminen toiselle planeetalle [[Raketti|raketilla]]. Raketti mittaa tosiaikaa koska lähtö ja saapuminen raketista katsoen samassa pisteessä: raketista katsoen lähtöplaneetta etääntyy raketin lähtiessä ja tuloplaneetta lähestyy raketin pysyessä paikoillaan omassa koordinaatistossaan.<ref name=":0" />

Kahden inertiaalikoordinaatiston välillä tapahtuva aikavenymän kaava on<ref name=":0" />

<math>\Delta t=\frac{\Delta\tau}{\sqrt{1-\beta^2}}\geq\Delta\tau</math>
: '''[[Δ]]<nowiki/>t''' on kulunut aika eli ajan (t) muutos (Δ) inertiaalikoordinaatiston kappaleella, joka ei ole samoissa pisteissä kuin kaksi tapahtumaa. Δt on aikasamoissa yksiköissä kuin Δτ.
: '''Δ[[τ]]''' on kulunut tosiaika kappaleella, joka on samoissa pisteissä kuin kaksi tapahtumaa. Δτ on samoissa aikayksiköissä kuin Δt.
: '''[[β]]''' on tosiaikaa mittaavan kappaleen nopeus v, joka on mitattu Δt mittaavasta inertiaalikoordinaatistosta katsottuna tyhjiön valonnopeuden c [[suhdeluku]] v/c, jonka arvo on välillä 0–1 eli 10&nbsp;% tyhjiön valonnopeudesta on 0,1 ja 100&nbsp;% tyhjiön valonnopeudesta on 1.

=== Esimerkkejä ===
Raketti liikkuu 90 % valonnopeudesta Maasta [[Mars]]iin Marsin ollessa lähimmillään Maata eli 5,5 · 10<sup>10</sup> metrin matkan. Kuinka kauan matka kestää Maasta mitattuna ja raketista mitattuna?

: Maapallolla kulunut aika raketin lähdöstä sen saapumiseen saadaan [[Nopeus|nopeuden]] kaavalla

:<math>\Delta t=\frac{\Delta x}{\Delta v}=\frac{5{,}5\cdot10^{10}\,\text{m}}{0{,}9(3\cdot10^8\,\text{m/s})}\approx204\,\text{s}</math>

: Käyttäen edellä laskettua aikaa, on raketissa kulunut tosiaika raketin lähdöstä sen saapumiseen

:<math>\Delta \tau=\sqrt{1-\beta^2}\ \Delta t=\sqrt{1-0{,}9^2}\cdot(204\,\text{s})\approx89\,\text{s}</math>
: Maassa kuluu 3 minuuttia ja 24 sekuntia raketin matkaan. Raketin matkustajien mukaan matka kestää vain 1 minuutin ja 29 sekuntia. Todellisuudessa 0,9&nbsp;c nopeuden saavuttamiseen ja vastaavasti hidastamiseen voi kulua useita kuukausia ilman että raketin matkustajat rusentuvat kiihdyttämisen aiheuttavien [[G-voima|G-voimien]] vuoksi, jolloin raketti on perillä paljon ennen 0,9&nbsp;c nopeuden saavuttamista. Raketin kiihtyvä liike aiheuttaa silti eron raketissa ja maassa mitatuissa ajoissa, mutta tätä ei voida laskea yhtä suoraviivaisesti.

=== Kaavan johtaminen ===
Aikavenymän kaava voidaan johtaa ajatuskokeellisella valokellolla, jossa on kaksi [[peili]]ä toisistaan korkeudella ''L'' [[tyhjiö]]n erottamana, joiden välissä on edestakaisin heijastuva ja laitteesta häviämätön [[fotoni]]. Kello havaitsee fotonin heijastumisen alemmasta peilistä, jolloin kellon viisari liikahtaa aina yhden pykälän eteenpäin mitaten siten aikaa.<ref name=":0" />

Fotonin täytyy kahden viisarin liikkeen välissä edetä matka ''2L'', sillä se liikkuu alemmasta peilistä matkan ''L'' ylempään peiliin ja takaisin, eli kaksinkertaisen matkan. Fotoni liikkuu tyhjiön [[Valonnopeus|valonnopeudella]] ''c'', joten viisarin liikkeiden välissä kulunut aika on Δ''t'' = 2''L''/''c''.<ref name=":0" />

Suhteellisuusperiaatteen mukaan valo liikkuu kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa näissä olevien havainnoijien mittaamana tyhjiön valonnopeudella. Siksi kellon liikkuessa jostakin havainnoitsijasta sivuttain muuttumattomalla ja valoa hitaammalla nopeudella ''v'' fotonin ylös-alas etenevään liikkeeseen nähden, on fotonin kulkema matka alapeililtä yläpeilille kellon suhteen mukana liikkumattomalle suurempi kuin kellon mukana liikkuvan havaitsema liike.<ref name=":0" />
[[Tiedosto:Time-dilation-001.svg|pienoiskuva|189x189px|Kellon mukana liikkuvan laskema fotonin liike.]]
Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kellon mukana liikkuva näkee fotonin liikkuvan suoraan ylös ja alas tyhjiön valonnopeudella eli se kulkee matkan ajassa Δ''t'' = 2''L''/''c''.<ref name=":0" />
[[Tiedosto:Time-dilation-002.svg|vasen|pienoiskuva|385x385px|Kellon mukana liikkumattoman laskema fotonin liike.]]
Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kellon mukana liikkumaton näkee fotonin liikkuvan siksaksakkia peilien välissä tyhjiön valonnopeudella valokellon peilien siirtyessä hänestä poispäin. Havaitsijan mukaan fotonilta kuluu aikaa Δt' verran kuljettuaan alapeililtä yläpeilille ja takaisin. Matkaan alapeililtä yläpeilille kuluu siten puolet tästä ajasta eli ½Δt'. Koska nopeus on matka jaettuna ajalla, on fotonin liikkeen aikana alapeililtä yläpeilille liikkuma matka nopeus kertaa aika eli ½c Δt'. Kun fotoni alapeililtä tullessaan osuu yläpeiliin, on nopeudella v liikkuva valokello nopeuden kaavalla laskettuna siirtynyt matkan ½v Δt'.<ref name=":0" />
[[Tiedosto:Suorakulmainen_kolmio.svg|pienoiskuva|229x229px|Suorakulmainen kolmio.]]
Valokellon mukana liikkumattoman havaitsijan mukaan fotoni on yläpeilille saapuessa muodostanut liikeradan, joka on [[suorakulmainen kolmio]] suhteessa peileihin. Kolmion hypotenuusan pituus on ½c Δt', viereinen kateetti on ½v Δt' ja vastainen kateetti on valokellon korkeus h. Kolmio on suorakulmainen, joten siihen pätee [[Pythagoraan lause]] ja tiedot voidaan esittää kaavana<ref name=":0" />

