Lähdekoodi sivulle Eilenbergin–Steenrodin aksioomat

'''Eilenbergin–Steenrodin aksioomat''' ovat kokoelma ominaisuuksia, jotka [[topologinen avaruus|topologisten avaruuksien]] tutkimiseen käytettävien [[homologia|homologiateorioiden]] on toteutettava. Nämä ominaisuudet toteuttavat teoriat tuottavat samat keskeiset tulokset ja samat homologiset ominaisuudet samoille topologisille avaruuksille. 

[[Aksiooma|Aksioomien]] tuoma hyöty on kahtalainen: Ennen kuin [[Samuel Eilenberg]] ja [[Norman Steenrod]] tunnistivat ja kokosivat aksioomat, erilaisia homologiateorioita oli paljon, eikä perusteellisesti ymmärretty miksi ne tuottavat samat tulokset. Toisaalta erilaisia teorioita (kuten [[simpleksihomologia]], [[singulaarinen homologia]] ja [[Čechin homologia]]) tarvitaan koska kaikkia topologisia avaruuksia ei voida - eikä kannata - analysoida samoilla homologiateorioilla, ja aksioomien toteutuminen takaa että jos jokin avaruus voidaan analysoida kahdella eri homologiateorialla,  ne tuottavat samat tulokset. 

== Formaalisti ==

Aksioomat koskevat topologisten avaruuksien pareja <math>(A,B)</math> joissa <math>B</math> on <math>A</math>:n [[Topologinen aliavaruus|aliavaruus]], sekä perhettä [[funktori|funktoreita]] <math>H_i</math>, jotka liittävät kuhunkin pariin perheen [[Abelin ryhmä|Abelin ryhmiä]] (nämä ovat parin [[homologiaryhmä| homologiaryhmät]]). Lisäksi se koskee [[homomorfismi|reunahomomorfismien]] indusoimia kuvauksia <math>\partial_* : H_{i}(X, A) \to H_{i-1}(A)</math>. Homologiaryhmät käytännössä lasketaan reunahomomorfismeista, mutta tässä yleisessä yhteydessä niitä ei ilmaista suoraan vaan em. kuvauksella. 

# '''Homotopia-aksiooma''': Keskenään homotopiset kuvaukset parilta <math>(A_1, B_1)</math> parille <math>(A_2, B_2)</math> indusoivat samat homomorfismit homologiarymiltä <math>H_n(A_1,B_1)</math> homologiarymille <math>H_n(A_2,B_2)</math>. 
# '''Poistoaksiooma''':   Jos ''U'' on parin ''(X, A)'' ''X'':n osajoukko s.e. ''U'':n [[topologinen sulkeuma|sulkeuma]] on ''A'':n [[sisäpisteistö|sisäpisteistön]] osajoukko, inkluusiokuvaus <math>i : (X-U, A-U) \to (X, A)</math> indusoi [[isomorfismi]]n homologiaryhmien <math>H_n(X-U, A-U)</math> ja <math>H_n(X, A)</math> välille (eli rymät ovat rakenteeltaan tarkalleen samanlaisia).  
# '''Dimensioaksiooma''': Jos ''P'' on yhden pisteen avaruus, <math>H_n(P) = 0</math> pätee kaikille <math>n \neq 0</math>. 
# '''Additiivisuusaksiooma''': Jos <math>X = \vee_{\alpha}{X_{\alpha}}</math> pätee, tällöin pätee myös <math>H_n(X) \cong \bigoplus_{\alpha} H_n(X_{\alpha}).</math>
# '''Eksaktisuusaksiooma''': Jokainen pari ''(X, A)'' indusoi [[pitkä homologiajono | pitkän homologiajonon]] inkluusiokuvauksille <math>i: A \to X</math> ja <math>j: X \to (X, A)</math>:
::<math> \cdots \to H_n(A) \to^{\!\!\!\!\!\! i_*} H_n(X) \to^{\!\!\!\!\!\! j_*} H_n (X,A) \to^{\!\!\!\!\!\!\partial_*} H_{n-1}(A) \to \cdots.</math>

[[Luokka:Homologiateoria]]
[[Luokka:Matemaattiset aksioomat]]