Lähdekoodi sivulle Dirichlet’n konvoluutio

{{viitteetön}}'''Dirichlet'n konvoluutio''' eli '''Dirichlet'n tulo''' on [[lukuteoreettinen funktio|lukuteoreettisille funktioille]] määritelty matemaattinen [[binäärioperaatio|operaatio]]. Operaatio muistuttaa lukujen [[kertolasku]]a, mutta lukujen sijaan operoidaan funktioilla. Laskemalla kahden lukuteoreettisen funktion konvoluutio saadaan tulokseksi kolmas lukuteoreettinen funktio. Dirichlet'n konvoluutio on siis samantyyppinen operaatio kuin muutkin [[konvoluutio]]t.

==Matemaattinen määritelmä==

Olkoon <math>f</math> ja <math>g</math> kaksi lukuteoreettista funktiota, jotka on siis määritelty vain [[luonnollinen luku|positiivisille kokonaisluvuille]]. Olkoon <math>n</math> mielivaltainen positiivinen kokonaisluku.
Dirichlet'n konvoluutio <math>f*g</math> määritellään seuraavasti:

:<math>(f*g)(n) = \sum_{d|n, d>0} {f(d) g(n/d)}\,.</math>

Tässä <math>d|n</math> merkitsee, että <math>n</math> on [[jaollisuus|jaollinen]] <math>d</math>:llä.
Dirichlet'n konvoluutiossa siis lasketaan yhteen kaikki sellaiset [[termi]]t, joissa kerrotaan keskenään <math>f</math> ja <math>g</math> sellaisilla arvoilla, joiden tulo on <math>n</math>.

==Ominaisuuksia==

Dirichlet'n konvoluutiolla on seuraavat ominaisuudet:
* [[liitännäisyys|assosiatiivisuus]]: <math>f*(g*h)=(f*g)*h\,\!</math>

* [[vaihdannaisuus|kommutatiivisuus]]: <math>f*g=g*f\,\!</math>

* [[osittelulaki|distributiivisuus]]: <math>f*(g+h)=f*g+f*h\,\!</math> 

* lukuteoreettisella funktiolla <math>f</math> on käänteisalkio <math>f^{-1}</math> Dirichlet'n konvoluution suhteen silloin ja vain silloin, kun <math>f(1) \ne 0</math>.

==Esimerkkejä==

*'''Esimerkki 1.''' Määritellään lukuteoreettinen funktio <math>E_0</math> seuraavasti:
::<math> E_0(n) = \left\{ \begin{matrix} 
1, & kun & n = 1, \\
0, & kun & n > 1. \end{matrix} \right. </math>

:Nyt funktion <math>E_0</math> ja minkä tahansa lukuteoreettisen funktion <math>f</math> konvoluutioksi saadaan funktio <math>f:</math>

::<math>
\begin{align}
(E_0*f)(n) & = \sum_{d|n, d>0} {E_0(d) f(n/d)}\, \\
& = E_0(1)f(n) + \sum_{d|n, d>1} {E_0(d) f(n/d)}\, \\
& = 1 \cdot f(n) + \sum_{d|n, d>1} {0 \cdot f(n/d)}\, \\
& = f(n) + 0 = f(n). \\
\end{align}
</math>

*'''Esimerkki 2.''' Määritellään lukuteoreettiset funktiot <math>f</math> ja <math>g</math> seuraavasti:
::<math>f(n)=n\,\!</math>

::<math>g(n)=n^2.\,\!</math>

:Lasketaan näiden konvoluution arvo, kun <math>n=10</math>:
::<math>
\begin{align}
(f*g)(10) & = \sum_{d|10, d>0} {f(d) g(10/d)}\, \\
& = f(1) \cdot g(10) + f(2) \cdot g(5) + f(5) \cdot g(2) + f(10) \cdot g(1) \\
& = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 2^2 + 10 \cdot 1^2 \\
& = 100 + 50 + 20 + 10 = 180. \\
\end{align}
</math>

:Konvoluution arvo voidaan laskea myös toisella tavalla:
::<math>
\begin{align}
(f*g)(10) & = \sum_{d|10, d>0} {f(d) g(10/d)}\, \\
& = \sum_{d|10, d>0} {d \cdot (\frac{10}{d})^2}\, = \sum_{d|10, d>0} {\frac{100}{d}}\, \\
& = \frac{100}{1} + \frac{100}{2} + \frac{100}{5} + \frac{100}{10} \\
& = 100 + 50 + 20 + 10 = 180. \\
\end{align}
</math>

==Lähteet==
* {{Verkkoviite | Tekijä=Matti Jutila & Iiro Honkala | Nimeke=Lukuteoria | Osoite=http://64.233.183.104/search?q=cache:8Ge_o5iiVwsJ:www.math.utu.fi/opiskelu/opetusohjelma/kurssit/aineopinnot/mate5123/mon.ps+&hl=fi&ct=clnk&cd=2&gl=fi | Ajankohta=Syksy 2007 | Julkaisija=Turun yliopisto | Luettu=18. syyskuuta 2007 }}{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}

[[Luokka:Lukuteoria]]