h<sup>2</sup> + (½v Δt')<sup>2</sup> = (½c Δt')<sup>2</sup>

Kun kaavasta ratkaistaan valokellon mukana liikkumattoman havaitsijan fotonin siksakkiliikkeeseensä kuluttama aika Δt' kahden viisarin liikkeen välillä, saadaan yhtälö<ref name=":0" />

<math>\Delta t'=\frac{2L}{\sqrt{v^2-c^2}}=\frac{2L}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>

Δt on 2L/c. Se on myös tosiaika Δτ, koska se on valokellon mukana liikkuvan havainnoima aika. β on kellon nopeuden ja tyhjiön valonnopeuden suhde v/c, joten v<sup>2</sup>/c<sup>2</sup> on β<sup>2</sup>. Koska 2L/c = Δτ ja v<sup>2</sup>/c<sup>2</sup> = β<sup>2</sup>, on lopullinen kaava<ref name=":0" />

<math>\Delta t'=\frac{\Delta\tau}{\sqrt{1-\beta^2}}</math>

== Pituuspuristuma ja tosipituus ==
Johtuen suppean suhteellisuusteorian aikavenymästä, ei kahden pisteen välinen etäisyys ole sama kahdessa eri [[inertiaalikoordinaatisto]]ssa ja tapahtuu '''pituuspuristuma'''. Pisteiden ollessa toisessa inertiaalikoordinaatistossa paikallaan, kutsutaan näiden pisteiden välillä olevaa etäisyyttä '''tosipituudeksi''' (eng. ''proper length''). Pisteiden välinen muutos inertiaalikoodrinaatistossa, josta nähden pisteet ovat liikkeessä, saadaan kaavalla<ref name=":0" />

<math>L=\sqrt{1-\beta^2}\ l\leq l</math>
: '''L''' on pisteiden välinen etäisyys inertiaalikoordinaatistosta mitattuna, jonka suhteen pisteet liikkuvat.
: '''l''' on tosipituus eli pisteiden välinen etäisyys inertiaalikoordinaatistosta mitattuna, jonka suhteen pisteet ovat paikallaan.
: '''[[β]]''' on tosiaikaa mittaavan kappaleen nopeus v, joka on mitattu Δt mittaavasta inertiaalikoordinaatistosta katsottuna tyhjiön valonnopeuden c [[suhdeluku]] v/c, jonka arvo on välillä 0–1 eli 10&nbsp;% tyhjiön valonnopeudesta on 0,1 ja 100&nbsp;% tyhjiön valonnopeudesta on 1.

Kaava pätee mille tahansa pisteille kuten kappaleiden kulkemille välimatkoille, mutta myös kaikille näiden kappaleiden itsensä pituudelle. Maasta laskettuna lähellä tyhjiön valonnopeutta liikkuvan raketin pituus on fyysisesti lyhempi kuin sen pituus, jos se olisi maahan nähden paikallaan.<ref name=":0" />

Pituuspuristuman kaava ei kerro kuitenkaan miltä raketti varsinaisesti näyttää silmin katsottuna.<ref name=":0" /> Raketista tuleva valo näkyy aikavenymän vuoksi eri ajan hetkinä, jolloin raketin näkyvä muoto ja sijainti muuttuu. Myös raketista tulevan valon [[aallonpituus]] muuttuu raketin liikkeen vuoksi. Yhdessä näitä vaikutuksia kutsutaan [[Suhteellinen Doppler-vaikutus|suhteelliseksi Doppler-vaikutukseksi]] (eng. ''relativistic Doppler effect'').
[[Tiedosto:LcprojectionS05n.gif|keski|kehys]]
Yllä olevassa kuvassa [[Pallo (geometria)|pallo]] lähestyy havaitsijaa (sininen piste) tai pallon kannalta havaitsija lähestyy palloa hyvin suurella vakionopeudella kohtisuoraan. Pallo on fyysisesti puristunut [[ellipsoidi]]ksi (harmaa) suhteessa havaitsijan koordinaatistoon. Havaitsija kuitenkin näkee ellipsoidin muuttavan muotoaan, väriään ja sijaintiaan suhteessa todelliseen sijaintiinsa, ja siten myös näkyvää nopeuttaan. Pallosta havaitsijalle tulevalle valolle tapahtuu [[sinisiirtymä]] eli sen [[aallonpituus]] on pienentynyt pallon tullessa kohti. Nopeudesta riippuen vihreä pallo voisi näyttää tällöin violetilta tai hyvin suurissa nopeuksissa olla näkymätön lähettäen silmille näkymätöntä [[gammasäteily]]ä. Pallon ohitettua havaitsijan tapahtuu [[punasiirtymä]], aallonpituus kasvaa ja vihreä pallo voisi näkyä havaitsijalle punaisena tai hyvin suurissa nopeuksissa olla näkymätön lähettäen silmille näkymättömiä [[Radioaallot|radioaaltoja]].
{{Monta kuvaa|tasaus=center|suunta=vaaka|kuva1=RelSubway2.gif|leveys1=260|kuva2=Subway01.jpg|leveys2=256}}
Vasemmalla yllä animaatiossa näkyy miltä havaitsijasta (sininen piste) näyttäisi tunneli, jossa hän on, jos hän liikkuisi sen halki eri nopeuksilla. Animaatio alkaa havaitsijan ollessa levossa ja päättyy havaitsijan liikkuessa 70&nbsp;% tyhjiön valonnopeudesta eli 0,7&nbsp;c. Oikealla yllä on kuva tunnelista ulkoapäin 0,7&nbsp;c nopeudessa, joka on tosin esitetty vain tunnelissa liikkuvan havaitsijan näkökulmasta: tunnelin suhteen paikallaan olevalle tunneli näyttää ulkoa tavalliselta. Tunnelissa liikkuvasta havaitsijasta seinämän muodot muuttuvat ja niistä tulevan [[Sähkömagneettinen säteily|sähkömagneettisen säteilyn]] kuten valon [[aallonpituus]] muuttuu: animaatiossa/kuvassa sininen on lyhyt aallonpituus, punainen on suuri aallonpituus.

Samaan tapaan avaruudessa matkaavasta [[tähdet]] näyttävät lähentyvän toisiaan ja todella lähellä tyhjiön valonnopeutta tähdet ovat matkaavasta hänen edessään yhtenä pisteenä, joka tosin ei näy silmin, sillä sen aallonpituus on lyhentynyt gammasäteilyksi.<ref>{{Verkkoviite|osoite=http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/Spaceship/spaceship.html|nimeke=What would a relativistic interstellar traveller see?|julkaisu=math.ucr.edu|arkisto=https://web.archive.org/web/20180517041610/http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/Spaceship/spaceship.html|arkistoitu=2018-05-17|viitattu=2018-05-27}}</ref>

=== Esimerkkejä ===
Raketti liikkuu 90&nbsp;% valonnopeudesta, Maasta [[Mars]]iin Marsin ollessa lähimmillään Maata eli 5,5 · 10<sup>10</sup> metrin matkan. Kuinka pitkä välimatka on raketista mitattuna?

: Matka raketista mitattuna on

:<math>L=\sqrt{1-\beta^2}\ l=\sqrt{1-0{,}9^2}(5{,}5\cdot10^{10}\,\text{m})\approx2{,}40\cdot10^{10}\,\text{m}</math>

: Maassa olevien mittaama Maan ja Marsin välimatka on L' ja raketin matkaan kuluttama aika Δt'. Raketissa olevien välimatka on L ja matkaan kulunut aika Δt. Aikavenymä-osion esimerkissä maassa olevien mittaamana raketti kulki matkan noin 204 sekunnissa ja raketissa olevien mittaamana noin 89 sekunnissa. Maassa olevien mukaan raketti liikkuu nopeudella v, joka on 0,9&nbsp;c. Raketissa olevien tulisi mitata nopeudekseen sama. Nopeus on matka jaettuna ajalla, joten kaava on v = L / Δt = L' / Δt'.

: L' / Δt' = (5,5 · 10<sup>10</sup> m) / (204 s) ≈ 2,7 · 10<sup>8</sup> m/s ≈ 0,9&nbsp;c.

: L / Δt = (2,4 · 10<sup>10</sup> m) / (89 s) ≈ 2,7 · 10<sup>8</sup> m/s ≈ 0,9&nbsp;c.

: Nopeudet ovat siis samat ja suppean suhteellisuusteorian kaavojen tulokset ovat järkeviä.

=== Kaavan johtaminen ===
Pisteiden välillä liikkuvan kappaleen inertiaalikoordinaatistosta mitattuna sen matkaan käyttämä aika Δt on lyhyempi kuin pisteisiin nähden paikallaan olevasta Δt' mittaavasta inertiaalikoordinaatistosta. Kappaleen nopeuden v kuitenkin täytyy olla molemmista koordinaatistoista laskettuna sama. Siten pisteiden välillä liikkuvan kappaleen kulkema matkan L tulee olla myös lyhyempi kuin pisteisiin nähden liikkumattomasta koordinaatistosta mitattu matka L'. Kaavana tämä on<ref name=":0" />

<math>v=\frac{L}{\Delta t}=\frac{L'}{\Delta t'}</math> 

Δt on tosiaika Δτ, jonka kaava johdettiin aikavenymä-osiossa. Siten kaava on<ref name=":0" />

<math>\frac{L}{\Delta\tau}=\frac{L'}{\Delta t'}=\frac{L}{\sqrt{1-\beta^2}\ \Delta t'}</math>

Δt' sulkee itsensä pois kaavasta ja saadaan pituuspuristuman kaava, jossa L' on tosipituus l<ref name=":0" />

<math>L=\sqrt{1-\beta^2}\ l</math>

== Aika-avaruusintervalli ==
Suppeassa suhteellisuusteoriassa aika-avaruusintervalli s<sup>2</sup> on kaikille [[inertiaalikoordinaatisto]]ille sama. Se on matemaattinen käsite, jota voidaan käyttää vertailemaan eri inertiaalikoordinaatistojen välisiä tapahtumien etäisyyksiä ja aikoja toisiinsa mikäli niistä jo osa tiedetään. Aika-avaruusintervallin s<sup>2</sup> kaava pelkkää etäisyyttä käyttäen (eikä kolmen tilaulottuvuuden x-, y- ja z-koordinaatteja) on<ref name=":0" />

<math>s^2=c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2</math>
: '''s<sup>2</sup>''' on aika-avaruusintervalli, jonka yksikkö on [[neliömetri]] (m<sup>2</sup>).
: '''c''' on [[valonnopeus]] tyhjiössä eli tasan 299 792 458 m/s.
: '''Δt''' on tarkastellusta inertiaalikoordinaatistosta mitattu tapahtumien välinen aika.
: '''Δx''' on tarkastellusta inertiaalikoordinaatistosta mitattu tapahtumien välimatka.

=== Esimerkkejä ===
Pommi räjähtää ja 2 mikrosekunnin (µs) kuluttua tästä toinen pommi räjähtää 300 m päässä. Räjähdyksistä ohilentävä avaruusalus mittaa räjähdysten etäisyydeksi 200 m. Millä aikavälillä avaruuslentäjät havaitsevat räjähdykset?

: Valo liikkuu noin 300 m/µs, joten 2 µs se liikkuu 600 m ja intervalli on

:<math>s^2=c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(600\,\text{m})^2-(300\,\text{m})^2=270\,000\,\text{m}^2</math>

: Lentäjille yhtälö on

: <math>s^2= 270\,000\,\mathrm m^2=(\Delta t')^2-(\Delta x')^2=(\Delta t')^2-(200\,\mathrm m)^2</math>

: Ratkaistaessa yhtälöstä Δt', saadaan aikaväliksi Δt' = 1,85 µs.

=== Kaavan johtaminen ===
[[Tiedosto:Rotation_of_coordinates.svg|pienoiskuva|236x236px|Suhteessa toisiinsa eri kulmissa olevat xy- ja x'y'-koordinaatistot päällekkäin. Mustan pisteen koordinaatit ovat molemmissa koordinaatistoissa eri.]]
Kuvitellaan olevan xy-[[koordinaatisto]] ja tämän suhteen johonkin kulmaan käännetty x'y'-koordinaatisto. Koordinaatistojen asteikkovälit ovat samat. Päällekkäin ollessaan koordinaatistot voivat mitata koordinaatistoissa olevan viivan pituuden d sen toisessa päässä olevan pisteen 1 koordinaatteina ja toisessa päässä olevan pisteen 2 koordinaatteina. Koordinaatit eivät kuitenkaan ole pisteille samat eli x<sub>1</sub> ≠ x<sub>1</sub>' jne. Intervalliksi kutsutaan esimerkiksi xy-koordinaatistossa arvojen x<sub>1</sub> ja x<sub>2</sub> välistä eroa Δx. Intervallitkaan koordinaatistojen välillä eivät ole samat, eli Δx ≠ Δx' ja Δy ≠ Δy'. Koordinaatistojen mittaama pituus d on kuitenkin sama. Kaavana tämä on<ref name=":0" />

<math>d^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2=(\Delta x')^2+(\Delta y')^2</math>

Aikavenymä-osion valokellon kohdalla tyhjiön valonnopeuden lisäksi valokellon korkeus L on ainoa tekijä, joka on kellon mukana liikkuvalle ja kellon mukana liikkuvalle sama. Kaavana tämä on<ref name=":0" />

<math>L^2=(\frac{1}{2}c\ \Delta t)^2-(\frac{1}{2}\Delta x)^2=(\frac{1}{2}c\ \Delta t')^2-(\frac{1}{2}\Delta x')^2</math>

½ sulkevat toisensa pois ja kaava muuntuu muotoon<ref name=":0" />

<math>c^2(\Delta\ t)^2-(\Delta\ x)^2=c^2(\Delta\ t')^2-(\Delta\ x')^2</math>

Aika-avaruusintervalli on siten<ref name=":0" />

<math>s^2=c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2</math>

=== Ajan- ja paikanluontoinen intervalli ===

Kahden tapahtuman välinen aika-avaruusintervalli voi olla joko ''ajanluontoinen'' tai ''paikanluontoinen'' taikka rajatapauksessa ''valonluontoinen'' riippuen siitä, onko niiden tapahtumapaikkojen välinen etäisyys suurempi, pienempi vai yhtäsuuri kuin niiden välinen aikaero kerrottuna valonnopeudella. Tämä tapahtumaparin välisen intervallin luonne on sama kaikissa koordinaatistoissa.

Jos tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δ''x'' on ''pienempi'' kuin niiden välinen aikaero Δ''t'' kerrottuna valonnopeudella ''c'' eli Δ''x''&nbsp;<&nbsp;cΔ''t'', tapahtumien välinen intervalli on ''ajanluontoinen''. Silloin intervalli <math>s^2 = c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 > 0</math>, eli se on positiivinen ja sen neliöjuuri ''s'' positiivinen [[reaaliluku]].  Tämä edellyttää, että jompikumpi tapahtumista on sen verran toista varhaisempi, että varhaisemmasta tapahtumasta lähtenyt valo tai muu valonnopeudella etenevä signaali ehtii myöhemmän tapahtumapaikalle ennen itse tapahtumaa. Tässä tapauksessa edellinen tapahtuma on kaikissa koordinaatistoissa varhaisempi kuin jälkimmäinen. Tällöin on myös mahdollista, että varhaisempi tapahtuma vaikuttaa jälkimmäiseen, eli edellinen niistä on syy ja jälkimmäinen seuraus.

Jos sen sijaan tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δ''x'' on suurempi kuin niiden välinen aikaero Δ''t'' kerrottuna valonnopeudella ''c'' eli Δ''x''&nbsp;>&nbsp;cΔ''t'', tapahtumien välinen intervalli on ''paikanluontoinen''. Silloin intervalli <math>s^2 = c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 < 0</math>, eli se on negatiivinen ja sen neliöjuuri ''s'' [[imaginaariluku]]. Näin on laita, jos tapahtumat sattuvat niin kaukana ja niin lyhyen ajan kuluessa toisistaan, että kummastakaan lähtenyt valo ei ehdi toisen tapahtumapaikalle itse tapahtumaan mennessä. Esimerkiksi koska Auringosta valo tulee Maahan noin kahdeksassa minuutissa, kahden sellaisen tapahtuman välinen intervalli, joista toinen sattuu Maassa, toinen Auringossa vähemmän kuin kahdeksan minuuttia aikaisemmin tai myöhemmin, on paikanluontoinen. Tällöin tapahtumien aikajärjestyskään ei ole yksikäsitteinen, vaan tiettyyn suuntaan tarpeeksi nopeasti liikkuvan havaitsijan lepokoordinaatistossa se voi olla päinvastainen, ja on myös mahdollista valita koordinaatisto, jossa tapahtumat ovat samanaikaiset.  Tällaisista tapahtumista kumpikaan ei voi olla toisen syy tai seuraus.

Rajatapauksessa tapahtumapaikkojen välinen etäisyys Δ''x'' on ''yhtä suuri'' kuin niiden välinen aikaero Δ''t''.  Tässä tapauksessa intervallia sanotaan ''valonluontoiseksi'', sillä toisesta tapahtumasta lähtevä valonsäde saavuttaa toisen tapahtumapaikan juuri tapahtumahetkellä. Tällöin intervalli <math>s^2 = c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2</math> saa arvon nolla.

== Liikemäärän suhteellisuus ==
[[Tiedosto:Rel-Newton-Momentum.svg|pienoiskuva|400x400px|'''y''': kappaleen liikemäärä (''momentum''). '''x''': kappaleen nopeus suhteessa valon nopeuteen tyhjiössä. <span style="color:green">Vihreä</span>: newtonilaisen fysiikan mukaan kappaleen liikemäärän kasvu on nopeuteen verrannollinen ja tyhjiön valonnopeus voi ylittyä. <span style="color:red">Punainen</span>: suppean suhteellisuusteorian mukaan valon nopeutta lähestyttäessä massallisen kappaleen liikemäärä kasvaa hyvin jyrkästi ja saavuttaa äärettömän arvon valonnopeudessa '''c''', mitä arvoa ei siksi voi saavuttaa eikä ylittää.]]
Suppeassa suhteellisuusteoriassa [[inertiaalikoordinaatisto]]ssa olevan [[massa]]llisen kappaleen [[liikemäärä]] eli momentti riippuu sen nopeudesta suhteessa toiseen inertiaalikoordinaatistoon. Klassisessa mekaniikassa massallisen kappaleen liikemäärä kasvaa [[lineaarinen funktio|lineaarisesti]] sen nopeuden kasvaessa, mutta suppeassa suhteellisuusteoriassa liikemäärä kasvaa kohti äärettömyyttä ja tyhjiön valonnopeudessa kappaleen liikemäärä on [[ääretön]], jonka vuoksi massalliset kappaleet eivät voi liikkua valoa nopeammin.<ref name=":0" />

Suppeassa suhteellisuusteoriassa massallisen kappaleen eli partikkelin liikemäärä suhteessa johonkin inertiaalikoordinaatistoon on<ref name=":0" />

<math>p=\gamma_pmv</math>
: '''p''' on suhteellinen liikemäärä yksiköissä Ns ([[newtonsekunti]]) eli kg · m/s.
: '''[[γ]]<sub>p</sub>''' on yksikötön Lorentz-kerroin koordinaatiston ''partikkelille'' eikä sen koordinaatistolle, jota [[alaindeksi]]n p merkitsee.
: '''m''' on kappaleen massa kilogrammoina.
: '''v''' on kappaleen suhteellinen nopeus yksiköissä [[m/s]].

γ<sub>p</sub> kaava suhteessa johonkin toiseen kuin tarkastellun kappaleen inertiaalikoordinaatistoon on<ref name=":0" />

<math>\gamma_p=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>
: '''c''' on [[valonnopeus]] tyhjiössä eli tasan 299 792 458 m/s.

=== Esimerkkejä ===
Mikä on [[elektroni]]n liikemäärä jos sen nopeus on 0,999&nbsp;c suhteessa elektronin kiihdyttäneeseen [[Hiukkaskiihdytin|hiukkaskiihdyttimeen]]?

: Lorentz-kerroin elektronille hiukkaskiihdyttimen inertiaalikoordinaatistosta laskettuna on

: <math>\gamma_p=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}999^2}}\approx22{,}37</math>

: Elektronin massa on noin 9,11 · 10<sup>-31</sup> kg ja tyhjiön valonnopeus noin 3 · 10<sup>8</sup> m/s, joten liikemäärä on noin

:<math>p=\gamma_pmv=22{,}37(9\cdot11^{-31}\,\text{kg})\cdot0{,}999(3\cdot10^8\,\text{m/s})\approx6{,}1\cdot10^{-21}\,\text{Ns}</math>

: Elektronin todellinen liikemäärä on noin 22,37 kertaa suurempi kuin klassisen mekaniikan liikemäärän kaava p = mv ennustaa.

== Energian suhteellisuus ==
Suppean suhteellisuusteorian mukaan massallisen kappaleen kokonaisenergia '''E''' [[joule]]ina (J) on<ref name=":0" />

<math>E=\gamma_pmc^2=E_0+K</math>
: '''[[γ]]<sub>p</sub>''' on yksikötön Lorentz-kerroin koordinaatiston ''partikkelille'' eikä sen koordinaatistolle, jota [[alaindeksi]]n p merkitsee.
: '''m''' on kappaleen massa kilogrammoina.
: '''c''' on [[valonnopeus]] tyhjiössä eli tasan 299 792 458 m/s.

Kappaleen lepoenergia '''E<sub>0</sub>''' jouleina on<ref name=":0" />

<math>E_0=mc^2</math>

Kappaleen liike-energia eli kineettinen energia '''K''' jouleina on<ref name=":0" />

<math>K=(\gamma_p-1)mc^2=(\gamma_p-1)E_0</math>

γ<sub>p</sub> kaava suhteessa johonkin toiseen kuin tarkastellun kappaleen inertiaalikoordinaatistoon on<ref name=":0" />

<math>\gamma_p=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>

=== Esimerkkejä ===
Mikä on [[elektroni]]n lepo-, liike- ja kokonaisenergia jos sen nopeus on 0,999&nbsp;c suhteessa sen kiihdyttäneeseen [[Hiukkaskiihdytin|hiukkaskiihdyttimeen]]?

: Lorentz-kerroin elektronille hiukkaskiihdyttimen inertiaalikoordinaatistosta laskettuna on

: <math>\gamma_p=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}999^2}}\approx22{,}37</math>

: Elektronin massa on noin 9,11 · 10<sup>-31</sup> kg ja tyhjiön valonnopeus noin 3 · 10<sup>8</sup> m/s, joten lepoenergia on noin

:<math>E_0=mc^2=(9{,}11\cdot10^{-31}\,\text{kg})\cdot(3\cdot10^8\,\text{m/s})^2\approx8{,}2\cdot10^{-14}\,\text{J}</math>

: Liike-energia on noin

:<math>K=(\gamma_p-1)E_0=(22{,}37-1)\cdot(8{,}2\cdot10^{-14}\,\text{J})\approx170\cdot10^{-14}\,\text{J}</math>

: Kokonaisenergia on

:<math>E=K+E_0=(170\cdot10^{-14}\,\text{J})+(8{,}2\cdot10^{-14}\,\text{J})=178{,}2\cdot10^{-14}\,\text{J}</math>

[[Ydinreaktori]]ssa [[uraani]]n [[isotooppi]] 235 absorboi [[neutroni]]n ja [[fissio]]ituu [[barium]]-141:ksi ja [[krypton]]-92:ksi, jolloin vapautuu 3 neutronia. [[Uraani-235|<sup>235</sup>U]] massa on 235,0439 [[g/mol]], <sup>141</sup>Ba 140,9144 g/mol, <sup>92</sup>Kr 91,9262 g/mol ja neutronin 1,0087 g/mol. Paljonko [[mooli]]sta <sup>235</sup>U vapautuu energiaa?

:Absorboitua neutronia ei tarvitse huomioida ja [[massavaje]] voidaan laskea suoraan <sup>235</sup>U massalla <sup>236</sup>U sijaan. Massavaje lasketaan vähentämällä <sup>235</sup>U massasta reaktion tuotteiden massat. Saadaan

:<math>(235{,}0439\,\text{g})-(140{,}9144\,\text{g})-(91{,}9262\,\text{g})-3(1{,}0087\,\text{g}) = -0{,}8228\,\text{g}</math>

: Moolista energiaksi muuntunut massa on 0,0008228 kg. Valonnopeus tyhjiössä on noin 3 · 10<sup>8</sup> m/s. Lepomassan energian kaavalla vapautunut energia on noin

:<math>E_0=(0{,}0008228\,\text{kg})(3\cdot10^8\,\text{m/s})\approx7{,}4\cdot10^{13}\,\text{J}</math>

: Vapautuu noin 7,4 [[Tera (kerrannaisyksikkö)|tera]]<nowiki/>joulea energiaa. Fissio saattaa voida jatkua pidemmällekin, jolloin vapautuu enemmän energiaa. Fissio ei kuitenkaan käytännössä ole täydellistä ja muunlaisiakin [[ydinreaktio]]ita voi tapahtua. 

=== Kaavojen johtaminen ===
Aika-avaruusintervallin kaava johdettiin sen omassa osiossa. Aika-avaruusintervalli massallisen hiukkasen inertiaalikoordinaatistolle, joka liikkuu vakionopeudella ajassa Δt matkan Δx, on<ref name=":0" />

<math>s^2=c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2=invariantti</math>

Hiukkanen liikkuu matkan suhteessa toiseen inertiaalikoordinaatistoon, josta käsin mitattuna tämän koordinaatiston kappaleet ovat levossa inertiaalikoordinaatiston määritelmän mukaisesti. Intervalli on invariantti, eli molemmille koordinaatistoille sama. Aika-avaruusintervallin kaava voidaan muuntaa liikemäärän p sisältäväksi yhtälöksi kertomalla yhtälö arvolla m / Δτ<sup>2</sup>, jossa Δτ on tosiaika, eli liikkuvan hiukkasen itsensä mittaama matkaansa käyttämä aika, joka ei aikavenymän vuoksi ole sama kuin Δt. Saadaan<ref name=":0" />

<math>(mc)^2\left(\frac{\Delta t}{\Delta \tau}\right)^2-\left(\frac{m\Delta x}{\Delta \tau}\right)^2=(mc)^2\left(\frac{\Delta t}{\Delta \tau}\right)^2-p^2=invariantti</math>

p = m(Δx/Δτ), joten yllä oleva kaava pätee. Δτ voidaan muuntaa Δt arvoksi ja päinvastoin Lorentz-kertoimella γ<sub>p</sub> eli Δτ = γ<sub>p</sub> Δt. Saadaan<ref name=":0" />

<math>(\gamma_pmc)^2-p^2=invariantti</math>

Yhtälö kerrotaan arvolla c<sup>2</sup>, jotta hieman edempänä saadaan oikeanlaisia yksiköitä<ref name=":0" />

<math>(\gamma_pmc^2)^2-(pc)^2=invariantti</math>

Jos liikkuva kappale onkin levossa suhteessa sitä mittaavaan inertiaalikoordinaatistoon, on kappale samassa koordinaatistossa. Tällöin myös p = 0 ja γ<sub>p</sub> = 1, joten (pc)<sup>2</sup> sulkeutuu nollalla kerrottaessa pois, mutta yhdellä kerrottu (mc<sup>2</sup>)<sup>2</sup> jää invariantiksi eli kaikissa koordinaatistoissa yhteneväksi arvoksi. Saadaan siis<ref name=":0" />

<math>(\gamma_pmc^2)^2-(pc)^2=(mc^2)^2</math>

Otettaessa [[neliöjuuri]] yhtälön molemmilta puolilta, havaitaan että mc<sup>2</sup> on myös invariantti arvo. Kahden inertiaalikoordinaatiston S ja S' vertailijat mittaavat häiriöttä vakionopeudella liikkuvalle kappaleelle eri liikemäärän, mutta molempien mittausten mukaan kappaleen liikemäärä konservoituu eli pysyy koordinaatistoissa muuttumattomana. Kahden ylemmän yhtälön mukaan γ<sub>p</sub>mc<sup>2</sup> on myös säilyvä ominaisuus. Yksikköinä γ<sub>p</sub> on yksikötön, m on kg ja c<sup>2</sup> on m<sup>2</sup>/s<sup>2</sup>. kg · m<sup>2</sup>/s<sup>2</sup> on [[joule]], joka on [[energia]]n yksikkö. Oletetaan että kappaleen nopeus on paljon pienempi kuin tyhjiön valonnopeus, eli v ≪ c. Tällöin binomiaali [[approksimaatio]]ta käyttäen saadaan kaava<ref name=":0" />

<math>\gamma_pmc^2=\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\approx(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{^2})mc^2=mc^2+\frac{1}{2}mv^2</math>

½mv<sup>2</sup> on klassisen fysiikan [[liike-energia]]n kaava, eli yhtälö antaa tyhjiön valonnopeutta paljon pienemmillä nopeuksilla samoja tuloksia kuin klassinen fysiikka. mc<sup>2</sup> yhtälössä kertoo että massa sisältäisi energiaa.<ref name=":0" />

Massallisen kappaleen ollessa levossa eli kun v=0, saadaan yhtälöstä kappaleen lepoenergia E<sub>0</sub> eli<ref name=":0" />

<math>E_0=mc^2</math>

Liike-energia kappaleelle olisi siten<ref name=":0" />

<math>K=(\gamma_p-1)mc^2=(\gamma_p-1)E_0</math>

=== Massan ja energian yhtäläisyys ===
Kahdella samamassaisella ja samalla nopeudella törmäävällä kappaleella on liike-energia K. Koska kappaleita on kaksi, on niiden liike-energia yhteensä 2K. Kappaleet törmäävät toisiinsa kohtisuoraan ja tarttuvat tai sulautuvat toisiinsa pysyvästi eli tapahtuu epä[[kimmoinen törmäys]]. Klassisessa fysiikassa 2K energian sanotaan muuttuvan kappaleiden atomien [[Lämpöliike|lämpöliikkeeksi]], joka kohottaa kappaleiden [[lämpötila]]a. Suhteellisuusteorian yhtälöön E = E<sub>0</sub> + K ei kuitenkaan sisälly lämpöenergiaa. Törmäyksen energia on E<sub>t</sub> = 2mc<sup>2</sup> + 2K. Kappaleet eivät liiku törmäyksen jälkeen, joten 2K = 0, ja kaava on siten<ref name=":0" />

<math>E_{kok}=Mc^2=E_{t}=2mc^2+2K</math>

Kaavassa M on yhteen sulautuneiden kappaleiden kokonaismassa. [[Energia]]n on monesti osoitettu kokeellisesti olevan pysyvää, eli kappaleiden kokonaisenergia E<sub>kok</sub> ei voi kadota törmäyksen jälkeenkään. Valonnopeus tyhjiössä on vakio, joten ainoa mahdollinen muuttuja on M.<ref name=":0" />

[[Massa]] ei siis säily eli se voi muuntua energiaksi. Vastavuoroisesti massaa voi muodostua energiasta. Tämän vastoin klassisen fysiikan perusperiaatteisiin kuuluvaa [[massan säilymislaki]]a.<ref name=":0" /> On kuitenkin hyvä ymmärtää, että energiaa itsessään ei ole missään puhtaassa muodossa, vaan se on täysin kuvitteellinen käsite, jolla voidaan vertailla eri asioita kuten liikettä ja kemiallisia reaktioita keskenään. Energia on siis verrannollisuuskerroin.

Suhteellisuusteorian massan ja energian yhtäläisyys on kuitenkin todistettu kokeellisesti monesti ja nimenomaan siihen perustuvat muun muassa [[ydinvoima]] ja [[ydinase]]et, joissa pieni määrä massaa muuntuu valtavaksi määräksi energiaa.<ref name=":0" /> Kyseessä ei kuitenkaan ole ydinreaktioihin rajoittunut tapahtuma: massan muuntumista energiaksi ja päinvastoin tapahtuu esimerkiksi kaikissa [[Kemiallinen reaktio|kemiallisissa reaktioissa]] kaikkialla koko ajan, mutta näiden energiat ovat pieniä suhteessa [[ydinreaktio]]ihin ja massan muutokset ovat niin pieniä että ne ovat käytännössä merkityksettömiä. Kemiallisessa reaktiossa vapautunut energia myös usein muuntuu nopeasti ympäristön massaksi.<ref>{{Verkkoviite|osoite=https://www.wtamu.edu/~cbaird/sq/2013/10/21/why-is-mass-conserved-in-chemical-reactions/|nimeke=Why is mass conserved in chemical reactions?|julkaisu=Science Questions with Surprising Answers|arkisto=https://web.archive.org/web/20170719202027/http://wtamu.edu/~cbaird/sq/2013/10/21/why-is-mass-conserved-in-chemical-reactions/|arkistoitu=2017-07-19|viitattu=2018-05-31}}</ref><ref>{{Lehtiviite|Tekijä=RS Treptow|Otsikko=E = mc<sup>2</sup> for the chemist: when is mass conserved?|Julkaisu=Journal of Chemical Education|Ajankohta=2005|Vuosikerta=82|Numero=11|Sivut=1636|Doi=10.1021/ed082p1636|Issn=0021-9584|www=https://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ed082p1636|Lopetusmerkki=pois}}</ref>

Esimerkiksi kun [[Hiukkaskiihdytin|hiukkaskiihdyttimessä]] kiihdytetään [[elektroni]] hyvin lähelle tyhjiön valonnopeutta ja törmäytetään se [[atomi]]in, voi elektroni irrottaa atomista elektronin. Klassisen fysiikan olettamusten pohjalta havaittaisiin kahden elektronin sinkoavan poispäin atomista, yhden irronneen ja yhden törmänneen. Oikeasti kuitenkin havaitaan sinkoavan atomista poispäin kolmen elektronin ja [[positroni]]n, joka elektronin positiivisen omaava [[antimateria]]hiukkanen. Systeemin kokonais[[sähkövaraus]] pysyy muuttumattomana koska positroni ja elektroni sulkevat pois toistensa varaukset, mutta ''massan'' omaavat elektroni ja positroni ovat siis muodostuneet energiasta. Jokin elektroneista tosin [[Annihilaatio|annihiloituu]] erittäin nopeasti positronin kanssa, koska [[materia]] ja antimateria reagoivat keskenään kiivaasti, jolloin nämä kaksi [[Alkeishiukkanen|hiukkasta]] katoavat ja muuntuvat kahdeksi vastakkaisiin suuntiin eteneväksi ja ''massattomaksi'' [[fotoni]]ksi. Fotonit varastoivat elektronin ja positronin liike-energian ja massan energian [[Taajuus|taajuuteensa]].<ref name=":0" />

== Kausaliteetin rikkoutuminen ==
[[Massa]]llinen tai [[massaton hiukkanen]] ei voi liikkua valoa nopeammin sillä se rikkoisi suppeassa suhteellisuusteoriassa kausaliteetin. Kausaliteetilla fysiikassa tarkoitetaan syy-seuraussuhdetta eli jokin tapahtuma A aiheuttaa tapahtuman B. Suppean suhteellisuusteorian [[Lorentz-muunnos|Lorentz-muunnoksilla]] laskettaessa valoa nopeammin liikkuvan kappaleen on pakko saada aikaan B ennen A:ta jossakin toisessa inertiaalikoordinaatistossa. Kiven heittäminen eli tapahtuma A välittyy kiven liikkeen, joka on kausaliteetin välittäjä, kautta tapahtumaksi B, jossa kivi rikkoo liikkuvan auton ikkunan. Tilannetta, jossa ikkuna rikkoutuu ennen kiven osumista siihen, ei ole koskaan havaittu käytännössä. Massallinen kappale, kuten kivi, vaatii suppean suhteellisuusteorian mukaan lisäksi äärettömästi energiaa liikkuakseen valoa nopeammin. Tilanne on kuitenkin edelleen mahdoton vaikka kiven sijaan käytettäisiin jotakin massatonta sädettä, joka liikkuu valoa nopeammin räjäyttäen vaikkapa pommin ikkunassa osuttuaan pommissa olevaan säteen havaitsimeen. Vastaavanlaiset tapahtumat aiheuttavat [[Paradoksi|paradokseja]]. Tilanne, jossa henkilö syntyy ennen äitiään, olisi kausaliteetin rikkoutuessa "mahdollinen". On hyvä ottaa huomioon, että vaikka toisistaan riippumattomat tapahtumat ovat aina eri aikaisia eri inertiaalikoordinaatistoissa suppean suhteellisuusteorian mukaan (katso osio samanaikaisuuden suhteellisuus), ovat tapahtumat edelleen toisistaan riippumattomia, eli niiden välillä ei ole kausaalista suhdetta.<ref name=":0" />

Oletetaan että A aiheuttaa tapahtuman B jonkin aiheuttajan välittämänä, jonka nopeus on u. Aiheuttaja liikkuu valon tyhjiönopeutta c nopeammin eli u > c. Tapahtuma A tapahtuu inertiaalikoordinaatistossa S kohdassa x<sub>A</sub> = 0 ajan hetkenä t<sub>A</sub> = 0. A aiheuttaa tapahtuman B toisessa inertiaalikoordinaatistossa S', joka liikkuu valoa hitaammin nopeudella v eli v < c. B tapahtuu koordinaatiston S' kohdassa x<sub>B</sub> ajan hetkenä t<sub>B</sub> = x<sub>B</sub> / u.<ref name=":0" />

Koska x<sub>A</sub> = 0 ja t<sub>A</sub> = 0, on [[Lorentz-muunnos]]ten mukaan x<sub>A</sub>' = 0 ja t<sub>A</sub>' = 0. Lorentz-muunnos tapahtuman B ajan hetkelle t<sub>B</sub>' on<ref name=":0" />

<math>t_b'=\gamma\Bigl(t_B-\frac{vx_B}{c^2}\Bigr)=\gamma t_B\Bigl(1-\frac{v(x_B/t_B)}{c^2}\Bigr)=\gamma t_B\Bigl(1-\frac{vu}{c^2}\Bigr)</math>

Yhtälöstä on poistettu t<sub>B</sub>, koska u = x<sub>B</sub> / t<sub>B</sub> inertiaalikoordinaatistossa S. u on jonkin kertoimen α verran valoa nopeampi eli u = αc. α > 1, jotta u > c. Siten yhtälön vu/c<sup>2</sup> = αv/c. Lopullisen yhtälön lähemmässä tarkastelussa nähdään että<ref name=":0" />

# v > c/α, koska α > 1. Siten vu/c<sup>2</sup> > 1.
# Koska vu / c<sup>2</sup> > 1, on yhtälön (1 - vu / c<sup>2</sup>) arvo negatiivinen eli t<sub>B</sub>' < 0.
# Jos t<sub>B</sub>' < 0, silloin B tapahtuu ennen A:ta inertiaalikoordinaatistossa S'. Kausaliteetti on rikkoutunut inertiaalikoordinaatistossa S'.

== Katso myös ==
* [[Lorentz-muunnos]]
* [[Galilei-invarianssi]]
* [[Sähkömagnetismi suhteellisuusteoriassa]]

== Lähteet ==
{{Viitteet|sarakkeet}}

== Aiheesta muualla ==
{{commonscat}}
{{Wikikirjasto|Fysiikan oppikirja/Suppea suhteellisuusteoria}}
{{Wikiaineisto|Kirjallisuutta suhteellisuusteorioista}}

*{{lehtiviite|Tekijä=Einstein, Albert|Otsikko=Zur Elektrodynamik bewegter Körper|Julkaisu=Annalen der Physik|Vuosi=1905|Vuosikerta=322|Numero=10|Sivut=891–921|www=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/andp.19053221004|Kieli={{de}}}}
*[http://www.astro.utu.fi/zubi/phys/specrel.htm Turun yliopisto, Erikoinen suhteellisuusteoria] {{Wayback|1=http://www.astro.utu.fi/zubi/phys/specrel.htm |päiväys=20081113132132 }}
*{{Verkkoviite|Osoite=https://users.aalto.fi/~thunebe1/courses/monjst.pdf|Nimeke=Johdatus suhteellisuusteoriaan|Tekijä=Thuneberg, Erkki|Julkaisupaikka=Oulun yliopisto|Tiedostomuoto=pdf|Selite=Suppean suhteellisuusteorian luentomoniste}}
*[http://www.scholarpedia.org/article/Special_relativity Scholarpedia: Special relativity] {{en}}
**[http://www.scholarpedia.org/article/Special_relativity:_electromagnetism Scholarpedia: Special relativity: electromagnetism] {{en}}
**[http://www.scholarpedia.org/article/Special_relativity:_kinematics Scholarpedia: Special relativity: kinematics] {{en}}
**[http://www.scholarpedia.org/article/Special_relativity:_mechanics Scholarpedia: Special relativity: mechanics] {{en}}

[[Luokka:Erityinen suhteellisuusteoria]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]